Chapitres Maths en ECS2
Cours : Introductions aux fonctions de n variables en ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
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Vecteurs dans l’espace, Ligne de niveau et Continuité
1. Points et vecteurs dans l’espace
Méthode 1 : Comment utiliser l’espace vectoriel muni de sa structure euclidienne canonique pour des études de fonctions ?
Le produit scalaire canonique sur est défini par :
si et , .
La norme euclidienne associée à ce produit scalaire est définie par: .
La base canonique de est orthonormée pour le produit scalaire canonique.
Si , . On se servira de la norme euclidienne canonique dans comme on se sert de la valeur absolue dans .
Exemple : On dira qu’un sous-ensemble de , , est borné si …
(i) il existe des réels et tels que, pour tout de , ?
(ii) il existe un réel positif tel que, pour tout de , ?
Réponse :
(i) Non : l’inégalité écrite n’a pas de sens puisque et .
(ii) Oui : un sous-ensemble de est borné s’il existe un réel positif tel que pour tout de , ; cette définition peut être généralisée
en remplaçant la valeur absolue par la norme.
Méthode 2 : Quelles sont les inégalités faisant intervenir des normes qui sont utiles à connaître ?
L’inégalité triangulaire dit: pour tous et de , , et on a égalité dans cette inégalité si et seulement si et sont liés et de même sens: ou , .
On en déduit: pour tous et de , , et comme pour tout réel, , et .
L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit: , et on a égalité dans cette inégalité si et seulement et sont liés.
Si , , c’est-à-dire, .
Exemple : Si , on a égalité dans l’inégalité si et seulement si …
(i)
(ii)
(iii)
Réponse : (iii)
L’égalité équivaut à , c’est-à-dire à , soit ou .
Méthode 3 : Comment utiliser comme un ensemble de points ?
Si est la base canonique (orthonormée) de l’espace vectoriel , on munit du repère cartésien orthonormé, où est un point choisi comme origine.
Si appartient à , peut être la liste des coordonnées d’un vecteur de dans la base canonique de , ou la liste des coordonnées d’un point dans le repère .
est alors le point de coordonnées , et on écrira: .
Si est le point de coordonnées et le point de coordonnées , le vecteur est le vecteur de coordonnées ; on peut le représenter par le vecteur , où est le point de coordonnées , ou par une flèche d’origine et d’extrémité .
On a alors , et pour tout point de , : c’est la relation de Chasles.
Enfin, il n’y a pas d’inconvénient à écrire: .
Exemple : , , est muni du repère orthonormé . est le point de coordonnées .
Si a pour coordonnées , quelles sont les coordonnées de dans le repère cartésien ?
Réponse : .
En effet, , donc .
Méthode 4 : Comment définir la distance entre deux points de ?
Si et sont deux points de , la distance de à est: . On a alors :
— pour tous points et , , et si et seulement si ;
— pour tous points et , ;
— pour tous points , .
Ex: Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on donne les points de coordonnées respectives .
Il existe un unique point équidistant de et dont les coordonnées sont … ?
Réponse :
Méthode 5 : Si et sont deux points de , comment définir la droite ? la demi-droite d’origine contenant ? le segment ?
La droite est l’ensemble des points tels que .
La demi-droite d’origine contenant est l’ensemble des points tels que .
Le segment est l’ensemble des points tels que , c’est-à-dire tels que: \\il existe un réel appartenant à tel que .
On peut dire aussi: .
Exemple : Dans muni du repère orthonormé , on donne le point de coordonnées . La courbe formée de la demi-droite d’origine dirigée par le vecteur de coordonnées et de la demi-droite d’origine dirigée par le vecteur est la courbe de la fonction définie par :
(i) ?
(ii) ?
(iii) ?
Réponse : (i)
est l’ensemble des points de coordonnées tels que si , , et si , .
Méthode 6 : Qu’est-ce qu’un hyperplan de ? Quelle en est l’équation ?
Dans l’espace vectoriel , un hyperplan vectoriel est un sous-espace vectoriel de dimension : dans , c’est une droite vectorielle, dans , c’est un plan vectoriel.
L’équation d’un hyperplan vectoriel de est de la forme
, où .
Dans muni du repère , un hyperplan est un ensemble d’équation
, où .
Il est dirigé par l’hyperplan vectoriel , d’équation :
si , si est un point de , si et seulement si .
Exemple : est muni du repère orthonormé . Le plan d’équation est le plan
(i) passant par dirigé par ?
(ii) passant par , et ?
(iii) passant par et et dirigé par le plan vectoriel d’équation ?
Réponse : (i)
(ii) Les trois points appartiennent au plan, mais ils sont alignés; il existe donc une infinité de plans qui contiennent ces trois points.
(iii) Les coordonnées de ne vérifient pas l’équation du plan.
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2. Fonctions de plusieurs variables: définition et exemples
Méthode 7 : Comment comprendre le terme: fonction de plusieurs variables ?
Ce terme intervient dans l’étude des fonctions où .
A tout de , on associe le réel . On peut écrire , et par abus, .
est fonction du n-uplet , ou des variables .
Exemple : Si est une fonction de dans , si , peut-on dire …
(i) ?
(ii) ?
Réponse :
(i) Non, car
(ii) Non, car .
Méthode 8 : Quelles sont les fonctions qui sont linéaires ?
Ce sont les fonctions définies par: si , où sont des réels donnés indépendants de .
Exemple : est un nombre réel, et est définie par: . Alors :
(i) est linéaire, quelque soit la valeur de ?
(ii) est linéaire si et seulement si ?
(iii) n’est pas linéaire, quelque soit la valeur de ?
Réponse : Seule (ii) est vraie.
Méthode 9 : Qu’est-ce qu’une fonction affine de variables ?
Si , est affine si pour tout réel, où et sont deux réels, indépendants de .
En général, est affine si , où sont des réels indépendants de .
Exemple : Peut-on dire:
(i) une fonction affine de variables est toujours linéaire?
(ii) une fonction linéaire de variables est toujours affine?
Méthode 10 : Qu’est-ce qu’une fonction polynomiale de variables ?
Une fonction des variables est polynomiale si s’écrit comme combinaison linéaire à coefficients réels (indépendants de ), de termes de la forme , où appartiennent à .
Une somme ou un produit de fonctions polynomiales est une fonction polynomiale.
Exemple : La fonction définie par est-elle polynomiale ?
Réponse : Non
3. Graphes et lignes de niveau
Méthode 11 : Comment trouver le graphe d’une fonction de variables et son équation ?
Si , si , le graphe de est le sous-ensemble de défini par:
. L’équation du graphe de est .
En général, si , le graphe de est le sous-ensemble de défini par:
. L’équation de est .
Exemple : On note les coordonnées d’un point de .
Alors le sous-ensemble de d’équation est le graphe de la fonction définie par:
(i) ?
(ii) ?
(iii) ?
Réponse : (iii)
(i) Non : l’équation du graphe de est de la forme .
(ii) Non : un sous-ensemble de est le graphe d’une fonction de deux variables.
Méthode 12 : Que peut-on dire du graphe de quand est affine ?
Si estune fonction affine des variables : , le graphe de est l’hyperplan de d’équation .
Exemple : Dans muni du repère , on donne les points de coordonnées et de coordonnées , où est un nombre réel.
Alors la droite :
(i) est le graphe d’une fonction affine pour tout réel ?
(ii) est le graphe d’une fonction affine si et seulement si ?
(iii) est le graphe d’une fonction , mais n’est affine que si ?
Méthode 13 : Qu’est-ce qu’une ligne de niveau d’une fonction de deux variables ?
Le plan est rapporté au repère orthonormé .
Si est la fonction qui à tout de associe , si est un réel, la ligne de niveau de est l’ensemble des points de coordonnées tels que .
Exemple : On donne la fonction qui à tout associe .
Trouver, pour tout réel , la ligne de niveau de .
Réponse : Pour tout , , donc si , ; si , équivaut à , donc ; si , est l’ensemble des points du plan tels que : c’est le cercle de centre , de rayon .
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4. Continuité
Méthode 14 : Comment montrer qu’une fonction de dans est continue en un point de ? sur ?
La fonction est continue au point de si, pour tout , il existe un tel que pour tout de tel que , on ait .
On peut dire aussi: est continue au point si quand .
Pour montrer que est continue en , on peut essayer d’écrire où est une fonction de dans telle que quand .
La fonction est continue sur si elle est continue en tout point de .
Exemple : Montrer que la fonction est continue sur .
Réponse : Pour tous et de , on a: . Quand , par encadrement, .
Méthode 15 : Comment montrer qu’une fonction est continue sans revenir à la définition ?
Pour , la fonction coordonnée, qui à associe , est continue sur .
La somme ou le produit de deux fonctions continues en (ou sur ) est une fonction continue en (ou sur ).
Les fonctions polynomiales sont continues sur .
Si et sont continues en et si , est continue en ; si et sont continues sur et si , est continue sur .
Les fonctions rationnelles ( où et sont des polynômes) qui sont définies sur sont continues sur .
Si , où est un intervalle de , est continue sur et si est continue sur , alors est continue sur .
Si sont des fonctions continues sur un intervalle de , à valeurs réelles, et si est continue sur , la fonction est continue sur .
Si sont des fonctions continues sur , , à valeurs réelles, et si est continue sur , la fonction de dans qui à associe est continue sur .
Exemple : La fonction est définie par: . On peut dire que est continue sur parce que
(i) est polynomiale ?
(ii) où et ?
(iii) où et ?
Réponse : (iii)
(i) Non: la puissance n’est pas un entier naturel.
(ii) Non: il faut prendre .
5. Fonctions majorées, minorées, extrema
Méthode 16 : Quand peut-on dire qu’une fonction de dans est majorée ? minorée? bornée ?
Les définitions connues pour une fonction de dans restent valables:
Une fonction de dans est majorée s’il existe un réel tel que, pour tout de , ; est alors un majorant de .
Une fonction de dans est minorée s’il existe un réel tel que, pour tout de , ; est alors un minorant de .
La fonction est bornée si elle est majorée et minorée.
Exemple : On peut dire
(i) est majorée si et seulement est majorée ?
(ii) est bornée si et seulement si est bornée ?
(iii) est minorée si et seulement est minorée ?
Méthode 17 : Quand peut-on dire qu’une fonction de dans admet un maximum ? un minimum ?
La fonction admet un maximum en un point de si, pour tout de , .
Elle admet un minimum en si, pour tout de , .
Exemple : On définit la fonction par . Alors :
(i) n’est pas minorée ?
(ii) admet un minimum obtenu en ?
(iii) admet un minimum égal à obtenu en un seul point ?
Réponse : (iii) car , donc , et si et seulement si .
(i) Non : , donc , donc .
(ii) Non : et .
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