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Les Espaces Vectoriels MP, MPI, PC, PSI, PT

Résumé de cours Exercices et corrigés

Résumé de cours et méthodes – espaces vectoriels

1. Comment démontrer qu’un ensemble $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ?

$\bullet$ M1. On connaît un espace vectoriel $F$ tel que $E \subset F$ , il suffit de prouver que $E$ est un sous-espace vectoriel de $F$ .

$\bullet$ M2. On ne peut trouver un tel espace vectoriel $F$ , il faut alors revenir à la définition d’un espace vectoriel et démontrer la structure de groupe commutatif pour l’addition et les 4 propriétés de la loi externe.

2. Comment utiliser le fait que $F = \textrm {Vect}(a_1 ,... , a_n)$ ?

$\bullet$ U1. $F$ est alors un sous-espace vectoriel : cela peut éviter beaucoup de calculs !

$\bullet$ U2. Si l’on demande $\dim F$ , il suffit de chercher si $(a_1 ,\;...\; ,\, a_n)$ est une partie libre de $E$ .

$\bullet$ U3. Si l’on demande de prouver que $F$ est stable pour la multiplication (si $F$ est une partie de $\mathbb{K}[X]$ , de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ou d’un ensemble de fonctions à valeurs dans $\mathbb{K}$ ) ou pour la loi $\circ$ (si $F$ est une partie de $\mathcal{L}(E)$ ), il suffit de prouver que

$\forall (i ,\; j ) \in [\![1 , n ]\!]^2,\; a_i\, a_j \in F$ et dans le cas de la loi $\circ:\; a_i \, \circ \, a_j \in F.$

$\bullet$ U4. Si l’on demande de prouver que $F$ est inclus dans le sous-espace vectoriel $G$ , il suffit de prouver que $\forall i \in [\![1 , n ]\!], \, a_i \in G .$

$\bullet$ U5. Si $F \subset E$ et si $u \in \mathcal{L}(E)$ , pour prouver que $u(F) \subset F$ , il suffit de prouver que $\forall i \in [\![1 , n ]\!],$ $u(a_i) \in F$ .

3. Comment démontrer l’égalité de deux sous espaces vectoriels ?

$\bullet$ M1. Pour démontrer l’égalité des sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ , on raisonne par double inclusion, en prouvant que $F \subset G \textrm{ et }G \subset F.$

$\bullet$ M2. Si $F$ et $G$ sont de dimension finie et si l’on peut démontrer que $\dim F = \dim G$ , il suffit de prouver une seule des deux inclusions.

$\bullet$ M3. Lorsque $F =$ Vect $(X)$ et $G$ est un sous-espace vectoriel, pour prouver que $F \subset G$ , il suffit de prouver que $X \subset G$ et de dire que $\textrm{Vect}(X)$ est le plus petit des sous-espaces vectoriels contenant $X$ .

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4. Comment démontrer qu’une famille est libre ?

$\bullet$ M1. Dans le cas d’une famille de deux vecteurs $(a , b),$

a) on démontre que $a\neq 0$

b) on démontre que la relation $b = \lambda a$ où $\lambda \in \mathbb{K}$ est impossible.

$\bullet$ M2. Méthode générale pour démontrer que la famille $(a_1 ,\, ... \, , \, a_n)$ est libre :
on part de l’hypothèse: $\exists (\alpha_1 ,\, ...\, , \,\alpha_n) \in\mathbb{ K}^n$ , $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\alpha_i \,a_i = 0$ et on démontre que $\forall i \in [\![1 , n ]\!],\alpha_i = 0$ .

$\bullet$ M3. On sait que $(a_1 ,... , a_n)$ est une famille libre et on veut prouver que $(a_1 ,... , a_n , a)$ est encore une famille libre, on démontre que $a$ n’est pas combinaison linéaire de $(a_1 , ... , a_n).$

Et quelques méthodes particulières :

$\bullet$ M4. On démontre que la famille $(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)$ est extraite d’une base connue.

$\bullet$ M5. On démontre que la famille $(a_1 ,\, ... \, , \, a_n)$ est l’image d’une base par une application linéaire injective.

$\bullet$ M6. Dans $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ , il suffit de prouver que l’on a une famille de polynômes de degrés 2 à 2 distincts.

$\bullet$ M7. Dans $\mathbb{K}^p$ , on peut regarder si la famille $(a_1 , \, a_2 ,\, ... \, , \,a_n)$ est une famille échelonnée, alors il s’agit d’une famille libre.

$\bullet$ M8. Pour démontrer que la famille infinie $(a_i)_{ i \in I}$ est libre, on démontre que toute sous-famille finie est libre.
Dans le cas où $I =\mathbb{ N}$ , on démontre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la famille $(a_0 , a_1 ,... , a_n)$ est libre.

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5. Comment démontrer qu’une famille est génératrice de $E$ ?

Pour démontrer que $(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)$ est une famille génératrice de $E$ ,

$\bullet$ M1. Montrer que

$\quad \quad \quad E =$ Vect $(a_1,\, ... \, ,\, a_n).$

$\bullet$ M2. Montrer que pour tout $x$ de $E$ , on peut trouver des scalaires $(a_1 , a_2 ... , a_n)\in \mathbb{K}^n$ tels que

$x =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_i \, a_i \, .$

$\bullet$ M3. Si l’on connaît une base $(e_1,\, ... \, ,\, e_p)$ de $E$ , montrer que, pour tout $j\in[\![1 , p ]\!]$ , on peut trouver $(\alpha_1 ,\, ... \, ,\, \alpha_n)$ de $\mathbb{K}^n$ tel que $e_j =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\, a_i.$ La famille $(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)$ engendre la base $(e_1 ,\, ... \, ,\, e_p)$ , c’est donc une famille génératrice de $E.$

$\bullet$ M4. Pour démontrer que la famille infinie $(a_i)_{ i \in I}$ est génératrice de $E$ , pour tout $x$ de $E$ , on démontre qu’il existe une famille presque nulle de scalaires $(\alpha_i)_{i \in I}$ telle que $\displaystyle x =\sum_{i\in I}\alpha_i \,a_i$

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6 – Comment démontrer qu’une famille est une base de $E$ ?

Soit $\mathcal{B} = (a_1 ,\, ...\, , \, a_n)$ . Penser à vérifier que les vecteurs de $\mathcal{B}$ sont des éléments de $E.$

$\bullet$ M1. On connaît la dimension de $E$ . On démontre
M1.1. que $\mathcal{B}$ est une famille libre de $E$ et que $\textrm {Card }\mathcal{B} = \dim E$
ou M1.2. que $\mathcal{B}$ est une famille génératrice de $E$ et que $\quad \quad \quad \textrm {Card } \mathcal{B} = \dim E.$

En général, M1.1. est plus simple que M1.2.

$\bullet$ M2. On ne connaît pas la dimension de $E$ : on démontre que $\mathcal{B}$ est une famille génératrice et libre de $E.$

Et quelques méthodes particulières:

$\bullet$ M3. Si l’on dispose de $n + 1$ polynômes de degrés 2 à 2 distincts de $\mathbb{K}_n[X]$ , ils forment une base de

$\mathbb{K}_n[X].$

Si $\forall i \in [\![0 , n ]\!]$ , $Q_i$ est un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$ de degré égal à $i$ , la famille $(Q_0 , Q_1 ,\, ... \, , Q_n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[X].$ On dit que l’on a une famille de polynômes échelonnée en degrés.

$\bullet$ M4. Si $u$ est un isomorphisme de $E$ sur $F$ , l’image d’une base de $E$ par $u$ est une base de $F$ .

$\bullet$ M5. Si $E = E_1 \oplus... \oplus E_n$ et si pour tout $i$ de $[\![1 , n ]\!]$ , $\mathcal{B}_i$ est une base de $E_i$ , la famille obtenue par juxtaposition des bases $\mathcal{B}_i$ est une base de $E$ (dite adaptée à la décomposition en somme directe introduite).

$\bullet$ M6. Si l’on sait que $\dim E = n$ , on peut prouver que la matrice $P$ de la famille de vecteurs $(a_1 ,\, ...\, , a_n)$ dans une base $\mathcal{C}$ de $E$ est inversible.

$\bullet$ M7. Si l’on sait que $\dim E = n$ et si $\mathcal{C}$ est une base de $E$ , on peut prouver que $\det_{\mathcal{C}}(a_1 ,\, ... \,, a_n) \neq 0$ .

$\bullet$ M8. Pour démontrer que la famille infinie $(a_i)_{ i \in I}$ est une base de $E,$ il faut prouver que c’est une partie libre et génératrice de $E.$

7. Comment prouver que $E = F \oplus G$ ?

S’assurer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels.

$\bullet$ M1. Cas général : on démontre que
a) $F\cap G=\{0\}$
b) si $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ , l’inclusion $F + G \subset E$ est évidente.
si $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{E}$ et si $E\subset \mathcal{E}$ , il faut démontrer que $F + G \subset E$ .
c) pour tout $x$ de $E$ , on peut trouver $f \in F$ et $g \in G$ tels que $x = f + g.$

Pour cela :

M1.1. On a l’intuition de la décomposition : il suffit de vérifier que cette intuition est correcte.

M1.2. Sans intuition de la décomposition, on raisonne par analyse-synthèse.

analyse : En supposant que la décomposition $x = f + g$ existe, on détermine au moins l’un des éléments de cette décomposition en utilisant les propriétés de $f$ et $g$ , on en déduit le second élément en utilisant $x = f + g.$
synthèse : On introduit les vecteurs $f$ et $g$ obtenus par l’analyse, on vérifie que $x = f + g\,$ , $f \in F$ et $g \in G$ .

$\bullet$ M2. On raisonne dans un espace vectoriel de dimension finie. Pour démontrer que les sous espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont supplémentaires dans $E$ , il suffit d’utiliser l’une des deux méthodes suivantes :

M2.1. On prouve que $F \cap G = \{0\}$ et que $\dim F + \dim G = \dim E.$

Cette méthode est bien adaptée à la démonstration de $E =$ Im $u \, \oplus$ Ker $u$ si $u \in \mathcal{L}(E)$ lorsque $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie puisque le théorème du rang assure que
dim Im $u$ + dim Ker $u$ = dim $E.$

M2.2. On prouve que $E = F + G$ et que $\dim E = \dim F + \dim G.$

$\bullet$ M3. Si $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et si l’on a pu trouver une base $\mathcal{B} = (f_1 ,\; ... \; ,\, f_p)$ de $F$ et une base $\mathcal{C}= (g_1,\; ...\; ,\, g_q)$ de $G$ , il suffit de prouver que
$(f_1 ,\; ... \; , \, f_p ,\, g_1 ,\; ... \; , \, g_q)$
est une base de $E$ .

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