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Familles sommables pour les MP

Résumé de cours Exercices Corrigés

Résumé de cours et méthodes – Familles sommables

1. Les familles de réels positifs indexées par un ensemble dénombrable

1.1. Définition d’une famille sommable de réels positifs ou nuls

def : La famille $(u_i)_{i \in I}$ de réels positifs ou nuls, indexée par un ensemble $I$ dénombrable, est dite sommable si $\quad \mathcal{S } = \left \{ \displaystyle \sum _{i \in F} u_i \; \Bigl | \; F \subset I ,\, F \textrm{ finie } \right \}$
est majoré dans ce cas, la somme de la famille $(u_i)_{i \in I}$ est $\displaystyle \sum _{i \in I} u_i = \sup \mathcal{S}$ .
Si la famille $(u_i)_{i \in I}$ n’est pas sommable, on note $\displaystyle \sum _{i \in I} u_i = +\infty$ .

Conséquence pratique :
Soit $I = \mathbb{N} ^2$ et $(u_{n,m}) _ {(n , m) \in I}$ une famille dénombrable de réels positifs ou nuls.
Pour démontrer que la famille $(u_{n,m}) _ {(n , m) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable, il suffit de prouver qu’il existe un réel $M$ tel que $\forall\, (n , m) \in \mathbb{N} ^2,\; \displaystyle \sum _{i = 0} ^m \left ( \sum _{j = 0} ^{n} u_{i,j} \right ) \leq M$ ,
car toute partie finie de $\mathbb{N} ^2$ est contenue dans une partie de la forme $[\![ 0 , n ]\!] \times [\![ 0 , m ]\!]$ .

Exemple :
La famille $\displaystyle \left( \frac 1 {p^2 + q^2} \right )_{(p , q) \in \mathbb{N} ^{*2}}$ est-elle sommable ?

1.2. Propriétés

P1 : Soient $(u_i)_{i \in I}$ et $(v_i)_{i \in I}$ deux familles dénombrables de réels positifs ou nuls.
Si pour tout $i \in I,\; v_i \leq u_i$ et si la famille $(u_i)_{i \in I}$ est sommable, la famille $(v_i)_{i \in I}$ est sommable et de plus $\displaystyle \sum _ {i \in I} v_i \leq \sum _ {i \in I} u_i$ .

P2 : Soit $(u_n)_{n \in \mathbb {N} }$ une suite de réels positifs ou nuls, la famille $(u_n)_{n \in \mathbb {N} }$ est sommable si, et seulement si, la série de terme général $u_n$ est convergente. Dans ce cas, $\displaystyle \sum _{n \in \mathbb{N} } u_n =\sum _{n = 0} ^{+\infty } u_n$ .

1.3. Théorème de sommation par paquets
Théorème de sommation par paquets :
Si $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une partition de $I$ et $(u_i)_{i \in I}$ une famille de réels positifs, alors la famille $(u_i)_{i \in I}$ est sommable si, et seulement si,
$\ast$ pour tout entier $n$ , la famille $(u_i)_{i \in I_n}$ est sommable.
$\ast$ la série $\displaystyle \sum \left (\sum _ {i \in I_n} u_i \right )$ converge.
Dans ce cas, $\; \displaystyle \sum_{i \in I} u_i =\sum_{n = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _{i \in I_n} u_i \right )$ .

Exemples de choix de partition
$\ast$ Pour $I = \mathbb{N}^2$ , on peut choisir si $n \in \mathbb{N} ,$ $I_n = \{(n , \, q)\, /\, q \in \mathbb{N} \}$ , $I_n = \{(p , \, n) \, /\, p \in \mathbb{N} \}$ ,
ou $I_n = \{(p , \, q)\, \in \mathbb{N} ^2 \, / \, p + q = n\}$ .
$\ast$ Pour $I = \mathbb{N}^* \times \mathbb{N} ^*$ , on peut choisir si $n \in \mathbb{N} ^*, \; I_n = \{(p ,\, q)\in \mathbb{N} ^{*2}\, / \, p \, q = n\}$ .

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2. Cas des familles de complexes indexées par un ensemble dénombrable

2.1. Définition d’une famille sommable et de la somme

def : La famille $(u_i)_{i \in I}$ de réels de signe quelconque ou de complexes, indexée par un ensemble $I$ dénombrable, est dite sommable lorsque la famille de réels positifs ou nuls $(\vert {u_i}\vert )_{i \in I}$ est sommable.

Définition de la somme dans le cas d’une famille sommable :
$\ast$ Dans le cas d’une famille sommable $(u_i)_{i \in I}$ de réels de signe quelconque, on définit pour tout $i \in I$ , $u_i^{+} = \max (u_i , 0)$ et $u_i^{-} = \max (-u_i , 0)$
alors $u_i = u_i^{+} - u_ i^{-}$ et $\vert {u_i}\vert = u_i^{+} + u_ i^{-} \,$ .
On en déduit que $\quad \quad 0 \leq u_i^{+} \leq \vert{u_i}\vert \textrm{ et } 0\leq u_ i^{-}\leq \vert{u_i}\vert$ .
Les familles $(u_i^+)_{i \in I}$ et $(u_i^{-} )_{i \in I}$ sont des familles sommables de réels positifs. On pose :
$\quad \quad \displaystyle \sum _ {i \in I} u_i = \sum _{i \in I} u_i ^+ - \sum _ {i _in I} u_i ^{-}$ .

$\ast$ Dans le cas d’une famille sommable $(u_k)_{k \in I}$ de complexes, on note pour tout $k \in I$ , $u_k = a_k + \textrm{i} \, b_k$ .
Les familles $(a_k)_{k \in I}$ et $(b_k)_{k \in I}$ sont des familles sommables de réels et on pose
$\quad \quad \displaystyle \sum _ {k \in I} u_k = \sum _{k \in I} a_k + \textrm{i} \sum _ {k _in I} b_k$ .

2.2. Propriétés des familles sommables

P1 : Soit $(u_n)_{n \in \mathbb {N} }$ une suite complexe, la famille $(u_n)_{n \in \mathbb {N} }$ est sommable si, et seulement si, la série de terme général $u_n$ est convergente.
Dans ce cas, $\displaystyle \sum _{n \in \mathbb{N} } u_n =\sum _{n = 0} ^{+\infty } u_n$ .

P2 : Soient $(u_i)_{i \in I}$ et $(v_i)_{i \in I}$ deux familles sommables de complexes et $\alpha$ et $\beta$ deux complexes.
La famille $(\alpha \,u_i + \beta\, v_i )_{i \in I}$ est sommable et $\displaystyle \sum _{i \in \mathbb{N} } (\alpha \, u_i + \beta \, v_i ) = \alpha \, \sum _{i \in \mathbb{N} } u_i + \beta \, \sum _{i \in \mathbb{N} } v_i$ .

Théorème de sommation par paquets :
Si $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une partition de $I$ et $(u_i)_{i \in I}$ une famille sommable de complexes, alors,
$\ast$ pour tout entier $n$ , la famille $(u_i)_{i \in I_n}$ est sommable.
$\ast$ la série $\displaystyle \sum \left (\sum _ {i \in I_n} u_i \right )$ converge.
$\ast$ $\displaystyle \sum_{i \in I} u_i =\sum_{n = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _{i \in I_n} u_i \right )$ .

2.3. Application aux suites doubles.

Théorème de Fubini pour les suites doubles de réels positifs ou nuls :
La famille $(u_{p,\, q})_{ (p , \, q) \in \mathbb{N} ^2}$ de réels positifs ou nuls est sommable
si, et seulement si,
a) pour tout $p \in \mathbb{N}$ , la série $\displaystyle \sum _ q u_{p,\,q}$ est convergente de somme notée $U_p\,$ ,
b) la série de terme général $U_p$ est convergente,
si, et seulement si,
a) pour tout $q \in \mathbb{N}$ , la série $\displaystyle \sum _ p u_{p,\,q}$ est convergente de somme notée $V_q\,$ ,
b) la série de terme général $V_q$ est convergente.
Dans ce cas :
$\displaystyle \sum _{(p , q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \,q} = \sum _{p = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} u_{p ,\, q} \right )$ .
$\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \, q} = \sum _{q = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^{+\infty} u_{p ,\, q} \right )$ .

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Théorème de Fubini pour les suites doubles de complexes :
Soit $(u_{p,\,q} )_{ (p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2}$ une suite double sommable de complexes. Alors :
a) pour tout $p \in \mathbb{N}$ , la série $\displaystyle \sum _ q u_{p,\, q}$ est convergente de somme notée $U_p\,$ ,
b) la série de terme général $U_p$ est convergente,
et
a) pour tout $q \in \mathbb{N}$ , la série $\displaystyle \sum _ p u_{p,\, q}$ est convergente de somme notée $V_q\,$ ,
b) la série de terme général $V_q$ est convergente.
De plus,
$\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \, q} = \sum _{p = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} u_{p , \, q} \right )$
$\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \, q} = \sum _{q = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^{+\infty} u_{p ,\, q} \right )$ .

Remarque : Soit $(u_{p,\, q}) _{ (p , \,q) \in \mathbb{N} ^2}$ une suite double de réels positifs ou nuls, si $\displaystyle \sum _{p = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} u_{p , \, q} \right )$ est défini, la famille double $(u_{p,\,q}) _ {(p , \,q) \in \mathbb{N} ^2}$ est sommable et $\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \,q} = \sum _{p = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} u_{p , \, q} \right )$
et $\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \, q} = \sum _{q = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^{+\infty} u_{(p ,\, q)} \right )$ .

P3 : Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites complexes. Pour que la famille double $(u_p \, v_q )_{(p, q) \in \mathbb{N}^2}$ soit sommable, il suffit que les séries de termes généraux $u_n$ et $v_n$ soient absolument convergentes. Dans ce cas :
$\displaystyle \sum _{(p , q) \in \mathbb{N} ^2 } u_p \, v_ q = \left ( \sum _{p = 0} ^{+\infty} u_ p \right ) \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} v_{ q} \right )$ .

P4 : Produit de Cauchy
Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites complexes. On suppose que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont absolument convergentes.
On note $\displaystyle w_n = \sum _{p + q = n} u_p \, v_q\,$ , la série produit de Cauchy de terme général $w_n$ est absolument convergente et
$\quad \quad \displaystyle \sum _{n = 0 } ^{+\infty} w_n = \left ( \sum _{p = 0} ^{+\infty} u_ p \right ) \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} v_{ q} \right )$ .

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Exercices sur les familles sommables

1. Sommables ou pas

Exercice 1
La famille $\displaystyle \left ( \frac 1 {p \, q (p + q)} \right)_{(p,q) \in \mathbb{N}^{*2}}$ est-elle sommable ?

2. Une première famille double

Exercice 2 :

On note $\displaystyle u_{n , \, p} = \frac {(- 1) ^p } {p^2}$ si $p \geq n > 0$ et $u_{n , \, p} = 0$ si $1 \leq p < n$ .

1. La suite double $(u_{n,\, p}) _{(n ,\,p) \in \mathbb{N} ^{*2}}$ est sommable ?

2. Les réels $\displaystyle \sum_{n = 1} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 1} ^{+\infty} u_{n , \, p} \right )$ et $\displaystyle \sum_{p = 1} ^{+\infty} \left ( \sum _ {n = 1} ^{+\infty} u_{n , \,p} \right )$ sont définis.

3. $\displaystyle \sum_{n = 1} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 1} ^{+\infty} u_{n , p} \right ) = \sum_{p = 1} ^{+\infty} \left ( \sum _ {n = 1} ^{+\infty} u_{n , p} \right )$

Corrigés sur les familles sommables :

Exercice 1 :

On note $I_n = \{(p,\, q) \in \mathbb{N}^{*2} \; / \; p + q = n \}$ .
$(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une partition de $\mathbb{N}^{*2}$ . $S_n = \displaystyle \sum _ {(p ,\, q) \in I_n} u_{p , \, q} = \sum _ {(p , \, q) \in I_n} \frac 1 {p \, q \, n}$
$S_n = \displaystyle \frac 1 n \sum _{p = 1} ^{n - 1} \frac 1 {p \,(n - p)}$ .
Par décomposition en éléments simples, $S_n = \displaystyle \frac 1 {n ^2} \sum _{p = 1} ^{n - 1} \left ( \frac 1 { p} + \frac 1 {n - p} \right )$ .
En posant $k = n - p$ , $\quad \quad \displaystyle \sum _{p = 1} ^{n - 1} \frac 1 {n - p} = \sum _{k = 1} ^{n - 1} \frac 1 {k} = H_{n - 1}$
$S_n = \displaystyle \frac {2 H_{n - 1}} {n ^2}$ .On a le résultat classique $\quad \quad H_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k \underset {n \to +\infty } \sim \ln(n)$ .
$\displaystyle S_n \underset {n \to +\infty } \sim \frac {2 \ln(n - 1)} {n ^2}$ ,
alors $\displaystyle S_n \underset {n \to +\infty } = \textrm{o} \left ( \frac {1} {n ^{3/2}} \right)$ , donc $\sum S_n$ converge.
En utilisant le théorème de sommation par paquets, la famille est sommable.

Même en fin d’année il est important de réviser les cours vus en début d’année, car lors des concours, la connaissance de tous les chapitres sera obligatoire pour arriver dans les meilleurs et être admis dans l’école de son choix. N’oubliez pas, par exemple, de réviser régulièrement les chapitres suivants que vous avez la possibilité de reviser lors de nos cours de maths :

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