Cours en ligne Physique-Chimie en Terminale

Chapitres Physique-Chimie en Terminale Générale

Cours Cinématique terminale générale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique-Chimie en Terminale

La réussite au baccalauréat nécessite de maîtriser le cours sur la Cinématique en terminale générale, quitte à prendre des cours particuliers de Physique-Chimie en cas de lacunes. Retrouvez les autres chapitres de Physique-Chimie de terminale, dans nos cours en ligne de terminale en Physique-Chimie ! Ils vous seront utiles pour maîtriser la Physique-Chimie qui a un fort coefficient au bac, comme vous pouvez le vérifier sur notre simulateur du bac. N’hésitez pas à prendre des cours de physique chimie pour exceller en cinématique !

A. Le vecteur position en terminale générale

1. Un référentiel est un solide

On peut en extraire un point origine $O$ , et trois vecteurs non coplanaires $(\vec{I},\vec{J},\vec{K})$ .

$(O,\vec{I},\vec{J},\vec{K})$ forme alors lui-même un référentiel.

Si les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux, et de norme 1, on les note avec des minuscules et

$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ forme un référentiel orthonormal.

Exemple

Le référentiel terrestre est lié à la Terre. Définir deux référentiels orthonormaux distincts, l’un de centre un point $S$ du sol terrestre, et un de centre confondu avec le centre $O_T$ de la Terre.

Correction :

* En $S$ , on peut définir trois vecteurs de norme 1 : $\vec{i}$ dirigé vers le Nord, $\vec{j}$ dirigé vers l’ouest et $\vec{k}$ vertical dirigé vers le haut.

$(S,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ forme un référentiel terrestre orthonormal.

* Autour de $O_T$ , on peut définir trois vecteurs de norme 1 : $\vec{n}$ dirigé vers le pôle Nord, $\vec{g}$ dirigé vers le point équatorial du méridien de Greenwich et $\vec{e}$ dirigé vers le point de l’équateur du méridien 90° est (il passe au milieu du golfe du Bengale).

$(O_T,\vec{n},\vec{g},\vec{e})$ forme un référentiel terrestre orthonormal.

2. Le vecteur position en Terminale

Le vecteur position est le vecteur qui définit la position d’un point mobile $M$ à une date $t$ donnée.

Dans le référentiel (orthonormal) $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on peut écrire

$\vec{OM}(t)=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$

On peut alors écrire

$\vec{OM}\left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{array}\right)$

Exemple

Si $O$ est un point du sol terrestre, dans le repère terrestre orthonormal terrestre $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , où $\vec{k}$ est un vecteur vertical dirigé vers le haut, quels noms donne-t-on aux coordonnées $x$ , $y$ et $z$ ?

Correction : $x$ est l’abscisse, $y$ l’ordonnée et $z$ la cote ou l’altitude.

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B.Vecteurs vitesse et accélération en terminale

1. Le vecteur vitesse en Terminale

Le vecteur vitesse a pour direction la tangente à la trajectoire, pour sens celui du déplacement du point $M$ étudié, pour norme la vitesse instantanée de $M$ , exprimée en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$

Il est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position $\vec{OM}$

$\vec{v}(t)=\frac{d\vec{OM}}{dt}(t)$

Dans le repère $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ associé au référentiel d’étude, ses coordonnées sont égales aux dérivées par rapport au temps des coordonnées de $\vec{OM}$

$\vec{v}(t)=\left(\begin{array}{c} v_x(t)=\frac{dx}{dt}(t) \\ v_y(t)=\frac{dy}{dt}(t) \\ v_z(t)=\frac{dz}{dt}(t) \end{array}\right)$

Exemple

a. Déterminer le vecteur vitesse pour le point $M$ dont le mouvement est défini par les équations horaires

$\vec{OM}(t)\left(\begin{array}{c} x(t)=2t \\ y(t)=-5t^2+3t+2 \\ z(t)=0 \end{array}\right)$

b. Calculer la norme de la vitesse à l’instant $t=1~\mathrm{s}$

Correction :

a. On calcule les dérivées

$\frac{dx}{dt}(t)=2$

$\frac{dy}{dt}(t)=-5\times 2t +3=-10t+3$

$\frac{dz}{dt}(t)=0$

donc $\vec{v}(t)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -10t+3 \\ 0 \end{array}\right)$

b. On calcule

$\vec{v}(1)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -7 \\ 0 \end{array}\right)$

donc $v(1)=\left\|\vec{v}(1)\right\|=\sqrt{2^2+(-7)^2+0^2}$

soit $v(1)=\sqrt{53}=7,3~\mathrm{s}$

2. Le vecteur accélération en Terminale

Le vecteur accélération a pour direction et sens ceux de l’inflexion du vecteur vitesse, et pour norme l’accélération instantanée de $M$ , exprimée en $\mathrm{m\cdot s^{-2}}$

Pour comprendre le sens physique de l’accélération, on peut l’exprimer en « mètres par seconde par seconde ». Ainsi, l’accélération de la pesanteur, qui est en particulier celle d’un mobile qu’on laisse chuter verticalement, vaut environ 10 mètres par seconde par seconde, soient $36~\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ par seconde. On en déduit que lors de la chute libre verticale d’un mobile, sa vitesse augmente de $36~\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ chaque seconde. Si sa vitesse est nulle à l’instant initial, elle vaut (en négligeant les frottements) $36~\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ au bout d’une seconde, $72~\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ au bout de deux secondes, $108~\mathrm{km\cdot h^{-1}}$ au bout de trois secondes, etc.

Il est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse $\vec{v}$ , donc à la dérivée seconde de $\vec{OM}$

$\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}(t)$

Dans le repère $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ associé au référentiel d’étude, ses coordonnées sont égales aux dérivées par rapport au temps des coordonnées de $\vec{v}$ , donc aux dérivées secondes de $\vec{OM}$

$\vec{a}(t)=\left(\begin{array}{c} a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}(t)=\frac{d^2x}{dt^2}(t) \\ a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}(t)=\frac{d^2y}{dt^2}(t) \\ a_z(t)=\frac{dv_z}{dt}(t)=\frac{d^2z}{dt^2}(t) \end{array}\right)$

Exemple

Déterminer le vecteur accélération pour le point $M$ dont le mouvement est défini par les équations horaires (cf. exemple précédent)

$\vec{OM}(t)\left(\begin{array}{c} x(t)=2t \\ y(t)=-5t^2+3t+2 \\ z(t)=0 \end{array}\right)$

Correction :

On a déjà établi que $\vec{v}(t)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -10t+3 \\ 0 \end{array}\right)$
On en déduit que $\vec{a}(t)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -10 \\ 0 \end{array}\right)$

3. Construction graphique en Terminale

On dispose d’un chronogramme, c’est-à-dire d’un document graphique donnant les positions successives de $M$ à des dates régulièrement espacées,

$t=0$ , $t=\tau$ , $t=2\tau$ , …, $t=k\tau$ , … où $\tau$ est une durée (le pas temporel du chronogramme) et $k$ un nombre entier naturel.

Pour $k\geq 1$ , on obtient une bonne estimation du vecteur vitesse à la date $k\tau$ par

$\vec{v}(k\tau)\simeq\frac{\vec{OM}((k+1)\tau)-\vec{OM}((k-1)\tau)}{2\tau}$

soit $\vec{v}(k\tau)\simeq\frac{\vec{M((k-1)\tau)M((k+1)\tau)}}{2\tau}$

Voici le procédé de construction.

* On construit le vecteur $\vec{M((k-1)\tau)M((k+1)\tau)}$ joignant les points avant et après $M(k\tau)$

* Sa direction et son sens sont ceux du vecteur vitesse $\vec{v}(k\tau)$

On mesure la norme du vecteur $M((k-1)\tau)M((k+1)\tau)$ , celle du vecteur vitesse est égale à

$v(k\tau)\simeq \frac{M((k-1)\tau)M((k+1)\tau)}{2\tau}$

On calcule cette norme.

* On choisit une échelle de représentation graphique $1~\mathrm{m\cdot s^{-1}}\leftrightarrow q~\mathrm{cm}$

* On trace le vecteur vitesse à partir de $M(k\tau)$ avec la direction, le sens, et la longueur donnée par l’échelle choisie.

On procède de même pour tracer une estimation du vecteur accélération.

$\vec{a}(k\tau)\simeq\frac{\vec{v}((k+1)\tau)-\vec{v}((k-1)\tau)}{2\tau}$

Exemple

Sur le document suivant, pour déterminer $\vec{v}(3\tau)$ , on construit le vecteur $\vec{M(2\tau)M(4\tau)}$ , il mesure environ 2,4 cm, on en déduit que

$v(3\tau)\simeq\frac{0,025}{2\times 0,2}=0,12~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$

On construit donc à l’échelle un vecteur d’environ 1,2 cm, à partir du point $M(3\tau)$ , parallèle et de même sens que $\vec{M(2\tau)M(4\tau)}$

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C. Étude du mouvement rectiligne en terminale

Un point $M$ a un mouvement rectiligne s’il se déplace sur une droite, donc si sa trajectoire forme un segment de droite.

Il est alors naturel de choisir un point $O$ origine sur cette droite et de nommer $(O,x)$ , $(O,y)$ ou $(O,z)$ le référentiel d’étude selon cette droite orientée.

$M$ a un mouvement est rectiligne uniforme si son vecteur vitesse $\vec{v}$ est constant, ou de façon équivalente si son vecteur accélération $\vec{a}$ est nul.

Pour un mouvement selon l’axe $(O,x)$ , on en déduit

$a_x(t)=0$

$v_x(t)=v_0$

$x(t)=v_0t+x_0$

où $v_0$ est la vitesse algébrique (constante) et $x_0=x(0)$ l’abscisse à l’instant initial $t=0$

Exemple

Un mobile $M$ se déplace sur l’axe $(O,x)$ a pour équation horaire

$x(t)=-2t+3$

a. Vérifier que c’est un mouvement rectiligne uniforme.

b. Quelle est sa vitesse ? Commenter son signe.

c. Calculer son abscisse initiale $x(0)$

d. Calculer la date à laquelle $x(t)=0$

Correction :

a. On a

$v_x(t)=\frac{dx}{dt}(t)=-2$ = constante

$a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=0$

b. $v_x(t)=-2$ donc le mouvement se fait dans le sens des $x$ décroissants, à une vitesse de norme

$v=|v_x|=2~\mathrm{m}\cdot s^{-1}$

c. $x(0)=-2\times 0+3=3~\mathrm{m}$

d. $x(t)=0\Leftrightarrow -2t+3=0$

soit $t=\frac32=1,5~\mathrm{s}$

2. Un point $M$ a un mouvement rectiligne

Ce mouvement est rectiligne accéléré (on devrait dire « rectiligne uniformément accéléré ») si son vecteur accélération $\vec{a}$ est constant, selon l’axe du mouvement.

Pour un mouvement selon l’axe $(O,x)$ , on en déduit

$a_x(t)=a_0$

$v_x(t)=a_0t+v_0$

$x(t)=\frac12a_0t^2+v_0t+x_0$

où $a_0$ est l’accélération algébrique (constante), $v_0=v(0)$ la vitesse algébrique et $x_0=x(0)$ l’abscisse à l’instant initial $t=0$

Démonstration de cours : Établir les expressions de $v_x(t)$ et de $x(t)$

* On a par définition

$\frac{dv_x}{dt}(t)=a_0$

donc en primitivant

$v_x(t)=a_0t+K$

où $K$ est une constante.

À l’instant initial $t=0$ on en déduit

$v_0=a_0\times 0+K$

donc $K=v_0$

* On a par définition

$\frac{dx}{dt}(t)=a_0t+v_0$

donc en primitivant

$x(t)=\frac12a_0t+v_0t+K'$

où $K'$ est une constante.

À l’instant initial $t=0$ on en déduit

$x_0=\frac12a_0\times 0^2+v_0\times 0+K'$

donc $K'=x_0$

1. Le mouvement circulaire en Terminale

$M$ a un mouvement est circulaire si sa trajectoire est un arc de cercle de centre $O$ et rayon $R$ .

Le mouvement est circulaire et uniforme si la norme $v$ de sa vitesse est constante.

ATTENTION ! Ce n’est pas le vecteur vitesse qui est constant, donc l’accélération du point $M$ n’est pas nulle.

Lorsque $M$ fait un tour complet du cercle, il parcourt une distance égale au périmètre du cercle $2\pi R$ . La durée de parcours est la période $T$ du mouvement.

On a donc

$v=\frac{2\pi R}{T}$ ou $T=\frac{2\pi R}{v}$

Exemple
Le centre de la Terre décrit un mouvement à peu près circulaire et uniforme autour du centre du Soleil, de rayon $R=1,496\cdot 10^{11}~\mathrm{m}$ avec une période égale à une année terrestre, soit 365,25 jours. Calculer la norme de la vitesse.

Correction :
On convertit $T$ en secondes :

$T=365,25\times 24\times 3600$

$T=31,56\cdot 10^6~\mathrm{s}$

On en déduit

$\displaystyle{v=\frac{2\pi\times 1,496\cdot 10^{11}}{31,56\cdot 10^6}=29,78~\mathrm{km\cdot s^{-1}}}$

2. La description cinématique en Terminale

La description cinématique (vecteurs position, vitesse, accélération) d’un mouvement circulaire n’est pas aisée dans un référentiel (référentiel « cartésien ») $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$

On préfère travailler en utilisant le repère de Frenet défini ainsi :

à une date $t$ , $M$ se trouve en un point du cercle et tourne dans un sens donné

* le vecteur tangent $\vec{T}$ est un vecteur de norme 1, tangent au cercle et orienté dans le sens du déplacement

* le vecteur normal $\vec{N}$ est un vecteur de norme 1, perpendiculaire dans le plan du cercle au vecteur $\vec{T}$ et orienté vers le centre $O$ du cercle.

3. Mouvement circulaire et vitesse en Terminale

Un point $M$ en mouvement circulaire, de centre $O$ , de rayon $R$ , a pour vitesse $v(t)$ , constante si le mouvement est circulaire uniforme, non constante si le mouvement est circulaire non uniforme.

Dans le repère de Frenet, voici les expressions des vecteurs vitesse et accélération.

* $\vec{v}(t)=v(t)\vec{T}$

* $\vec{a}(t)=\frac{dv}{dt}(t)\vec{T}+\frac{v^2(t)}{R}\vec{N}$

$a_T=\frac{dv}{dt}(t)$ est appelée l’accélération tangentielle

$a_N=\frac{v^2(t)}{R}$ est appelée l’accélération normale.

Si le mouvement est circulaire uniforme à la vitesse $v$ alors

$\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{N}$

Elle est donc dirigée vers le centre $O$ et dite « centripète« . Ceci est conforme au fait que le vecteur accélération a la direction et le sens de l’inflexion du vecteur vitesse.

Si le mouvement est circulaire et accéléré ( $v$ est une fonction croissante de $t$ ), alors l’accélération a deux coordonnées positives dans la base de Frenet.

Si le mouvement est circulaire et décéléré ( $v$ est une fonction décroissante de $t$ ), alors l’accélération a une coordonnée positive sur $\vec{N}$ et négative sur $\vec{T}$ dans la base de Frenet.

Exemple
Un pilote de chasse a un mouvement circulaire de rayon $R=1,5~\mathrm{km}$ , uniforme à la vitesse $v=330~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$

Quelle est la norme de l’accélération qu’il subit ?

Correction :
$\displaystyle{\|\vec{a}\|=a_N=\frac{v^2}{R}=72,6~\mathrm{m\cdot s^{-2}}}$

(soit 7,4 « g », 7,4 fois l’accélération de la pesanteur).

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2. Le vecteur accélération en Terminale

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