Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Exercices de probabilités corrigés : 12 exercices pour réussir le Tage Mage

Par Seda Biber, mis à jour le 27/10/2026

Pour calculer une probabilité, on divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles, à condition que toutes les issues aient la même chance de se produire. Quand une expérience se fait en deux étapes, on multiplie les probabilités de chaque étape. Et quand l’énoncé dit « au moins un », on passe par l’événement contraire : $P(\overline{A})=1-P(A)$ .

Au Tage Mage, le sous-test 2 de calcul porte sur des notions de niveau troisième, à traiter en 20 minutes et sans calculatrice. Les probabilités vues au collège entrent dans ce cadre, et ces exercices de probabilités de 3e servent donc aussi à préparer le brevet. Les 12 exercices corrigés ci-dessous suivent une progression : probabilité simple, tirages de boules avec ou sans remise, événement contraire, puis QCM au format du test. Pour revoir les formules avant de commencer, consultez le cours sur les probabilités.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Niveau 1 : exercices probabilités pour calculer une probabilité simple

Dans ces trois exercices, toutes les issues ont la même probabilité. On compte les cas favorables, on compte les cas possibles, puis on simplifie la fraction.

Exercice 1 : lancer d’un dé

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir : a) un 5 ; b) un nombre pair ; c) un multiple de 3 ?

Corrigé. Il y a 6 issues possibles, toutes équiprobables.

a) Une seule face porte le 5 : $P=\dfrac{1}{6}$ .
b) Les nombres pairs sont 2, 4 et 6, soit 3 cas favorables : $P=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ .
c) Les multiples de 3 sont 3 et 6, soit 2 cas favorables : $P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ .

Exercice 2 : trois fois plus de boules noires

Une urne ne contient que des boules blanches et des boules noires. Il y a trois fois plus de boules noires que de boules blanches. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit noire ?

Corrigé. On ne connaît pas le nombre de boules, mais on connaît leur proportion : pour 1 boule blanche, il y a 3 boules noires. On partage donc l’urne en 4 parts égales, dont 3 parts de noires. La probabilité de tirer une boule noire vaut $\dfrac{3}{4}$ .

💡 Astuce : quand l’énoncé ne donne que des rapports, prenez un exemple simple. Avec 1 blanche et 3 noires, ou 10 blanches et 30 noires, on trouve toujours

$\dfrac{3}{4}$ .

Exercice 3 : un jeu de 32 cartes

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs de 8 cartes, de l’as au 7). Quelle est la probabilité de tirer : a) un cœur ; b) un roi ; c) le roi de cœur ?

Corrigé.

a) Il y a 8 cœurs : $P=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$ .
b) Il y a 4 rois, un par couleur : $P=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$ .
c) Il n’y a qu’un roi de cœur : $P=\dfrac{1}{32}$ .

Pour simplifier ces résultats rapidement, revoyez le cours sur les fractions.

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Niveau 2 : tirages de boules avec ou sans remise

Quand une expérience se répète, on multiplie les probabilités de chaque étape. Tout dépend alors d’une question : remet-on la boule dans l’urne ? Avec remise, l’urne reste la même à chaque tirage. Sans remise, le nombre de boules diminue de 1 à chaque tirage.

Exercice 4 : cinq lancers d’une pièce

On lance cinq fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité de n’obtenir que des « pile » ?

Corrigé. À chaque lancer, la probabilité d’obtenir pile vaut $\dfrac{1}{2}$ , et elle ne change pas d’un lancer à l’autre. On multiplie les cinq probabilités :

$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}$

Pour écrire ce produit plus vite, consultez le cours sur les puissances.

Exercice 5 : la même urne, avec et sans remise

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire successivement deux boules. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges : a) si l’on remet la première boule dans l’urne ; b) si on ne la remet pas ?

Corrigé.

a) Avec remise, l’urne contient 5 boules dont 3 rouges aux deux tirages : $P=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$ .
b) Sans remise, il reste 4 boules dont 2 rouges au second tirage : $P=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ .

La probabilité baisse sans remise ( $\dfrac{3}{10}$ contre $\dfrac{9}{25}$ ) : la première boule rouge tirée manque dans l’urne.

Exercice 6 : tirage sans remise de deux boules

Une urne contient 5 boules rouges, 4 boules vertes et 3 boules jaunes. On tire au hasard et sans remise deux boules de l’urne. Quelle est la probabilité : a) d’obtenir deux boules rouges ; b) d’obtenir un tirage unicolore ?

Corrigé. L’urne contient 12 boules au départ, et 11 au second tirage.

a) Au premier tirage, 5 rouges sur 12 ; au second, il reste 4 rouges sur 11 : $P=\dfrac{5}{12}\times\dfrac{4}{11}=\dfrac{20}{132}=\dfrac{5}{33}$ .
b) Un tirage unicolore, c’est deux rouges, ou deux vertes, ou deux jaunes. Ces trois cas ne peuvent pas se produire ensemble, on additionne donc leurs probabilités.

$P(\text{2 vertes})=\dfrac{4}{12}\times\dfrac{3}{11}=\dfrac{1}{11}$ et $P(\text{2 jaunes})=\dfrac{3}{12}\times\dfrac{2}{11}=\dfrac{1}{22}$

$P(\text{unicolore})=\dfrac{5}{33}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{22}=\dfrac{10}{66}+\dfrac{6}{66}+\dfrac{3}{66}=\dfrac{19}{66}$

💡 Astuce : retenez la règle de l’arbre. On multiplie les probabilités le long d’un chemin (« et »), puis on additionne les chemins qui conviennent (« ou »).

Niveau 3 : événement contraire et réunion de deux événements

Dès que l’énoncé contient « au moins un », le calcul direct oblige à séparer beaucoup de cas. L’événement contraire, « aucun », se calcule en une seule multiplication. Le programme de 4e demande justement de « calculer la probabilité d’un évènement et de l’évènement contraire ».

Exercice 7 : au moins un six avec deux dés

On lance un dé équilibré deux fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six ?

Corrigé. On note $A$ : « obtenir au moins un 6 ». Son contraire $\overline{A}$ est : « n’obtenir aucun 6 ». À chaque lancer, la probabilité de ne pas faire 6 vaut $\dfrac{5}{6}$ .

$P(\overline{A})=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{36}$ donc $P(A)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$

💡 Astuce : additionner

$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{12}{36}$ est faux. Ce calcul compte deux fois le double six. La réponse

$\dfrac{11}{36}$ est bien un peu plus petite.

Exercice 8 : au moins une boule rouge

On reprend l’urne de l’exercice 6 : 5 boules rouges, 4 vertes et 3 jaunes, deux tirages sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge ?

Corrigé. Le contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge » : les deux boules sont vertes ou jaunes. Il y a 7 boules non rouges sur 12 au premier tirage, puis 6 sur 11 au second.

$P(\text{aucune rouge})=\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}=\dfrac{42}{132}=\dfrac{7}{22}$ donc $P(\text{au moins une rouge})=1-\dfrac{7}{22}=\dfrac{15}{22}$

Exercice 9 : un cœur ou un roi

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de tirer un cœur ou un roi ?

Corrigé. Le roi de cœur est à la fois un cœur et un roi : si l’on additionne simplement, on le compte deux fois. On applique donc la formule vue en 3e, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ :

$P=\dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32}-\dfrac{1}{32}=\dfrac{11}{32}$

Vérification par le comptage : 8 cœurs et 3 autres rois, soit 11 cartes sur 32.

Si ces méthodes restent fragiles à l’approche du brevet, un professeur peut les reprendre une à une en cours particuliers de maths.

Niveau 4 : exercices de probabilités au format du Tage Mage

Chaque question propose cinq réponses, dont une seule est juste, et une réponse fausse ne retire pas de points. Les probabilités s’y combinent souvent avec les pourcentages ou le dénombrement.

Exercice 10 : une famille de deux enfants

On considère qu’à chaque naissance, la probabilité d’avoir une fille vaut $\dfrac{1}{2}$ . Une famille a deux enfants, et l’on sait qu’au moins l’un des deux est une fille. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ?

A) $\dfrac{1}{3}$ B) $\dfrac{1}{4}$ C) $\dfrac{1}{2}$ D) $\dfrac{3}{4}$ E) $\dfrac{2}{3}$

Corrigé : réponse A. On liste les quatre cas équiprobables, selon l’aîné et le cadet :

Cas	Aîné	Cadet	Au moins une fille ?
1	Garçon	Garçon	Non, cas éliminé
2	Garçon	Fille	Oui
3	Fille	Garçon	Oui
4	Fille	Fille	Oui

L’information « au moins une fille » élimine le cas 1. Il reste 3 cas, et un seul convient (fille, fille) : la probabilité vaut $\dfrac{1}{3}$ . Le piège est de répondre $\dfrac{1}{2}$ en raisonnant sur un seul enfant.

Exercice 11 : un arbre de probabilités

Dans une promotion, 70 % des étudiants parlent anglais. Parmi eux, 40 % parlent aussi espagnol ; parmi les autres, 60 % parlent espagnol. On choisit un étudiant au hasard. Quelle est la probabilité qu’il parle espagnol ?

A) 40 % B) 46 % C) 50 % D) 52 % E) 54 %

Corrigé : réponse B. Deux chemins de l’arbre mènent à « parle espagnol » :

parle anglais et espagnol : $0{,}7\times 0{,}4=0{,}28$ ;
ne parle pas anglais mais parle espagnol : $0{,}3\times 0{,}6=0{,}18$ .

On additionne les deux chemins : $0{,}28+0{,}18=0{,}46$ , soit 46 %. La réponse C, 50 %, vient de la moyenne de 40 % et 60 % : elle oublie que les deux groupes n’ont pas la même taille.

Exercice 12 : la somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés et on additionne les deux résultats. Quelle est la probabilité que la somme vaille 7 ?

A) $\dfrac{1}{11}$ B) $\dfrac{1}{9}$ C) $\dfrac{1}{6}$ D) $\dfrac{7}{36}$ E) $\dfrac{1}{4}$

Corrigé : réponse C. Il y a $6\times 6=36$ couples possibles, tous équiprobables. Six d’entre eux donnent 7 : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) et (6 ; 1). La probabilité vaut $\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ . La réponse A est le piège classique : les 11 sommes possibles, de 2 à 12, n’ont pas toutes la même probabilité.

Le sous-test de calcul porte aussi sur la moyenne, l’arithmétique ou l’algèbre. Pour un entraînement encadré, Groupe Réussite propose des cours particuliers de Tage Mage.

Comment résoudre un exercice de probabilités ?

Du lancer de dé aux QCM du Tage Mage, la méthode reste la même :

Décrire l’expérience : une ou deux étapes, avec ou sans remise.
Vérifier l’équiprobabilité des issues avant d’appliquer « cas favorables sur cas possibles ».
Chercher les mots clés : « et » fait multiplier le long d’un chemin, « ou » fait additionner, « au moins un » fait passer par le contraire.
Contrôler le résultat : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

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FAQ : questions fréquentes sur les exercices de probabilités

Comment calculer une probabilité ?

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, on divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles. Avec un dé équilibré, la probabilité d'obtenir un nombre pair vaut 3 ÷ 6 = 1/2. Le résultat est toujours compris entre 0 et 1.

Quelle est la différence entre un tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise, on replace la boule dans l'urne : la composition de l'urne ne change pas d'un tirage à l'autre. Sans remise, l'urne perd une boule à chaque tirage. Avec 3 rouges et 2 bleues, la probabilité de tirer deux rouges vaut 3/5 × 3/5 = 9/25 avec remise, et 3/5 × 2/4 = 3/10 sans remise.

Quand faut-il utiliser l'événement contraire ?

Dès que l'énoncé contient « au moins un ». Le contraire de « au moins un 6 » est « aucun 6 », qui se calcule en une multiplication. On utilise ensuite P(A) = 1 − P(contraire de A). Pour deux lancers de dé : 1 − 25/36 = 11/36.

Comment calculer la probabilité de A ou B ?

On additionne les probabilités de A et de B, puis on retire celle de A et B, comptée deux fois. Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer un cœur ou un roi vaut 8/32 + 4/32 − 1/32 = 11/32. Si A et B ne peuvent pas se produire ensemble, il suffit d'additionner.

Comment utiliser un arbre de probabilités ?

On trace une branche par issue à chaque étape, avec sa probabilité. On multiplie les probabilités le long d'un chemin, puis on additionne les chemins qui mènent au résultat cherché. La somme des probabilités des branches issues d'un même point vaut toujours 1.

Quel niveau en probabilités faut-il pour le Tage Mage ?

Le sous-test 2 de calcul porte sur des notions de niveau troisième. En probabilités, cela correspond aux calculs du collège : cas favorables sur cas possibles, expériences à deux étapes et événement contraire. La difficulté vient surtout du temps, 20 minutes par sous-test, et de l'absence de calculatrice.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2, BO du 5 mars 2026
TAGE MAGE, Sous-tests du TAGE MAGE
TAGE MAGE, Conseils
TAGE MAGE, Foire aux questions