Chapitres Maths en ECS2
Cours : Introductions aux fonctions de n variables en ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
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Vecteurs dans l’espace, Ligne de niveau et Continuité
1. Points et vecteurs dans l’espace 
Méthode 1 : Comment utiliser l’espace vectoriel muni de sa structure euclidienne canonique pour des études de fonctions ?
Le produit scalaire canonique sur est défini par :
si et
,
.
La norme euclidienne associée à ce produit scalaire est définie par: .
La base canonique de est orthonormée pour le produit scalaire canonique.
Si ,
. On se servira de la norme euclidienne canonique dans
comme on se sert de la valeur absolue dans
.
Exemple : On dira qu’un sous-ensemble de
,
, est borné si …
(i) il existe des réels et
tels que, pour tout
de
,
?
(ii) il existe un réel positif tel que, pour tout
de
,
?
Réponse :
(i) Non : l’inégalité écrite n’a pas de sens puisque et
.
(ii) Oui : un sous-ensemble de
est borné s’il existe un réel positif
tel que pour tout
de
,
; cette définition peut être généralisée
en remplaçant la valeur absolue par la norme.
Méthode 2 : Quelles sont les inégalités faisant intervenir des normes qui sont utiles à connaître ?
L’inégalité triangulaire dit: pour tous
et
de
,
, et on a égalité dans cette inégalité si et seulement si
et
sont liés et de même sens:
ou
,
.
On en déduit: pour tous
et
de
,
, et comme pour tout
réel,
,
et
.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit:
, et on a égalité dans cette inégalité si et seulement
et
sont liés.
Si
,
, c’est-à-dire,
.
Exemple : Si , on a égalité dans l’inégalité
si et seulement si …
(i)
(ii)
(iii)
Réponse : (iii)
L’égalité équivaut à , c’est-à-dire à
, soit
ou
.
Méthode 3 : Comment utiliser comme un ensemble de points ?
Si est la base canonique (orthonormée) de l’espace vectoriel
, on munit
du repère cartésien orthonormé
, où
est un point choisi comme origine.
Si appartient à
,
peut être la liste des coordonnées d’un vecteur
de
dans la base canonique de
, ou la liste des coordonnées d’un point
dans le repère
.
est alors le point de coordonnées
, et on écrira:
.
Si est le point de coordonnées
et
le point de coordonnées
, le vecteur
est le vecteur de coordonnées
; on peut le représenter par le vecteur
, où
est le point de coordonnées
, ou par une flèche d’origine
et d’extrémité
.
On a alors , et pour tout point
de
,
: c’est la relation de Chasles.
Enfin, il n’y a pas d’inconvénient à écrire: .
Exemple : ,
, est muni du repère orthonormé
.
est le point de coordonnées
.
Si a pour coordonnées
, quelles sont les coordonnées de
dans le repère cartésien
?
Réponse : .
En effet, , donc
.
Méthode 4 : Comment définir la distance entre deux points de ?
Si et
sont deux points de
, la distance de
à
est:
. On a alors :
— pour tous points et
,
, et
si et seulement si
;
— pour tous points et
,
;
— pour tous points ,
.
Ex: Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on donne les points
de coordonnées respectives
.
Il existe un unique point équidistant de
et
dont les coordonnées sont … ?
Réponse :
Méthode 5 : Si et
sont deux points de
, comment définir la droite
? la demi-droite d’origine
contenant
? le segment
?
La droite est l’ensemble des points
tels que
.
La demi-droite d’origine contenant
est l’ensemble des points
tels que
.
Le segment est l’ensemble des points
tels que
, c’est-à-dire tels que: \\il existe un réel
appartenant à
tel que
.
On peut dire aussi: .
Exemple : Dans muni du repère orthonormé
, on donne le point
de coordonnées
. La courbe
formée de la demi-droite d’origine
dirigée par le vecteur de coordonnées
et de la demi-droite d’origine
dirigée par le vecteur
est la courbe de la fonction
définie par :
(i) ?
(ii) ?
(iii) ?
Réponse : (i)
est l’ensemble des points
de coordonnées
tels que si
,
, et si
,
.
Méthode 6 : Qu’est-ce qu’un hyperplan de ? Quelle en est l’équation ?
Dans l’espace vectoriel
, un hyperplan vectoriel est un sous-espace vectoriel de dimension
: dans
, c’est une droite vectorielle, dans
, c’est un plan vectoriel.
L’équation d’un hyperplan vectoriel de
est de la forme
, où
.
Dans
muni du repère
, un hyperplan
est un ensemble d’équation
, où
.
Il est dirigé par l’hyperplan vectoriel , d’équation
:
si , si
est un point de
,
si et seulement si
.
Exemple : est muni du repère orthonormé
. Le plan d’équation
est le plan
(i) passant par dirigé par
?
(ii) passant par ,
et
?
(iii) passant par et
et dirigé par le plan vectoriel d’équation
?
Réponse : (i)
(ii) Les trois points appartiennent au plan, mais ils sont alignés; il existe donc une infinité de plans qui contiennent ces trois points.
(iii) Les coordonnées de ne vérifient pas l’équation du plan.
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2. Fonctions de plusieurs variables: définition et exemples
Méthode 7 : Comment comprendre le terme: fonction de plusieurs variables ?
Ce terme intervient dans l’étude des fonctions où
.
A tout de
, on associe le réel
. On peut écrire
, et par abus,
.
est fonction du n-uplet
, ou des
variables
.
Exemple : Si est une fonction de
dans
, si
, peut-on dire …
(i) ?
(ii) ?
Réponse :
(i) Non, car
(ii) Non, car .
Méthode 8 : Quelles sont les fonctions qui sont linéaires ?
Ce sont les fonctions définies par: si ,
où
sont des réels donnés indépendants de
.
Exemple : est un nombre réel, et
est définie par:
. Alors :
(i) est linéaire, quelque soit la valeur de
?
(ii) est linéaire si et seulement si
?
(iii) n’est pas linéaire, quelque soit la valeur de
?
Réponse : Seule (ii) est vraie.
Méthode 9 : Qu’est-ce qu’une fonction affine de variables ?
Si ,
est affine si pour tout
réel,
où
et
sont deux réels, indépendants de
.
En général, est affine si
, où
sont des réels indépendants de
.
Exemple : Peut-on dire:
(i) une fonction affine de variables est toujours linéaire?
(ii) une fonction linéaire de variables est toujours affine?
Méthode 10 : Qu’est-ce qu’une fonction polynomiale de variables ?
Une fonction des
variables
est polynomiale si
s’écrit comme combinaison linéaire à coefficients réels (indépendants de
), de termes de la forme
, où
appartiennent à
.
Une somme ou un produit de fonctions polynomiales est une fonction polynomiale.
Exemple : La fonction définie par
est-elle polynomiale ?
Réponse : Non
3. Graphes et lignes de niveau
Méthode 11 : Comment trouver le graphe d’une fonction de variables et son équation ?
Si
, si
, le graphe de
est le sous-ensemble
de
défini par:
. L’équation du graphe de
est
.
En général, si
, le graphe
de
est le sous-ensemble de
défini par:
. L’équation de
est
.
Exemple : On note les coordonnées d’un point de
.
Alors le sous-ensemble de d’équation
est le graphe de la fonction
définie par:
(i) ?
(ii) ?
(iii) ?
Réponse : (iii)
(i) Non : l’équation du graphe de est de la forme
.
(ii) Non : un sous-ensemble de est le graphe d’une fonction de deux variables.
Méthode 12 : Que peut-on dire du graphe de quand
est affine ?
Si estune fonction affine des
variables
:
, le graphe de
est l’hyperplan de
d’équation
.
Exemple : Dans muni du repère
, on donne les points
de coordonnées
et
de coordonnées
, où
est un nombre réel.
Alors la droite :
(i) est le graphe d’une fonction affine pour tout réel ?
(ii) est le graphe d’une fonction affine si et seulement si ?
(iii) est le graphe d’une fonction , mais
n’est affine que si
?
Méthode 13 : Qu’est-ce qu’une ligne de niveau d’une fonction de deux variables ?
Le plan est rapporté au repère orthonormé .
Si est la fonction qui à tout
de
associe
, si
est un réel, la ligne de niveau
de
est l’ensemble
des points
de coordonnées
tels que
.
Exemple : On donne la fonction qui à tout
associe
.
Trouver, pour tout réel , la ligne de niveau
de
.
Réponse : Pour tout ,
, donc si
,
; si
,
équivaut à
, donc
; si
,
est l’ensemble des points
du plan tels que
: c’est le cercle de centre
, de rayon
.
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4. Continuité
Méthode 14 : Comment montrer qu’une fonction de dans
est continue en un point
de
? sur
?
La fonction
est continue au point
de
si, pour tout
, il existe un
tel que pour tout
de
tel que
, on ait
.
On peut dire aussi: est continue au point
si
quand
.
Pour montrer que est continue en
, on peut essayer d’écrire
où
est une fonction de
dans
telle que
quand
.
La fonction
est continue sur
si elle est continue en tout point
de
.
Exemple : Montrer que la fonction est continue sur
.
Réponse : Pour tous et
de
, on a:
. Quand
, par encadrement,
.
Méthode 15 : Comment montrer qu’une fonction est continue sans revenir à la définition ?
Pour
, la
fonction coordonnée, qui à
associe
, est continue sur
.
La somme ou le produit de deux fonctions continues en
(ou sur
) est une fonction continue en
(ou sur
).
Les fonctions polynomiales sont continues sur
.
Si
et
sont continues en
et si
,
est continue en
; si
et
sont continues sur
et si
,
est continue sur
.
Les fonctions rationnelles (
où
et
sont des polynômes) qui sont définies sur
sont continues sur
.
Si
, où
est un intervalle de
, est continue sur
et si
est continue sur
, alors
est continue sur
.
Si
sont des fonctions continues sur un intervalle
de
, à valeurs réelles, et si
est continue sur
, la fonction
est continue sur
.
Si
sont des fonctions continues sur
,
, à valeurs réelles, et si
est continue sur
, la fonction de
dans
qui à
associe
est continue sur
.
Exemple : La fonction est définie par:
. On peut dire que
est continue sur
parce que
(i) est polynomiale ?
(ii) où
et
?
(iii) où
et
?
Réponse : (iii)
(i) Non: la puissance n’est pas un entier naturel.
(ii) Non: il faut prendre .
5. Fonctions majorées, minorées, extrema
Méthode 16 : Quand peut-on dire qu’une fonction de dans
est majorée ? minorée? bornée ?
Les définitions connues pour une fonction de dans
restent valables:
Une fonction de
dans
est majorée s’il existe un réel
tel que, pour tout
de
,
;
est alors un majorant de
.
Une fonction de
dans
est minorée s’il existe un réel
tel que, pour tout
de
,
;
est alors un minorant de
.
La fonction est bornée si elle est majorée et minorée.
Exemple : On peut dire
(i) est majorée si et seulement
est majorée ?
(ii) est bornée si et seulement si
est bornée ?
(iii) est minorée si et seulement
est minorée ?
Méthode 17 : Quand peut-on dire qu’une fonction de dans
admet un maximum ? un minimum ?
La fonction admet un maximum en un point
de
si, pour tout
de
,
.
Elle admet un minimum en si, pour tout
de
,
.
Exemple : On définit la fonction par
. Alors :
(i) n’est pas minorée ?
(ii) admet un minimum obtenu en
?
(iii) admet un minimum égal à
obtenu en un seul point ?
Réponse : (iii) car , donc
, et
si et seulement si
.
(i) Non : , donc
, donc
.
(ii) Non : et
.
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