Racine carrée : définition, formules, calcul et tableau

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Cours en ligne du Tage Mage

Résumé : l’essentiel sur les racines carrées

Qu’est-ce qu’une racine carrée ?

Chercher la racine carrée de a, c’est répondre à la question : quel nombre positif, multiplié par lui-même, donne a ?

• √25 = 5, car 5 × 5 = 25.
• √0 = 0, car 0 × 0 = 0.
• √7 n’est pas un entier. C’est le nombre positif qui, au carré, vaut 7 : √7 ≈ 2,646.

Le signe √ s’appelle le radical et le nombre écrit dessous s’appelle le radicande. La racine carrée est l’opération inverse du carré pour les nombres positifs. On peut aussi l’écrire sous forme de puissance : √a = a^(1/2).

Attention, (−5)² = 25 aussi. Mais par définition, √25 vaut 5 et non −5 : une racine carrée est toujours positive. L’équation x² = 25 a donc deux solutions, 5 et −5, c’est-à-dire √25 et −√25.

Au collège (cycle 4), le programme demande de connaître la définition, d’encadrer la racine carrée d’un entier entre deux entiers consécutifs et de résoudre des équations du type x² = a. En seconde, on démontre la formule du produit et on calcule avec des racines carrées. Ces calculs sont aussi utiles pour le sous-test 2 de notre cours en ligne du Tage Mage.

Tableau des racines carrées de 0 à 441

Les nombres de ce tableau sont des carrés parfaits : leur racine carrée est un nombre entier. Les connaître par cœur vous fera gagner du temps dans tous les calculs.

Quelle est la valeur de racine de 3 ?

√3 ≈ 1,732. C’est un nombre irrationnel : il ne s’écrit ni sous forme de fraction ni sous forme de nombre décimal, et ses décimales ne s’arrêtent jamais. On utilise donc une valeur approchée, ou on garde l’écriture √3 pour obtenir un résultat exact.

Quelques calculs reviennent souvent :

• (√3)² = 3 ;
• (2√3)² = 2² × 3 = 12 ;
• √3 / 2 ≈ 0,866 : c’est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 1 ;
• 1 / √3 = √3 / 3 ≈ 0,577.

C’est la même chose pour √2 et √5. Voici les valeurs à connaître pour les nombres qui ne sont pas des carrés parfaits :

Quelles sont les formules des racines carrées ?

Pour tous nombres a ≥ 0 et b ≥ 0 :

• (√a)² = a : (√5)² = 5.
• √(a²) = a : √(6²) = 6. Si a peut être négatif, on écrit √(a²) = |a| (valeur absolue) : √((−6)²) = √36 = 6.
• √(a × b) = √a × √b : √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6.
• √(a / b) = √a / √b, avec b > 0 : √(16/49) = 4/7.

Ces formules se combinent avec les identités remarquables. Exemple :
(2√3 − 3√2)² = (2√3)² − 2 × 2√3 × 3√2 + (3√2)² = 12 − 12√6 + 18 = 30 − 12√6.

Comment enlever une racine carrée au dénominateur ?

On multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine :

• 1 / √2 = √2 / (√2 × √2) = √2 / 2 ≈ 0,707 ;
• 6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3.

On obtient la même valeur, écrite sans racine au dénominateur. C’est la forme attendue dans un résultat final.

Peut-on additionner des racines carrées ?

Pas en additionnant les nombres sous le radical. √a + √b n’est pas égal à √(a + b).

• √9 + √16 = 3 + 4 = 7
• √(9 + 16) = √25 = 5

En revanche, on peut regrouper les racines identiques, comme on regroupe des x en algèbre : 3√5 + 2√5 = 5√5. Pour 2√3 + √2, on ne peut pas simplifier davantage.

Comment calculer une racine carrée ?

Avec une calculatrice ou un tableur

Utilisez la touche √. Sur un tableur en français, la fonction s’écrit =RACINE(A1). Dans les langages informatiques et sur les calculatrices anglophones, on trouve sqrt, pour square root.

Sans calculatrice, par encadrement

Prenons √20 :

1. Cherchez les deux carrés parfaits qui entourent le nombre : 16 < 20 < 25.
2. Prenez leurs racines : 4 < √20 < 5.
3. Affinez au dixième en testant des décimaux : 4,4² = 19,36 et 4,5² = 20,25. Donc 4,4 < √20 < 4,5.

Vous pouvez continuer au centième de la même façon. La calculatrice donne √20 ≈ 4,472.

En simplifiant la racine

Simplifier une racine carrée, c’est l’écrire sous la forme a√b avec b le plus petit possible. On cherche dans le nombre le plus grand carré parfait qui le divise :

• √72 = √(36 × 2) = 6√2 ;
• √48 = √(16 × 3) = 4√3 ;
• √180 = √(36 × 5) = 6√5.

Comment écrire le symbole racine carrée ?

Le symbole s’appelle le radical : √. Pour le taper :

• dans Word ou Google Docs, passez par l’éditeur d’équations ou par le menu d’insertion de caractères spéciaux ;
• sous Windows, maintenez la touche Alt et tapez 251 sur le pavé numérique ;
• sur un clavier sans symbole, écrivez sqrt(3) ou 3^(1/2), deux notations que comprennent les calculatrices et les tableurs.

À la main, la barre du radical doit couvrir tout le nombre concerné. √9 + 16 et √(9 + 16) ne donnent pas le même résultat.

Quelle différence entre racine carrée et racine cubique ?

La racine cubique d’un nombre, notée ∛a, est le nombre dont le cube vaut a : ∛8 = 2 car 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et ∛64 = 4 car 4³ = 64. Contrairement à la racine carrée, elle existe aussi pour les nombres négatifs : ∛(−27) = −3.

À quoi servent les racines carrées en géométrie ?

On retrouve les racines carrées dès qu’on calcule une longueur avec le théorème de Pythagore. Trois résultats reviennent souvent dans les figures géométriques :

Exemple 1 : le carré. La diagonale d’un carré mesure 7 cm. Son côté vaut 7 / √2 cm, donc son aire vaut (7 / √2)² = 49 / 2 = 24,5 cm².

Exemple 2 : le triangle équilatéral. Sa hauteur mesure 5 cm. On résout a√3 / 2 = 5, donc a = 10 / √3. Le périmètre vaut 3 × 10 / √3 = 30 / √3 = 10√3 cm, soit environ 17,3 cm.

Exemple 3 : Pythagore. Le triangle EFG est rectangle en E, avec EF = 3√2 cm et FG = 6√5 cm. L’hypoténuse est [FG], donc :
EG² = FG² − EF² = (6√5)² − (3√2)² = 180 − 18 = 162.
EG = √162 = √(81 × 2) = 9√2 cm.

Pour vous entraîner, retrouvez nos exercices corrigés sur les racines carrées.

Pour consolider le calcul avec les racines, les puissances et les fractions, les cours particuliers de maths peuvent vous aider. Avec un enseignant, vous pourrez :

• revoir la définition et les formules jusqu’à les appliquer sans hésiter ;
• vous entraîner à simplifier et à rendre des résultats sous forme exacte ;
• préparer les exercices de géométrie du brevet ou les calculs de seconde.

FAQ : questions fréquentes sur les racines carrées

Sources

• Ministère de l’Éducation nationale, Programme de mathématiques de seconde générale et technologique, annexe (partie « Utiliser le calcul littéral »)
• Académie de Bordeaux, Programme cycle 4 : objectifs d’apprentissage, partie « Racine carrée », 2026

Voici quelques autres notions et chapitres de maths qu’il faut absolument connaître pour réussir au sous-test 2 du Tage Mage :

• Cours en ligne sur les fractions au Tage Mage
• Résumé de cours sur les pourcentages au sous-test 2 du Tage Mage
• Fiche de révision sur l’algèbre au Tage Mage
• Cours en ligne sur la géométrie au sous-test 2 du Tage Mage
• Comprendre la vitesse en calcul au Tage Mage
• Exercices sur les fractions au Tage Mage
• Exercices corrigés sur les pourcentages au sous-test 2 du Tage Mage