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Questions pièges sur les conditions minimales au Tage Mage

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Cette page d’exercices est utile pour tout élève qui souhaite préparer le Tage Mage et réussir le sous test de conditions minimales.

Question 1 : ne pas se précipiter en conditions minimales

Combien de temps Luang a-t-il mis pour aller chez ses grands parents ?

(1) Si sa vitesse avait été supérieure d’un tiers, il aurait mis 3h pour s’y rendre.

(2) Il a roulé à une vitesse moyenne de 120 km/h.

Question 2 : on liste ou pas sur les conditions minimales ? (1/2)

Quelle est la valeur du nombre M à trois chiffres ?

(1) M est le cube d’un nombre entier.

(2) La somme des chiffres qui composent M vaut 8.

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Question 3 : on liste ou pas ? (2/2)

X est un nombre entier naturel à trois chiffres. Quel est ce nombre ?

(1) X est le cube d’un nombre entier.

(2) La somme des chiffres de X est égale à 8.

Question 4 : un mot peut faire la différence sur les conditions minimles

On sait que 6x + 11y = 45, combien vaut y ?

(1) x et y sont deux entiers naturels.

(1) 2x + y = 7

Question 5 : information inutile et conditions minimales

Que vaut le côté du carré ?

(1) Si on double son côté, on quadruple sa surface.

(2) Ce carré peut être inscrit dans un cercle de rayon 5 cm.

Question 6 : Répondre non c’est répondre !

X est un nombre entier positif. Est-il pair ?

(1) X est divisible par 7

(2) Le carré de X est un nombre impair

Corrigé Question 1

Rappel :

•Si on augmente une quantité de la moitié, elle est multipliée par $\dfrac{3}{2}\times(1+\dfrac{1}{2})$

•Si on augmente une quantité d’un quart, elle est multipliée par $\dfrac{5}{4}\times(1+\dfrac{1}{4})$

•Si on baisse une quantité d’un cinquième, elle est multipliée par $\dfrac{4}{5}\times(1-\dfrac{1}{5})$

On a l’impression que l’on a besoin de la vitesse et sans doute de la distance pour calculer le temps. On oublie souvent un élément fondamental des vitesses : Le temps mis est inversement proportionnel à la vitesse. Si on va 2 fois plus vite, on met 2 fois moins de temps.

Autrement dit, si on sait par que nombre est multiplié la vitesse, on saura par combien est multiplié le temps : l’inverse de ce nombre.

Étudions la proposition (1). Si sa vitesse est supérieure d’un tiers, c’est qu’elle augmente d’un tiers, donc est multipliée par $\dfrac{4}{3}$ . Or le temps est inversement proportionnel à la vitesse donc :

Si Vitesse x $\dfrac{4}{3}$ alors temps x $\dfrac{3}{4}$ .

Pour déterminer le temps qu’a mis Luang pour aller chez ses grands parents :

Autrement dit il a mis 2h15mn.

La proposition (2) seule ne permet évidemment pas de répondre.

Le jour de l’épreuve, on ne va au bout des calculs, dès qu’on se rend compte qu’il suffit de multiplier les 3h par $\dfrac{3}{4}$ on s’arrête.

Corrigé Question 2

Il est indispensable de parfaitement connaître les cubes jusqu’à 11³ = 1 331.

Information (1) seule ne suffit pas mais une question se pose : doit-on lister ces cubes pour les avoir en visuel ? Il le fallait ici, les cubes à 3 chiffres sont :

125 216 343 512 729

Information (2) seule ne suffit pas, énormément de possibilités (440 ; 404 : 701 etc…)

En les combinant on ne peut toujours pas répondre : il en reste deux en lice : 125 et 512.

Ce sont deux cubes et la somme de leurs chiffres vaut également 8.

2 réponses différentes = pas de réponse. Donc E.

Corrigé Question 3

Compréhension de l’énoncé :

X est compris entre 100 et 999

Information (1) seule ne suffit pas. Il y a plusieurs de possibilités : 125 (5³) ou 216 (6³) ou 343 (7³) ou 512 (8³) ou 729 (9³). On ne peut pas trancher.

Information (2) seule ne suffit pas. Trop de possibilités : 224 (2+2+4 = 8) ou 530 ou 800 etc.Informations (1) et (2) ensemble ne suffisent pas.

On sait à présent que X est le cube d’un nombre entier et que la somme de ses chiffres vaut 8. Il reste deux possibilités : 125 ou 512.

Corrigé Question 4

Le mot ou plutôt les mots qui font la différence : entiers naturels. Avec ces mots, une seule équation à 2 inconnues peut être résolue !

L’information (1) permet de répondre : x et y sont positifs et entier, il n’y a pas énormément de possibilités, essayons-les :

Si x = 1, l’équation devient 6 + 11y = 45 soit 11y = 39, pas de valeur de y qui fonctionne.

Si x = 2, l’équation devient 12 + 11y = 45 soit 11y = 33, et donc y = 3.

On pourrait rapidement tester avec x = 3 et 4 pour se convaincre qu’il n’y pas d’autre couple qui fonctionne.

On a pu répondre, y vaut 3

L’information (2) seule permet également de répondre.

On obtient un système à 2 équations :

$6x+11y=45$

$2x+y=7$

On pourrait commencer la résolution et vite s’arrêter quand on se rend compte qu’il y a bien une unique solution avec x = 2 et y = 3

Chacune des informations a permis de répondre à la question, réponse D.

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Corrigé Question 5

L’information (1) est inutile, c’est du cours :

Agrandissement réduction :

Si les longueurs sont multipliées par k, alors :

•Aires k²

•Volumes k³

On nous dit que le côté est multiplié par 2, donc on sait que sa surface (son aire) est multipliée par 2² = 4 donc une surface quadruplée. Non seulement cette information ne permet pas de répondre mais elle est inutile.

L’information (2) permet de répondre. C’est un sur classique des questions du Tage Mage. Si le carré est inscrit dans un cercle alors le diamètre du cercle représente la diagonale du carré. Autrement dit la diagonale du carré vaut 10 cm (le double du rayon). Et le côté du carré vaut $\dfrac{10}{\sqrt{2}}$ . Réponse B.

Corrigé Question 6 : Répondre non c’est répondre !

X est un nombre entier positif. Est-il pair ?

(1) X est divisible par 7

(2) Le carré de X est un nombre impair

Question 6 : Réponse B

Rappel :

Un nombre et son carré ont la même parité : tous les deux pairs ou tous les deux impairs.
Un nombre est divisible par 7 signifie que c’est un multiple de 7. Autrement dit il est dans la table de 7. Ou encore il s’écrit 7×N, avec N un nombre entier.

X est un multiple de 7 ne nous renseigne pas sur sa parité. Pour s’en convaincre, il faut 2 exemples : un qui « fonctionne » et un qui ne « fonctionne » pas :

Si X = 21. C’est bien un multiple de 7 et X est impair
Si X = 14. C’est un multiple de 7 et X est pair

On ne peut donc pas conclure quant à la parité de X, il peut être pair comme impair : il n’y a pas assez d’informations.

Information (2) seule suffit pour répondre.

Dans le rappel ci-dessus, il est dit qu’un nombre et son carré ont la même parité. Or ici, on nous dit que le carré de X, soit X² est impair. Donc X lui même est impair. On peut répondre à la question : non X n’est pas pair.

Remarque :

Répondre à la question ne signifie pas répondre oui absolument. Répondre non c’est répondre !

Pour être certain de bien réussir le sous-test sur les conditions minimales, certaines notions de mathématiques du sous-test 2 sur le calcul doivent être parfaitement assimilées, dont :