Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage
Le théorème de Thalès : formule, réciproque et exemples
Par Seda Biber, le 20/10/2026
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes. Les longueurs des deux triangles ainsi formés sont alors proportionnelles. Prenons un triangle ABC, avec M sur la droite (AB) et N sur la droite (AC). Si (MN) est parallèle à (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Sa réciproque fait le chemin inverse : elle sert à prouver que deux droites sont parallèles. On parle aussi de « propriété de Thalès ». En France, on l’étudie en 4e dans la configuration des triangles emboîtés, puis en 3e dans la configuration papillon. Avec le théorème de Pythagore, c’est l’un des deux théorèmes de base pour calculer des longueurs dans les figures géométriques, au brevet comme au lycée. On le retrouve aussi au Tage Mage et au Score IAE, où il faut repérer vite les conditions minimales pour conclure. Si les rapports vous posent problème, un professeur en cours particuliers de maths peut reprendre la méthode avec vous.
Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé : l’essentiel sur le théorème de Thalès
| Énoncé | Ce que l’on sait | Ce que l’on obtient | À quoi il sert |
| Théorème de Thalès | Les points sont alignés et deux droites sont parallèles | AM/AB = AN/AC = MN/BC | Calculer une longueur |
| Réciproque | Les points sont alignés dans le même ordre et AM/AB = AN/AC | (MN) // (BC) | Prouver que deux droites sont parallèles |
| Contraposée | Les points sont alignés et AM/AB ≠ AN/AC | (MN) et (BC) ne sont pas parallèles | Prouver que deux droites ne sont pas parallèles |
Que dit le théorème de Thalès ?
Voici l’énoncé complet. Soient deux droites (d) et (d’) sécantes en un point A. Les points B et M sont sur (d), les points C et N sont sur (d’), et tous sont distincts de A.
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Pour l’appliquer, vérifiez trois conditions :
- les points A, M, B sont alignés ;
- les points A, N, C sont alignés ;
- les droites (MN) et (BC) sont parallèles. C’est en général une donnée de l’énoncé.
Le théorème fonctionne dans n’importe quel triangle, qu’il soit rectangle ou non. Seul le parallélisme compte. Il existe deux configurations possibles.
La configuration triangle (4e)
M est sur le segment [AB] et N sur le segment [AC]. Le petit triangle AMN est alors « emboîté » dans le grand triangle ABC. Le point commun A est un sommet des deux triangles.
La configuration papillon (3e)
Le point A est entre M et B, et entre N et C. Les deux triangles AMN et ABC sont opposés par le sommet A et forment un papillon. L’égalité des rapports est exactement la même.
Quelle est la formule du théorème de Thalès ?
La formule est AM/AB = AN/AC = MN/BC. Chaque fraction compare un côté du petit triangle AMN au côté correspondant du grand triangle ABC. Pour calculer une longueur, on garde deux des trois rapports : celui qui contient l’inconnue, et celui dont on connaît les deux longueurs. On termine par un produit en croix.
Par exemple, si AM = 3, AB = 5 et AC = 10, l’égalité AM/AB = AN/AC donne 3/5 = AN/10. On en déduit AN = 3 × 10 / 5 = 6.
Comment rédiger le théorème de Thalès au brevet ?
Une copie doit citer les hypothèses avant d’écrire la formule. Voici une phrase type que vous pouvez reprendre :
Les points A, M, B sont alignés, ainsi que les points A, N, C, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, on a : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Remplacez ensuite les longueurs connues par leurs valeurs, puis faites le calcul. N’oubliez pas l’unité dans la réponse finale.
Exemples : calculer une longueur avec Thalès
Exemple 1 : configuration triangle
Dans le triangle LMK, R est sur [ML] et S est sur [MK], avec (RS) // (LK). On donne ML = 6 cm, MK = 8 cm, LK = 5 cm et MS = 6 cm. Calculez MR et RS.
Les points M, R, L sont alignés, ainsi que M, S, K, et (RS) // (LK). D’après le théorème de Thalès : MR/ML = MS/MK = RS/LK.
- MR/6 = 6/8, donc MR = 6 × 6 / 8 = 36/8 = 4,5 cm.
- RS/5 = 6/8, donc RS = 5 × 6 / 8 = 30/8 = 3,75 cm.
Si vous avez du mal à simplifier 36/8, revoyez notre fiche sur les fractions.
Exemple 2 : configuration papillon
Les droites (AC) et (BD) se coupent en E, et (AB) // (CD). On donne AB = 3 cm, BD = 9 cm et BE = 5 cm. Calculez CD.
Comme E est sur le segment [BD], ED = BD − BE = 9 − 5 = 4 cm. Les points B, E, D sont alignés, ainsi que A, E, C, et (AB) // (CD). D’après le théorème de Thalès : ED/EB = EC/EA = CD/AB.
Donc 4/5 = CD/3, et CD = 3 × 4 / 5 = 2,4 cm.
Que dit la réciproque du théorème de Thalès ?
La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles. Elle s’énonce ainsi :
Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès : points A, M, B et A, N, C alignés dans le même ordre, configuration triangle et configuration papillon
On compare seulement deux rapports, sans MN/BC. Les deux fractions se calculent séparément. On ne pose jamais l’égalité d’avance, puisque c’est justement ce qu’on cherche à vérifier.
Exemple 3 : prouver que deux droites sont parallèles
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, D, E. On donne AB = 8 cm, BC = 4 cm, AD = 10 cm et DE = 5 cm. Les droites (BD) et (CE) sont-elles parallèles ?
On calcule d’abord AC = AB + BC = 8 + 4 = 12 cm et AE = AD + DE = 10 + 5 = 15 cm.
Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (BD) // (CE).
Exemple 4 : prouver que deux droites ne sont pas parallèles
Les droites (GL) et (FP) se coupent en T. On donne TG = 1,8 cm, TL = 6 cm, TF = 3 cm et TP = 9 cm. Les droites (FG) et (LP) sont-elles parallèles ?
- TG/TL = 1,8/6 = 3/10 = 9/30
- TF/TP = 3/9 = 1/3 = 10/30
Les rapports sont différents. Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait des rapports égaux. Donc (FG) et (LP) ne sont pas parallèles. Ce raisonnement s’appelle la contraposée du théorème de Thalès.
Pour vous entraîner sur d’autres figures, consultez nos exercices corrigés sur le théorème de Thalès et sa réciproque.
Quelles erreurs éviter avec le théorème de Thalès ?
| Erreur fréquente | Ce qu’il faut faire |
| Confondre Thalès et Pythagore | Thalès demande des droites parallèles et utilise des rapports. Pythagore demande un triangle rectangle et utilise des carrés. |
| Mélanger les côtés dans les rapports | Écrire les deux triangles l’un sous l’autre avec les sommets correspondants dans le même ordre. |
| Écrire MN/BC = AM/MB | Toujours partir du point commun A : AM/AB, et jamais AM/MB. |
| Utiliser la réciproque pour calculer une longueur | La réciproque ne sert qu’à prouver un parallélisme. Pour calculer une longueur, on utilise le théorème. |
| Oublier de citer les hypothèses | Nommer les points alignés et les droites parallèles avant d’écrire la formule. |
| Comparer des rapports en écriture décimale arrondie | Simplifier les fractions ou les mettre au même dénominateur, comme dans l’exemple 4. |
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FAQ : questions fréquentes sur le théorème de Thalès
Qu'est-ce que le théorème de Thalès en une phrase ?
Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes en A, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Quelle différence entre la propriété de Thalès et le théorème de Thalès ?
Aucune : les deux expressions désignent le même énoncé. On parle de réciproque de la propriété de Thalès comme de réciproque du théorème.
Quand utiliser Thalès plutôt que Pythagore ?
Utilisez Thalès quand la figure contient deux droites parallèles et deux droites sécantes. Utilisez Pythagore quand vous travaillez dans un triangle rectangle et que vous connaissez deux de ses côtés.
Le théorème de Thalès fonctionne-t-il dans un triangle rectangle ?
Oui. Le théorème s'applique dans tout triangle, rectangle ou non. La seule condition est le parallélisme des droites (MN) et (BC).
En quelle classe étudie-t-on le théorème de Thalès ?
Dans le programme de cycle 4 actuellement en vigueur en France, le théorème et sa réciproque sont vus en 4e dans la configuration des triangles emboîtés, puis en 3e dans la configuration papillon. Un nouveau programme de cycle 4 entrera en vigueur en 4e à la rentrée 2027 et en 3e à la rentrée 2028.
Le Thales's theorem anglais est-il le même théorème ?
Pas toujours. En anglais, Thales's theorem désigne souvent un autre résultat : un triangle inscrit dans un cercle, dont un côté est un diamètre, est rectangle. Le théorème de Thalès français correspond plutôt à l'intercept theorem.
Sources
- Éduscol, Attendus de fin d’année, mathématiques, 3e : « le théorème de Thalès et sa réciproque dans la configuration papillon ».
- Académie de Bordeaux, Espace et géométrie en quatrième : « le théorème de Thalès et sa réciproque (configurations des triangles emboîtés) ».
- Académie de Bordeaux, Publication du nouveau programme cycle 4 (BO du 5 mars 2026) : calendrier d’entrée en vigueur par niveau.
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