Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

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Préhilbertiens pour les MP, PC, PSI et PT

Résumé de cours Exercices Corrigés

Résumé de cours et méthodes – Préhilbertiens

1. Pour démontrer que l’on a défini un produit scalaire

$\bullet$ M1. Si $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel,
$\ast$ vérifier que $E^2 \to \mathbb{R}, \, (x , \,y) \mapsto \varphi (x , \,y)$ est une forme bilinéaire symétrique en démontrant les deux propriétés :
… $\forall \, y \in E, \; x \mapsto \varphi(x , \,y)$ est linéaire
… et $\forall\, (x , \,y) \in E^2, \; \varphi(x , \,y) = \varphi(y ,\, x)$ .
$\ast$ puis montrer que $\varphi$ est positive non dégénérée en prouvant que :
… $\forall \, x \in E, \; \varphi(x , \,x) \geq 0$
… $\varphi(x , \,x) = 0 \Rightarrow x = 0$
ce qui est plus simple en général que de prouver que : $\quad \quad \forall \, x \in E \setminus \{0\},\; \varphi(x ,\, x) > 0$ .

$\bullet$ M2. Lorsque $E = \mathbb{R}^n$ , on peut aussi
$\ast$ écrire $f(x , \, y) = X^{\textrm{T}} \, A\, Y$ où $X$ et $Y$ sont les matrices de $x$ et $y$ dans la base canonique $b$ et vérifier que $A$ est une matrice symétrique réelle.
$\ast$ et démontrer que $\textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^{+*}$ .

$\bullet$ M3. Pour montrer que $N$ est une norme euclidienne, il faut montrer qu’il existe un produit scalaire $\varphi$ défini sur $E$ vérifiant $\forall \, x \in \, E ,\; N(x) =\sqrt {\varphi(x ,\, x)}$ .

On peut trouver l’expression de $\varphi$ en utilisant l’une des deux identités de polarisation :
$\varphi(x ,\, y) =$
$\displaystyle \quad \frac 1 2 (N(x + y)^2 - N(x)^2 - N(y)^2)$
ou $\displaystyle \varphi(x , \, y) = \frac 1 4 (N(x + y)^2 - N(x - y)^2).$

$\bullet$ M4. Connaître les produits scalaires au programme.
$\ast$ Sur $\mathbb{R}^n$ , le produit scalaire canonique
si $x = (x_1 , \, \cdots \, , \, x_n)$ et $y = (y_1 , \, \cdots \, , \, y_n)$ , $\displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i$ .

$\ast$ Sur $\mathcal{M} _{n , 1} (\mathbb{R})$ , le produit scalaire canonique :
si $X = (x_i) _{1 \leq i \leq n}$ et $Y = (y_i) _{1 \leq i \leq n}$
$\quad \quad \displaystyle (X\, | \, Y) = X^{\textrm{T}}\, Y = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i$ .

$\ast$ Sur l’espace vectoriel $E$ des fonctions continues sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , $\quad \quad (f \, | \, g) = \displaystyle \int_a ^b f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t$ .

$\ast$ Sur l’espace vectoriel $E$ des fonctions continues et de carré intégrable sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , $\quad \quad (f \, | \, g) = \displaystyle \int_I f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t$ .

$\ast$ et le résultat classique à savoir démontrer : Soit $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .
$\quad \quad E \times E \to \mathbb{R},\; (A , B) \mapsto \textrm{Tr}(A^{\textrm{T}} \, B)$ définit un produit scalaire sur $E$ .

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2. Comment utiliser le fait que $(E , ( . \,|\, . ))$ est un préhilbertien réel ?

$\bullet$ M1. Pour démontrer qu’un vecteur $x$ de $E$ préhilbertien réel est nul, on peut
$\ast$ démontrer que $\Vert x \Vert ^2 = 0$
$\ast$ démontrer que $\forall \, y \in E,\; (x \,|\, y) = 0$ , c’est-à-dire que $x \in E^{\perp}$ .
En particulier si l’on a prouvé que $\quad \quad \forall \, y \in E,\; (x\, |\, y) = (x' \,|\, y)$ ,
alors $\forall \, y \in E,\; (x - x' \,|\, y) = 0$ , donc $x - x' \in E^{\perp} = \{0\}$ .

$\bullet$ M2. Si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie du préhilbertien réel $E$ , $E = F \oplus ^{\perp} F^{\perp}$ .

$\bullet$ M3. Si $(E , ( .\, |\, . ))$ est un préhilbertien réel, on peut utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz : $\quad \quad \forall \, (x , y) \in E^2, \; \vert (x \,| \,y)\vert \leq \Vert x \Vert \; \Vert y \Vert .$
Il y a égalité si, et seulement si, la famille $(x ,\, y)$ est liée.

$\bullet$ M4. Inégalité de Bessel :
Si $(E , ( .\, | \,. ) )$ est un préhilbertien réel et si $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une famille orthonormale de $E$ ,
$\quad \forall x \in E,\, \displaystyle \sum _{i = 1} ^n (e_i \, | \, x)^2 \leq \Vert x \Vert ^2$ .

$\bullet$ M5. Cas des familles totales :
rappel : la suite $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de vecteurs de $E$ est totale si l’espace vectoriel qu’elle engendre est une partie dense de $E$ i.e. $E = \overline {\textrm{Vect} ( (e_n )_{n \in \mathbb{N }})}$ .
P : Soit $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite orthonormale totale d’éléments de $E$ .
On note $p_n$ la projection orthogonale sur l’espace $F_n = \textrm{Vect}(e_0 \, , \, \cdots \, , \, e_n)$ ,
$\forall x \in E,\, \displaystyle \lim _{n \to + \infty} p_n(x)= x$
soit $\displaystyle x = \sum _ {n = 0}^{+\infty} (x \, | \, e_n)\, e_n$ .

h.p : On peut démontrer la formule de Parseval :
Si $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite orthonormale totale d’éléments de $E$ , alors $\quad \quad \forall \, x \in E,\; \Vert x \Vert ^2 = \displaystyle \sum _ {n = 0} ^ {+\infty} (x \, | \, e_n)^2$ .

Dans la suite du paragraphe, $E$ est un espace euclidien.
$\bullet$ M6. Utilisation d’une base orthonormale $\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n}\,$ ,
$\ast$ $\forall \, x \in E,\; \displaystyle x = \sum_ {i = 1} ^n (x \, | \, e_i) \, e_i$ .
$\ast$ $\forall \, (x , \,y) \in E^2$ ,
$\displaystyle x = \sum_{i = 1} ^n x_i \, e_i\,$ et $\displaystyle y = \sum_{i = 1} ^n y_i \, e_i\,$ , alors $\displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i$ et $\Vert x \Vert ^2 = \displaystyle \sum_{i = 1} ^n x_i ^2$ .
$\ast$ Si l’on note $X$ et $Y$ les matrices colonnes de $x$ et $y$ dans la base $\mathcal{B}$ , $(x \, | \, y ) = X^{\textrm{T} } \, Y$ .

$\bullet$ M7. Si $\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n\, }$ est une base orthonormale de l’espace euclidien $E$ et si $A = M_ {\mathcal{B} }(u)$ où $u \in \mathcal{L}(E)$ , $\forall \, (i, \, j) \in [\![1, \, n]\!]^2,\,a_{i , \, j} = (e_i \, | \, u(e_j))\,$
(à redémontrer).

$\bullet$ M8. Si $f$ est un produit scalaire sur l’espace vectoriel euclidien $E$ de base $\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n}\,$ , on peut définir la matrice $A = (a_{i,j})_{1 \leq i , \, j \leq n}$ où $\quad \forall \, (i , j) \in [\![1 ,\, n]\!]^2, \; a_{i , j} = f(e_i , \, e_j)$ ,
(on dit que $A$ est la matrice du produit scalaire $f$ dans la base $\mathcal{B}$ ).
En notant $X = M_{\mathcal{B}} (x) = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ et $Y = M_{\mathcal {B}} (y) = (y_i)_{1 \leq i \leq n}$ ,
$\quad \quad f(x , \, y) = X^{\textrm{T} } \, A \, Y$ .

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3. Comment construire une famille orthonormale ?

Dans ce paragraphe, $(E ,\, ( . \, | \, . ))$ est un espace préhilbertien réel.

$\bullet$ M1. en utilisant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt :
$\ast$ Introduire une famille libre $(e_1 \, ,\, e_2 \, ,\, \cdots \, ,\, e_n)$ de $E$ .
$\ast$ Poser $\varepsilon _1 = \displaystyle \frac {e_1} {\Vert e_1\Vert}$ .
$\ast$ Construire les vecteurs par récurrence : après avoir construit $(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _ k)$ , on introduit la projection orthogonale $p_k$ sur $\textrm{ Vect}(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _ k)$ définie par $p_k(u) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^k (u \, | \, \varepsilon_i) \, \varepsilon_i$ et on calcule $u_{k + 1} = e_{k + 1} - p_k (e_{k + 1})$ puis on définit (*) $\varepsilon _{k + 1}= \displaystyle \frac {u_{k + 1}} {\Vert u_{k + 1} \Vert}$ .

Il est aussi possible en cas d’oubli de la formule d’introduire, $\quad \quad u_{k + 1} = e_ {k + 1} + \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{k} \alpha_i \, \varepsilon _ i$
puis de chercher $(\alpha_i) _ {1 \leq i \leq k}$ tels que $\quad \forall \, j \, \in [\![1, \, k]\!] ,\; (\varepsilon _j \, |\, u_{k + 1} ) = 0$
soit $\alpha_j+ ( \varepsilon _j \, | \, e_{k + 1}) = 0$ , ce qui permet de calculer les $\alpha_j$ et on termine par (*).

Remarque : dans le cas où $E$ est de dimension finie et où $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de $E$ , on construit ainsi une base orthonormale $(\varepsilon _k) _{1 \leq k \leq n}$ de $E$ .

Rappel : La famille construite par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt décrit ci-dessus est l’unique famille orthonormale vérifiant pour tout $k \in [\![1 , \, n]\!]$ , $(e_k \, | \, \varepsilon_k) > 0$ et
$\textrm{Vect} (e_1\, , \, \cdots \, , \, e_k) = \textrm{Vect}(\varepsilon_1\, ,\, \cdots \, , \, \varepsilon_k)$ .

$\bullet$ M2. Si $E = F \oplus^{\perp} G$ et si $E$ est de dimension finie, il suffit de construire une base orthonormale de $F$ et une base orthonormale de $G$ , pour obtenir une base orthonormale de $E$ par juxtaposition des bases.

$\bullet$ M3. (h.p.) Si $E$ est un espace euclidien orienté de dimension 3 et si $(u ,\, v)$ est une famille orthonormale, $(u ,\, v ,\, u \wedge v)$ est une base orthonormale directe de $E$ .

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4. Sous-espaces orthogonaux

4.1. Pour démontrer que deux sous-espaces sont orthogonaux
$\bullet$ M1. Pour démontrer que $F$ et $G$ sont orthogonaux, il suffit de prouver que $\quad \quad \forall\, f \in F$ et $\forall \, g \in G$ , $(f\, |\, g) = 0$ .
$F$ et $G$ sont orthogonaux ssi $F \subset G^{\perp}$ ssi $G \subset F^{\perp}$ .

$\bullet$ M2. Utilisation d’une famille génératrice.
$\ast$ Si $G = \textrm{Vect}(g_1\, , \, \cdots \, , \, g_p)$ , pour montrer que $F$ et $G$ sont orthogonaux, il suffit de prouver que $\quad \quad \forall \, f \in F ,\; \forall j \in [\![1 , \, p]\!] , \; (f \, | \, g_i) = 0$ .
$\ast$ Si $F = \textrm{Vect}(f_1\, , \, \cdots \, , \, f_n)$ et $G = \textrm{Vect}(g_1\, , \, \cdots \, , \, g_p)$ , pour montrer que $F$ et $G$ sont orthogonaux, il suffit de prouver que $\forall (i , \, j) \in [\![1 , \, n]\!] \times [\![1 , \, p]\!]$ , $(f_i \, | \, g_j) = 0$ .

$\bullet$ M3. Les sous-espaces propres d’un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux.

Si $F$ et $G$ sont des sous espaces orthogonaux, $F \cap G = \{0\}$ .
En effet, $F \perp G \Rightarrow G \subset F^ {\perp}$ , alors $\{0\} \subset F \cap G \subset F \cap F^{\perp } = \{0\}$ , donc $F \cap G = \{0\}$ .

4.2. Détermination de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel
$\bullet$ M1. Dans le cas le plus simple : $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique
$\ast$ Si $H$ est l’hyperplan d’équation $a_1\, x_1 \, + a_2\, x_2 \, + \, \cdots \, +\, a_n \, x_n = 0$ dans la base canonique, $H ^{\perp} =\textrm{Vect} (a)$ où $a = (a_1\, , \,a_2 \, ,\, \cdots \, ,\, a_n)$ .
$\ast$ Soit $a = (a_1\, , \,a_2 \, ,\, \cdots \, ,\, a_n) \neq 0$ et $F = \textrm{Vect}(a)$ , $F^{\perp}$ est l’hyperplan d’équation $a_1\, x_1 \, + \, \cdots \, +\, a_n \, x_n = 0$ dans la base canonique.

$\bullet$ M2. Si $F = \textrm{Vect}(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)$ , $(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)$ étant une famille quelconque,
$x \in F ^{\perp}$ ssi $\forall \, i \in [\![1 , \, p]\!], \; (x \, | \, u_i) = 0$ .

$\bullet$ M3. Si $F$ est de dimension finie et si l’on connaît une base orthonormale de $F$ notée $(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)$ ,
$F^{\perp } = \displaystyle \left \{ x - \sum _{i = 1} ^p (x \, | \, u_i) \, u_i \; / \; x \in E \right \}$ .

4.3. Supplémentaires orthogonaux
$\bullet$ M1. Si $E$ est de dimension finie ou non et si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$ , $E = F \oplus^{\perp } F^{\perp }$ .
Si $E$ est de dimension infinie, il est possible lorsque $F$ n’est pas de dimension finie que $F$ et $F^{\perp }$ ne soient pas des supplémentaires orthogonaux.

$\bullet$ M2. Si $E$ est un préhilbertien, pour démontrer que les sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont des supplémentaires orthogonaux, il suffit de prouver que $E = F + G$ et que $\forall \, f \in F$ et $\forall \, g \in G,\; (f\, | \, g) = 0.$
Donc $F \cap G = \{0\}$ et $E = F \oplus ^{\perp} G$ .

$\bullet$ M3. Si $E$ est un espace euclidien, pour démontrer que $F$ et $G$ sont des supplémentaires orthogonaux,
$\ast$ M3.1. la méthode la plus simple est souvent de prouver $\; \textrm{dim}\, E = \textrm{dim}\,F + \textrm{dim}\, G$ et $F \perp G$ (a)
et de rappeler le raisonnement du 4.1. donnant : $F \perp G \Rightarrow F \cap G = \{0\}$ (b) donc $E = F \oplus^{\perp} G$ , en utilisant (a) et (b).

$\ast$ M3.2. Il est aussi possible de prouver que $G = F ^{\perp }$ et d’utiliser : dans tout espace euclidien, $E = F \oplus ^{\perp} F^{\perp}$ .

$\bullet$ M4. Si $u$ est un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien, $\textrm{Ker } u$ et $\textrm{Im } u$ sont des supplémentaires orthogonaux.

$\ast$ M3.1. la méthode la plus simple est souvent de prouver $\; \textrm{dim}\, E = \textrm{dim}\,F + \textrm{dim}\, G$ et $F \perp G$ (a)
et de rappeler le raisonnement du 4.1. donnant : $F \perp G \Rightarrow F \cap G = \{0\}$ (b) donc $E = F \oplus^{\perp} G$ , en utilisant (a) et (b).

$\ast$ M3.2. Il est aussi possible de prouver que $G = F ^{\perp }$ et d’utiliser : dans tout espace euclidien, $E = F \oplus ^{\perp} F^{\perp}$ .

$\bullet$ M4. Si $u$ est un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien, $\textrm{Ker } u$ et $\textrm{Im } u$ sont des supplémentaires orthogonaux.

Exercices sur les espaces préhilbertiens

1. Un problème de distance

Exercice 1 :
On note $E$ l’espace vectoriel des applications continues sur $[-1,1]$ et à valeurs réelles.

1. Démontrer que l’on définit un produit scalaire sur $E$ en posant pour $f$ et $g$ dans $E$ , $\displaystyle (f\, |\, g)=\int_{-1}^1f(t)g(t)\;\textrm{d}\,t$ .

3. On note $u\ :\ t\mapsto 1$ , $v\ :\ t\mapsto t$ et $F=\textrm{Vect}(u,v)$ . Déterminer une base orthonormale de $F$ .

3. Déterminer le projeté orthogonal de la fonction $w\ :\ t\mapsto \textrm{e} ^t$ sur le sous-espace $F$ et en déduire la valeur du réel $\displaystyle \inf_{(a,b)\in\mathbb{R} ^2}\int_{-1}^1\left (\textrm{e} ^t-(a+bt)\right )^2\;\textrm{d} t$ .

2. Convergence faible et convergence

Exercice 2 :
Soit $E$ un espace préhilbertien réel. On dit qu’une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de vecteurs de $E$ converge faiblement vers $x \in E$ si $\forall \, y \in E, \displaystyle \lim _{n \to + \infty} (x_n - x \, | \, y) = 0$ .

1. Si la suite $(x_n)_n$ converge vers $x$ , $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge faiblement vers $x$ .

2. On suppose que $E$ est de dimension finie. Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge faiblement vers $x$ , $(x_n)_n$ converge vers $x$ .

3. La réciproque du résultat de la question 1 est fausse en dimension infinie.

3. Exercices sur les matrices de Gram

Exercice 3 :

Soit $(E , (.\,|\,.))$ un préhilbertien réel.
Étant donnés $n$ vecteurs de $E$ $(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ , on définit la matrice de Gram :
$G(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) = ((x_i | x_j))_{1 \leq i , j \leq n}\,$ .
On note $DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ son déterminant.

1. Si $(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ est une famille liée, $DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) = 0$ .

2. On suppose que $(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ est libre et on note $F = \textrm{Vect} (x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ .
Soit $A$ la matrice de la famille $(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ dans une base orthonormale de $F$ .
$G (x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) = A^{\textrm{T}}\, A$ et $DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) > 0$ .

3. $DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ est invariant lorsque l’on ajoute à l’un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs.

4. On suppose que $(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ est une famille libre.
Soit $F = \textrm{Vect}(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)$ et $x \in E$ .
$d(x ,\, F)^2 =\displaystyle \frac {DG(x \,, \, x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) } {DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)}$ .

5. Soit $\mathcal {B} = (a_1\, , \, ,\, \cdots \, , \, , a_n)$ une base orthonormale de l’espace euclidien $E$ , et $u \in \mathcal{L}(E)$ .
$DG(u(a_1),\, \cdots \,, \, u(a_n)) = \textrm{det}^2 (u)$

Corrigés des exercices sur les préhilbertiens :

Exercice 1 :

1. $\ast$ Toute fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment, donc $(.|.)$ est défini sur $E^2$ .
$\ast$ La symétrie provient de la commuta- tivité de la multiplication dans $\mathbb{R}$ .
$\ast$ La linéarité par rapport à la première variable découle de la linéarité de l’intégrale sur le segment $[-1, \, 1]$ .
$\ast$ Si $f\in E$ , $f^2\geq 0 \Rightarrow (f \, |\,f)\geq 0$ .
Si $(f \, | \, f) = 0$ , $f^2$ est une fonction continue positive d’intégrale nulle, donc $f^2$ est nulle. $f$ l’est donc aussi. Ceci justifie le caractère défini positif.

On a prouvé que $(.|.)$ est un produit scalaire sur $E$ .

2. On pourrait utiliser les formules de Schmidt. Cependant, il est immédiat que $(u\, |\, v) = 0$ et il suffit de normer les vecteurs pour obtenir une base orthonormale.
$(u \, | \, u) = 2$ et $(v \, | \, v) = \displaystyle \frac 2 3$ .
$\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}u\, , \, \sqrt{\frac{3}{2}}\; v\right )$ est une b.o.n. de $F$ .

3. $\bullet$ En utilisant la base orthonormale de $F$ définie dans la question précédente $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}u\, ,\, \sqrt{\frac{3}{2}}\, v\right )$ , si $p$ est la projection orthogonale sur $F$ ,
$\quad \quad \displaystyle p(w)=\frac{(w\, |\, u)}{2}\, u+\frac{3 (w\, |\, v)}{2}\, v$ .

$\bullet$ $(w \, | \, u) = \int_{-1} ^1 \textrm{e} ^t \, \textrm{d} \,t = \left [ \textrm{e}^t \right ] _{- 1} ^1$ $(w \, | \, u) = \textrm{e} - \textrm{e}^{-1}$ .
$(w \, | \, v) = \int_{-1}^1 t \, \textrm{e} ^t \, \textrm{d} \,t = \left [ (t - 1) \, \textrm{e}^t \right ] _{- 1} ^1$ $(w \, | \, v) = 2 \, \textrm{e}^{-1}$ .
Donc $\displaystyle p(w)=\frac{\textrm{e}-\textrm{e}^{-1}}{2}\, u+{3}\, \textrm{e}^{-1}\, v$ .

$\bullet$ On remarque que :
$\displaystyle \inf_{(a,b)\in \mathbb{R}^2}\int_{-1}^1\left (\textrm{e}^t-(a+bt)\right )^2\;\textrm{d} t$
$\quad \quad \quad \quad \displaystyle =\inf_{f\in F}\Vert w-f\Vert ^2 = d(w,\, F)^2$ .
D’après le cours, cette distance est atteinte pour $f=p(w)$ et vaut donc $\Vert w-p(w)\Vert^2$ .
En écrivant que $w=(w-p(w))+p(w)$ et en remarquant que $w-p(w)$ et $p(w)$ sont orthogonaux, le théorème de Pythagore donne :
$\quad \quad \displaystyle d(w,\, F)^2 =\Vert w\Vert ^2-\Vert p(w)\Vert ^2$
$\Vert w\Vert ^2 =\displaystyle \left [ \frac {\textrm{e}^{2 t}} 2 \right ] _ 1 ^1 = \frac{\textrm{e}^2-\textrm{e}^{-2}}{2}$ .
$\displaystyle \Vert p(w) \Vert ^2 = \frac{(w \, | \, u)^2 }{2}+ \frac{3 \, (w\, |\, v)^2}{2}$ .
$\Vert p(w) \Vert ^2 = \displaystyle \frac { ( \textrm{e} - \textrm{e}^{-1})^2 } 2 + 6\, \textrm{e}^{-2}$ .

Un calcul au brouillon permet de simplifier cette expression et d’obtenir
$\displaystyle \inf_{(a,b)\in\mathbb{R} ^2}\int_{-1}^1\left (\textrm{e}^t-(a+bt)\right )^2\;\textrm{d} t$ $\quad \quad \quad \quad =1-{7}\, \textrm{e}^{-2}$ .

N’oubliez pas, avant les concours de bien revoir tous les chapitres de mathématiques au programme de Maths Spé, afin de vous assurer de n’avoir fait aucune impasse. Quelques chapitres essentiels à réviser avant les concours post-prépa :