Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Opérations sur les fractions : addition, soustraction, multiplication et division

Par Seda Biber, le 20/10/2026

Pour additionner ou soustraire des fractions, on les met d’abord au même dénominateur, puis on additionne ou on soustrait les numérateurs. Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. On termine en simplifiant le résultat jusqu’à obtenir une fraction irréductible. Ces règles servent du CM1 jusqu’aux épreuves de calcul du Tage Mage. Si les fractions vous posent problème, des cours particuliers de maths ou un stage intensif permettent de reprendre les bases.

Ce cours fait partie des fiches en ligne de Groupe Réussite. Ces fiches sont rédigées par l’équipe qui organise nos cours particuliers à domicile et nos cours particuliers en ligne. Vous êtes étudiant ou enseignant et vous maîtrisez ces notions ? Vous pouvez donner des cours particuliers avec nous.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Résumé : les règles de calcul sur les fractions

Opération	Règle	Exemple
Addition	Même dénominateur, puis on additionne les numérateurs	$\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}$
Soustraction	Même dénominateur, puis on soustrait les numérateurs	$\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{10}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}$
Multiplication	Numérateur × numérateur, dénominateur × dénominateur	$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{15}$
Division	On multiplie par l’inverse du diviseur	$\dfrac{2}{7}\div\dfrac{9}{11}=\dfrac{2}{7}\times\dfrac{11}{9}=\dfrac{22}{63}$
Simplification	On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre	$\dfrac{225}{320}=\dfrac{45}{64}$

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Qu’est-ce qu’une fraction ?

Une fraction s’écrit $\dfrac{a}{b}$ , avec b différent de 0.

Le numérateur (a, en haut) indique combien de parts on prend.
Le dénominateur (b, en bas) indique en combien de parts égales on a partagé l’unité.

Dans $\dfrac{3}{4}$ , l’unité est partagée en 4 parts égales et on en prend 3. On peut le représenter en coloriant 3 quarts d’un carré ou d’un disque, comme dans le cours sur les figures géométriques. Une fraction est aussi un quotient : $\dfrac{3}{4}$ est le nombre qui, multiplié par 4, donne 3, c’est-à-dire 0,75. Deux fractions égales, comme $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{6}{8}$ , traduisent une situation de proportionnalité.

Un nombre entier peut s’écrire comme une fraction de dénominateur 1 : $5=\dfrac{5}{1}$ . Cette écriture est utile pour multiplier ou diviser une fraction par un entier.

Comment additionner ou soustraire des fractions ?

Si les dénominateurs sont égaux, on garde le dénominateur et on additionne ou on soustrait les numérateurs :

$\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}$
$\dfrac{5}{9}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$

Si les dénominateurs sont différents, on met d’abord les fractions au même dénominateur. On choisit en général le plus petit multiple commun aux dénominateurs, ce qui donne des nombres plus petits. La méthode pour le trouver est expliquée dans le cours d’arithmétique.

Exemple 1 : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$

12 est le plus petit multiple commun à 3 et 4.
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$ (on multiplie en haut et en bas par 4) et $\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}$ (on multiplie par 3).
$\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}$

Exemple 2 : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}$

Le plus petit multiple commun à 2, 6 et 9 est 18.
$\dfrac{9}{18}+\dfrac{3}{18}+\dfrac{2}{18}=\dfrac{14}{18}=\dfrac{7}{9}$

Exemple 3 (soustraction) : $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{10}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}$

💡 Astuce : si vous ne trouvez pas tout de suite le plus petit dénominateur commun, multipliez les deux dénominateurs entre eux (3 × 4 = 12). Le calcul reste juste : il faudra seulement simplifier à la fin.

L’addition de fractions sert aussi pour calculer une moyenne pondérée, quand les coefficients sont exprimés en fractions du total.

Comment multiplier des fractions ?

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Contrairement à l’addition, il n’est pas nécessaire de mettre au même dénominateur.

$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$

Exemple : $\dfrac{15}{12}\times\dfrac{8}{15}$

Sans simplifier : $\dfrac{15\times 8}{12\times 15}=\dfrac{120}{180}=\dfrac{2}{3}$
En simplifiant avant de calculer : le 15 se trouve en haut et en bas, on l’élimine. Il reste $\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ .

💡 Astuce : simplifiez avant de multiplier. Décomposez numérateurs et dénominateurs en facteurs et barrez ceux qui apparaissent en haut et en bas : les nombres restent petits et le résultat est souvent déjà irréductible.

Multiplier une fraction par un nombre entier

On multiplie seulement le numérateur par l’entier, car l’entier s’écrit avec un dénominateur 1.

$\dfrac{7}{9}\times 20=\dfrac{7}{9}\times\dfrac{20}{1}=\dfrac{140}{9}$
$3\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{5}$

Multiplier une fraction par elle-même plusieurs fois revient à l’élever à une puissance : $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$ .

Calculer la fraction d’une quantité

Dans un énoncé, « les $\dfrac{3}{4}$ de » se traduit par une multiplication.

Les $\dfrac{3}{4}$ de 60 € : $\dfrac{3}{4}\times 60=\dfrac{180}{4}=45$ €
Les $\dfrac{2}{3}$ de $\dfrac{3}{5}$ : $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$
Un trajet de 20 minutes dure $\dfrac{1}{3}$ d’heure. À 90 km/h, on parcourt $\dfrac{1}{3}\times 90=30$ km (voir le cours sur la vitesse).

La même logique sert pour les pourcentages : prendre 25 %, c’est multiplier par $\dfrac{25}{100}$ . Vous pouvez vous entraîner avec nos exercices corrigés sur les pourcentages. En probabilités, on multiplie aussi des fractions pour obtenir la probabilité de deux événements successifs : $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$ . Le dénombrement aide à trouver ces fractions.

Comment diviser des fractions ?

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L’inverse de $\dfrac{c}{d}$ est $\dfrac{d}{c}$ : on échange le numérateur et le dénominateur.

$\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$

Exemple : $\dfrac{2}{7}\div\dfrac{9}{11}=\dfrac{2}{7}\times\dfrac{11}{9}=\dfrac{22}{63}$

Seule la fraction par laquelle on divise (la seconde) est inversée. La première reste telle quelle.

Diviser par un nombre entier

L’inverse de 3 est $\dfrac{1}{3}$ .

$\dfrac{2}{5}\div 3=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{15}$
$4\div\dfrac{2}{3}=4\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{12}{2}=6$

Fraction de fraction : a sur b sur c

Selon l’emplacement de la grande barre de fraction, le résultat change :

Écriture	Règle	Exemple
$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}$	$\dfrac{a}{b\times c}$	$\dfrac{\dfrac{3}{4}}{2}=\dfrac{3}{8}$
$\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}$	$\dfrac{a\times c}{b}$	$\dfrac{3}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{15}{4}$

Comment rendre une fraction irréductible ?

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand le seul diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1. Pour y arriver, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD), ou par étapes successives. Le calcul du PGCD et les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 sont détaillés dans le cours d’arithmétique.

Exemple 1 : $\dfrac{225}{320}$

$225=3^2\times 5^2$ et $320=2^6\times 5$ . Le seul facteur commun est 5.
$\dfrac{225}{320}=\dfrac{45\times 5}{64\times 5}=\dfrac{45}{64}$ , qui est irréductible.

Exemple 2 : $\dfrac{1002}{98}$

Les deux nombres sont pairs : $\dfrac{1002}{98}=\dfrac{501\times 2}{49\times 2}=\dfrac{501}{49}$
$501=3\times 167$ et $49=7^2$ . Il n’y a plus de facteur commun : $\dfrac{501}{49}$ est irréductible.

On simplifie de la même façon les fractions qui contiennent des racines carrées, par exemple quand on calcule une longueur avec le théorème de Pythagore.

Dans quel ordre calculer avec des fractions ?

On applique les mêmes priorités qu’avec les nombres entiers : d’abord les parenthèses, puis les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions.

Exemple : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}$

On commence par la multiplication : $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
Puis l’addition : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$

Si l’on additionne d’abord ( $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ , puis $1\times\dfrac{2}{3}$ ), on obtient $\dfrac{2}{3}$ , ce qui est faux. Ces priorités s’appliquent aussi quand on résout une équation avec des fractions en algèbre.

Quelles erreurs éviter avec les fractions ?

Erreur fréquente	Calcul correct
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}$ (numérateurs et dénominateurs additionnés)	$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$
Mettre au même dénominateur pour multiplier	Inutile : $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{15}$ directement
$3\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{15}$ (entier multiplié en haut et en bas)	$3\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{5}$
Inverser la première fraction dans une division	On inverse le diviseur : $\dfrac{2}{7}\div\dfrac{9}{11}=\dfrac{2}{7}\times\dfrac{11}{9}$
Simplifier dans une somme : $\dfrac{2+3}{2+5}=\dfrac{3}{5}$	On simplifie seulement des facteurs : $\dfrac{2+3}{2+5}=\dfrac{5}{7}$

En quelle classe apprend-on les fractions ?

Classe	Ce que l’élève apprend
CM1, CM2, 6e (cycle 3)	Fractions simples pour partager une grandeur, puis $\dfrac{a}{b}$ comme « le nombre qui, multiplié par b, donne a »
5e	Comparer des fractions, additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques
4e	Simplifier, multiplier, calculer la fraction d’une quantité, déterminer l’inverse, diviser des fractions
3e	Mettre une fraction sous forme irréductible, résoudre des problèmes avec des fractions

Cette répartition suit le programme de cycle 4 publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026. Il s’applique en 5e depuis la rentrée 2026, en 4e à la rentrée 2027 et en 3e à la rentrée 2028. Au collège, les fractions servent aussi pour le théorème de Thalès, qui repose sur l’égalité de rapports. Au Tage Mage, elles reviennent dans le calcul et dans les séries de lettres et de nombres.

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FAQ : questions fréquentes sur les fractions

Comment multiplier une fraction par un nombre entier ?

On multiplie le numérateur par l'entier et on garde le dénominateur, car un entier s'écrit avec un dénominateur 1. Exemple : 3 × 2/5 = 6/5.

Faut-il le même dénominateur pour multiplier des fractions ?

Non. Le même dénominateur est nécessaire seulement pour additionner ou soustraire. Pour multiplier, on multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 2/3 × 4/5 = 8/15.

Comment diviser une fraction par une fraction ?

On multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde. Exemple : 5/6 ÷ 10/9 = 5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4.

Comment comparer deux fractions ?

Si les dénominateurs sont égaux, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur. Sinon, on les met au même dénominateur. Exemple : 3/4 = 21/28 et 5/7 = 20/28, donc 3/4 est plus grand que 5/7.

Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?

C'est une fraction qu'on ne peut plus simplifier : son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. Exemple : 2/3 est irréductible, 4/6 ne l'est pas.

Une fraction est-elle toujours un nombre décimal ?

Non. 3/4 = 0,75 est un nombre décimal, mais 1/3 = 0,333… ne l'est pas, car son écriture décimale ne s'arrête jamais. Une fraction irréductible donne un nombre décimal seulement si son dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2, BO du 5 mars 2026
Ministère de l’Éducation nationale, Éduscol, Repères annuels de progression, mathématiques cycle 3
Académie de Bordeaux, Publication du nouveau programme de cycle 4 (calendrier d’application)