Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Cours en ligne puissances : calcul puissances & puissances de 10

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Connaitre les règles de calcul sur les puissances est nécessaire pour tout élève qui souhaite préparer le brevet ou préparer le Tage Mage. Ce cours sur les puissances aborde tout ce qu’il faut savoir pour vous permettre de réussir les calculs sur les puissances. Pour un apprentissage approfondi, nous vous recommandons de prendre des cours particuliers de maths à domicile avec l’un de nos profs de maths agrégés. Vous pouvez également faire appel au stage de maths pendant vos vacances pour une remise à niveau intensive.

1. Les règles des puissances : calculer des puissances

$a^{0}$ = 1

$a^{1}$ = a

$a^{n}$ $\times$ $a^{m}$ = $a^{n+m}$

$({a^{n})^{m}$ = $a^{n\times m}$

$\dfrac {1}{a^{n}}$ = $a^{-n}$

$\dfrac {a^{n}}{a^{m}}$ = $a^{n-m}$

$(a\times b)^{n}$ = $a^{n}$ $\times$ $b^{n}$

$(\dfrac{a}{b})^{n}$ = $\dfrac {a^{n}}{b^{n}}$

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2. Utilisation des règles des puissances

Exemple 1 : avec $({a^{n})^{m}$ = $a^{n\times m}$

Simplifier l’écriture de 27⁵.

Réponse : On sait que 27 = 3³. On utilise la formule sur les puissances : 27⁵ = (3³)⁵ = 3^3×5 = 3¹⁵

Exemple 2 : avec $(a\times b)^{n}$ = $a^{n}$ $\times$ $b^{n}$

Décomposer un nombre avec des facteurs premiers, c’est à dire avec uniquement du 2 ; 3 ; 5 ; 7 etc. comme 35⁴.

Réponse : 35⁴ = (5×7)⁴ = 5⁴ × 7⁴

Exemple 3 : avec $a^{n}$ $\times$ $a^{m}$ = $a^{n+m}$

Calculer le double de 2¹¹

Réponse : Le double de … revient à multiplier par 2, donc on calcule : 2×2¹¹ = 2¹×2¹¹ = 2¹²

Exemple 4 : avec $a^{n}$ $\times$ $a^{m}$ = $a^{n+m}$

Calculer 3¹² + 3¹² + 3¹²

Réponse : On additionne 3 fois la même quantité. On sait que X+X+X = 3X. Sans se laisser perturber par les 3, on fait de même : 3¹² + 3¹² + 3¹² = 3 × 3¹² = 3¹³

Exemple 5 avec $\dfrac {a^{n}}{a^{m}}$ = $a^{n-m}$

Calculer le tiers de 3¹²

Réponse : Le tiers de … revient à diviser par 3, le calcul devient : $\dfrac {3^{12}}{3}$ = $\dfrac {3^{12}}{3^{1}}$ = $3^{12-1}$ = $3^{11}$

3. Puissances : les conversions de distance et conversions de poids

1 km = $10^{3}$ m
1 $km^{2}$ = $10^{6}$ $m^{2}$
1 $km^{3}$ = $10^{9}$ $m^{3}$
1 $km^{2}$ = 100 hectares
1 m = $10^{3}$ mm
1 $m^{2}$ = $10^{6}$ $mm^{2}$
1 $m^{3}$ = $10^{9}$ $mm^{3}$
1 hectare = $10^{4}$ $m^{2}$
1 tonne = $10^{3}$ km = $10^{6}$ g
1 kg = $10^{3}$ g
1 g = $10^{3}$ mg
1 litre = 1 $dm^{3}$

Attention : dans les énoncés, les racines carrées sont fréquemment écrites à l’aide d’une puissance : $\sqrt{3}$ = $3^{\dfrac{1}{2}}$ et donc par exemple : $25^{\dfrac{1}{2}}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

4. Les conversions en puissance de 10

A. Définition des puissances de 10

10 x 10 = 100

10 x 10 x 10 = 1000

10 x 10 x 10 x 10 = 10 000

10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000

10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1 000 000

10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 000

Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Pour plus de facilités dans la notation des puissances de 10, nous notons :

$10^{n}$ = 10 x 10 x … x 10 où n est le nombre de facteurs

Cas particuliers :

$10^{1}$ = 10
$10^{0}$ = 1
$10^{-4}$ = 0,0001 = $\dfrac {1}{10000}$ = $\dfrac {1}{10^{4}}$
$10^{-4}$ x $10^{4}$ = 1

B. L’écriture scientifique d’un nombre

Définition : Un nombre positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme suivant : a x $10^{m}$ . Avec :

a est un nombre décimal compris entre 1 et 10
m est un nombre entier relatif

Dans la pratique : Si nous utilisons la calculatrice pour effectuer : 259 325 x 159 485, nous remarquons que le résultat dépasse la capacité d’affichage de la calculatrice et celle-ci affiche une valeur approchée du résultat en notation scientifique : 4.1358447625 x $10^{10}$

Cela peut nous permettre de donner un ordre de grandeur en écrivant un encadrement du résultat :

$10^{10}$ < 259 325 x 159 485 < $10^{11}$

Les règles de calcul sur les puissances de dix sont les mêmes que celles vues sur les puissances ci-dessus.

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