Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Exercice théorème de Thalès : 12 exercices corrigés sur Thalès et sa réciproque

Par Seda Biber, mis à jour le 26/10/2026

Le théorème de Thalès sert à calculer une longueur quand deux droites sont parallèles : si M est sur (AB), N sur (AC) et (MN) parallèle à (BC), alors $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ . Sa réciproque prouve que deux droites sont parallèles, et sa contraposée prouve qu’elles ne le sont pas. Voici 12 exercices corrigés pas à pas, classés en trois niveaux de difficulté, avec la rédaction attendue. Ils couvrent les deux configurations au programme de 3e, les triangles emboîtés et le « papillon », et préparent aussi bien au brevet qu’aux questions de géométrie du Tage Mage. Si la propriété elle-même vous pose encore problème, commencez par le cours sur le théorème de Thalès.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

💡 Astuce : avant chaque exercice, lisez la question. « Calculer » appelle le théorème de Thalès. « Les droites sont-elles parallèles ? » appelle la réciproque si les rapports sont égaux, la contraposée s’ils sont différents.

Exercices de niveau 1 : calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Ces trois exercices d’application directe s’appuient sur la même méthode : repérer les points alignés et les droites parallèles, écrire l’égalité des trois rapports, puis garder les deux rapports utiles pour faire un produit en croix.

Exercice 1 : calcul de longueurs dans des triangles emboîtés

Dans le triangle ADE, on a AD = 7 cm, AE = 4,2 cm et DE = 5,6 cm. F est le point de [AD] tel que AF = 2,5 cm. La parallèle à (DE) passant par F coupe [AE] en G.

Calculer les longueurs FG et AG.

Corrigé de l’exercice 1

Les points A, F, D sont alignés, les points A, G, E sont alignés et les droites (FG) et (DE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AG}{AE}=\dfrac{FG}{DE}$ , soit $\dfrac{2{,}5}{7}=\dfrac{AG}{4{,}2}=\dfrac{FG}{5{,}6}$

Calcul de FG : $FG=\dfrac{2{,}5\times 5{,}6}{7}=\dfrac{14}{7}=2$ cm.

Calcul de AG : $AG=\dfrac{2{,}5\times 4{,}2}{7}=\dfrac{10{,}5}{7}=1{,}5$ cm.

Exercice 2 : quand la longueur cherchée est au dénominateur

Dans le triangle RST, M est un point de [RS] et N un point de [RT] tels que les droites (MN) et (ST) sont parallèles. On donne RM = 3 cm, MS = 4,5 cm, MN = 2,4 cm et RN = 2,8 cm.

Calculer ST, puis RT.

Corrigé de l’exercice 2

Attention au piège : l’énoncé donne MS, pas RS. Comme M appartient à [RS], on a RS = RM + MS = 3 + 4,5 = 7,5 cm.

Les points R, M, S sont alignés, les points R, N, T sont alignés et (MN) est parallèle à (ST). D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{RM}{RS}=\dfrac{RN}{RT}=\dfrac{MN}{ST}$ , soit $\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{2{,}8}{RT}=\dfrac{2{,}4}{ST}$

Par produit en croix : $ST=\dfrac{2{,}4\times 7{,}5}{3}=\dfrac{18}{3}=6$ cm et $RT=\dfrac{2{,}8\times 7{,}5}{3}=\dfrac{21}{3}=7$ cm.

Exercice 3 : calcul de longueurs dans la configuration papillon

Les droites (AC) et (BD) se coupent en O, et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On donne OA = 4 cm, OC = 6 cm, OB = 5 cm et AB = 3,2 cm.

Calculer OD et CD.

Corrigé de l’exercice 3

Les points A, O, C sont alignés, les points B, O, D sont alignés et (AB) est parallèle à (CD). Le théorème de Thalès s’applique aussi dans cette configuration, appelée « papillon » parce que les deux triangles OAB et OCD sont opposés par le sommet O :

$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}$ , soit $\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{OD}=\dfrac{3{,}2}{CD}$

On obtient $OD=\dfrac{5\times 6}{4}=\dfrac{30}{4}=7{,}5$ cm et $CD=\dfrac{3{,}2\times 6}{4}=\dfrac{19{,}2}{4}=4{,}8$ cm.

Pour ne pas inverser les rapports, placez au numérateur les trois côtés du même triangle (ici OAB) et au dénominateur les côtés correspondants de l’autre triangle (OCD).

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Exercices de niveau 2 : la réciproque et la contraposée du théorème de Thalès

Ici, la question n’est plus de calculer mais de savoir si deux droites sont parallèles. On calcule séparément deux rapports, puis on les compare. S’ils sont égaux et que les points sont alignés dans le même ordre, on conclut avec la réciproque. S’ils sont différents, on conclut avec la contraposée.

Exercice 4 : réciproque de Thalès dans des triangles emboîtés

Les points S, M, A sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points S, N, B. On donne SM = 4, SA = 12, SN = 6 et SB = 18 (en centimètres).

Les droites (MN) et (AB) sont-elles parallèles ?

Corrigé de l’exercice 4

D’une part, $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ . D’autre part, $\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}$ .

Donc $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}$ . De plus, les points S, M, A et S, N, B sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles.

Exercice 5 : réciproque de Thalès en configuration papillon

Les droites (MB) et (NC) se coupent en A. Les points M, A, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points N, A, C. On donne AM = 3 cm, AB = 9 cm, AN = 2 cm et AC = 6 cm.

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Corrigé de l’exercice 5

D’une part, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ . D’autre part, $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ .

Les deux rapports sont égaux et les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Exercice 6 : contraposée de Thalès dans des triangles emboîtés

Dans le triangle KLP, R est un point de [KL] et T un point de [KP]. On donne KR = 4 cm, KL = 7 cm, KT = 6 cm et KP = 8 cm.

Les droites (RT) et (LP) sont-elles parallèles ?

Corrigé de l’exercice 6

D’une part, $\dfrac{KR}{KL}=\dfrac{4}{7}$ . D’autre part, $\dfrac{KT}{KP}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ .

Pour comparer $\dfrac{4}{7}$ et $\dfrac{6}{8}$ sans arrondir, on fait les produits en croix : $4\times 8=32$ et $7\times 6=42$ . Comme $32\neq 42$ , les rapports sont différents. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (RT) et (LP) ne sont pas parallèles.

Exercice 7 : contraposée de Thalès en configuration papillon

Les droites (BM) et (PC) se coupent en A. Les points B, A, M sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points C, A, P. On donne AB = 7 cm, AM = 4 cm, AC = 8 cm et AP = 6 cm.

Les droites (BC) et (MP) sont-elles parallèles ?

Corrigé de l’exercice 7

D’une part, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4}{7}=\dfrac{16}{28}$ . D’autre part, $\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{21}{28}$ .

Les deux rapports sont différents. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MP) ne sont pas parallèles.

Exercices de niveau 3 : problèmes complets et question type Tage Mage

Ces problèmes enchaînent plusieurs étapes, comme dans un sujet de brevet : un calcul de longueur, puis une preuve de parallélisme, parfois avec le théorème de Pythagore. Le dernier exercice prend la forme d’une question à choix multiples, comme au Tage Mage.

Exercice 8 : calculs puis réciproque sur une figure complexe

ABC est un triangle. E est un point de [AB] et D un point de [AC] tels que les droites (ED) et (BC) sont parallèles. On donne AE = 3, EB = 2, AD = 2 et BC = 3 (en centimètres).

Calculer AC, DC et ED.
F est le point de la droite (DE), situé de l’autre côté de D par rapport à E, tel que DF = 2,7 cm. Les droites (EC) et (AF) sont-elles parallèles ?

Corrigé de l’exercice 8

1. Comme E appartient à [AB], on a AB = AE + EB = 3 + 2 = 5 cm. Les points A, E, B sont alignés, les points A, D, C sont alignés et (ED) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}$ , soit $\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{AC}=\dfrac{ED}{3}$

On obtient $AC=\dfrac{2\times 5}{3}=\dfrac{10}{3}$ cm, puis $DC=AC-AD=\dfrac{10}{3}-\dfrac{6}{3}=\dfrac{4}{3}$ cm, et $ED=\dfrac{3\times 3}{5}=\dfrac{9}{5}=1{,}8$ cm.

2. Les droites (AC) et (EF) se coupent en D, et les points A, D, C et F, D, E sont alignés dans le même ordre. On compare :

$\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{2}{\frac{4}{3}}=2\times\dfrac{3}{4}=1{,}5$ et $\dfrac{DF}{DE}=\dfrac{2{,}7}{1{,}8}=1{,}5$

Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AF) et (EC) sont parallèles. Si le calcul de $\dfrac{2}{\frac{4}{3}}$ vous bloque, revoyez la division par une fraction dans le cours sur les fractions.

Exercice 9 : Thalès puis contraposée dans la configuration papillon

Les points E, L, R, T sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points C, A, L, B. Les droites (AR) et (CT) sont parallèles. On donne LC = 6, LT = 9, LA = 4,8, LB = 1,5 et LE = 3 (en centimètres).

Calculer LR.
Les droites (EB) et (CT) sont-elles parallèles ?

Corrigé de l’exercice 9

1. Les points L, A, C sont alignés, les points L, R, T sont alignés et (AR) est parallèle à (CT). D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{LA}{LC}=\dfrac{LR}{LT}=\dfrac{AR}{CT}$ , soit $\dfrac{4{,}8}{6}=\dfrac{LR}{9}$ , donc $LR=\dfrac{9\times 4{,}8}{6}=\dfrac{43{,}2}{6}=7{,}2$ cm

2. Les droites (ET) et (BC) se coupent en L, et les points E, L, T et B, L, C sont alignés dans le même ordre. On compare :

$\dfrac{LE}{LT}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{LB}{LC}=\dfrac{1{,}5}{6}=\dfrac{1}{4}$

Les rapports sont différents. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (EB) et (CT) ne sont pas parallèles.

💡 Astuce : quand les rapports sont différents, citez la contraposée. La réciproque ne permet de conclure que lorsque les rapports sont égaux, elle ne sert jamais à prouver que des droites ne sont pas parallèles.

Exercice 10 : Thalès et Pythagore dans le même problème

Le triangle JAB est rectangle en A. M est un point de [JA], C un point de [AB] et U un point de [JC] tels que les droites (MU) et (AB) sont parallèles. On donne AB = 7,5 m, JB = 19,5 m, JM = 10 m et MU = 3 m.

Montrer que JA = 18 m.
Montrer que AC = 5,4 m.
En déduire la longueur CB.

Corrigé de l’exercice 10

1. Le triangle JAB est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore, $JB^2=JA^2+AB^2$ . On en déduit $JA^2=19{,}5^2-7{,}5^2=380{,}25-56{,}25=324$ , donc $JA=\sqrt{324}=18$ m. Pour l’extraction de la racine, vous pouvez vous entraîner avec les exercices sur les racines carrées.

2. Les points J, M, A sont alignés, les points J, U, C sont alignés et (MU) est parallèle à (AC), puisque C appartient à (AB). D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{JM}{JA}=\dfrac{JU}{JC}=\dfrac{MU}{AC}$ , soit $\dfrac{10}{18}=\dfrac{3}{AC}$ , donc $AC=\dfrac{3\times 18}{10}=5{,}4$ m

3. C appartient à [AB], donc $CB=AB-AC=7{,}5-5{,}4=2{,}1$ m.

Exercice 11 : le théorème de Thalès dans une voile

Un centre nautique répare une voile en forme de triangle PMW. C est un point de [PM] et T un point de [PW]. On donne PC = 3,78 m, PM = 4,2 m et MW = 3,4 m. On veut faire une couture le long du segment [CT].

a. Si (CT) est parallèle à (MW), quelle sera la longueur de la couture ?
b. Il faut une longueur de fil égale au double de la couture. 7 m de fil suffiront-ils ?
Une fois la couture terminée, on mesure PT = 1,88 m et PW = 2,30 m. La couture est-elle parallèle à (MW) ?

Corrigé de l’exercice 11

1. a. Les points P, C, M sont alignés, les points P, T, W sont alignés et (CT) est parallèle à (MW). D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{PC}{PM}=\dfrac{CT}{MW}$ , soit $\dfrac{3{,}78}{4{,}2}=\dfrac{CT}{3{,}4}$ , donc $CT=\dfrac{3{,}78\times 3{,}4}{4{,}2}=\dfrac{12{,}852}{4{,}2}=3{,}06$ m

b. Il faut $2\times 3{,}06=6{,}12$ m de fil. Comme 6,12 m est inférieur à 7 m, la bobine suffit.

2. D’une part, $\dfrac{PC}{PM}=\dfrac{3{,}78}{4{,}2}=0{,}9$ . Si la couture était parallèle à (MW), on aurait aussi $\dfrac{PT}{PW}=0{,}9$ , c’est-à-dire $PT=0{,}9\times 2{,}30=2{,}07$ m. Or PT = 1,88 m, donc $\dfrac{PT}{PW}\neq\dfrac{PC}{PM}$ . D’après la contraposée du théorème de Thalès, la couture n’est pas parallèle au bord [MW].

Exercice 12 : question type Tage Mage sur les aires

Le triangle ABC a une aire de 45 cm². M est le point de [AB] tel que $AM=\dfrac{1}{3}AB$ . La parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N. Quelle est l’aire du triangle AMN ?

(A) 5 cm² ; (B) 10 cm² ; (C) 15 cm² ; (D) 22,5 cm² ; (E) 30 cm²

Corrigé de l’exercice 12

D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{1}{3}$ : le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de rapport $\dfrac{1}{3}$ . Sa base MN et sa hauteur issue de A sont toutes les deux divisées par 3, donc son aire est multipliée par $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$ .

L’aire de AMN vaut $\dfrac{45}{9}=5$ cm². La bonne réponse est (A). La réponse (C), 15 cm², est le piège classique : elle correspond à une aire divisée par 3, en oubliant d’élever le rapport au carré.

Comment rédiger un exercice sur le théorème de Thalès ?

Une bonne rédaction tient en trois temps : citer les hypothèses (points alignés, droites parallèles ou rapports comparés), nommer la propriété utilisée, puis conclure. Le programme de mathématiques du cycle 4 publié au BO du 5 mars 2026 demande en 3e de connaître et d’appliquer le théorème de Thalès, sa réciproque et sa contraposée, dans les deux configurations. Il précise que la mise en forme de la preuve se fait « sans formalisme excessif ni rédactions stéréotypées » : ce qui compte, c’est que chaque étape soit justifiée.

Ce que demande l’énoncé	Propriété à utiliser	Ce qu’il faut vérifier	Phrase de conclusion
Calculer une longueur	Théorème de Thalès	Points alignés et droites parallèles	D’après le théorème de Thalès, …
Prouver que deux droites sont parallèles	Réciproque	Deux rapports égaux et points alignés dans le même ordre	D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles.
Prouver que deux droites ne sont pas parallèles	Contraposée	Deux rapports différents	D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.

Les erreurs qui reviennent le plus souvent dans les copies sont les suivantes :

utiliser une longueur partielle (MS) à la place de la longueur totale (RS), comme dans l’exercice 2 ;
mélanger les triangles dans les rapports au lieu de mettre les côtés du petit triangle au numérateur et ceux du grand au dénominateur ;
oublier de vérifier l’ordre des points avant d’appliquer la réciproque ;
conclure « d’après la réciproque » que des droites ne sont pas parallèles ;
comparer des valeurs arrondies : deux rapports différents peuvent avoir le même arrondi, alors que le produit en croix tranche sans erreur.

Le théorème de Thalès repose sur l’égalité de rapports, c’est-à-dire sur la proportionnalité. Les exercices sur la règle de trois et la proportionnalité entraînent le même réflexe du produit en croix. Si vous avez besoin d’un accompagnement pour reprendre la méthode, des cours particuliers de maths ou un stage de préparation au brevet permettent de travailler ces exercices avec un professeur.

Le théorème de Thalès au Tage Mage : à quoi faut-il s’attendre ?

Selon la FNEGE, qui organise le test, le sous-test 2 (Calcul) évalue des connaissances simples en arithmétique, en géométrie et en algèbre, avec des notions qui relèvent du niveau de la classe de troisième. La plupart des questions sont rédigées en langage courant, et la difficulté principale consiste à traduire l’énoncé en calcul. Le sous-test 4 (Conditions minimales) mobilise les mêmes champs de compétence, avec des énoncés construits autrement. Le théorème de Thalès étant au programme de 3e, il entre dans ce périmètre, souvent en lien avec les aires ou les échelles, comme dans l’exercice 12.

Au Tage Mage, la rédaction ne compte pas : seule la réponse est évaluée. L’enjeu est de reconnaître vite la configuration et de poser le bon rapport. Pour compléter la préparation en géométrie, travaillez aussi les figures géométriques et le théorème de Pythagore, puis retrouvez tous les chapitres du sous-test Calcul dans les cours en ligne du Tage Mage.

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FAQ sur les exercices du théorème de Thalès

En quelle classe étudie-t-on le théorème de Thalès ?

Dans le programme actuel, le théorème est souvent introduit en 4e avec les triangles emboîtés, puis étendu en 3e à la configuration papillon. Le nouveau programme de mathématiques du cycle 4, paru au BO du 5 mars 2026, le place entièrement en 3e, avec sa réciproque et sa contraposée. Il s'applique en 4e à la rentrée scolaire 2027-2028 et en 3e à la rentrée scolaire 2028-2029.

Quelle est la différence entre la réciproque et la contraposée du théorème de Thalès ?

La réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles quand les rapports sont égaux et que les points sont alignés dans le même ordre. La contraposée permet de prouver que deux droites ne sont pas parallèles quand les rapports sont différents. Le programme du cycle 4 rappelle que si une propriété est vraie, sa contraposée l'est aussi, sans que sa réciproque le soit forcément.

Thalès ou Pythagore : comment savoir lequel utiliser ?

Le théorème de Pythagore s'utilise dans un triangle rectangle, pour relier les longueurs de ses trois côtés. Le théorème de Thalès s'utilise quand la figure contient deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes. Un angle droit codé oriente vers Pythagore, des droites parallèles vers Thalès. Certains problèmes, comme l'exercice 10, utilisent les deux.

Comment comparer deux rapports sans calculatrice ?

Utilisez le produit en croix : les fractions a/b et c/d sont égales si et seulement si a × d = b × c. Par exemple, 4/7 et 6/8 sont différentes car 4 × 8 = 32 et 7 × 6 = 42. Cette méthode évite les erreurs dues aux arrondis.

Pourquoi parle-t-on de théorème de Thalès ?

Le nom fait référence au mathématicien grec Thalès de Milet. Le programme de mathématiques du cycle 4 signale d'ailleurs que ce théorème n'est pas appelé ainsi dans les autres pays : en anglais, par exemple, on parle d'intercept theorem.

Sources

Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2), ministère de l’Éducation nationale, BO n° 10 du 5 mars 2026.
Lettre d’actualités n° 1 de mathématiques, académie de Bordeaux, mars 2026, pour le calendrier d’application du programme.
Sous-tests du TAGE MAGE, FNEGE.
Focus n° 3 pour le collège : l’introduction du théorème de Thalès en 4ème, en 3ème, académie de Toulouse.