Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Probabilités : cours et formules pour calculer une probabilité

Par Seda Biber, mis à jour le 21/10/2026

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d’un évènement se calcule en divisant le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles : $P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ . Le résultat est toujours compris entre 0 et 1. Pour les situations plus complexes, quatre outils règlent la plupart des exercices : l’évènement contraire, la formule de l’union, l’arbre de probabilité et la probabilité conditionnelle.

Résumé : les formules de probabilité à connaître

Vous cherchez	Formule	Exemple
La probabilité d’un évènement (issues équiprobables)	$P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$	Obtenir 6 avec un dé : $\dfrac{1}{6}$
L’évènement contraire	$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$	Ne pas obtenir 6 : $1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$
A ou B	$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$	Un as ou un cœur dans un jeu de 32 cartes : $\dfrac{4}{32} + \dfrac{8}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{11}{32}$
A ou B, si A et B sont incompatibles	$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$	Obtenir 1 ou 2 avec un dé : $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$
A et B, si A et B sont indépendants	$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$	Obtenir 6 au dé et pile à la pièce : $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$
A et B, dans le cas général	$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$	Deux boules noires sans remise : $\dfrac{5}{15} \times \dfrac{4}{14} = \dfrac{2}{21}$
B sachant A (probabilité conditionnelle)	$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$	Voir l’exemple de l’arbre : $\dfrac{2}{7}$
B en passant par tous les cas (probabilités totales)	$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$	Voir l’exemple de l’arbre : $\dfrac{21}{40}$

AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS

C'est gagner en autonomie

Quel est le vocabulaire des probabilités ?

Avant tout calcul, il faut traduire l’énoncé avec les bons mots. Prenons le lancer d’un dé équilibré à six faces.

Terme	Définition	Exemple avec un dé
Expérience aléatoire	Expérience dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel sortira	Lancer le dé
Issue	Un résultat possible	Obtenir 4
Univers $\Omega$	L’ensemble de toutes les issues	$\Omega = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$
Évènement	Un ensemble d’issues	A : « obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6}
Évènement impossible, évènement certain	Probabilité égale à 0, probabilité égale à 1	Obtenir 7 ; obtenir un nombre entre 1 et 6
Évènement contraire $\overline{A}$	Les issues qui ne sont pas dans A	« Obtenir un nombre impair » = {1 ; 3 ; 5}
Évènements incompatibles	Deux évènements qui ne peuvent pas se produire en même temps	Obtenir 1 et obtenir 6

La lettre P sert à noter une probabilité : P(A) se lit « probabilité de A ». Une probabilité peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25$ %.

Comment calculer une probabilité ?

Si toutes les issues ont la même probabilité (dé ou pièce équilibrés, tirage au hasard dans une urne), on est dans une situation d’équiprobabilité et on applique la formule de base :

$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

À partir de la seconde, on l’écrit aussi $P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$ , où Card désigne le nombre d’éléments d’un ensemble.

Exemple 1. Une urne contient 40 boules numérotées de 1 à 40. On en tire une au hasard. Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 3 impair ?

Nombre de cas possibles : 40.
Cas favorables : 3 ; 9 ; 15 ; 21 ; 27 ; 33 ; 39, soit 7 boules.

La probabilité vaut $\dfrac{7}{40}$ . En pourcentage : $\dfrac{7}{40} = 0{,}175$ , soit 17,5 %.

Exemple 2. On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme fasse 7 ? Il y a 6 × 6 = 36 issues possibles. Les couples favorables sont (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) et (6 ; 1), soit 6 issues. La probabilité vaut $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ .

Quand les issues sont trop nombreuses pour être listées, on les compte avec les méthodes du dénombrement (arrangements, combinaisons).

💡 Astuce : vérifiez toujours votre résultat. Une probabilité est comprise entre 0 et 1, et la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Un résultat de 1,2 ou de −0,3 signale une erreur de calcul.

Comment utiliser l’évènement contraire ?

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Dès qu’un énoncé contient « au moins un », pensez à l’évènement contraire. Le contraire de « au moins un » est « aucun », et ce contraire se calcule souvent en une ligne.

Exemple. Une famille a 3 enfants. On suppose qu’à chaque naissance, la probabilité d’avoir une fille est $\dfrac{1}{2}$ . Quelle est la probabilité d’avoir au moins une fille ?

Contraire de « au moins une fille » : « aucune fille », c’est-à-dire 3 garçons.
$P(\text{3 gar\c{c}ons}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$
$P(\text{au moins une fille}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

Le calcul direct demanderait d’additionner les cas « une fille », « deux filles » et « trois filles ». Le passage par le contraire évite ce travail.

Quelle est la formule de l’union et de l’intersection ?

L’union $A \cup B$ correspond au « ou » : A se réalise, ou B, ou les deux. L’intersection $A \cap B$ correspond au « et » : A et B se réalisent en même temps.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

On retire $P(A \cap B)$ parce que les issues communes à A et à B ont été comptées deux fois, une fois dans P(A) et une fois dans P(B). Le diagramme de Venn le montre : la zone foncée, l’intersection, appartient aux deux cercles.

Exemple. Dans un collège de 450 élèves, 200 prennent des cours particuliers de maths, 150 des cours particuliers de français, et 50 suivent les deux. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu’il prenne des cours de maths ou de français ?

$P(M \cup F) = \dfrac{200}{450} + \dfrac{150}{450} - \dfrac{50}{450} = \dfrac{300}{450} = \dfrac{2}{3}$

La réponse n’est pas $\dfrac{400}{450}$ : les 50 élèves qui suivent les deux matières font partie des 200 et des 150.

Deux cas particuliers reviennent souvent :

si A et B sont incompatibles, $P(A \cap B) = 0$ et la formule devient $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ;
si A et B sont indépendants (la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre), $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . C’est le cas d’un dé et d’une pièce lancés ensemble.

Comment calculer une probabilité avec un tirage sans remise ?

Dans un tirage sans remise, la boule tirée n’est pas remise dans l’urne : au tirage suivant, le nombre total de boules a diminué de 1.

Exemple. Une urne contient 4 boules rouges, 5 noires et 6 vertes, soit 15 boules. On tire successivement deux boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires ?

1^er tirage : 5 noires sur 15 boules, probabilité $\dfrac{5}{15}$ .
2^e tirage : il reste 4 noires sur 14 boules, probabilité $\dfrac{4}{14}$ .

$P = \dfrac{5}{15} \times \dfrac{4}{14} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{21}$

Avec remise, l’urne retrouve ses 15 boules à chaque tirage et le résultat change : $\dfrac{5}{15} \times \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{9}$ . Simplifier les fractions avant de multiplier rend ces calculs plus rapides.

Comment faire un arbre de probabilité ?

L’arbre pondéré sert dès qu’une expérience se déroule en plusieurs étapes. La méthode tient en quatre règles :

on place les étapes dans l’ordre chronologique de l’énoncé ;
on écrit la probabilité sur chaque branche, et les branches qui partent d’un même point ont une somme égale à 1 ;
pour obtenir la probabilité d’un chemin (une intersection), on multiplie les probabilités le long de ce chemin ;
si plusieurs chemins mènent au résultat cherché, on additionne leurs probabilités.

Exemple. Un groupe est composé aux trois quarts de garçons. La moitié des garçons aime les maths, contre 60 % des filles. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle aime les maths ?

Premier niveau de l’arbre : garçon G ( $\dfrac{3}{4}$ ) ou fille F ( $\dfrac{1}{4}$ ). Second niveau : aime les maths M ou non. Pour les filles, 60 % s’écrit $\dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}$ : gardez des fractions partout plutôt que de mélanger fractions et pourcentages.

Chemin	Calcul	Probabilité
Garçon et aime les maths ( $G \cap M$ )	$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}$	$\dfrac{3}{8}$
Garçon et n’aime pas les maths	$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}$	$\dfrac{3}{8}$
Fille et aime les maths ( $F \cap M$ )	$\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{5}$	$\dfrac{3}{20}$
Fille et n’aime pas les maths	$\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{5}$	$\dfrac{1}{10}$

Deux chemins mènent à « aime les maths », on additionne :

$P(M) = \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{15}{40} + \dfrac{6}{40} = \dfrac{21}{40}$

Ce calcul est une application de la formule des probabilités totales : on obtient P(M) en additionnant les probabilités de M dans chacun des cas, garçon ou fille. Pour vérifier l’arbre, la somme des quatre chemins doit faire 1 : $\dfrac{15}{40} + \dfrac{15}{40} + \dfrac{6}{40} + \dfrac{4}{40} = 1$ .

Qu’est-ce qu’une probabilité conditionnelle ?

La probabilité de B sachant A, notée $P_A(B)$ , est la probabilité que B se réalise quand on sait déjà que A est réalisé. Si $P(A) \neq 0$ :

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Sur un arbre, les probabilités du second niveau sont des probabilités conditionnelles. Dans l’exemple précédent, $P_G(M) = \dfrac{1}{2}$ et $P_F(M) = \dfrac{3}{5}$ .

On peut aussi inverser la question : sachant que la personne aime les maths, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

$P_M(F) = \dfrac{P(F \cap M)}{P(M)} = \dfrac{6}{40} \times \dfrac{40}{21} = \dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}$

$P_M(F) = \dfrac{2}{7}$ n’est pas égal à $P_F(M) = \dfrac{3}{5}$ : l’ordre du conditionnement compte. Deux évènements sont indépendants lorsque $P_A(B) = P(B)$ . Ces notions sont développées dans le cours de terminale sur le conditionnement et l’indépendance.

En quelle classe étudie-t-on les probabilités ?

Classe	Ce que l’élève apprend
5e	Vocabulaire (expérience aléatoire, issue, évènement), probabilités dans des cas simples d’équiprobabilité
4e	Réunion, intersection, complémentaire, probabilité d’un évènement et de son contraire, expériences à deux épreuves
3e	Relation $P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ , simulation d’expériences, stabilisation des fréquences
Seconde	Probabilité conditionnelle $P_A(B)$ , arbres de probabilité, dénombrement à l’aide de tableaux et d’arbres
Première (spécialité maths)	Indépendance, formule des probabilités totales, variables aléatoires, espérance et variance

La répartition au collège suit le programme de cycle 4 publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026, qui s’applique en 5e depuis la rentrée 2026, en 4e à la rentrée 2027 et en 3e à la rentrée 2028. Les nouveaux programmes de seconde et de première, parus au Bulletin officiel du 2 avril 2026, s’appliquent depuis la rentrée 2026. Les probabilités se poursuivent en terminale puis en prépa, notamment en cours de prépa HEC.

Elles reviennent aussi au Tage Mage, dans le sous-test 2 de calcul (15 questions en 20 minutes) et dans le sous-test 4, dont les questions de conditions minimales demandent de savoir si les données suffisent à calculer une probabilité. Le niveau attendu est celui de la fin du collège et de la seconde : formule de base, contraire, union, tirages avec ou sans remise.

Quelles erreurs éviter en probabilités ?

Erreur fréquente	Bonne méthode
Additionner P(A) et P(B) pour calculer « A ou B »	Retirer l’intersection, sauf si A et B sont incompatibles : $\dfrac{300}{450}$ et non $\dfrac{400}{450}$
Garder le même total au second tirage sans remise	Retirer la boule tirée : 14 boules au second tirage, et non 15
Multiplier P(A) et P(B) sans savoir si A et B sont indépendants	Utiliser $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$	Repérer le « sachant » de l’énoncé : $P_F(M) = \dfrac{3}{5}$ mais $P_M(F) = \dfrac{2}{7}$
Calculer « au moins un » cas par cas	Passer par le contraire « aucun » : $1 - P(\text{aucun})$
Mélanger fractions, décimaux et pourcentages dans un même arbre	Choisir une seule écriture, de préférence les fractions

Pour vous entraîner sur chacune de ces méthodes, passez aux exercices corrigés de probabilités. Si les mêmes erreurs reviennent dans vos copies, un professeur peut reprendre le chapitre avec vous en cours particuliers de maths.

STAGE DE MATHS PENDANT LES VACANCES

Gagner en sérénité et progresser en confiance

FAQ : questions fréquentes sur les probabilités

Quelle est la formule de base pour calculer une probabilité ?

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d'un évènement est égale au nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Avec un dé équilibré, la probabilité d'obtenir un nombre pair est 3/6 = 1/2.

Comment calculer une probabilité en pourcentage ?

On calcule d'abord la probabilité sous forme de fraction ou de nombre décimal, puis on multiplie par 100. Une probabilité de 7/40 vaut 0,175, soit 17,5 %.

Quand faut-il additionner ou multiplier des probabilités ?

On multiplie les probabilités le long d'un chemin d'arbre, c'est-à-dire pour des évènements successifs qui doivent tous se produire (« et »). On additionne les probabilités de chemins différents qui mènent au même résultat (« ou »), à condition qu'ils ne se recouvrent pas.

Quelle est la différence entre évènements incompatibles et indépendants ?

Deux évènements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps : P(A ∩ B) = 0. Deux évènements indépendants peuvent se produire ensemble, mais l'un ne change pas la probabilité de l'autre : P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 en lançant trois fois un dé ?

On passe par l'évènement contraire, « aucun 6 ». À chaque lancer, la probabilité de ne pas faire 6 est 5/6, donc P(aucun 6) = 5/6 × 5/6 × 5/6 = 125/216. La probabilité d'obtenir au moins un 6 vaut 1 − 125/216 = 91/216, soit environ 0,42.

Quelle est la formule des probabilités totales ?

Si A et son contraire partagent l'univers en deux cas, alors P(B) = P(A ∩ B) + P(non A ∩ B). Sur un arbre, cela revient à additionner les probabilités de tous les chemins qui mènent à B. Cette formule est au programme de première en spécialité mathématiques.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2, BO du 5 mars 2026
Ministère de l’Éducation nationale, Éduscol, Programmes et ressources en mathématiques, voie générale et technologique : programmes de seconde et de spécialité de première parus au BO du 2 avril 2026