Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Cours racines carrées : calculer et simplifier une racine carrée

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Connaitre les règles de calcul sur les racines carrées est essentiel pour résoudre des calculs à tout niveau. Ainsi que vous prépariez le Tage Mage ou que vous prépariez le brevet, ce cours sur les racines carrées avec des applications à la géométrie vous sera utile. N’hésitez pas à suivre des cours de maths à domicile avec un enseignant particulier pour vous aider à mieux comprendre ces notions notamment au collège. En effet, ce chapitre vous sera utile au lycée.

1. Définition d’une racine carrée

Qu’est-ce qu’une racine carrée ?

Réponse avec un exemple : $\sqrt{7}$

$\sqrt{7}$ est le nombre, qui, mis au carré vaut 7.

Autrement dit : « Qui au carré vaut 7 ? » ou encore « Qui, fois lui même donne 7 ? »

Certaines racines sont connues, celles des carrés parfaits :

racine carrée de 0 = $\sqrt{0}$ = 0
racine carrée de 1 = $\sqrt{1}$ = 1
racine carrée de 4 = $\sqrt{4}$ = 2
racine carrée de 9 = $\sqrt{9}$ = 3
racine carrée de 16 = $\sqrt{16}$ = 4
racine carrée de 25 = $\sqrt{25}$ = 5
racine carrée de 36 = $\sqrt{36}$ = 6
racine carrée de 49 = $\sqrt{49}$ = 7
racine carrée de 64 = $\sqrt{64}$ = 8
racine carrée de 81 = $\sqrt{81}$ = 9
racine carrée de 100 = $\sqrt{100}$ = 10
racine carrée de 121 = $\sqrt{121}$ = 11
racine carrée de 144 = $\sqrt{144}$ = 12
racine carrée de 169 = $\sqrt{169}$ = 13
racine carrée de 400 = $\sqrt{400}$ = 20

Il faut également connaitre certaines valeurs approchées :

racine carrée de 2 = $\sqrt{2}$ = 1,4
racine carrée de 3 = $\sqrt{3}$ = 1,7
racine carrée de 5 = $\sqrt{5}$ = 2,2

Attention : Dans les énoncés, les racines carrées sont fréquemment écrites à l’aide d’une puissance : $\sqrt{3}$ = $3^{\dfrac{1}{2}}$ et donc par exemple $25^{\dfrac{1}{2}}$ = $\sqrt{25}$ = 5.

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2. Les formules des racines carrées

$\sqrt{a}$ x $\sqrt{a}$ = $(\sqrt{a})^{2}$ = a
$\sqrt{{a}^{2}}$ = | a |
$\sqrt{a\times b }$ = $\sqrt{a}$ x $\sqrt{b}$
$\sqrt{\dfrac {a}{b}}$ = $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$\sqrt{a}$ = $a^{\dfrac{1}{2}}$

Une propriété liée aux puissances est à retenir :

$(ab)^{2}$ = $a^{2}$ $\times$ $b^{2}$ donc $(5\sqrt{2})^{2}$ = $5^{2}$ x $(\sqrt{2})^{2}$ = 25 x 2 = 50

Exemple type :

Calculer $(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^{2}$

Réponse :

On utilise l’identité remarquable suivante : $(a-b)^2$ = $a^{2}$ -2ab + $b^{2}$

Ici a= $2\sqrt{3}$ et b= $3\sqrt{2}$ ce qui donne :

$(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^{2}$ = $(2\sqrt{3})^2$ -2 x $2\sqrt{3}$ x $3\sqrt{2}$ + $(3\sqrt{2})^2$

= 4 x 3 – $12\sqrt{6}$ + 9 x 2

= 12 – $12\sqrt{6}$ + 18

= 30 – $12\sqrt{6}$

3. Utilisation des racines carrées avec la géométrie

Les racines carrées font leur apparition avec notamment le théorème de Pythagore, les énoncés évoquant un carré et sa diagonale ou encore le triangle équilatéral.