Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

Cours : Intégration sur un intervalle quelconque en Maths Spé

Résumé de cours Exercices et corrigés

Résumé de cours et méthodes – Intégration sur un intervalle quelconque

1. Comment prouver qu’une intégrale est convergente ?

⚠️ ⚠️ Toujours commencer par l’étude de la continuité de $f$ .

$\bullet$ M1.Par utilisation des intégrales impropres au programme (en général par comparaison par inégalité ou par équivalence avec M3) :
$\ast$ l’intégrale $\displaystyle \int_1^{\infty} \frac 1 {t^{\alpha}} \,\textrm{d} \, t$ converge ssi $\alpha > 1$ .
$\ast$ si $a < b$ , les intégrales $\displaystyle \int_a^{b} \frac 1 {( t- a)^{\alpha}} \,\textrm{d} \, t$ et $\displaystyle \int_a^{b} \frac 1 {( b- t)^{\alpha}} \, \textrm{d} \, t$ convergent ssi $\alpha < 1$ .
$\ast$ l’intégrale $\displaystyle \int_0^{1} \ln(t) \, \textrm{d} \, t$ converge.
$\ast$ si $\alpha \in \mathbb{R}$ , l’intégrale $\displaystyle \int_0^{\infty} \textrm{e} ^{ - \alpha\, t } \, \textrm{d} \, t$ converge ssi $\alpha > 0$ .

$\bullet$ M2. Par somme ou produit par un scalaire :
Si $f$ et $g$ sont continues par morceaux sur l’intervalle de bornes $a$ et $b$ et si $\lambda$ est un scalaire, lorsque les intégrales $\int_a^b f(t)\, \textrm{d} \, t$ et $\int_a^b g(t)\, \textrm{d} \, t$ convergent, les intégrales $\int_a^b (f(t)+g(t)) \, \textrm{d} \, t$ et $\int_a^b \lambda \, f(t) \,\textrm{d} \, t$ convergent.

$\bullet$ M3. Dans le cas de fonctions à valeurs positives ou nulles par utilisation des relations de comparaison
Si $f$ et $g$ sont continues par morceaux sur $I = [a ,\, b[$ à valeurs positives ou nulles,
a) si $f(x) \underset{x \to b} { = } O(g(x))$ et si l’intégrale $\int_a^b g(t)\, \textrm{d} \, t$ est convergente, alors l’intégrale $\int_a^b f(t)\, \textrm{d} \, t$ est convergente.
b) si $f(x) \underset {x \to b } \sim g(x)$ , l’intégrale $\int_a^b f(t)\, \textrm{d} \, t$ est convergente ssi l’intégrale $\int_a^b g(t)\, \textrm{d} \, t$ est convergente.

$\bullet$ M4. En démontrant que l’intégrale est absolument convergente, c’est-à-dire en démontrant que l’intégrale $\int_a^b \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \, t$ est convergente.

$\bullet$ M5. Lorsque $f$ est continue par morceaux et à valeurs positives sur $I = [a ,\, b[$ (resp $I = ]a ,\, b]$ ), en démontrant que la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\, \textrm{d} \, t$ (resp. $x \mapsto \int_x^b f(t)\, \textrm{d} \, t$ ) est majorée sur $I$ .

$\bullet$ M6. Par évaluation d’une limite d’intégrale (méthode déconseillée sauf dans le cas d’intégrales du type M7) :
$\ast$ Si $f$ est continue par morceaux sur $[a , \,b[$ , en démontrant que la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\, \textrm{d} \, t$ a une limite finie à gauche en $b$ si $b$ est fini ou en $+\infty$ si $b = +\infty$ .
On peut aussi prendre $c \in \; ]a ,\, b[$ et raisonner avec $x \mapsto \int_c^x f(t)\, \textrm{d} \, t$ .
$\ast$ Si $f$ est continue par morceaux sur $]a ,\, b]$ , en démontrant que la fonction $x \mapsto \int_x^b f(t)\, \textrm{d} \, t$ a une limite finie à droite en $a$ si $a$ est fini ou en $- \infty$ si $a = - \infty$ . On peut aussi raisonner avec $x \mapsto \int_x^c f(t)\, \textrm{d} \, t$ où $c \in \; ]a ,\, b[$ .
$\ast$ Si $f$ est continue par morceaux sur $]a ,\, b[$ , on introduit $c \in\; ]a ,\, b[$ et on démontre que les intégrales $\int_a^c f(t)\, \textrm{d} \, t$ et $\int_c^b f(t)\, \textrm{d} \, t$ sont convergentes (cf a) et b)).

$\bullet$ M7. En connaissant l’exemple classique : l’intégrale $\displaystyle \int_{ 1} ^{+\infty }\frac { \sin(t) } {t } \, \textrm{d} \, t$ converge mais ne converge pas absolument.
De même, si $0 < a \leq 1$ , les intégrales $\displaystyle \int_{ 1} ^{+\infty }\frac { \sin(t) } {t ^a } \, \textrm{d} \, t$ et $\displaystyle \int_{ 1} ^{+\infty }\frac { \cos(t) } {t ^a } \, \textrm{d} \, t$ convergent.
(La démonstration utilise une intégration par parties).

$\bullet$ M8. Par utilisation du théorème de changement de variable à partir d’une intégrale convergente :
Si $f$ est continue par morceaux sur $]a ,\, b[$ et si $\varphi$ est une bijection strictement monotone de $]\alpha ,\, \beta[$ sur $]a , \,b[$ et de classe $C^1$ ,
l’intégrale $\int_a^b f(t) \, \textrm{d} \, t$ converge ssi l’intégrale $\int_{\alpha}^{\beta} f\circ \varphi (u)\, \varphi'(u) \, \textrm{d} \, u$ converge. Et dans ce cas :
$\int_a^b f(t) \, \textrm{d} \, t = \int_{\alpha}^{\beta} f\circ \varphi (u)\, \vert \varphi'(u) \vert \, \textrm{d} \, u$

exemple : On sait que l’intégrale $\int_0^1 \ln(t) \, \textrm{d} \, t$ converge. Comme la fonction $\varphi \, :\; ]0 , \,1[ \rightarrow \, ]0 , \,1[,\; u \mapsto 1 - u$ est une bijection strictement décroissante de classe $C^1$ , alors l’intégrale $\int_0^1 \ln(1 - u ) \, \textrm{d} \, u$ converge.

👍 Pour la rédaction d’un changement de variable :
On suppose que $t$ est la variable initiale et $I$ l’intervalle initial d’intégration et que vous voudriez remplacer $t$ en fonction de $u$ .
Suivre les étapes suivantes :
$\ast$ Définir $\varphi : \; ?? \rightarrow I$ ,
$\ast$ puis $u \mapsto \; ?$ et remplacez le $?$ par ce par quoi vous voulez remplacer $t$ .
$\ast$ Et enfin terminez en remplaçant $??$ par l’intervalle $J$ de façon à avoir défini une bijection. (voir un exemple en M1 § 5.)

$\bullet$ M9. Par utilisation du théorème d’intégration par parties.
Si l’on écrit la fonction $f$ sous la forme $f = u' \, v$ , les fonctions $u$ et $v$ étant de classe $C^1$ sur l’intervalle $I$ de bornes $a$ et $b$ , si la fonction $u \, v$ admet une limite finie en $a$ et en $b$ , il suffit que l’intégrale $\int_a^b u'(t)\, v(t) \, \textrm{d} \, t$ converge pour que l’intégrale $\int_a^b u(t) \, v'(t) \, \textrm{d} \, t$ converge.

COURS DE MATHS

Nous avons recruté pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths

S'EXERCER ET APPRENDRE

Avis Google France ★★★★★ 4,8 sur 5

2. Comment prouver qu’une fonction est intégrable ?

Important : Toujours commencer par vérifier que $f$ est continue par morceaux sur l’intervalle $I$ .

Quelques remarques pour simplifier :
$\ast$ Si l’intervalle $I$ est de la forme $]a ,\, b[$ , prouver que $f$ est intégrable sur $]a ,\, c]$ et sur $[c , \,b[$ où $c$ est un réel donné de $]a ,\, b[$ .
$\ast$ Cas de simplification : si $I =\; ]a ,\, b[$ et s’il est possible de prolonger la fonction par continuité en $a$ , il suffira de prouver que $f$ est intégrable sur $[c , \, b[$ où $c \in \, ]a ,\, b[$ puisque $f$ sera continue sur $[a ,\, c]$ .
$\ast$ Dans le cas où $I =\; ]- a ,\, a[$ et où $f$ est paire ou impaire, il suffit de prouver que $f$ est intégrable sur $[0 ,\, a[$ .

$\bullet$ M1. Si $I = [a ,\, b]$ , on vérifie que $f$ est continue par morceaux sur $[a ,\, b]$ .

$\bullet$ M2. Si $I$ n’est pas un segment, on vérifie que $f$ est une fonction continue par morceaux sur $I$ puis on prouve que l’intégrale de $f$ sur $I$ est absolument convergente (cf § I.)

$\bullet$ M3. Les exemples fondamentaux au programme.
$\ast$ $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x^\alpha}$ est intégrable sur $[1 , \,+\infty[$ ssi $\alpha > 1$
$\ast$ $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x^\alpha}$ est intégrable sur $]0 , \, 1]$ ssi $\alpha < 1$
$\ast$ $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {(b - x)^\alpha }$ est intégrable sur $[a , \,b[$ ssi $\alpha < 1$
$\ast$ $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {(a - x)^\alpha }$ est intégrable sur $]a , \,b]$ ssi $\alpha < 1$
$\ast$ $x \mapsto \textrm{e} ^{- a x }$ est intégrable sur $[0 ,\, +\infty [$ ssi $a > 0$
$\ast$ $x \mapsto \ln(x)$ est intégrable sur $]0 ,\, 1]$ .

$\bullet$ M4. Par majoration :
Si $f$ est continue par morceaux sur l’intervalle $I$ et s’il existe une fonction $g$ continue par morceaux, intégrable sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ telle que $\forall \, x \in I, \; \vert f(x)\vert \leq g(x)$ , $f$ est intégrable sur $I$ .

$\bullet$ M5. En prouvant que $f$ est équivalente à une fonction intégrable :
N.B. : quand cette méthode est utilisable, elle est préférable à la méthode M6 car elle est plus simple et donne alors une CNS d’intégrabilité (utile si $f$ dépend d’un paramètre), ce que l’on n’obtient pas en utilisant M6.
$\ast$ M5.1. Cas $I = [a , \,+\infty[$ : si $f \in C_m(I , \, \mathbb{K})$ et s’il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ et $A \in \mathbb{R}^*$ tels que : $\displaystyle f(x) \underset {x \to \infty } \sim \frac A {x ^\alpha}$
$f$ est intégrable sur $I$ ssi $\alpha > 1$ .
$\ast$ M5.2. Cas $I = \, ]a ,\, b]$ où $a \in \mathbb{R}$ : si $f \in C_m (]a ,\, b] ,\, \mathbb{K} )$ et s’il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ et $A \in \mathbb{R}^*$ tels que $\displaystyle f(x) \underset {x \to a } \sim \frac A {(x-a) ^\alpha}$ ,
$f$ est intégrable sur $I$ ssi $\alpha < 1$ .
$\ast$ M5.3. Cas $I = [a ,\, b[$ où $b \in \mathbb{R}$ : si $f \in C_m([a , \, b[ , \, \mathbb{K})$ et s’il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ et $A \in \mathbb{R}^*$ tels que $\displaystyle f(x) \underset {x \to b } \sim \frac A {(b-x) ^\alpha}$ ,
$f$ est intégrable sur $I$ ssi $\alpha < 1$ .

$\bullet$ M6. En prouvant que $f$ est dominée par une fonction intégrable :
$\ast$ M6.1. Cas $I = [a , \, +\infty[$ : si $f \in C_m(I , \,\mathbb{K})$ , il suffit qu’il existe $\alpha > 1$ tel que $\displaystyle f(x) \underset {x \to \infty} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {x^\alpha} \right )$ .
Ce raisonnement s’applique en particulier lorsque $\displaystyle \lim _{x\to+\infty} \, x^{\alpha} \, f(x) = 0$ avec $\alpha > 1$ .

Cas fréquents d’utilisation :
a) si $f (t) = g(t)\, \textrm {exp}(- \alpha t)$ ou $f(t) = g(t)\, \textrm {exp}(- \alpha t^ 2)$ avec $\alpha > 0$ et $g$ continue sur $[a , +\infty[$ , il est souvent possible de conclure en prouvant que $\displaystyle \lim _{x\to+\infty} \, x^{2} \, f(x) = 0$ .
On pourra en particulier utiliser ce raisonnement lorsque $g$ est une fonction polynôme de degré $n$ .
b) si $f(t) = g(t) \ln t$ , où $g$ est continue sur $[a , +\infty[$ ( $a > 0$ ), il suffit de trouver $\alpha > 1$ tel que $\displaystyle \lim _{x\to+\infty} \, x^{ \alpha} \, f(x) = 0$ .

$\ast$ M6.2. Cas $I = \; ]a ,\, b]$ où $a \in \mathbb{R}$ : si $f \in C_m (]a ,\, b] ,\, \mathbb{K} )$ et s’il existe $\alpha < 1$ tel que $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {(x- a) ^{\alpha }} \right )$ , on écrit que la fonction $\displaystyle x \mapsto \frac 1 {(x- a) ^{\alpha }}$ est intégrable sur $]a , \, b]$ , donc $f$ est intégrable sur $]a ,\, b]$ .

$\ast$ M6.3. Cas $I = [a ,\, b[$ où $b \in \mathbb{R}$ : si $f \in C_m([a , _, b[ , \, \mathbb{K} )$ et s’il existe $\alpha < 1$ tel que $\displaystyle f(x) \underset {x \to b} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {(b- x) ^{\alpha }} \right )$ , on écrit que la fonction $\displaystyle x \mapsto \frac 1 {(b- x) ^{\alpha } }$ est intégrable sur $[a , \, b[$ , donc $f$ est intégrable sur $[a ,\, b[$ .

$\bullet$ M7. En utilisant un DL :
Si $f \in C_m([a , \, +\infty[ , \mathbb{R}[)$ et si l’on peut trouver un développement limité de $f$ en $1/t$ à l’ordre 2 de la forme $\displaystyle f(t) \underset {t \to \infty} { = } \alpha + \frac \beta t + \frac \gamma {t ^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )$ ,
$f$ est intégrable sur $[a , +\infty[$ ssi $\alpha = \beta = 0$ (justifier le résultat à chaque fois).
On peut aussi écrire que $\displaystyle f(t) \underset {t \to \infty} { = } \alpha + \frac \beta t + \textrm{O} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )$ et justifier que $f$ est intégrable sur $[a , +\infty[$ ssi $\alpha = \beta = 0$ .

$\bullet$ M8. En utilisant le théorème de changement de variable :
On suppose que $f$ est continue par morceaux sur $I$ et qu’il existe une fonction $\varphi$ de classe $C^1$ sur l’intervalle $J$ définissant une bijection strictement monotone de $J$ sur $I$ ,
alors $f$ est intégrable sur $I$ ssi $f \circ \varphi \vert \, \varphi ' \vert$ est intégrable sur $J$ et dans ce cas $\int_I f = \int_J f \circ \varphi \, \vert \varphi ' \vert$
dém : On applique le théorème de changement de variable aux fonctions $\vert f \vert$ et $\vert f \vert \circ \varphi \vert \, \varphi ' \vert$ pour prouver l’intégrabilité.

$\bullet$ M9. Lorsqu’une primitive de $\vert f \vert$ est simple, on démontre que $x \mapsto\int_a^x \vert f(t)\vert \, \textrm{d} \, t$ admet une limite finie en $b$ pour démontrer que $f$ est intégrable sur $[a ,\, b[$ , etc….

$\bullet$ M10. En utilisant des fonctions de carré intégrables : si les fonctions $f$ et $g$ sont continues par morceaux à valeurs dans $\mathbb{R}$ sur l’intervalle $I$ et de carré intégrable, la fonction $f g$ est intégrable sur $I$ .
On rappelle que la justification (parfois demandée) résulte de l’inégalité classique : $2 \vert f(t) \, g(t)\vert \leq f ^2(t) + g^2(t)$ .

Pour plus d’efficacité dans vos révisions et pour obtenir de meilleures notes, utilisez les nombreuses ressources mises à disposition des étudiants en Maths Spé, notamment les cours en ligne de Maths en PSI, les cours en ligne de Maths en PC et même les cours en ligne de Maths en MP mais aussi les cours en ligne de Maths en PT.

3. Les risques d’erreurs sur les intégrales sur un intervalle quelconque

3.1. intégrabilité sur $[a , +\infty[$ et limite en $+\infty$

à savoir démontrer :
Si $f$ est intégrable sur $[a ,\, +\infty[$ et si $f$ a une limite $L$ en $+\infty$ , cette limite est nulle.

⚠️ Mais démontrer que $f$ a une limite nulle en $+\infty$ ne prouve pas que $f$ est intégrable sur $[1 ,\, +\infty[$ (considérer $t \mapsto 1/t$ ).

⚠️ Il existe des fonctions intégrables sur $\mathbb{R}^+$ et sans limite en $+\infty$ , elles peuvent même être non bornées. 🧡

3.2. faute sur l’intervalle

⚠️ $\ast$ On écrit que $t \mapsto 1/t^{\alpha}$ est intégrable sur $[1 , +\infty[$ lorsque $\alpha > 1$ , mais elle n’est pas intégrable sur $]0 , +\infty[$ !
$\ast$ On écrit que $t \mapsto 1/t^{\alpha}$ est intégrable sur $]0 ,\, 1]$ lorsque $\alpha < 1$ , mais elle n’est pas intégrable sur $]0 , +\infty[$ !

⚠️ On suppose que $c \in \; ]a ,\, b[$ . Si l’on a prouvé que $f$ est intégrable sur $[c ,\, b[$ , il ne suffit pas que $f$ soit continue par morceaux sur $]a , \,b]$ pour que $f$ soit intégrable sur $]a ,\, b[$ (prendre $f : t \mapsto 1/t^ 2$ avec $a = 0, c = 1 \textrm { et } b = +\infty$ ).
Par contre, si $f$ est intégrable sur $[c ,\, b[$ et si $f$ est continue sur $[a , \, c]$ , $f$ est intégrable sur $[a ,\, b[$ , donc intégrable sur $]a , \,b[$ .

PROF DE MATHS PARTICULIER

Des cours de qualité et enseignants aguerris

Préparer des concours ou s'exercer

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

4. Comment prouver que $f$ n’est pas intégrable sur $I$

$\bullet$ M1. En trouvant une fonction $g$ non intégrable sur $I$ telle que pour tout $x \in I,$ $\vert f(x)\vert \geq g(x)$ .

$\bullet$ M2. Lorsque $I = [a ,\, b[$ , en montrant que $f$ est équivalente au voisinage de $b$ à une fonction non intégrable sur $[a ,\, b[$ .

$\bullet$ M3. Si $f$ est à valeurs positives ou nulles et si $f$ a une primitive simple, en démontrant que $x \mapsto \int_a^x f(t) \, \textrm {d} \, t$ n’admet pas de limite finie en $b$ , on démontre que $f$ n’est pas intégrable sur $[a , \, b[$ , etc….
Dans le cas où $f$ n’est pas à valeurs positives ou nulles, il faut raisonner avec $\vert f \vert$ .

$\bullet$ M4. En utilisant l’exemple classique : la fonction $\displaystyle t \mapsto \frac {\sin(t)} t$ n’est pas intégrable sur $[1 , +\infty[$ .

5. Intégrales de Bertrand.

⚠️ Très important : les intégrales de Bertrand ne sont pas au programme, vous ne pouvez pas utiliser le résultat sur la convergence. Vous ne devez pas dire triomphant » c’est une intégrale de Bertrand « . Gardez Mr Bertrand comme ami inavoué et utilisez la méthode adaptée suivant le cas rencontré en pratique.
Le compter ouvertement pour votre ami, c’est vous exposer à devoir faire une démonstration complète.

5.1 sur $\mathbf{[1 , +\infty[}$
But étude de la convergence de l’intégrale $\displaystyle \int_1^{+\infty } \frac 1 {t ^{\alpha} \, \ln^{\beta} (t) } \, \textrm{d} \,t$

Résultat : Intégrale convergente $\Leftrightarrow \alpha > 1 \textrm { ou } (\alpha = 1 \textrm { et }\beta > 1)$

$\bullet$ Méthode si $\mathbf{\alpha > 1}$ :
Chercher au brouillon $\gamma > 1$ tel que $\displaystyle \lim_{t \to \infty} t ^{\gamma} \, f(t) = 0$ .
Vous prendrez $\gamma$ tel que $1 < \gamma < \alpha$ et justifierez sur votre copie que $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} t ^{\gamma} \, f(t) = 0$ puis que $\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty} { = } \textrm{o} \left ( \frac 1 {t^\gamma} \right )$ etc …

$\bullet$ Méthode si $\mathbf{\alpha = 1}$ :
Calculer $\displaystyle F(x) = \int_2^x \frac 1 {t \, \ln^{\beta} (t)} \, \textrm {d} \, t$ en distinguant $\beta \neq 1$ et $\beta = 1$ .
Suivant le cas, étudier la limite de $F$ en $+\infty$ .

$\bullet$ Méthode si $\mathbf{\alpha < 1}$ :
Montrer que $\displaystyle \lim_{t \to +\infty}\, t \, f(t) = +\infty$ et montrer qu’il existe $c \geq2$ tel que sur $[c , + \infty[, f(t) > 1/t$ et conclure par minoration à la divergence.

5.2 sur $\textbf{]0 , 1/2]}$
But étude de la convergence de l’intégrale $\displaystyle \int_0^{1/2 } \frac 1 {t ^{\alpha} \, \ln^{\beta} (t) } \, \textrm{d} \,t$

Résultat : Intégrale convergente $\Leftrightarrow \alpha < 1 \textrm { ou } (\alpha = 1 \textrm { et }\beta > 1)$

$\bullet$ Méthode si $\mathbf{\alpha < 1}$ :
Chercher au brouillon $\gamma < 1$ tel que $\displaystyle \lim_{t \to 0} t ^{\gamma} \, f(t) = 0$ .
Vous prendrez $\gamma$ tel que $\alpha < \gamma < 1$ et justifierez sur votre copie que $\displaystyle \lim_{t \to 0}\, t ^{\gamma} \, f(t) = 0$ puis que $\displaystyle f(t) \underset {t \to 0} { = } \textrm{o} \left ( \frac 1 {t^\gamma} \right )$ etc …

$\bullet$ Méthode si $\mathbf{\alpha = 1}$ :
Calculer $\displaystyle F(x) = \int_x^{1/2} \frac 1 {t \, \ln^{\beta} (t)} \, \textrm {d} \, t$ en distinguant $\beta \neq 1$ et $\beta = 1$ .
Suivant le cas, étudier la limite de $F$ en $0$ .

$\bullet$ Méthode si $\mathbf{\alpha > 1}$ :
Montrer que $\displaystyle \lim_{t \to 0} \, t \, f(t) = +\infty$ et montrer qu’il existe $c \in \; ]0 , \,1/2]$ tel que sur $]0 , \, c], f(t) > 1/t$ et conclure par minoration à la divergence.

Le programme entier de Maths en Maths Spé est en ligne. Révisez une nouvelle fois en cours de maths particulier ou prenez quelques semaines d’avance en revoyant par exemple les notions suivantes :

Si vous souhaitez accéder à l’ensemble des méthodes et aux corrigés des exemples, n’hésitez pas à télécharger l’application PrepApp