Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage
Théorème de Pythagore : cours, formule, exemples et réciproque
Par Seda Biber, mis à jour le 17/10/2026
Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Il sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle. Sa réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle. Exemple : un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm a une hypoténuse de 5 cm, car 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé : l’essentiel sur le théorème de Pythagore
| Je veux… | J’utilise… | Calcul (triangle ABC, hypoténuse BC) |
| Calculer l’hypoténuse | le théorème de Pythagore | BC² = AB² + AC², puis BC = √(AB² + AC²) |
| Calculer un côté de l’angle droit | le théorème de Pythagore | AB² = BC² − AC², puis AB = √(BC² − AC²) |
| Prouver qu’un triangle est rectangle | la réciproque | BC² = AB² + AC², donc le triangle est rectangle en A |
| Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle | la contraposée | BC² ≠ AB² + AC², donc le triangle n’est pas rectangle |
Que dit le théorème de Pythagore ?
Un triangle rectangle a un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est toujours le plus long côté du triangle.
[Schéma : triangle ABC rectangle en A, hypoténuse BC]
L’énoncé (on parle aussi de propriété de Pythagore) est le suivant :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans une copie, on rédige ainsi : « Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². »
Le théorème, sa réciproque et sa contraposée sont au programme de 4e. En 3e, on réutilise l’égalité de Pythagore dans les automatismes et dans des problèmes de géométrie. Comme Thalès, c’est un outil pour calculer des longueurs : retrouvez le théorème de Thalès et les autres figures géométriques du collège. Ces calculs servent aussi au sous-test 2 de notre cours en ligne du Tage Mage.
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Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?
Si l’on note c l’hypoténuse et a et b les deux côtés de l’angle droit, la formule s’écrit :
c² = a² + b²
On en déduit deux formules selon la longueur cherchée :
| Longueur cherchée | Formule | Exemple |
| L’hypoténuse c | c = √(a² + b²) | a = 6 et b = 8 : c = √(36 + 64) = √100 = 10 |
| Un côté de l’angle droit a | a = √(c² − b²) | c = 10 et b = 8 : a = √(100 − 64) = √36 = 6 |
Le dernier calcul passe par une racine carrée. Si vous hésitez, revoyez la fiche de révision sur les racines carrées.
Comment calculer l’hypoténuse ?
Énoncé : le triangle ENT est rectangle en N, avec NT = 9 cm et NE = 7 cm. Calculez ET.
[Schéma : triangle ENT rectangle en N]
Solution rédigée :
- Le triangle ENT est rectangle en N, donc son hypoténuse est [ET].
- D’après le théorème de Pythagore : ET² = NE² + NT².
- ET² = 7² + 9² = 49 + 81 = 130.
- ET = √130 ≈ 11,4 cm.
Comment calculer un côté de l’angle droit ?
Énoncé : le triangle ABC est rectangle en C, avec AB = 13 cm et BC = 5 cm. Calculez AC.
[Schéma : triangle ABC rectangle en C]
Solution rédigée :
- Le triangle ABC est rectangle en C, donc son hypoténuse est [AB].
- D’après le théorème de Pythagore : AB² = AC² + BC².
- Donc AC² = AB² − BC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
- AC = √144 = 12 cm.
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ? (réciproque de Pythagore)
La réciproque du théorème de Pythagore dit : si, dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. L’angle droit est au sommet opposé au plus long côté.
Énoncé : le triangle ABC a pour côtés AB = 12 cm, AC = 16 cm et BC = 20 cm. Est-il rectangle ?
[Schéma : triangle ABC]
Solution rédigée :
- Le plus long côté est [BC].
- D’une part, BC² = 20² = 400.
- D’autre part, AB² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400.
- On constate que BC² = AB² + AC². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Comment démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle ?
On utilise la contraposée du théorème : si le carré du plus long côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle.
Énoncé : le triangle ABC a pour côtés AB = 6 cm, AC = 9 cm et BC = 12 cm. Est-il rectangle ?
[Schéma : triangle ABC]
Solution rédigée :
- Le plus long côté est [BC].
- D’une part, BC² = 12² = 144.
- D’autre part, AB² + AC² = 6² + 9² = 36 + 81 = 117.
- On constate que BC² ≠ AB² + AC². D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
Théorème, réciproque ou contraposée : lequel utiliser ?
| Propriété | Ce que l’on sait | Ce que l’on obtient |
| Théorème de Pythagore | Le triangle est rectangle | Une longueur manquante |
| Réciproque | Les trois longueurs, avec l’égalité vérifiée | Le triangle est rectangle |
| Contraposée | Les trois longueurs, sans égalité | Le triangle n’est pas rectangle |
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Quels sont les triplets de Pythagore ?
Un triplet de Pythagore est un ensemble de trois nombres entiers qui vérifient l’égalité de Pythagore. Un triangle dont les côtés ont ces longueurs est donc rectangle.
| Triplet | Vérification | Multiples |
| (3, 4, 5) | 9 + 16 = 25 | (6, 8, 10), (9, 12, 15)… |
| (5, 12, 13) | 25 + 144 = 169 | (10, 24, 26)… |
| (8, 15, 17) | 64 + 225 = 289 | (16, 30, 34)… |
| (7, 24, 25) | 49 + 576 = 625 | (14, 48, 50)… |
Si vous multipliez les trois nombres d’un triplet par un même entier n, vous obtenez un autre triplet : (3n, 4n, 5n). Reconnaître un triplet fait gagner du temps. Dans un triangle rectangle d’hypoténuse 13 cm dont un côté mesure 5 cm, l’autre côté mesure 12 cm.
Comment démontrer le théorème de Pythagore ?
La preuve la plus simple utilise les aires. Prenez un grand carré de côté a + b. Placez à l’intérieur quatre triangles rectangles identiques, de côtés a et b et d’hypoténuse c, un dans chaque coin. Au centre, il reste un carré de côté c.
[Schéma : grand carré de côté a + b, quatre triangles rectangles et carré central de côté c]
On calcule l’aire du grand carré de deux façons :
- avec son côté : (a + b)² = a² + 2ab + b² ;
- en additionnant les morceaux : 4 × (ab ÷ 2) + c² = 2ab + c².
Les deux résultats sont égaux, donc a² + 2ab + b² = 2ab + c². En retirant 2ab des deux côtés, on obtient a² + b² = c².
À quoi sert le théorème de Pythagore ?
Il permet de calculer une distance qu’on ne peut pas mesurer directement, dès qu’un angle droit apparaît.
Exemple : une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur arrive-t-elle ? Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle d’hypoténuse 5 m. La hauteur h vérifie h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8 m.
On l’utilise aussi pour calculer la diagonale d’un rectangle ou d’un écran, et pour vérifier un angle droit sur un chantier : avec un triangle de côtés 3 m, 4 m et 5 m, l’angle opposé au côté de 5 m est droit.
Pour vous entraîner davantage, retrouvez nos exercices corrigés sur le théorème de Pythagore, puis ceux sur le théorème de Thalès et les racines carrées.
Pour progresser en géométrie, les cours particuliers de maths à domicile ou les cours particuliers en ligne peuvent vous aider. Avec un enseignant, vous pourrez :
- rédiger une démonstration complète, de l’énoncé à la conclusion ;
- choisir entre le théorème, la réciproque et la contraposée selon la question posée ;
- préparer les problèmes de géométrie du brevet.
FAQ : questions fréquentes sur le théorème de Pythagore
Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?
Dans un triangle rectangle d’hypoténuse c et de côtés de l’angle droit a et b, on a c² = a² + b². Pour trouver l’hypoténuse, on calcule c = √(a² + b²). Pour trouver un autre côté, on calcule a = √(c² − b²).
En quelle classe étudie-t-on le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée sont au programme de 4e. En 3e, on réutilise l’égalité de Pythagore dans les automatismes et les problèmes de géométrie, notamment au brevet.
Comment savoir quel côté est l’hypoténuse ?
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus long côté du triangle rectangle. Si le triangle ABC est rectangle en A, l’hypoténuse est le côté BC.
Quelle est la différence entre la réciproque et la contraposée ?
La réciproque sert à prouver qu’un triangle est rectangle, quand le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres. La contraposée sert à prouver qu’un triangle n’est pas rectangle, quand cette égalité est fausse.
Le théorème de Pythagore marche-t-il dans un triangle quelconque ?
Non. L’égalité c² = a² + b² n’est vraie que dans un triangle rectangle. Pour un triangle quelconque, on utilise au lycée la formule d’Al-Kashi, qui généralise le théorème de Pythagore.
Comment rédiger le théorème de Pythagore dans une copie ?
Écrivez trois éléments : le triangle est rectangle et en quel sommet, le nom du théorème, puis l’égalité. Par exemple : « Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². »
Sources
- Ministère de l’Éducation nationale, Programme de mathématiques pour le cycle 4, annexe 2, BO du 5 mars 2026 (partie « Triangles », classe de 4e)
- Académie de Bordeaux, Présentation des nouveaux programmes de cycle 4, 2026
Voici quelques autres notions et chapitres de maths qu’il faut absolument connaître pour réussir au sous-test 2 du Tage Mage :