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Fonctions de plusieurs variables en MP, PC, PSI et PT

Résumé de cours Exercices Corrigés

Résumé de cours et méthodes – Fonctions de plusieurs variables

1. Calcul de la dérivée suivant un vecteur

Hypothèses : $f$ est définie sur un ouvert $U$ d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie à valeurs dans un $\mathbb{R}-$ ev $F$ de dimension finie.
$a \in E$ , $h$ est un vecteur non nul de $E$ .

On veut justifier l’existence de la dérivée de $f$ en $a$ selon $h$
$\bullet$ M1 : Démontrer que $f$ admet une dérivée partielle suivant le vecteur $h$ revient à prouver que la fonction $t\mapsto f(a + t h)$ est dérivable en $0$ .
Dans ce cas, la dérivée de $f$ en $a$ suivant le vecteur $h$ est définie par
$\textrm{D}_h f(a) = \displaystyle \lim _ {t \to 0} \frac 1 t \left ( f(a + t h) - f(a) \right )$ .

$\bullet$ M1.B : $E = \mathbb{R}^p$ et si $(e_1 \,, \, \cdots \, , \, e_p)$ est la base canonique de $E$ , pour tout $k \in [\![ 1 , \, p]\!]$ , la dérivée de $f$ en $a$ suivant $e_k$ est la $k$ -ème dérivée partielle de $f$ en $a$ et notée $\partial_k f(a)$ ou $\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x_k} (a)$ .
Il est indispensable d’utiliser la limite de $\displaystyle \frac {f(a + t \, e_k) - f(a)} {t}$ pour calculer $\partial _k f (a)$ lorsque $f$ est définie par des conditions du type $f(x) = ...$ si $x \neq a$ et $f(a) = ...$ .
Lorsque $a = (a_1 \,, \, \cdots \, , \, a_p)$ , démontrer que $\partial _k f (a)$ existe revient à démontrer que la $k$ -ème application partielle de $f$ en $a$ soit $f(a_1 \,, \, \cdots \,a_{k - 1} \, , \,{\Large{ \textbf{.} }}\, , \,a_{k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_p)$ ,
$t \mapsto f(a_1 \,, \, \cdots \,a_{k - 1}\, , \, t \, , \,a_{k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_p)$ est dérivable en $a_k\,$ .

$\bullet$ M2 : On sait que $f$ est différentiable en $a$ , alors $\quad \quad \textrm{D}_hf(a) = \textrm{d}f(a) (h) = df(a) . h$ .

$\bullet$ M3 : $E = \mathbb{R} ^p$ et $f$ est de classe $C^1$ en $a$ , si $h = (h _ 1,\, , \, \cdots \, , \, h_p)$ ,
$\quad \quad \displaystyle \textrm{D}_h(f)(a) = \sum _{i = 1} ^p \partial_ i f(a) \, h_i\,$ .

$f$ peut avoir une dérivée suivant tout vecteur en un point sans être différentiable en $a$ .

exemple : $f(x , \, y) = \displaystyle \frac {x^2 y } {x^2 + y^2}$ et $f(0 ,\, 0) = 0$ . Étudier la dérivée de $f$ suivant un vecteur $v$ en $(0, \, 0)$ .

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2. Problèmes de différentiabilité

2.1. En utilisant la définition
Hypothèse : $f$ est définie sur un ouvert $U$ d’un $\mathbb{R}$ espace vectoriel $E$ de dimension finie à valeurs dans un $\mathbb{R}-$ ev $F$ de dimension finie et $a \in U$ .

$\bullet$ M1 En appliquant la définition :
$f$ est différentiable en $a$ s’il existe une application linéaire $\varphi$ de $E$ dans $F$ et un voisinage $\mathcal{V}$ de $0$ tel que si $h \in \mathcal{V}$ , $\quad f(a + h) = f(a) + \varphi(h) + o(h)$ .

En particulier dans le cas où $E = \mathbb{R} ^p$ ,
$\ast$ calculer pour tout $k \in [\![1 , p]\!]$ , $\partial_k f(a)$
$\ast$ introduire $h = (h _ 1\, , \, \cdots \, , \, h_p)$ et former
$A(h) = f(a + h) - f(a) - \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p h_i \, \partial _i f(a)$
$\ast$ vérifier que $\displaystyle \frac {A(h)} { \sqrt{h_1^2 + \cdots \,+ \, h_p^2} }$ admet $0$ pour limite lorsque $h \to 0$ .

Conséquence : avec les notations précédentes, $\varphi$ est unique et appelée différentielle de $f$ en $a$ et notée $\textrm{d}f (a)$ .
On allège les notations en écrivant $\textrm{d}f(a) (h) = \textrm{d}f(a) . h$

exemple 1 :
Si $E = F = \mathcal{M}_n (\mathbb{R} )$ et si $f : M \mapsto M^2$ , montrer que $f$ est différentiable en tout $A \in E$ .

2.1. En utilisant les théorèmes
$\bullet$ M2. Appliquer les théorèmes pour démontrer que $F$ est différentiable en $a \in U$ :
$\ast$ combinaison linéaire de fonctions de fonctions différentiables en $a \in U$ ,
avec $\textrm{d}(\lambda f + g) (a) = \lambda \textrm{d} f (a) + \textrm{d} g (a)$

$\ast$ produit de deux fonctions différen- tiables en $a$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ,
$\textrm{d}(fg) (a) = g(a) \, \textrm{d}f(a) + f(a) \, \textrm{d}g(a)$

$\ast$ quotient de 2 fonctions différentia- bles en $a$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ , le dénominateur ne s’annulant pas,
$\displaystyle \textrm{d} \left ( \frac {f} {g} \right ) (a) =$ $\displaystyle \quad \quad \frac 1 {g(a) ^2} \left ( g(a) \, \textrm{d}f(a) - f(a) \, \textrm{d}g(a)\right )$ .

$\ast$ composée de fonctions différentia- bles :
hyp : $f$ différentiable en $a \in U$ , $f(U) \subset V$ et $g$ différentiable en $b = f(a)$
conclusion : $g \circ f$ est différentiable en $a$ et $\textrm{d}(g \circ f) (a) = \textrm{d}g (b) \circ \, \textrm{d}f(a)$

$\ast$ restriction à un ouvert d’une application linéaire $\varphi$
pour tout $a \in U$ , $\textrm{d} \varphi (a) = \varphi$ .

$\ast$ Cas où $F = B(f , g)$ , $f$ étant différentiable en $a$ à valeurs dans $E_1$ et $g$ étant différentiable en $a$ à valeurs dans $E_2$ , $B$ étant bilinéaire sur $E_1 \times E_2$ .
$\textrm{d}F(a) (h , h') =$ $\quad B(\textrm{d}f(a).h , g(a)) + B(f(a) , \textrm{d}g(a).h')$

Application si $E_1 = E_2 = \mathcal{M}_n (\mathbb{R} )$ et si $G : M \mapsto M^2$ ,
en introduisant l’application bilinéaire $B : (M , N) \mapsto MN$ et les applications linéaires $f= g =\textrm{ Id}$ , $G$ est différentia- ble en $(M , N)$ et
$\quad \textrm{d}G(M , N) : (H , K) \mapsto H N + M H$ .

$\bullet$ M2. En démontrant que la fonction est de classe $C^1$ sur $U$ .

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3. Fonctions de classe $C^1$

3.1. Démontrer que $f$ est de classe $C^1$
Hypothèse : $f$ est définie sur un ouvert $\Omega$ d’un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie à valeurs dans un $\mathbb{R}$ -ev de dimension finie et $a \in E$ .

Pour démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur l’ouvert $\Omega$
$\bullet$ M1. démontrer que $f$ est différentia- ble en tout point de $\Omega$ et que l’application $a \mapsto df(a)$ est continue sur $\Omega$ .

$\bullet$ M2. introduire une base $\mathcal {B}$ de $E$ (la base canonique si $E = \mathbb{R}^p$ ) et démontrer que $f$ admet des dérivées partielles relativement à cette base continues sur $\Omega$ .

$\bullet$ M3. utiliser les théorèmes sur les fonctions de classe $C^1$ :
$\ast$ combinaison linéaire de fonctions de classe $C^1\,$ ,
$\ast$ produit de deux fonctions de classe $C^1$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ,
$\ast$ quotient de 2 fonctions de classe $C^1$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ , le dénominateur ne s’annulant pas,
$\ast$ composée de fonctions différentia- bles :
hyp : $f$ est de classe $C^1$ sur l’ouvert $U$ , $f(U) \subset V$ et $g$ est de classe $C^1$ sur l’ouvert $V$ .
conclusion : $g \circ f$ est de classe $C^1$ sur $U$ .
$\ast$ restriction à un ouvert d’une applica- tion linéaire $\varphi$
$\ast$ cas où $F = B(f , g)$ , $f \in C^1 (U , E_1)$ et $g \in C^1 (U , E_2)$ , $B$ étant bilinéaire sur $E_1 \times E_2$ .

3.2. Utiliser des fonctions de classe $C^1$
$\bullet$ Th1. Si $f$ est une application de classe $C ^1$ de $\Omega$ dans $F$ , si $\gamma$ est une application de classe $C ^1$ de $[0,\,1]$ dans $\Omega$ , si $\gamma(0) = 1$ et $\gamma(1) = b$
$\displaystyle f(b)- f(a) = \int _0 ^1 \textrm{d}f(\gamma(t)). \gamma'(t) \textrm{d} t$

$\bullet$ Th2. Si $\Omega$ est un ouvert connexe par arcs et si $f$ est une application de classe $C ^1$ définie sur $\Omega$ à valeurs dans $F$ ,
$f$ est constante sur $\Omega$ ssi sa différen- tielle est nulle sur $\Omega$ .

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4. Gradient – hors extremum

4.1. Définition
$\bullet$ si $f$ est différentiable en $a \in U$ , le gradient de $f$ en $a$ est l’unique vecteur noté $\nabla f (a)$ tel que pour tout $h \in E$ , $\textrm{d} f(a) . h = (\nabla f(a) \, | \, h)$ .

$\bullet$ Lorsque $E = \mathbb{R}^p$ , $\quad \nabla f(a)= (\partial f _ 1(a) , \, \cdots \, , \, \partial f_p(a))$ .

$\bullet$ Dans une base orthonormale $(e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_p)$ de $E$ , $\quad \quad \quad \nabla f(a)= \displaystyle \sum _{ i = 1} ^ p \textrm{D} _ {e_i} f (a) \, e_i \,$ .

4.2. Détermination de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel
$\bullet$ M1. Dans le cas le plus simple : $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique
$\ast$ Si $H$ est l’hyperplan d’équation $a_1\, x_1 \, + a_2\, x_2 \, + \, \cdots \, +\, a_n \, x_n = 0$ dans la base canonique, $H ^{\perp} =\textrm{Vect} (a)$ où $a = (a_1\, , \,a_2 \, ,\, \cdots \, ,\, a_n)$ .
$\ast$ Soit $a = (a_1\, , \,a_2 \, ,\, \cdots \, ,\, a_n) \neq 0$ et $F = \textrm{Vect}(a)$ , $F^{\perp}$ est l’hyperplan d’équation $a_1\, x_1 \, + \, \cdots \, +\, a_n \, x_n = 0$ dans la base canonique.

$\bullet$ M2. Si $F = \textrm{Vect}(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)$ , $(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)$ étant une famille quelconque,
$x \in F ^{\perp}$ ssi $\forall \, i \in [\![1 , \, p]\!], \; (x \, | \, u_i) = 0$ .

$\bullet$ M3. Si $F$ est de dimension finie et si l’on connaît une base orthonormale de $F$ notée $(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)$ ,
$F^{\perp } = \displaystyle \left \{ x - \sum _{i = 1} ^p (x \, | \, u_i) \, u_i \; / \; x \in E \right \}$ .

4.2. Interprétation
$\bullet$ Interprétation géométrique du gradient : si $\nabla f (a) \neq 0$ , l’ensemble $\{ D_v f(a) \, / \, \Vert v \Vert = 1 \}$ admet un maximum obtenu pour $\quad \quad \displaystyle \frac 1 { \Vert \nabla f (a)\Vert } \nabla f (a)$ .

$\bullet$ Si $X$ est une partie de $E$ et $x$ un point de $X$ , un vecteur $v$ de $E$ est tangent à $X$ en $x$ s’il existe $\varepsilon > 0$ et un arc $\gamma$ défini sur $]- \varepsilon ,\, \varepsilon[$ dérivable en $0$ à valeurs dans $X$ , tels que $\gamma(0) = x$ et $\gamma'(0) = v \in X$ .

$\bullet$ Si $f$ est une fonction à valeurs réelles définie et différentiable sur un ouvert $U$ de l’espace euclidien $E$ , si $X$ est une ligne de niveau de $f$ (c’est à dire l’ensemble des $x \in U$ tels que $f(x ) = \textrm{constante}$ ), alors les vecteurs tangents à $X$ au point $x$ de $X$ sont orthogonaux au gradient de $f$ en $x$ .

$\bullet$ $E = \mathbb{R} ^3$ .
Plan affine tangent à une surface d’équation cartésienne $z = f (x, y)$ en un point $M_0 = (x_0 , y_0 , z_0)$ , lorsque $f$ est différentiable en $(x_0 , y_0)$ et $\nabla f(x_0 ,\, y_0) \neq 0$ , c’est le plan passant par $M_0$ et orthogonal à $\nabla f(x_0 ,\, y_0)$ .

Exercices sur les fonctions de plusieurs variables

1. Sont -elles de classe $C^1$ ?

Exercice 1 : (Mines Ponts MP 2018)
On pose $f(x,y) = \displaystyle \sum _{n = 0} ^ {+\infty} \ln(1 + x^{2 n} + y ^{2 n} )$ .

1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$ .

2. $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $D$ ?

2. Fonctions à variables séparées

Exercice 2 :

1. Soit $F$ une fonction non identiquement nulle sur $\mathbb{R }^2$ telle que $\forall (x , \, y) \in \mathbb{R} ^2$ , $\quad F(x, \, y) = f(x) \, g(y) = h(x)\, k(y)$ .
Montrer qu’il existe $\lambda \in \mathbb{R}^*$ tel que $\quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R}, \, f(x) = \lambda\, h(x)$ $\quad \textrm{et } \forall \, y \in \mathbb{R},\,k(y) = \lambda\, g(y)$ .
On dit que $F$ est à variables séparées.

2. Déterminer $F$ à variables séparées de classe $C ^1$ telle que $\partial _1 F = \partial _ 2 F$ .

3. Déterminer $F$ de classe $C^1$ telle que $F : (x ,\, y) \mapsto \varphi (x) + \Phi(y)$ vérifie $\forall \, (x , y) \in \mathbb{R}^2,$ $\displaystyle y \, \frac {\partial F} {\partial x}(x , \, y) - x \, \frac {\partial F} {\partial y } (x , \, y)=$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x\, y\, (x ^2 + y ^2)$ .

3. Extremums locaux

Exercice 3 :

Soit si $(x, \, y) \in \mathbb{R}^2$ , $f(x , \,y) = \cos x + \cos y - \cos(x + y)$ .

Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum global sur $\mathbb{R}^2$ et les calculer.

Corrigés sur les fonctions de plusieurs variables :

Exercice 1 :

1. Soit $u_n(x , y) = \ln(1 + x^{2 n} + y ^{2 n} )$ .
$\ast$ Si $\vert x \vert < 1$ et $\vert y \vert < 1$ , alors $u_n(x , y) \underset {n \to +\infty} { \sim} x^{2 n} + y ^{2 n}$ avec $\sum (x^{2 n} + y ^{2 n})$ convergente comme somme de deux séries géométriques (pour $x^2$ et $y^2$ ), donc $\sum u_n(x , y)$ converge.

$\ast$ Si $\vert x \vert \geq 1$ ou $\vert y \vert \geq 1$ , $u_n(x , y)\geq \ln(2)$ , donc la suite $(u_n(x , y))_n$ ne converge pas vers $0$ et la série diverge grossièrement.

En conclusion, $f$ est définie sur l’ouvert $D = \; ] - 1 , 1[ \times ]-1 , 1[$ .

2. $\bullet$ Existence des dérivées partielles
On fixe $y \in \; ] - 1 , 1[$ et on note si $n\in \mathbb{N}$ et $x \in \; ]-1 , \, 1[$ , $v_n(x) = u_n(x , y)$
$\ast$ La série de terme général $v_n$ converge simplement sur $I =\, ] - 1 ,\, 1[$ .

$\ast$ Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $v_n$ est de classe $C^1$ sur $I$ et $v_n'(x) = \displaystyle \frac {2\, n\, x^{2 n - 1} } {1 + x^{2 n} + y^{2 n}}$

$\ast$ Si $a \in \; ]0 , \, 1[$ et si $x \in [-a , \, a]$ , $\vert v_n'(x) \vert \leq n \vert x \vert ^{2 n - 1} \leq n \, a ^{2 n - 1}$
donc $\Vert v'_n \Vert_{\infty , [-a , \, a] } \leq n \ a ^{2 n - 1}$
et $\sum n \ a ^{2 n - 1}$ converge, donc $\sum v'_n$ converge normalement donc uniformément sur $[-a , \, a]$ donc converge uniformément sur tout segment de $I$ .

Par le théorème de dérivation des sommes de séries de fonctions, $\displaystyle \sum _{n = 0} ^{+\infty} v_n$ est de classe $C^1$ sur $I$ et on peut dériver terme à terme.
On en déduit que $x \mapsto f(x ,\, y)$ est de classe $C^1$ sur $I$ lorsque $y$ est fixé dans $I$ et que si $(x , \, y) \in D$
$\quad \quad \displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} (x , \, y) = \sum _ {n = 1} ^{+\infty} \frac {2 \, n\, x^{2 n - 1} } {1 + x^{2 n} + y^{2 n}}$ .

Par symétrie, si $(x , y) \in D$ ,
$\quad \quad \displaystyle \frac {\partial f } {\partial y} (x , \, y) = \sum _ {n = 1} ^{+\infty} \frac {2\, n\, y^{2 n - 1} } {1 + x^{2 n} + y^{2 n}}$ .

$\bullet$ Continuité de $\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x}$ sur $D$ .
On note si $(x ,\, y) \in D$ , $\quad \quad w_n(x ,\, y) = \displaystyle \frac {2\, n\, x^{2 n - 1} } {1 + x^{2 n} + y^{2 n}}$

$\ast$ Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $w_n$ est continue sur $D$ .

$\ast$ Soit $a \in ] -0 , \, 1[$ .
Pour tout $(x , \, y) \in [-a , \, a]$ , $\quad \quad \quad \vert w_n(x, \, y) \vert \leq n \,a ^{2 n - 1}$
donc $\Vert w_n \Vert_{\infty , [-a ,\, a] } \leq n \ a ^{2 n - 1}$
et $\sum n \, a ^{2 n - 1}$ converge, alors $\sum w_n$ converge normalement sur $[-a , \, a] \times [-a , \, a]$ .

Par le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, $\partial_1 f$ est continue sur $[-a ,\, a] \times [-a , \, a]$ .
Cette propriété étant vraie pour tout $a \in \; ]0 ,\, 1[$ , $\partial_1 f$ est continue sur $D$ .

Par symétrie, $\partial_2 f$ est aussi continue sur $D$ .
Donc $f$ est de classe $C^1$ sur $D$ .

En Maths Spé, même si le niveau demeure élevé, certains chapitres sont plus complexes que d’autres. Il est donc important de passer un peu plus de temps sur les chapitres difficiles afin de ne pas traîner des lacunes tout au long de l’année de Maths Spé. N’hésitez pas à réviser par exemple, régulièrement ces quelques chapitres :

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