Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

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Révision pour les écrits en MP, PC, PSI et PT

Algèbre Analyse Probabilités

Algèbre – Révision pour les écrits pour les maths spé

Plan

Les démonstrations du cours qui pourraient être demandées ainsi que les résultats classiques très proches du cours à savoir justifier.
Le temps indiqué est le temps minimum, il dépend de ce que vous avez oublié.

Selon le cas, vous trouverez la démonstration ou le lieu où trouver le résultat dans PrepApp. Elles sont en général repérées par le nouveau symbole

1. Algèbre linéaire
2. Matrices : Vandermonde et déterminants par blocs.
3. Réduction un exercice ajouté en MP/PSI
4. Préhilbertiens
5. Euclidiens un exercice

1. Exercices sur les espaces vectoriels

S1. Si $u \in \mathcal{L}(E , F)$ et $v \in\mathcal{L}(F , G)$ ,
$v \circ u = 0$ ssi $\textrm{Im} \,u \subset \textrm{Ker} \, v$ .

Question 1
a) Si $u \in \mathcal{L}(E)$ où $\dim E = n$ , il existe $p \in [\![1 , n]\!]$ tel que $\textrm{Ker } u^p = \textrm{Ker } u^{p + 1}$ et si $k < p$ , $\textrm{Ker } u^p \, \neq\, \textrm{Ker } u^{p + 1}$ .
b) L’entier $p$ étant défini dans la question a), montrer que si $k \, \geq\, p$ , $\textrm{Ker } u^k = \textrm{Ker } u^{p}$ .
Question 2
Montrer que la suite $( \textrm {Im }u^k)_{k \, \geq \, 0}$ est monotone pour l’inclusion et qu’elle est stationnaire à partir du même rang $p$ .
Question 3
Montrer que $E = \textrm {Im }u^p \oplus \, \textrm {Ker }u^p$ et que la restriction de $u$ à $\textrm {Im }u^p$ est un automorphisme de $\textrm {Im }u^p$

S2. Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel qu’il existe $a \in E$ tel que $\quad \quad \quad \mathcal {B} = (u ^i (a)) _{0 \leq i \leq n - 1}$
soit une base de $E$ .
$\mathcal{C} = \{v \in \mathcal{L}(E) / v \circ u = u \circ v \}$ est un espace vectoriel de dimension $n$ et de base $(\textrm{Id}_E , u , \, \, \cdots \, , \, u ^{n - 1})$

S3. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n > 0$ et $u$ un endomorphisme de $E$ de rang 1.
$u ^2 = \textrm{Tr} (u)\, u$ .

S4. C’est du cours pour les MP, un exercice en PC/PSI.
Soient $(a_0 , \,a_1 ,\, ...\, , \,a_n)$ $n + 1$ éléments de $\mathbb{K}$ , deux à deux distincts.
Question 1
Pour tout $i$ de $[\![0 , n]\!],$ , il existe un unique polynôme $L_i \in \mathbb{K}_n[{\textrm X}]$ tel que
$\forall j \in [\![0 , n]\!]$ , $L_i(a_j)= \delta_{i , j}\,$ .
Les polynômes $(L_i)_{ 0 \leqslant i \leqslant n}$ sont appelés polynômes d’interpolation de Lagrange sur les points $(a_0 , a_1 ,... , a_n).$
Question 2
Pour tout $i$ de $[\![0 , n]\!]$ ,
$L_i = \displaystyle\prod_{0\leqslant j\leqslant n,\,j\neq i}\left(\frac{ {\textrm X} - a_j}{a_i-a_j}\right)$ .
Question 3
$(L_0 ,\, L_1 ,\;...\; ,\, L_n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[{\textrm X}]$ et $\quad \forall\; Q \in \mathbb{K}_n[{\textrm X}], \, Q =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}Q(a_i)\,L_i\,$ .
Question 4
$\forall\; (b_0 ,\, b_1 ,\; ...\; ,\, b_n) \in \mathbb{K}^{n + 1}$ , $\exists! P\in \mathbb{K}_n[{\textrm X}]$ tel que $\forall i \in [\![0 , n]\!]$ , $P(a_i)= b_i\,$ , de plus $P =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_i\, L_i \,$ .

S5. Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E).$
$\textrm{dim Im } f - \textrm{dim Im } f^2 =$ $\quad \quad \quad \quad \quad \textrm{dim }(\textrm{Im }f \cap \textrm{Ker }f )$ .

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S'EXERCER ET APPRENDRE

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2. Matrices

S1. Soient $A , B \in \mathcal{M} _n(\mathbb{K})$ , $A\, B$ et $B\, A$ ont même trace.
Deux matrices semblables ont même trace.

S2. Soit $(E_{p , q})_{1\leqslant p , \,q \leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .
Question 1
Démontrer que
$E_{p , \,q} \times E_{r , \,s} = \delta_{q , \,r}\, E_{p ,\, s}$
Question 2
Démontrer que
Si $A = (a_{i \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\,$ ,
$\ast$ $\displaystyle A =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i ,\, j} \,E_{i ,\, j}$ ,
$\ast$ $\displaystyle A\, E_{p,\, q} =\sum_{i=1}^{n}a_{i ,\, p}\, E_{i ,\, q}$
$\ast$ et $\displaystyle E_{p ,\,q} \,A = \sum_{j=1}^{n}a_{q, \,j}\, E_{p,\, j}\,$ .

S3. Si $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $A^n = 0$ et $A^{n- 1}\neq 0$ , $A$ est semblable à
$T=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
soit $T= \begin{pmatrix} 0 & {\textrm I}_{n-1} \\ 0 & 0 \\\end{pmatrix}$ .
Ou la forme vectorielle :
Si $u$ est un endomorphisme de $E$ , espace vectoriel de dimension $n$ tel que $u ^{n - 1} \neq 0$ et $u^n = 0$ , il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est la matrice $A$ écrite ci-dessus.

S4. Soit $A = ( a_ {i, j}) _ {1 \leq i , j \leq n}$ avec $\forall \, i , j \in [\![1 , n]\! ]^2, \, a_{i ,j} = a$ si $i \neq j$ et $a_{i , i} = b$ où $(a , b) \in \mathbb{K} ^* \times \mathbb{K}$ .
Calculer $A ^p$ pour $p \in \mathbb{N }$ .

S5. Si $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$ et si $p$ est un projecteur de $E$ , ${\rm Tr}(p) = {\rm rg}(p)$ .

S6. Déterminant de Vandermonde
Si $(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n)$ sont des scalaires, connaitre la définition, la valeur de $V(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n)$ et savoir justifier le résultat.

S7. Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs
Soit $M = \begin{pmatrix} A &B \\0 & C\end{pmatrix}$ où
$A \in \mathcal{M}_p( \mathbb{K})$ et $C \in \mathcal{M}_p( \mathbb{K})$ .
Montrer que $\det(M) = \det(A) \, \det(C)$ .

3. Réduction

S1. Comment déterminer rapidement le rang d’une matrice $A$ qui est diagonalisable ?

S2. Condition nécessaire et suffisante pour que $A$ (ou un endomorphisme en dimension finie) ayant une seule valeur propre soit diagonalisable

S3. Si $A \in \mathcal{M}_{2 n + 1}(\mathbb{R})$ , $A$ admet au moins une valeur propre

S4. Condition nécessaire et suffisante pour qu’une droite soit $u$ -stable si $u$ est un endomorphisme de $E$ .

S5. Si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes de $E$ , ev de dimension finie, qui permutent, les sous-espaces propres de $u$ sont $v$ -stables.

S6. Si $u$ est un endomorphisme de l’espace vectoriel $E$ de dimension finie (ou de dimension iinfinie) tel que tout vecteur non nul est vecteur propre de $u$ , $u$ est une homothétie.

S7. Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n > 0$ et $F$ un sev de $E$ tel que $1 \leq \textrm{dim} F <n$ stable pour l’endomorphisme $u$ de $E$ .
On note $v$ l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .
Question 1
Le polynôme caractéristique de $v$ divise celui de $u$ .
Question 2 (sauf PC)
Si $u$ est diagonalisable, $v$ est diagonalisable.

S8. $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n > 0$ , $u$ et $v$ sont deux endomorphismes de $E$ qui permutent.
Si $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes, toute base de vecteurs propres de $u$ est une base de vecteurs propres de $v$ .
Et la version matricielle :
Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ vérifient $A \, B = B \, A$ et si $A$ admet $n$ valeurs propres distinctes, il existe $P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et deux matrices diagonales $D$ et $D'$ telles que $A = P \, D \, P ^{-1}$ et $B = P \, D ' \, P ^{- 1}$

S9. MP et PSI seulement
$E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n > 0$ , $u$ et $v$ sont deux endomorphismes de $E$ qui permutent.
Si $u$ et $v$ sont diagonalisables, il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ et de $v$ .
Et la version matricielle :
Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ sont diagonalisables et vérifient $A \, B = B \, A$ , il existe $P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et deux matrices diagonales $D$ et $D'$ telles que $A = P \, D \, P ^{-1}$ et $B = P \, D ' \, P ^{- 1}$

S10. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$
Question 1
$A$ est de rang 1 ssi il existe $X, \, Y$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ non nulles telles que $A = X\, Y^{\textrm{T }}$ .
Question 2
Si $A$ est de rang 1, $A^2 = \textrm{Tr}(A) \, A$ .
Question 3
Si $\textrm{rg}(A) = 1$ , $A$ est diagonalisable ssi la trace de $A$ est non nulle.

S11. Matrice compagnon
Soit $(a_0,\,...\,,\,a_{n-1})\in\mathbb{K}^n$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ,
$A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \cdots & 0 & a_2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \cdots & 0& 1 & 0 & a_{n-2} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & a_{n-1} \\ \end{pmatrix}$ , $\chi_A= \displaystyle \textrm {X}^n-\sum_{i=0}^{n-1}a_i\, \textrm {X}^i.$
Montrer que $A$ est diagonalisable ssi le polynôme caractéristique de $A$ est scindé à racines simples.

S12. Diagonaliser (rapidement ! ) la matrice $A = ( a_ {i, j}) _ {1 \leq i , j \leq n}$ avec $\forall \, i , j \in [\![1 , n]\! ]^2, \, a_{i ,j} = b$ si $i \neq j$ et $a_{i , i} = a$ où $(a , b) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K} ^*$ .
En déduire le polynôme caractéristique de $A$ .

S13. MP/PSI
Si $u$ est un endomorphisme de matrice $A$ dans la base $\mathcal{B}$ , $H$ est un hyperplan $u$ -stable $\Leftrightarrow$ $H$ a pour équation dans la base $\mathcal{B}$ : $a_1 x_1 + ... + a_n x_n = 0$ où $V = (a_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in \mathcal{M}_{n ,1}(\mathbb{K})$ est un vecteur propre de $A^{\textrm T}$ .
PC
Soit $u$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ .
On note $P$ le plan d’équation $ax + b y + c z = 0$ et $V = (a, b , c)^{\textrm{T}}$ .
$P$ est $u$ -stable ssi $V$ est un vecteur propre de $A^{\textrm{T}}$ .

S14. MP et PSI Si la matrice $M^2$ est diagonalisable et inversible, $M$ est diagonalisable.

Exercices conseillés : en MP / PSI
deuxième série d’exercices : 4 . 5. et 12
matrices stochastiques exercice 16, une approche complémentaire dans la cinquième tâche de révisions avec les probabilités.
Exercices conseillés en PC
deuxième série d’exercices : 10 . 11 . et 14
matrices stochastiques exercice 14 , une approche complémentaire dans la cinquième tâche de révisions avec les probabilités.

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4. Espaces préhilbertiens

S1. Si $(E , ( .\, |\, . ))$ est un préhilbertien réel, démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : $\quad \forall \, (x , y) \in E^2, \; \vert (x \,| \,y)\vert \leq \Vert x \Vert \; \Vert y \Vert .$
Démontrer qu’il y a égalité si, et seulement si, la famille $(x ,\, y)$ est liée.

S2. Soit $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .
Question 1
$E \times E \to \mathbb{R},\; (A , B) \mapsto \textrm{Tr}(A^{\textrm{T}} \, B)$
définit un produit scalaire sur $E$ .
Question 2
$\mathcal{S} _ n (\mathbb{R})$ et $\mathcal{A} _ n (\mathbb{R})$ sont des supplémentaires orthogonaux de $\mathcal{M} _ n (\mathbb{R})$ .
Question 3 (plus difficile et moins courante)
si $(A ,\, B) \in E^2, \, \Vert A \, B \Vert \leq \Vert A \Vert \, \Vert B\Vert$ .

S3. Sur l’espace vectoriel $E$ des fonctions continues et de carré intégrable sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , $\quad \quad (f \, | \, g) = \displaystyle \int_I f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t$
définit un produit scalaire.

S4. Si $p$ est la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel $F$ du préhilbertien $(E , ( . \, | \, . ) )$ , pour tout $(x , y) \in E^2$ , $(x \, | \, p(y)) = (p(x) \, | \, p(y))$ .

S5. Si $\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n\, }$ est une base orthonormale de l’espace euclidien $E$ et si $A = M_ {\mathcal{B} }(u)$ où $u \in \mathcal{L}(E)$ , $\forall \, (i, \, j) \in [\![1, \, n]\!]^2,\,a_{i , \, j} = (e_i \, | \, u(e_j))\,$

S6. Soient $E$ un espace euclidien et $u$ une isométrie de $E$ , $\textrm{Ker}(u - \textrm{Id}_E)$ et $\textrm{Im}(u - \textrm{Id}_E)$ sont des supplémentaires orthogonaux.

S7. Soit $E$ un espace euclidien de base orthonormale $\mathcal{B}$ . Soit $(u_1 \, , \, \cdots \, , \, u_p)$ une base orthonormale du sous-espace vectoriel $F$ .
Si l’on note $U_i$ la matrice de $u_i$ dans $\mathcal{B}$ , la matrice $Q$ de $p_F$ dans la base $\mathcal{B}$ est $\displaystyle \sum _{i = 1} ^q U_i \, U_i ^{\textrm{T}}$ .

Conseil :
Les polynômes orthogonaux au programme en MP et qui peuvent faire l’objet d’un problème dans toutes les questions : méthodes paragraphes 7.1. à 7.4. attention aux racines dans l’intervalle.
(avec les polynômes de Tchebichev, vous avez sûrement un sujet de devoir dessus, ou de Hermite).

MP Seulement
Formule de Parseval
Si $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite orthonormale totale d’éléments du préhilbertien $E$ , $\quad \quad \forall \, x \in E,\; \Vert x \Vert ^2 = \displaystyle \sum _ {n = 0} ^ {+\infty} (x \, | \, e_n)^2$ .

5. Euclidiens

S1. Projecteurs orthogonaux
Un projecteur $p$ est dit orthogonal lorsque $\textrm{Im}(p)$ et $\textrm{Ker}(p)$ sont orthogonaux.
Question 1
Soit $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur de $E$ . $p$ est un projecteur orthogonal si, et seulement si, $p$ est un endomorphisme symétrique.

Question 2
Soit $p$ un projecteur de $E$ .
$p$ est un projecteur orthogonal ssi $\forall \, x \in E\, ,\, \Vert p(x) \Vert \leq \Vert x \Vert$

S2. Si $A \in \mathcal{M}_{n , p} (\mathbb{R})$ , $A$ et $A ^{\textrm{T}} \, A$ ont même rang

S3. Soit $E$ un espace euclidien et $s$ une symétrie de $E$ différente de $\pm \textrm{Id}_E$ . Il y a équivalence entre :
a) $s$ est une isométrie
b) $s$ est un endomorphisme symétrique
c) les sous espaces $\textrm{Ker}(s - \textrm{Id} _ E)$ et $\textrm{Ker}(s + \textrm{Id} _ E)$ sont des supplémentaires orthogonaux.
On dit que $s$ est une symétrie orthogonale.

S4. Soit $E$ euclidien de dimension $n \geq 2$ .
Question 1
Traduction vectorielle puis matricielle de la symétrie orthogonale $s$ par rapport à la droite $\mathcal{D} = \textrm{Vect}(u)$ où $\Vert u \Vert = 1$ .
Question 2
Traduction vectorielle puis matricielle de la symétrie orthogonale $s$ par rapport à l’hyperplan $\mathcal{P} =(\mathbb{R} u)^{\perp}$ où $u$ est un vecteur unitaire (réflexion).

S5. Sur $O(E)$ .
$\ast$ 1. Si $(E ,\, ( . \, | \, . ))$ est un espace euclidien et $u \in O(E)$ , $\textrm{Sp}(u) \subset \{1 , \, - 1\}$ .

$\ast$ 2. Si $M \in O_n(\mathbb{R})$ , $\textrm{Sp}(M) \subset \{ 1, \, - 1\}$ .

$\ast$ 3. Si $M \in O_n(\mathbb{R})$ , $\textrm{Sp}_ {\mathbb{C}}(M) \subset \{ \lambda \in \mathbb{C} , \, \vert \lambda \vert = 1\}$ .

$\ast$ 4. $O_n(\mathbb{R})$ est une partie fermée bornée (compacte en MP) de $\mathcal{M}_n (\mathbb{R})$ .

S6. Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ , $\textrm{Ker }u$ et $\textrm{Im } u$ sont des supplémentaires orthogonaux.
Les sous-espaces propres de $u$ sont deux à deux orthogonaux.

S7. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes symétriques de l’espace euclidien $E$ tels que $u \circ v = v \circ u$ .
$u$ et $v$ sont diagonalisables dans la même base orthonormale.

S8. Soit $E$ un espace euclidien.
Un endomorphisme $u$ symétrique de $E$ est dit positif si $\forall \, x \in E$ , $(u(x) \,| \, x) \geq 0$ .
Un endomorphisme $u$ symétrique de $E$ est dit défini positif si
$\quad \quad \forall \, x \in E \setminus \{0\}$ , $(u(x) \,| \, x) > 0$ .

Soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$ . Montrer que :
$u$ est positif ssi $\textrm{Sp}(u) \subset \mathbb{R}^+$ ;
$u$ est défini positif ssi $\textrm{Sp}(u) \subset \mathbb{R}^{+*}$ .

S9. Soit $u$ un endomorphisme symétrique positif. Il existe un endomorphisme symétrique $v$ positif tel que $v^2 = u$ .

S10. Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ .
$A$ est dite positive ssi $\quad \forall \, X \in \mathcal {M}_{n , 1} ( \mathbb{R}) , \; X^{\textrm{T}}\, A\, X \geq 0$ .
$A$ est dite définie positive ssi $\quad \forall \, X \in \mathcal {M}_{n , 1}(\mathbb{R}) \setminus \{0\}, \; X^{\textrm{T}}\, A\, X >0$ .
On note $\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices symétriques réelles positives et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices symétriques réelles définies positives.

Montrer que
$A \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^+$
et $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^{+*}$ .

S11. a) Si $A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R})$ , la matrice $B = A^{\textrm{T}} \, A$ est une matrice symétrique positive.
b) Si $A \in \textrm{GL}_n\mathbb{R})$ , la matrice $B = A^{\textrm{T}} \, A$ est une matrice symétrique définie positive.

S12. Si $A$ est une matrice symétrique positive, il existe $B$ symétrique positive telle que $A = B^2$ .

S13. Inégalité de Hadamard
Soit $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 2$ et $M \in \mathcal{M} _n(\mathbb{R})$ .
On note $(X_1 \, \, \cdots \, , \, X_n)$ les vecteurs colonnes de $M$ .
On note $\Vert \textbf{.} \Vert$ la norme euclidienne canonique dans $\mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{R})$ .

a) Montrer que $\vert \textrm{det} (M) \vert \leq \displaystyle \prod _{k = 1} ^n \Vert X_k \Vert$ .
b) Trouver une CNS pour qu’il y ait égalité

Exercices conseillés
Première série : Paragraphes 1 , 5 et 6
Deuxième série : Paragraphe 8 et 9
Troisième série : Paragraphes 5 – 6 et 8

Partie Analyse

Plan

Selon le cas, vous trouverez la démonstration ou le lieu où trouver le résultat dans PrepApp. Elles sont en général repérées par le nouveau symbole

1. Séries numériques
2. Suites et séries de fonctions
3. Séries entières
4. Intégration sur un intervalle quelconque
5. Convergence dominée et théorème d’intégration terme à terme
6. Intégrales à paramètre.
7. Espaces vectoriels normés
8. Équations différentielles
9. Fonctions de plusieurs variables
10. Familles sommables en MP.

1. Séries numériques

S1. Si $f$ est une fonction continue, décroissante et à valeurs positives ou nulles, non intégrable sur $[1 , +\infty[$ , trouver un équivalent de $\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^ n f(k)$

S2. Soit $(u_n)_n$ une suite qui converge vers 0 et $v_n=u_{2n}+u_{2n+1}$ .
$\sum u_n$ converge $\Leftrightarrow$ $\sum v_n$ converge.

S3. Soit $\alpha > 1$ et $\beta$ un réel.
Pour $n\, {\geq}\, 2$ , $\displaystyle u_n=\frac 1{n^{\alpha } \ln ^{\beta }(n)}$ .
Montrer que ${\sum} u_n$ converge.

S4. Soit $\beta \, > \, 0$ .
$\quad \quad \forall \, n \geq 2, \; \displaystyle u_n=\frac 1 {n\; \ln ^\beta (n)}$ .
Montrer que ${\sum} u_n$ converge $\Leftrightarrow \, \beta \,> \, 1$

S5. Justifier la divergence des séries de termes généraux :
$\displaystyle u_n= \frac {1} {n \ln ^{\beta}(n)}$ si $\beta \, {\leq} \, 0$
et $\displaystyle v_n=\frac 1{n^{\alpha }\ln ^{\beta }(n)}$ si $\alpha \, < \, 1$

S6. Un grand classique : Constante d’Euler
Convergence de la suite de terme général $\displaystyle a_n=\sum _{k=1}^n\frac 1 k - \ln (n)$ où $n \, {\geq} \, 1$ .
Trouver un équivalent de $\displaystyle H_n=\sum _{k=1}^n\frac 1 k$

S7. Si $f$ est continue sur [0 , + $\infty$ [, décroissante et de limite nulle en $+ {\infty}$ , la série de terme général $\displaystyle u_n=\int _{n\pi }^{(n+1)\pi }f(x)\sin (x)\textrm {d} x$ converge.

S8. Convergence et somme de la série de terme général $\displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1}$ .

S9. $\displaystyle u_n=\int _0^1 x^n\sin (\pi \;x)\textrm {d}x$ , convergence de ${\sum} u_n$ et somme.

S10. Soit $\alpha > 1$ et si $n \, \in \, \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle u_n = {\frac 1 {n ^{\alpha}}}$ .
On note $\displaystyle R_n = \sum_{k = n + 1}^{\infty} u_k$ , montrer que $\displaystyle R_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac 1{(\alpha - 1) n ^{\alpha - 1}}$ .

S11. Soient $(u_n)_{n \geq 0}$ et $(v_n)_{n \geq 0}$ deux suites telles que :
$\ast$ la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ est une suite de réels décroissante, convergente de limite nulle
$\ast$ la suite $(v_n)_{n \geq 0}$ est une suite de complexes telle que si l’on note, pour $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle V_n =\sum _{k = 0 }^{n} v_k$ , la suite $(V_n)_{n \geq 0}$ est bornée.

a) On note si $n \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle S_n = \sum _{k = 0 } ^{n} u_k v_k.$
Montrer que $(S_n)_{n \geq 1}$ vérifie :
$\displaystyle S_n = \sum _{k = 0} ^{n - 1} (u_k - u_ {k + 1}) V_k + u_n V_n .$

b) Montrer que $\sum u_n v_n$ converge.

S12. Révision de cours en MP et exercice en PC/PSI.
Soient $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ deux suites telles $\forall \, n \in \mathbb{N}, b_n > 0.$
On suppose que $\sum b_n$ converge.

$\bullet$ Si $a_n\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o(b_n)$ , montrer que
$\quad \quad \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}a_k\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o\left(\sum_{k=n}^{+\infty}b_k\right)$ .

$\bullet$ Si $a_n\underset{n\rightarrow +\infty}{= }o(b_n)$ , montrer que
$\quad \quad \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}a_k\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\sum_{k=n}^{+\infty}b_k\,$ .

S13. Révision de cours en MP et exercice en PC/PSI.
Soient $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ deux suites telles $\forall \, n \in \mathbb{N}, b_n > 0.$
On suppose que $\sum b_n$ diverge.
$\bullet$ Si $a_n\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o(b_n)$ ,
$\quad \quad \quad \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o\left(\sum_{k=0}^{n}b_k\right)\,$ .

$\bullet$ Si $a_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}b_n$ ,
$\quad \quad \quad \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\sum_{k=0}^{n}b_k\,$ .

2. Suites et séries de fonctions

MP seulement
Soit $f$ une fonction continue sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que $\quad \quad \forall \, n \in \mathbb{N},\; \int_a^b t^n f(t)\, \textrm{d} \, t = 0$ .
Alors la fonction $f$ est nulle sur $[a ,\, b]$ .

S1. Lorsque $f$ est continue sur $[0 ,\, 1]$ , convergence et calcul de la somme de la série de terme général $\quad \quad I_n = (- 1)^n \, \int_0^1 t^n \, f(t) \textrm {d} t$ .

S2. Question 1 (MP/PSI)
La série de terme général $\displaystyle u_n : x \mapsto \frac 1 {n ^x}$ converge sur $]1 , +\infty[$ .
La somme $\zeta$ tend vers $+\infty$ en $1^+$ .
Question 1 (PC)
$\zeta$ est définie sur $]1 ,\, +\infty[$ par $\displaystyle \zeta(x) = \sum _{n = 1} ^{+\infty} \frac 1 {n ^x}$ .
a) Montrer que la fonction $\zeta$ admet une limite finie $L$ en $+\infty$ .
b) Soit $S_n$ et $R_n$ la somme partielle et le reste d’ordre n de la série de fonctions. Déterminer $L$ en démontrant que si $x \geq 2$ , $\zeta(x) \leq S_n(x) + R_n(2)$ .
Question 2
Soit pour $n >0$ , $f_n :\displaystyle x \mapsto \frac 1 {n ^x}$ .
$\sum f_n$ ne converge pas uniformément sur $]1 , \, 2]$ .
En proposer deux démonstrations (une seule en PC) .
Question 3
La fonction $\zeta: x \mapsto \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $]1 , \, +\infty[$ .
Question 4
Équivalent en 1 de $\zeta(x) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}$ .
Question 5 (MP/PSI)
Soit si $x > 1,\; \zeta(x) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}$ .
Montrer que $\displaystyle \zeta(x) - 1 \underset {x \to +\infty} \sim \frac 1 {2 ^x}$ .
Question 5 (PC)
En vous inspirant de la méthode utilisée dans la question 1), déterminer la limite en $+ \infty$ de $(\zeta(x) - 1) / 2^x$ .

S3. Soit si $x \in \mathbb{R}^{+* }$ , $\displaystyle G(x) =\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac {(-1)^{n}} {n^x}$ .
Question 1
$G$ est continue sur $\mathbb {R}^+$ .
Question 2.
$G$ est de classe $C^1$ sur $]0 , + \infty[$ .
Question 3
Simplifier $\zeta(x) + G(x)$ . En déduire la limite de $G$ en $+\infty$ .

Exercice conseillé :
exercice 2 question 1 à 7 de la tâche exercices sur les séries de fonctions.
Ajouter la question :
La somme $S$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+*}$

3. Séries entières

S1. Définition du rayon de convergence $R$ de $\sum a_n \, x^n$

S2. Si la série de terme général $(-1)^n a_n$ vérifie les hypothèses du théorème des séries alternées et si le rayon de convergence $R$ de $\sum a_n \, x^n$ est égal à 1, la somme $f$ est continue sur $[-1 , \, 0]$ .

S3. Ecrire $J(x)= \displaystyle \int_ {0}^{ \pi/2} \cos(x \sin(t)) \, \textrm{d} \, t$ comme somme d’une série entière.
On donne pour $n \in \mathbb{N},$ $W_n =\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^{2 n } (t) \, \textrm{d} \, t = \binom {2 n} n \frac {\pi} {2 ^{2 n + 1} }$ .

S4. Si le rayon de convergence de $\sum a_n \, x^n$ est égal à $R > 0$ , le rayon de convergence de $\displaystyle \sum \frac {a_n\, x^n} {n!}$ est égal à $+\infty$ .

S5. Donner le développement en série entière de $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {\sqrt {1 + x}}$ , on exprimera les coefficients à l’aide de coefficients binomiaux.

S6. Montrer que la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \frac 1 {x} -\frac 1 {\sin(x)}$ est prolongeable par continuité en $0$ en une fonction de classe $C ^{\infty}$ sur $] - \pi , \, \pi[$ .

S7. Intégrale de Poisson
Question 1
Soit $t \in \mathbb{R} \setminus \pi \mathbb{Z}$ . Montrer que $x \mapsto \ln(x^2 - 2\, x\, \cos t + 1)$ est définie sur $\mathbb{R}$ . La développer en série entière.
Montrer que le résultat obtenu est encore valable si $t = k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$ .

Question 2
Soit $a \in \; ]0 ,\, \pi]$ . Développer en série entière $g_a \, : \; ]- 1 , \, 1[\; \rightarrow \mathbb{R} ,$ $\displaystyle \quad \quad x \mapsto \int_{0} ^ {a} \ln(x^2 - 2\, x\, \cos t + 1) \, \textrm{d} \, t$ .

S8. On note $\displaystyle f(x) = \textrm{exp} \left ( - \frac 1 {x^2} \right )$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 0$ .
$f$ est de classe $C ^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ mais n’est pas développable en série entière au voisinage de 0.

Exercices conseillés :
Dans la tâche Exercices 2
I- Questions 1 à 4.
II –
III
IV –
VIII – Questions 1 et 2 au minimum.

Les cours en ligne de Maths en PC, les cours en ligne de Maths en PT, les cours en ligne de Maths en PSI et les cours en ligne de Maths en MP sont basés sur le programme de Maths Spé en vigueur. Chaque cours correspond donc aux notions de cours qui sont vues avec les professeurs en prépa.

4. Intégration sur un intervalle quelconque

Un premier savoir faire important :
Soit $I = [a , + \infty[$ et $f$ une fonction continue et intégrable sur I à valeurs dans $\mathbb{K}$ .
Comment justifier la dérivation de
$F : I \to \mathbb{K} , \; x \mapsto \int_x ^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t$ ?

Deuxième savoir faire important
Quelles sont les hypothèses (et éventuellement le raisonnement) qui permettent de passer de
$\int_a ^b f(t) \, \textrm{d} \, t = 0$
ou de $\forall x \, \in I = [a , b] ,\, \int_a ^x f(t) \, \textrm{d}\, t = 0$
ou de $\forall x \, \in I = \; ]a , b[ ,\, \int_a ^x f(t) \, \textrm{d}\, t = 0$
ou de $\forall \, x \, \in I = \; ]a ,\, b[ ,\, \int_x ^b f(t) \, dt= 0$
à $f$ est nulle sur l’intervalle considéré ?

S1. Intégrale de Dirichlet
L’ intégrale $\displaystyle \int_{0} ^{ +\infty } \frac {\sin(t)} {t } \, \textrm d \, t$ est convergente mais non absolument convergente.

S2. Intégrale de Dirichlet – autre méthode pour la convergence.
Retrouver la convergence de l’intégrale de Dirichlet en utilisant l’intégrale $\quad \quad \quad \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {1 - \cos(t)} {t^2} \, \textrm {d} \, t$ .

S3. Si l’intégrale $\int_1^{+\infty} f(t) \, \textrm{d}\, t$ est convergente et si $f$ a une limite $L$ en $+\infty$ , cette limite est nulle.

S4. Donner un exemple de fonction $f$ continue sur $[1 , \, +\infty[$ telle que l’intégrale $\int_1^{+\infty} f(t) \, \textrm{d}\, t$ est convergente et sans limite en $+\infty$ , elle peut même être non bornée.

S5. Intégrale de Bertrand : savoir choisir la bonne méthode selon le cas de l’exercice pour
$\bullet$ étudier la convergence de l’intégrale $\displaystyle \int_1^{+\infty } \frac 1 {t ^{\alpha} \, \ln^{\beta} (t) } \, \textrm{d} \,t$
$\bullet$ étudier la convergence de l’intégrale $\displaystyle \int_0^{1/2 } \frac 1 {t ^{\alpha} \, \ln^{\beta} (t) } \, \textrm{d} \,t$

S6. Soit $n \in \, \mathbb{N}$ . Justifier l’existence de $I_n = \int_0 ^{+\infty} t^n \, \textrm{e} ^{- x\, t} \, \textrm{d} \, t$ où $x > 0$ et la calculer.

S7. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I = [0 , \,+ \infty[$ et à valeurs réelles.
Si les fonctions $t \mapsto f ^2 (t) \, \textrm {e}^{- t}$ et $t \mapsto g ^2 (t) \, \textrm {e}^{- t}$ sont intégrables sur $I$ , la fonction $t \mapsto f (t)\, g(t) \, \textrm {e}^{- t}$ est intégrable sur $I$ .

S8. Si $a > 0$ , l’intégrale $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac {\sin(t)} {t ^a } \, \textrm{d}\, t$ converge.

S9. Question 1
La fonction $\Gamma \,: \, x \mapsto \int_0 ^{+\infty} t ^{x - 1} \textrm{e} ^{ - t} \, \textrm{d} \, t$ est définie sur $]0 ,\, + \infty[$

Question 2
$\Gamma(x + 1) = x \, \Gamma(x)$ .

S10. Question 1
Soient $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}^+$ , dérivable en $0$ et $a, b$ deux réels tels que $0 < a < b$ .
On suppose que $t \mapsto f(t) / t$ est intégrable sur $[1 , + \infty[$ .
Prouver l’existence de l’intégrale $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {f(b\,t ) - f(a \, t) } t \, \textrm {d} \, t$ et donner sa valeur.

Question 2
Déterminer l’ensemble des réels $x$ tels que l’intégrale $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {\textrm{sh} (x\, t )} t \, \textrm {e} ^{ - t } \, \textrm{d} \, t$ converge et la calculer.

S11. Soit $f(x) = \int_x^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t$ .

Question 1
Justifier l’existence de $f(x)$ pour tout réel $x$ , trouver sa limite en $+ \infty$ , sa dérivée, un équivalent en $+ \infty$

Question 2
Montrer que $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}^ +$ et calculer son intégrale.

5. Convergence dominée et intégration terme à terme

S1. Soit $f$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}^+$ .
Question 1
Justifier l’existence pour $n \in \mathbb{N}^*$ de $I_n = \int_0^{+ \infty }f(t) \, \textrm {e} ^{ - n\, t } \, \textrm{d} \, t$ et trouver la limite de la suite $(I_n)_n$ .
Question 2
On suppose que $f(0) \neq 0$ . Donner un équivalent de $I_n$

S2. Écrire $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac 1 {1 + \textrm {e} ^t} \, \textrm{d} \, t$ comme somme d’une série. En déduire la somme de la série harmonique alternée.

S3. Montrer, en justifiant soigneusement les affirmations que si $x > 0$ , $\displaystyle \Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty .} \int_0 ^n \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, t ^{x - 1} \, \textrm{d} \, t$ .

S4. Question 1
En utilisant le résultat de l’exercice précédent, donner la valeur de $\Gamma(1/2)$ .
Rappel : si $W_n = \int_0 ^{\pi/2} \sin^n (t) \, \textrm {d} \, t$ , alors $W_n \underset {n \to +\infty} \sim \displaystyle \sqrt {\frac {\pi} {2 n}}$ .

Question 2
Justifier l’existence de l’intégrale de Gauss $\displaystyle \int_ {- \infty} ^{+\infty} \, \textrm{e} ^{ - t^2} \, \textrm{d} \, t$ . En donner la valeur.

S5. Soit si $\alpha \in \mathbb{R} ,\; \displaystyle I(\alpha) = \int_0^ {+\infty} \frac {\sin(\alpha\, t)} { \textrm{e} ^{t } - 1} \, \textrm{d} \, t$ .
Question 1
Justifier l’existence de $I(\alpha)$ .

Question 2
Déterminer $a,\, b$ dans $\mathbb{R}$ tels que $I(\alpha) = \displaystyle \sum _{n = 1} ^ {+\infty} \frac a {n ^2 + b^2}$ .

Question 3
En déduire la limite de $I(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $+ \infty$

6. Intégrales à paramètre

S1. La fonction $\Gamma$ .
Question 1
$\Gamma : x \mapsto \int_0^{+\infty} t^ {x - 1} \textrm{ e} ^ {- t}\, \textrm{d} \, t$ .
Retrouver le domaine de définition de la fonction $\Gamma$ .
Démontrer qu’elle est continue .
Question 2
Montrer que la fonction $\Gamma$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ .
Question 3
Sens de variation de la fonction $\Gamma$ .
Étude aux bornes et branches infinies du graphe.
MP : Convexité de $\ln \circ \, \Gamma$ .

S2. Soit $f$ continue sur $[0 , \, 1]$ et si $x \in [0 , \, 1],$ $\quad \quad g(x) = \int_ 0 ^1 \min(x , \, t) f(t) \, \textrm {d} \, t$ .
Dérivée de $g$ .

Vous pouvez aussi revoir dans les intégrales à paramètre :
Exercices
Les exercices 1, 2, 4 sont aussi des extraits de sujets de concours

Annales 1
Transformée de Laplace.

Annales 2
Transformée de Fourier de 1 à 7 en MP, de 1 à 6 en PC /PSI
(partie 3 moins intéressante).

Annales 3
Annales sur la fonction $\Gamma$ . parties 2 à 4.

7. Espaces vectoriels normés

S1. $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle A \mapsto \max_{1 \leq i \leq n} \sum _{j = 1}^n |a_{i,j}|$ est une norme qui vérifie $\quad \quad \Vert A \, B \Vert \leq \Vert A \Vert \; \Vert B \Vert$ $\quad \quad \textrm{et } \Vert A \, X \Vert_{\infty} \leq \Vert A \Vert \; \Vert X \Vert_{\infty}$
en notant $\Vert X \Vert_{\infty} = \displaystyle \max _{1 \leq i \leq n } \vert x_i \vert$ lorsque $X \in \mathcal{M}_{n,1} (\mathbb{K})$ .

S2. Sur l’espace vectoriel $E$ des fonctions bornées sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ : si $f \in E$ , $\displaystyle \Vert f \Vert _{\infty} = \sup _{x \in I} \vert f(x) \vert$ définit une norme.

S3. Comparer les normes de la convergence uniforme , de la convergence en moyenne et de la convergence en moyenne quadratique sur l’espace vectoriel des fonctions continues sur $[a \, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et démontrer qu’elles ne sont pas équivalentes.

S4. Montrer que $f : \mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}$ , telle que $\forall \, x \in \mathbb{R}^*, f(x) = \sin(1/x)$ n’a pas de limite en $0$ .

S5. Soit $(E ,\, N)$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie non vide de $E$ . Si $x \in A$ , on note $\quad \quad \quad \displaystyle d(x , A) = \inf_{a\in A}N(x - a)$ .
L’application $E \rightarrow \mathbb{R} , \; x \mapsto d(x , A)$ est 1-lipschitzienne sur $(E ,\, N)$ .

S6. Version MP Première partie
On suppose que $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels de dimension finie et $u \in \mathcal {L}(E , F)$ ,
$\ast$ les trois réels suivants sont définis et égaux :
$\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_{\{x \in E, \, \Vert x \Vert_{E} \leq 1 \}} \Vert u(x)\Vert _F$
$\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert= \sup_{\{x \in E, \, \Vert x \Vert_{E} = 1 \}} \Vert u(x)\Vert _F$
$\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_{\{x \in E, \,x \not = 0\} } \frac {\Vert u(x) \Vert_{F}} {\Vert x \Vert_{E}}\,$ .
On l’appelle norme subordonnée de $u$ relative aux normes $\Vert \textrm { . } \Vert_E$ et $\Vert \textrm { . } \Vert_F$ .

$\ast$ $\forall\, x \, \in \, E, \; \Vert \ u(x) \Vert_F \leq \vert \vert \vert u \vert \vert \vert\; \Vert x \Vert_E$ .

$\ast$ L’application $u \mapsto \vert \vert \vert u \vert \vert \vert$ définit une norme sur $\mathcal{L}(E , F)$ .

S6 Deuxième partie Version MP
Si $E, F, G$ sont des espaces vectoriels de dimensions finies, si $u \in \mathcal {L}(E , F)$ et $v \in \mathcal{L}(F , G)$ ,
$\quad \quad \vert \vert \vert v \circ u \vert \vert \vert_3 \leq \vert \vert \vert v \vert \vert \vert_2 \; \vert \vert \vert u\vert \vert \vert_ 1$
en notant
$\vert \vert \vert \textrm { . } \vert \vert \vert_1$ la norme subordonnée aux normes choisies dans $E$ et $F$
$\vert \vert \vert \textrm { . } \vert \vert \vert_2$ la norme subordonnée aux normes choisies dans $F$ et $G$
et $\vert \vert \vert \textrm { . } \vert \vert \vert_3$ la norme subordonnée aux normes choisies dans $E$ et $G$ .

S6. Version PC/PSI
On suppose que $E$ et $F$ sont des $\mathbb{K}$ – espaces vectoriels de dimension finie. Soit $u \in \mathcal{L}(E, \,F)$ .
On note $x \mapsto \Vert x \Vert_E$ (resp. $x \mapsto \Vert x \Vert_F$ ) une norme sur $E$ (resp. $F$ ).
Question 1
Démontrer que $\displaystyle \mu = \sup_ {\Vert x \Vert_E \leq 1 } \Vert u(x)\Vert_F$ est défini et qu’il existe $a \in E$ tel que $\Vert a \Vert_E = 1$ et $\Vert u(a)\Vert_F = \mu$ .

Question 2
Montrer que $\quad \quad \forall \, x \in E, \; \Vert u(x) \Vert _F \leq \mu \Vert x \Vert _E$ .

Question 3
On note $\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_ {\Vert x \Vert_E \leq 1 } \Vert u(x)\Vert_F$ .
Montrer que $u \mapsto \vert \vert \vert u \vert \vert \vert$ est une norme sur $\mathcal{L}(E, F)$ .

S7. Soit $E = \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ . Soit $A = (a_{i\,j})_{1 \leq i , j \leq n } \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .
Si $X = (x_i)_{1\leq i \leq n} \in E$ , on note $\quad \quad \displaystyle \Vert X \Vert = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$ .
Montrer que $\displaystyle \sup _ {\Vert X \Vert \leq 1} \Vert A \, X \Vert$ existe et que
$\quad \quad \displaystyle \sup _ {\Vert X \Vert \leq 1} \Vert A\, X \Vert = \max _ {1 \leq i \leq n} \sum _{j = 1} ^n |a_{i,j}|$ .

S8. MP : $\mathcal{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \, / \, A^{\textrm{T}}\, A = \textrm{I}_n\}$ est un compact de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .
PSI/PC : $\mathcal{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \, / \, A^{\textrm{T}}\, A = \textrm{I}_n\}$ est une partie fermée bornée de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

En MP : espaces vectoriels normés, méthodes 2 paragraphe 10
En PC/PSI : méthodes 2 paragraphe 8

S9. MP On suppose que $E$ et $F$ sont des $\mathbb{K}$ – espaces vectoriels de dimension finie. Soit $u \in \mathcal{L}(E, F)$ .
On note $x \mapsto \Vert x \Vert_E$ (resp. $x \mapsto \Vert x \Vert_F$ ) une norme sur $E$ (resp. $F$ ).
Démontrer que $\displaystyle \mu = \sup_ {\Vert x \Vert_E \leq 1 } \Vert u(x)\Vert_F$ est défini et qu’il existe $a \in E$ tel que $\Vert a \Vert_E = 1$ et $\Vert u(a)\Vert_F = \mu$ .

S10. Si $A$ et $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $A \, B$ et $B\, A$ ont même polynôme caractéristique.

En MP : Espaces vectoriels normées. Méthode 2 exercice classique 1 du paragraphe 13
PC/PSI : Espaces vectoriels normés. Méthode 2 Paragraphe X.3.

S11. MP seulement
Si $H$ est un sous groupe de ( $\mathbb{R}$ , +), il existe $a \in \mathbb{Z}$ tel que $H = a \, \mathbb{Z}$ ou $H$ est dense dans $\mathbb{R}$ .

S12. $\bullet$ C1 : si $D$ est une matrice diagonale, $D = \textrm{diag}(\lambda_1 ,\, \cdots\, , \lambda_p)$ ,
la suite $(D^n)_n$ converge ssi $\; \; \forall \, i \in [\![1 , \, p]\!], \, \vert \lambda _ i \vert < 1 \textrm{ ou } \lambda_i = 1$ .

$\bullet$ C2 : Si $A_n = P \,D_n \,P^{-1}$ , la suite $(A_n)_n$ converge ssi la suite $(D_n)_n$ converge.

$\bullet$ C3 : Si $\forall \, n \, \in \, \mathbb{N}, A_n \, \in \, \mathcal{M}_{p , q}(\mathbb{K})$ et $B_n \, \in \, \mathcal{M}_{q , r}(\mathbb{K})$ et si $\displaystyle \lim _{n \to \infty } A_n = A$ et $\displaystyle \lim _{n \to \infty } B_n = B$ , $\displaystyle \lim _{n \to \infty } A_n\, B_n = A\, B$ .

$\bullet$ C4 : Toute matrice carrée $A \, \in \, \mathcal{M}_{p }(\mathbb{K})$ est limite d’une suite de matrices inversibles.

$\bullet$ C5 : Si la suite $(A^n )_n$ converge vers $0$ et si $\lambda$ est valeur propre de $A$ , $|\lambda| < 1$ .

$\bullet$ C6 : Si $A\, \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ et si la suite $(A^n)_n$ converge, pour tout $X_0 \, \in \,\mathcal{M}_{p, 1 }(\mathbb{K})$ , la suite $(A^n X_0)_n$ converge vers $L$ tel que $A\, L = L$ (donc si $L \neq 0$ , $L$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 1).

S13. $\textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

S14. Soient $E$ et $E'$ deux espaces vectoriels de dimension finie. Si $F$ (resp. $F'$ ) est un fermé de $E$ (resp $E'$ ), $F \times F'$ est un fermé de $E \times E'$ .

S15. Si $A$ et $B$ sont deux parties compactes de $(E,\, N)$ , $\quad A + B = \{a + b \, /\, a \in A\textrm{ et } b \in B\}$
est une partie compacte de $(E, \, N)$ .
En PC/PSI, remplacer partie compacte par partie fermée bornée.

S16. Soit $p \in \mathbb{N}$ , $p \geq 2$ , $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ .
Si la suite $(A_n)_n$ converge vers $B$ , $B^2 = B$ .

S17. Si $f$ est continue sur $[a , \, + \infty[$ à valeurs dans $(E, \,N)$ et admet une limite $L$ en $+\infty$ , $f$ est bornée sur $[a , \, + \infty[$

S18. L’ensemble des matrices carrées d’ordre $p$ symétriques et à valeurs propres positives ou nulles et une partie fermée de $\mathcal{M} _p (\mathbb{R})$ .

S19. L’ensemble des projecteurs orthogonaux de l’espace euclidien $E$ est une partie fermée bornée de $\mathcal{L}(E)$ .

S20. Soit $E$ un $\mathbb{K}$ – espace vectoriel de dimension finie et $N$ une norme sur $\mathcal{L}(E)$ . Il existe un réel $C > 0$ tel que $\forall \, (u , \, v) \in \mathcal{L}(E) ^2$ , $\quad \quad N(u \circ v) \leq C \, N(u) \, N(v)$ .

S21. Soit $E$ un $\mathbb{K}$ – espace vectoriel de dimension finie et $N$ une norme sur $\mathcal {L}(E)$ et $\Vert . \Vert$ une norme sur $E$
Il existe un réel $C > 0$ tel que $\forall \, u \in \mathcal{L}(E), \, \forall \, x \in E$ , $\quad \quad \quad \quad \Vert u (x) \Vert \leq C \, N(u) \, \Vert x \Vert$ .

S22. Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f$ un endomorphisme symétrique.
On définit $\varphi : x \mapsto (f(x) \, | \, x)$ et $S = \{x \in E \, \textrm{/} \, \Vert x \Vert = 1 \}$ .

Question 1
Montrer que $\varphi$ admet un maximum sur $S$ atteint en $a$ .

Question 2.
On introduit $b$ unitaire et orthogonal à $a$ Soit si $t \in \mathbb{R}$ , $u(t) = \cos(t) \, a + \sin(t) \, b$ et $F(t) = \varphi (u(t))$ .
a) Montrer que $F'(0) = 0$
b) En déduire que $(b | f(a) ) = 0$ .

Question 3
Montrer que $a$ est un vecteur propre de $f$ .

8. Equations différentielles

S1. Exprimer la solution générale de $\quad \quad (\mathcal{E }) : x' = a(t) \, x + b(t)$
où $a$ et $b$ sont des fonctions continues sur un intervalle $J$ à valeurs dans $\mathbb {K}$ à l’aide d’intégrales

S2. Transformer l’équation différentielle linéaire d’ordre $n$ : $\quad (\mathcal{E }) \, : \, \displaystyle x^ {(n)} + \sum_{k = 0} ^{n - 1} a_k (t) \, x^{(k)} = b(t)\,$ en une équation vectorielle d’ordre 1.
Savoir le faire sans hésiter dans le cas particulier $\quad \quad x'' + a(t) \,x' + b(t) \,x = c(t)$ .

Dans la suite (questions S3 à S5) , $\alpha$ , $\beta$ sont des fonctions continues sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ et $(\mathcal{H})$ : $x'' + \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = 0$ .
S3. Si $t_0 \in I$ et si $x$ est solution de $(\mathcal{H})$ et vérifie $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ , alors $x = 0$ .

S4. $t_0 \in I$ , justifier :
$\ast$ il existe un unique couple $(h_1 ,\, h_2)$ de solutions de $(\mathcal{h})$ vérifiant
$\quad \quad h_1(t_0)=1 \textrm{ et } h'_1(t_0)=0$ $\quad \quad h_2(t_0)= 0 \textrm{ et } h'_2(t_0)= 1$ .
$\ast$ $(h_1 ,\, h_2)$ est une base de $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ .

S5. Si $h_1$ et $h_2$ sont solutions de $(\mathcal{H})$ , la fonction $W$ définie, pour tout $t \in I$ , par $W = h_1 \, h'_2 - h'_1\, h_2$ est solution d’une équation linéaire du premier ordre à donner

S6. Equations d’Euler
$a \, t^2 \, x''(t) + b\, t\, x' + c\, x = f(t)$ où $(a , \, b ,\, c) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} ^2$ .
Retrouver l’équation différentielle en utilisant le changement de variable $u = \ln \vert t \vert$ .

S7. Retrouver l’équation différentielle obtenue par la méthode de Lagrange
On suppose que l’on doit résoudre $(\mathcal{E}) : a(t) \, x'' + b(t) \, x' + c(t) \, x = f(t)$ quand
a) les fonctions $a,\, b,\, c$ et $f$ sont continues sur l’intervalle $I$ et $a$ ne s’annule pas sur l’intervalle $I$ .
b) on connaît une solution particulière $x_1$ de $\quad (\mathcal{H}) : a(t) \, x'' + b(t) \, x' + c(t) \, x = 0$ ne s’annulant pas sur $I$ .

S8. On suppose que l’on connaît deux solutions $h_1$ et $h_2$ formant une base de l’espace vectoriel des solutions de $(\mathcal{H }) : x'' + \alpha(t) \, x' + \beta (t)\, x = 0.$
La méthode de variation des constantes consiste à trouver deux fonctions $u_1$ et $u_2$ de classe $C^1$ sur $I$ telles que $x = u_1\, h_1 + u_2 \,h_2$ soit solution de
$(\mathcal{E }) : x'' + \alpha(t) \, x' + \beta (t)\, x = \gamma(t)$
avec la condition $u'_1\, h_1+ u'_2\, h_2= 0$ .
Retrouver le système à résoudre

S9. Soit $\omega > 0$ .
Résoudre l’équation $x'' + \omega^2 x = f(t)$ où la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$ en utilisant la méthode de variation des constantes.

S10. Soient $\varphi$ et $\psi$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ et $T$ -périodiques où $T > 0$ .
On note $(\mathcal{E})$ : $x'' = \varphi (t)\, x + \psi(t)$ .
Une solution $f$ de $(\mathcal{E})$ est $T$ -périodique ssi $f(T) = f(0)$ et $f'(T) = f'(0)$ .

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9. Fonctions de plusieurs variables

En MP : travailler les méthodes (la recherche d’extremum local sur un ouvert est plutôt un exercice d’oral, par contre ce n’est pas le cas pour la recherche d’extremum global sur un compact).

Il est important de savoir passer en polaire, calculer les dérivées partielles par rapport à $r$ et $\theta$ en fonction de celles par rapport à $x$ et $y$ et vice-versa.

N’oubliez pas : vous devez savoir écrire une équation
$\ast$ de la tangente en un point régulier $M(a , b)$ à la courbe définie par $f(x , y) = 0$ .
$\ast$ du plan tangent en un point régulier $M(a , b , c)$ de la surface d’équation cartésienne $f(x , y , z) = 0$ .

Les exercices à revoir
Première série : tout le paragraphe 1 ; question 1 du paragraphe 2, les paragraphes 3 et 4
Deuxième série : l’exercice 3
Troisième série : les exercices 1 et 3.

En PC/PSI : travailler les méthodes (la recherche d’extremum local sur un ouvert est plutôt un exercice d’oral, par contre ce n’est pas le cas pour la recherche d’extremum global sur un compact).

Il est important de savoir passer en polaire, calculer les dérivées partielles par rapport à $r$ et $\theta$ en fonction de celles par rapport à $x$ et $y$ et vice-versa.

Les exercices à revoir
Première série : exercices 1 et 2 du paragraphe 1 ; question 1 du paragraphe 2, les paragraphes 3 et 4
Deuxième série : l’exercice 3
Troisième série : les exercices 1 et 3.

Il y a aussi des problèmes un peu « sadiques » (pour le candidat et pour le correcteur) qui demandent de calculer $\displaystyle \frac {\partial ^2f } {\partial x ^2}$ et $\displaystyle \frac {\partial ^2 f } {\partial y ^2}$ en fonction des dérivées partielles de $g$ lorsque $\quad \quad f(x , y) = g(r \cos \theta, \, r \sin \theta)$ .

10. Familles sommables en MP

S1. Soit une famille dénombrable $(u_i)_{i \in I}$ de réels positifs ou nuls.
On considère une suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de parties finies de $I$ telle que si $n \in \mathbb{N}$ , $I_n \subset I_{n + 1}$ et $\displaystyle I = \bigcup _{n = 0} ^{+\infty} I_n$ .
La famille $(u_i)_{i \in I}$ est une famille sommable ssi la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où $S_n = \displaystyle \sum _{i \in I_n} u_i$ est convergente.
Dans ce cas, $\displaystyle \sum _ {i \in I} u_i =\sum _ {n = 0} ^{+\infty} u_n$ .

S2. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $u_{n , p} = \displaystyle \frac 1 {(n + p) ^{\alpha} }$ si $(n ,\, p) \in \mathbb{N}^{*2}$ .
Ensemble des réels $\alpha$ tels que la famille double $(u_{n , p})_ {(n , p) \in \mathbb{N}^{*2}}$ soit sommable. Valeur de la somme.

S3. La série de terme de terme général $\zeta(p) - 1$ si $p > 1$ est convergente et calcul de la somme.

S4. a) Si $\sum n \, a_ n$ converge absolument, $\quad \quad \displaystyle \sum _{n = 1} ^{+\infty } \left ( \sum _ {p = n} ^{+\infty} a_p \right ) = \sum _ {n = 1} ^{+\infty} n \, a_n$ .
b) Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ admettant une espérance, $\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{+\infty} \mathbb{P}(X \geq n)$ .

Exercices conseillés
Exercice 3
Exercices 6 et 7 plus difficiles

Probabilités

Plan

Les démonstrations du cours qui pourraient être demandées ainsi que les résultats classiques très proches du cours à savoir justifier.
Le temps indiqué est le temps minimum (en PC/PSI) , il dépend de ce que vous avez oublié.

1. Les matrices stochastiques (concerne les espaces vectoriels normés, la diagonalisation et les probabilités). Vous pourrez aussi voir le paragraphe 7 dans le chapitre Réduction deuxième série d’exercices
2. Des problèmes d’interversion de signes $\sum$ .
3. Dénombrements
4. Probabilités
5. Variables aléatoires.

1. Les matrices stochastiques

Soit $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 2$ .
On note $\mathcal{S}_n$ l’ensemble des matrices stochastiques d’ordre $n$ c’est-à-dire l’ensemble des matrices $A = (a_{i ,j} )_{1 \leq i,j \leq n}$ à coefficients positifs ou nuls tels que $\quad \quad \forall \, i \in [\![1 , \, n]\!], \displaystyle \sum _{j = 1} ^n a_{i ,j} = 1$ .
On munit $\mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C})$ de la norme définie lorsque $X = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ par $\quad \quad \quad \Vert X \Vert_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \vert x_i\vert$ .
Question 1
On note $U \in \mathcal{M} _{n , 1} \mathbb({R})$ dont tous les éléments sont égaux à 1.
Montrer que $A \in \mathcal{M} _{n} (\mathbb{R})$ à coefficients positifs ou nuls est stochastique ssi $A \, U = U$ .

Question 2
Montrer que $\mathcal{S}_n$ est une partie stable pour la multiplication et fermée dans $\mathcal{M} _n(\mathbb{R})$ .

Question 3
Soit $M \in \mathcal{S}_n$ .
a) Montrer que 1 est valeur propre de $M$ .
b) Montrer que pour tout $X \in \mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C})$ $\Vert M X \Vert _{\infty} \leq \Vert X \Vert _{\infty}$ .
c) En déduire que toute valeur propre de $M$ est de module inférieur ou égal à 1.

Question 4.
On suppose que $M \in \mathcal{S}_n$ .
a) Soit $Y = M X - X$ tel que $Y \in \textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)$ .
Montrer que $\Vert Y \Vert_ {\infty} \leq \displaystyle \frac 2 k \, \Vert X \Vert _{\infty}$ .
b) En déduire que $\mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C}) = \textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)\oplus \textrm{Im} (M - \textrm{I}_n)$

Question 5
Soit $M \in \mathcal{S}_n\,$ .
On note si $k \in \mathbb{N}$ , $C_k = \displaystyle \frac 1 {k + 1} \sum _ {i = 0 } ^{k} M ^i$ .
On note $P$ la matrice de la projection de $\mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C})$ sur $\textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)$ parallèlement à $\textrm{Im} (M - \textrm{I}_n)$

a) Soit $X\in \mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C})$ , on écrit $X= X_1 + X_2$ avec $X_1 = P\, X \in \textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)$ et $X_2 = M Z - Z \in \textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)$ .
Montrer que $\quad \quad \Vert C_k X - P\, X \Vert _{\infty} \leq \displaystyle \frac {2 \Vert Z \Vert _{\infty}} {k + 1}$ .

b) Montrer que $\displaystyle \lim_ {k \to + \infty } C_k \, X = P \, X$ puis $\displaystyle \lim_ {k \to + \infty} C_k = P$ .

Il y a bien d’autres résultats ….
Les résultats ci-dessus sont inspirés d’un sujet Mines Ponts PC/PSi 2017 et d’un sujet Epita 2015.
Vous pouvez aussi retrouver d’autres résultats sur les matrices stochastiques dans le dernier paragraphe de la deuxième série d’exercices dans le chapitre Réduction.

Revoir le paragraphe des méthodes Probabilités sur les chaînes de Markov pour leur utilisation en Probabilités.

2. Sur les interversions de signes $\sum$

S1. Intervertir les signes $\sum$ dans :
a) $A = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n} \left ( \sum _ {i = 0}^k a_{i,k} \right )$
b) $B = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n-1 } \left ( \sum _ {i = k + 1 }^b a_{i,k} \right )$ .

S2. Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega, \mathcal{A} , \mathbb{P})$ telle que $X(\Omega) = [\![1 , \, n]\!]$ où $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ .
On suppose que $Y$ est une variable aléatoire telle que si $k \in [\![1 , \, n]\!]$ , $Y \, | \, (X = k)$ suit une loi uniforme sur $[\![1 , \, k]\!]$ .
Calculer l’espérance de $Y$ .

S3. Soit $p \in \mathbb{N }, p \geq 2$
Soit $(a_ {k,n})_{0 \leq k \leq p , n \geq 0}$ une famille de réels.
Donner une condition suffisante permettant d’écrire :
$\displaystyle \sum _ {n = 0} ^ {+\infty} \left ( \sum _ {k = 0} ^p a_{k , n} \right ) = \sum _{k = 0} ^p \left ( \sum _{n =0 } ^{+\infty} a_{k , n} \right )$ .

S4. Pour PC et PSI
Sommes doubles de réels positifs ou nuls.
Soit $u : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{R}^+, \, (n , p)\mapsto u_{n , p}\,$ .
On suppose que $\forall\, p \in \mathbb{N}$ , la série $\displaystyle \sum _ n u_{n , p}$ converge et a pour somme $S_p$ et que $\sum S_p$ converge et a pour somme $S$ .
a) Montrer que $\forall \, n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \sum _{p } u_{n , p}$ converge. On note $T_n$ sa somme.
b) Montrer que $\displaystyle \sum T_n$ converge. On note $T$ sa somme. Montrer que $T \leq S$ .
c) Montrer que $S = T$ .
On dit que la série double de réels positifs $\sum u_{n , p}$ converge, dans ce cas on peut écrire :
$\quad \displaystyle \sum _{p = 0 } ^{+ \infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^ {+\infty} u_{n , p} \right ) = \sum _{n = 0 } ^{+ \infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^ {+\infty} u_{n , p} \right )$ .
Il existe un résultat de même type avec des séries absolument convergentes qui est alors donné par l’énoncé.

S5. Soit $(a_ {k,n})_{0 \leq k \leq n}$ une famille de réels positifs ou nuls.
Donner une condition suffisante permettant d’assurer l’existence de :
$\displaystyle S = \sum _ {n = 0} ^ {+\infty} \left ( \sum _ {k = 0} ^n a_{k , n} \right )$ et donner une autre expression de $S$ .

S6. Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega, \mathcal{A} , \mathbb{P})$ telle que $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$ .
On suppose que $Y$ est une variable aléatoire telle que si $n \in \mathbb{N}^*$ , la variable $Y \, | \, (X = n)$ suit une loi uniforme sur $[\![1 , \, n]\!]$ .
Montrer que $Y$ admet une espérance et la calculer.

3. Dénombrements

S1. L’ application $\varphi : \mathbb{N} ^2 \to \mathbb{N},\; (n , p) \mapsto 2^n \, (2 p + 1) - 1$ définit une bijection qui permet de démontrer que $\mathbb{N}^2$ est dénombrable.

S2. L’application : $\psi : \mathbb {N} ^2 \to \mathbb{N},$ $\quad (n , \, p) \mapsto \displaystyle \frac {(n + p)(n + p + 1)} 2 + p$ est une bijection.

S3. Nombre de listes strictement croissantes de $p$ éléments de $[\![1 , n]\!]$ .

S4. Nombre de solutions entières de l’équation $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = p$ .

S5. Application de la formule du triangle de Pascal pour calculer $\displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p}$ lorsque $1 \leq p \leq n$

S6. Par application de la formule du binôme, calculer si $(a , \, b) \in \mathbb{C} ^2$ , $\quad \quad \displaystyle S = \sum _ {p = 0} ^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom {n } {2\,p}\, a ^{2p} \, b ^{n - 2p}$ .

S7. Soient $a,\, b$ et $n$ trois entiers naturels non nuls avec $n \leq a + b$ .
En utilisant un raisonnement de dénombrement, démontrer la formule de Vandermonde :
$\displaystyle \binom {a+b} {n} = \sum_{ k = \max(0 , n - b)}^{\min(a , \,n)}\binom {a} {k} \, \binom {b} {n- k}$ .

4. Probabilités

S1. Si pour tout entier $n$ , $A_n$ est un événement négligeable (de probabilité nulle), démontrer que leur réunion est négligeable.

S2. Soit $(A_n)_{n \geq 1}$ une suite d’événements mutuellement indépendants et $R = \displaystyle \bigcap _{n = 1} ^{+\infty} A_n\,$ .
Montrer que $\displaystyle \mathbb{P}(R) = \lim_{n \to +\infty} \prod _ {k = 1} ^{n} \mathbb{P}(A_k)$ .

S3. On a deux urnes contenant respectivement une proposition $p$ et $p'$ de boules blanches. Le premier tirage a lieu dans la première urne.
Puis si l’on obtient une boule blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne 1 sinon il se fait dans l’urne 2.
Si $b_n$ est la probabilité d’obtenir une boule blanche au $n$ -ème tirage, trouver une relation de récurrence liant $b_n$ et $b_{n - 1}$ .

S4. Dans une suite d’épreuves indépendantes de pile (probabilité $p$ ) et face (probabilité $q$ ), on gagne en obtenant la suite $PPP$ . Quelle est la probabilité de gagner ?

S5. On lance une pièce donnant pile avec la probabilité $p$ jusqu’à obtenir le troisième pile.
Quelle est la probabilité de lancer la pièce $n$ fois (avec $n \geq 3$ ) ?

S6. Soit $(A_n)_n$ une suite d’événements de l’espace probabilisé $(\Omega, \, \mathcal{A})$ .
a) L’ensemble $S$ des $\omega \in \Omega$ appartenant à une infinité d’éléments de la suite $(A_n)_n$ est un événement.
b) L’ensemble $T$ des $\omega \in \Omega$ appartenant à tous les $(A_n)_n$ à partir d’un certain rang est un événement.

S7. Quelques modélisations :
tout le paragraphe 2 du QCM.

S8. Soit $(\Omega, \mathcal{A} , \mathbb{P})$ un espace probabilisé.
Si $A$ et $B$ sont des événements indépendants,
$\ast$ lorsque $N$ est négligeable, $A \cup N$ et $B \cup N$ sont indépendants.
$\ast$ lorsque $C$ est presque sûr, $A \cap C$ et $B \cap C$ sont indépendants.

Exercices conseillés dans Exercices
Paragraphes 2, 3 , 7 et 8.

5. Variables aléatoires

S1. Soit $a, \, n \in \mathbb{N} ^*$ . On place au hasard $N = a\, n$ boules distinctes dans $n$ tiroirs numérotés de 1 à $n$ .
On note $X$ le nombre de tiroirs vides.
1. Calculer l’espérance et la variance de $X$ .
2. En trouver un équivalent si $n \to +\infty$

S2. a) Fonction génératrice de $X + Y$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ .
b) Lorsque $X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n$ sont indépendantes et à valeurs dans $\mathbb{N}$ , fonction génératrice de $Y = \displaystyle \sum_{i = 1} ^n X_i\,$ .

S3. Un exercice classique paragraphe VIII dans les Méthodes.

S4. Si $X$ est une variable aléatoire réelle discrète ayant un moment d’ordre 2, $X$ admet une espérance mathématique.

S5. Si $X$ est une variable aléatoire discrète et si $f : X(\Omega) \to \mathbb{R}$ est bornée, $f(X)$ admet une espérance mathématique.

S6. Si $X$ est une variable aléatoire réelle discrète presque sûrement constante égale à $C$ , $X$ admet une espérance mathématique égale à $C$ .

S7. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ .
a) $X$ admet une espérance mathématique ssi $\sum \mathbb{P} (X \geq n)$ converge
b) Dans ce cas : $\quad \quad \quad \textrm{E} (X) = \displaystyle \sum _ {n =0 }^{+\infty} \mathbb{P} (X \geq n)$ .

S8. Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètres $p$ et $p'$ .
La variable $U = \min(X , \, Y)$ suit une loi géométrique de paramètre $1 - q^2$

S9. Soit $X$ une variable aléatoire discrète admettant une variance nulle, en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev, montrer que $\quad \quad \mathbb{P} \left ( X = \textrm{E} (X) \right ) = 1$ .

S10. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes de lois $\mathcal{B} (n _1 , \, p)$ et $\mathcal{B} (n _2 , \, p)$ , loi de $X + Y$

S11. Si $\forall \, i \in [\![1, n]\!], \, X_i$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda_i$ et si les variables sont indépendantes, loi de la somme.

S12. On suppose que $(X_1 \, , \, \cdots \, , \, X_n)$ sont indépendantes et de loi géométrique de paramètre $p$ . On note $Y = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n X_i\,$ .
Déterminer la loi de $Y$ .

Les autres démonstrations à savoir faire, (allez dans votre cours)
Inégalité de Markov.
Inégalité de Bienaymé-Tchebichev
Loi faible des grands nombres.
CNS pour qu’une variable ait une variance nulle. ou par la question 23 du QCM

Exercices conseillés
Première série : Paragraphe 7
Deuxième série : Paragraphes 2, 4 et 7
Troisième série : Paragraphes 8 , 10 en MP, 11 et 13

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