Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Exercice Pythagore corrigé : 12 exercices sur le théorème de Pythagore (4e, 3e et brevet)

Par Seda Biber, mis à jour le 21/10/2026

Dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore donne $BC^2=AB^2+AC^2$ : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On s’en sert pour calculer une longueur. Sa réciproque prouve qu’un triangle est rectangle, et sa contraposée prouve qu’il ne l’est pas. Voici 12 exercices corrigés pas à pas, classés du plus simple au type brevet : calcul de l’hypoténuse ou d’un côté de l’angle droit en 4e, réciproque et contraposée, puis problèmes concrets de 3e. Ces calculs servent aussi dans les questions de géométrie du Tage Mage. Si vous bloquez encore sur la méthode, des cours particuliers de maths ou un stage de préparation au brevet permettent de reprendre les bases.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Résumé : quelle propriété utiliser dans un exercice sur Pythagore ?

Ce que demande l’exercice	Propriété	Calcul (triangle rectangle en A)	Phrase de conclusion
Calculer l’hypoténuse	Théorème de Pythagore	On additionne : $BC^2=AB^2+AC^2$	« Donc $BC=\sqrt{\ldots}$ cm. »
Calculer un côté de l’angle droit	Théorème de Pythagore	On soustrait : $AB^2=BC^2-AC^2$	« Donc $AB=\sqrt{\ldots}$ cm. »
Prouver qu’un triangle est rectangle	Réciproque	Carré du plus grand côté = somme des deux autres carrés	« D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en … »
Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle	Contraposée	Carré du plus grand côté ≠ somme des deux autres carrés	« D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle. »

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Comment rédiger un exercice sur le théorème de Pythagore ?

Au collège, le résultat seul ne rapporte pas tous les points : le correcteur attend un raisonnement en quatre temps.

Justifier que le triangle est rectangle et nommer le sommet de l’angle droit : « Le triangle ABC est rectangle en A. »
Repérer l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit, et toujours le plus long. Ici, [BC].
Écrire l’égalité de Pythagore avant de remplacer par les valeurs : « D’après le théorème de Pythagore, $BC^2=AB^2+AC^2$ . »
Calculer, puis conclure avec la racine carrée et l’unité. Si le résultat n’est pas un nombre entier, donnez la valeur exacte ( $\sqrt{65}$ ) puis l’arrondi demandé.

💡 Astuce : on additionne les carrés pour trouver l’hypoténuse et on soustrait pour trouver un côté de l’angle droit. Vérifiez toujours que l’hypoténuse obtenue est bien le plus grand côté : si votre résultat est plus petit qu’un des deux autres côtés, vous avez additionné au lieu de soustraire, ou l’inverse.

Le calcul final demande souvent une racine carrée. Connaître les carrés des entiers de 1 à 12 (1, 4, 9, … 144) fait gagner du temps, et le cours sur les puissances rappelle comment calculer un carré comme $13{,}5^2$ .

Exercices Pythagore 4e : comment calculer une longueur ?

Ces cinq exercices d’application directe correspondent au niveau 4e, où le théorème de Pythagore est introduit. Cherchez d’abord seul, puis comparez avec le corrigé.

Exercice 1 : calculer l’hypoténuse

Soit RGX un triangle rectangle en R tel que XR = 3,6 cm et GR = 1,5 cm. Calculer la longueur XG.

Corrigé. Le triangle RGX est rectangle en R, donc son hypoténuse est [XG]. D’après le théorème de Pythagore :

$XG^2=GR^2+XR^2=1{,}5^2+3{,}6^2=2{,}25+12{,}96=15{,}21$

Donc $XG=\sqrt{15{,}21}=3{,}9$ cm.

Exercice 2 : calculer un côté de l’angle droit

Soit IYS un triangle rectangle en Y tel que SI = 13,5 cm et SY = 10,8 cm. Calculer la longueur IY.

Corrigé. Le triangle IYS est rectangle en Y, donc son hypoténuse est [SI]. D’après le théorème de Pythagore, $SI^2=IY^2+SY^2$ . On cherche un côté de l’angle droit, on soustrait :

$IY^2=SI^2-SY^2=13{,}5^2-10{,}8^2=182{,}25-116{,}64=65{,}61$

Donc $IY=\sqrt{65{,}61}=8{,}1$ cm.

Exercice 3 : repérer l’hypoténuse avant de calculer

Soit CFN un triangle rectangle en N tel que CF = 18,2 cm et CN = 16,8 cm. Calculer la longueur FN.

Corrigé. L’angle droit est en N, donc l’hypoténuse est le côté opposé, [CF]. D’après le théorème de Pythagore, $CF^2=FN^2+CN^2$ , donc :

$FN^2=CF^2-CN^2=18{,}2^2-16{,}8^2=331{,}24-282{,}24=49$

Donc $FN=\sqrt{49}=7$ cm.

Exercice 4 : donner une valeur arrondie

Soit KLM un triangle rectangle en K tel que KL = 4 cm et KM = 7 cm. Calculer la longueur LM, puis en donner l’arrondi au millimètre.

Corrigé. Le triangle KLM est rectangle en K, donc son hypoténuse est [LM]. D’après le théorème de Pythagore :

$LM^2=KL^2+KM^2=4^2+7^2=16+49=65$

Donc $LM=\sqrt{65}$ cm (valeur exacte), soit $LM\approx 8{,}1$ cm (arrondi au millimètre).

Exercice 5 : la diagonale d’un carré

ABCD est un carré de côté 5 cm. Calculer la longueur de sa diagonale [AC], arrondie au millimètre.

Corrigé. Les angles d’un carré sont droits, donc le triangle ABC est rectangle en B et son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore :

$AC^2=AB^2+BC^2=5^2+5^2=25+25=50$

Donc $AC=\sqrt{50}\approx 7{,}1$ cm. Le même raisonnement s’applique à la diagonale d’un rectangle. Pour revoir les propriétés du carré et du rectangle, consultez le cours sur les figures géométriques.

Exercices sur la réciproque et la contraposée de Pythagore : comment savoir si un triangle est rectangle ?

On connaît les trois longueurs et on veut savoir si le triangle est rectangle. On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare :

si les deux résultats sont égaux, la réciproque du théorème de Pythagore prouve que le triangle est rectangle, et l’angle droit est opposé au plus grand côté ;
s’ils sont différents, la contraposée prouve que le triangle n’est pas rectangle.

Exercice 6 : nature de trois triangles

Déterminer si chacun des triangles suivants est rectangle :

a) CXL, avec CL = 15,9 cm, CX = 13,5 cm et LX = 8,4 cm ;
b) BIK, avec KI = 14 cm, IB = 8,4 cm et KB = 11,2 cm ;
c) EVG, avec VE = 9,2 cm, VG = 11,5 cm et GE = 6,9 cm.

Corrigé.

a) Le plus grand côté est [CL]. D’une part, $CL^2=15{,}9^2=252{,}81$ . D’autre part, $LX^2+CX^2=8{,}4^2+13{,}5^2=70{,}56+182{,}25=252{,}81$ . Comme $CL^2=LX^2+CX^2$ , d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CXL est rectangle en X.

b) Le plus grand côté est [KI]. D’une part, $KI^2=14^2=196$ . D’autre part, $IB^2+KB^2=8{,}4^2+11{,}2^2=70{,}56+125{,}44=196$ . Comme $KI^2=IB^2+KB^2$ , d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BIK est rectangle en B.

c) Le plus grand côté est [VG]. D’une part, $VG^2=11{,}5^2=132{,}25$ . D’autre part, $VE^2+GE^2=9{,}2^2+6{,}9^2=84{,}64+47{,}61=132{,}25$ . Comme $VG^2=VE^2+GE^2$ , d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EVG est rectangle en E.

Exercice 7 : un triangle qui n’est pas rectangle

Soit DEF un triangle tel que DE = 7 cm, EF = 9 cm et DF = 11 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Corrigé. Le plus grand côté est [DF]. D’une part, $DF^2=11^2=121$ . D’autre part, $DE^2+EF^2=7^2+9^2=49+81=130$ . Comme $DF^2\neq DE^2+EF^2$ , d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle.

💡 Astuce : n’écrivez pas

$DF^2=DE^2+EF^2$ au début de la réponse, puisque vous ne savez pas encore si l’égalité est vraie. Calculez les deux membres séparément (« d’une part, d’autre part »), puis comparez.

Exercice 8 : la corde à 13 nœuds

Une corde comporte 13 nœuds régulièrement espacés de 1 m, ce qui forme 12 intervalles. On la tend en triangle NOE, en plaçant les nœuds aux sommets de façon à obtenir NO = 3 m, OE = 4 m et NE = 5 m. Expliquer pourquoi on obtient un angle droit.

Corrigé. Le plus grand côté est [NE]. D’une part, $NE^2=5^2=25$ . D’autre part, $NO^2+OE^2=3^2+4^2=9+16=25$ . Comme $NE^2=NO^2+OE^2$ , d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle NOE est rectangle en O. La corde bien tendue donne donc un angle droit au sommet O.

Exercices Pythagore 3e et type brevet : comment résoudre un problème ?

En 3e et au brevet, le triangle rectangle n’est pas toujours dessiné : il faut le repérer dans une situation concrète (mur, écran, terrain) ou dans une figure complexe, et parfois enchaîner plusieurs propriétés. Ces problèmes se rapprochent de ceux que vous travaillerez aussi avec le théorème de Thalès.

Exercice 9 : triangle inscrit dans un cercle

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de diamètre [TW] et P un point de $\mathcal{C}$ distinct de T et W. On donne WP = 4,8 cm et TP = 5,5 cm. Calculer la longueur TW.

Corrigé. Le triangle TWP est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ et l’un de ses côtés, [TW], est un diamètre de ce cercle. Le triangle TWP est donc rectangle en P, et [TW] est son hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :

$TW^2=WP^2+TP^2=4{,}8^2+5{,}5^2=23{,}04+30{,}25=53{,}29$

Donc $TW=\sqrt{53{,}29}=7{,}3$ cm.

Exercice 10 : l’échelle contre le mur

Une échelle de 4 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé sur le sol horizontal, à 1,2 m du mur. À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur ? Arrondir au centimètre.

Corrigé. Le mur est vertical et le sol horizontal : ils forment un angle droit. On obtient un triangle rectangle dont l’hypoténuse est l’échelle. On note $h$ la hauteur cherchée. D’après le théorème de Pythagore, $4^2=1{,}2^2+h^2$ , donc :

$h^2=4^2-1{,}2^2=16-1{,}44=14{,}56$

Donc $h=\sqrt{14{,}56}\approx 3{,}82$ m. L’échelle touche le mur à environ 3,82 m de hauteur.

Exercice 11 : la diagonale d’un écran

La taille d’un écran se donne par la longueur de sa diagonale, en pouces. Un écran rectangulaire mesure 48 cm de large et 36 cm de haut. Calculer sa diagonale en centimètres, puis en pouces, arrondie au dixième (1 pouce = 2,54 cm).

Corrigé. Les angles d’un rectangle sont droits : la largeur, la hauteur et la diagonale forment un triangle rectangle dont la diagonale $d$ est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :

$d^2=48^2+36^2=2\,304+1\,296=3\,600$

Donc $d=\sqrt{3\,600}=60$ cm. En pouces : $60\div 2{,}54\approx 23{,}6$ pouces.

Exercice 12 : problème en deux étapes (type brevet)

ABCD est un quadrilatère. Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 9 cm et BC = 12 cm. On donne aussi CD = 8 cm et AD = 17 cm. Les points B et D sont de part et d’autre de la droite (AC).

Calculer la longueur AC.
Démontrer que le triangle ACD est rectangle.
Calculer l’aire du quadrilatère ABCD.

Corrigé.

1. Le triangle ABC est rectangle en B, donc son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore, $AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225$ , donc $AC=\sqrt{225}=15$ cm.

2. Dans le triangle ACD, le plus grand côté est [AD]. D’une part, $AD^2=17^2=289$ . D’autre part, $AC^2+CD^2=15^2+8^2=225+64=289$ . Comme $AD^2=AC^2+CD^2$ , d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACD est rectangle en C.

3. Comme B et D sont de part et d’autre de (AC), l’aire de ABCD est la somme des aires des deux triangles rectangles. Aire de ABC : $\dfrac{9\times 12}{2}=54$ cm². Aire de ACD : $\dfrac{15\times 8}{2}=60$ cm². L’aire de ABCD vaut donc $54+60=114$ cm².

💡 Astuce : dans un problème en plusieurs questions, le résultat d’une question sert souvent à la suivante. Ici, AC calculé en question 1 permet d’utiliser la réciproque en question 2. Si vous n’avez pas trouvé une réponse, utilisez la valeur donnée dans l’énoncé ou admettez-la pour continuer.

Quelles erreurs éviter dans un exercice sur Pythagore ?

Erreur fréquente	Bonne méthode
Appliquer le théorème sans avoir justifié l’angle droit	Écrire d’abord « Le triangle … est rectangle en … »
Additionner les carrés pour trouver un côté de l’angle droit	Soustraire : carré de l’hypoténuse moins carré du côté connu
Conclure $BC=25$ quand on a trouvé $BC^2=25$	Prendre la racine carrée : $BC=\sqrt{25}=5$
Écrire $(3+4)^2$ au lieu de $3^2+4^2$	Calculer chaque carré, puis additionner : $9+16=25$
Utiliser la réciproque pour prouver qu’un triangle n’est pas rectangle	Utiliser la contraposée quand l’égalité est fausse
Oublier l’unité ou l’arrondi demandé	Donner la valeur exacte, puis l’arrondi, avec l’unité

En quelle classe étudie-t-on le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore est introduit en 4e, d’après les repères de progressivité du cycle 4 publiés sur Éduscol, puis réinvesti en 3e et au brevet. Le nouveau programme de mathématiques du cycle 4, paru au Bulletin officiel du 5 mars 2026, s’appliquera en 4e à la rentrée 2027. Il y inscrit le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, ainsi que la caractérisation d’un triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle (exercice 9). En 3e, ce même programme range l’écriture de l’égalité de Pythagore parmi les automatismes. Si votre enfant est en 4e et a besoin d’un suivi régulier, nos cours particuliers de 4e reprennent ces méthodes au rythme de l’élève. Pour revoir l’énoncé complet et sa démonstration, consultez le cours sur le théorème de Pythagore.

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FAQ : questions fréquentes sur les exercices de Pythagore

Comment savoir s'il faut additionner ou soustraire avec Pythagore ?

Tout dépend du côté cherché. Pour l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit, on additionne les carrés des deux autres côtés : BC² = AB² + AC². Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : AB² = BC² − AC². L'hypoténuse est toujours le plus grand côté.

Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?

Le théorème sert à calculer une longueur quand on sait déjà que le triangle est rectangle. La réciproque fait l'inverse : à partir des trois longueurs, elle prouve que le triangle est rectangle si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres.

Quand utiliser la contraposée du théorème de Pythagore ?

Quand le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On conclut alors que le triangle n'est pas rectangle. Exemple : 11² = 121 et 7² + 9² = 130, donc un triangle de côtés 7, 9 et 11 cm n'est pas rectangle.

Que faire quand le résultat n'est pas un nombre entier ?

On donne d'abord la valeur exacte avec la racine carrée, par exemple LM = √65 cm, puis la valeur arrondie demandée par l'énoncé : √65 ≈ 8,1 cm au millimètre près.

En quelle classe voit-on le théorème de Pythagore ?

Il est introduit en 4e, puis réinvesti en 3e, notamment dans les problèmes du brevet. Le nouveau programme du cycle 4, paru au Bulletin officiel du 5 mars 2026, s'applique en 4e à partir de la rentrée 2027 et y place le théorème, sa réciproque et sa contraposée.

Comment rédiger la réponse à un exercice de Pythagore ?

En quatre temps : justifier que le triangle est rectangle et nommer le sommet de l'angle droit, repérer l'hypoténuse, écrire l'égalité de Pythagore, puis calculer et conclure avec la racine carrée et l'unité.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2, BO du 5 mars 2026
Éduscol, Ressources d’accompagnement du programme de mathématiques au cycle 4 (calendrier d’entrée en vigueur du programme 2026)
Éduscol, Inscrire son enseignement dans une logique de cycle : grandes lignes des repères de progressivité, juin 2016