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Séries entières en Maths Spé

Résumé de cours Exercice et corrigés

Résumé de cours et méthodes – Séries entières

1. Trouver le rayon de convergence $R$ de la série de terme général $a_n\, x^n$ ?

Il faut avoir en mémoire la représentation suivante, si $\sum a_n \, x^n$ a un rayon de convergence $R> 0$ :

A la question : définition du rayon de convergence $R$ de $\sum a_n \, x^n$ la réponse attendue est :
$R$ est la borne supérieure de l’ensemble $\quad \{ r \geq 0 \, /\, (a_n \, r^n)_n \textrm{ est bornée} \}$
si cet ensemble est majoré et $R = +\infty$ sinon.

Le dessin précédent donne lorsque $R$ est fini et $z \in \mathbb{C}$ :

$\bullet$ Si $\vert z \vert < R$ ,
$\ast$ $\sum a_n \, z^n$ converge absolument
$\ast$ $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n \, z^n = 0$
$\ast$ la suite $(a_n\; z^n)_n$ est bornée.

$\bullet$ Si $\vert z \vert > R$ ,
$\ast$ $\sum a_n \, z^n$ diverge grossièrement
$\ast$ la suite $(a_n\, z^n )_n$ ne converge pas vers $0$
$\ast$ la suite $(a_n \, z^n)_n$ n’est pas bornée.

$\bullet$ Si $\vert z\vert = R$ ,
l’étude est à faire selon la valeur de la suite $(a_n)_n$ , on peut avoir :
$\ast$ convergence en tout $z$
(exemple $a_n = 1/n^2$ )
$\ast$ convergence en certains $z$ et divergence en d’autres $z$
(exemple $a_n = 1/n$ )
$\ast$ divergence pour tout $z$
(exemple $a_n = 1$ ).

$\bullet$ M1. Par double inégalité :
$\ast$ S’il existe $x_0$ tel que la série de terme général $a_n \,x_0^n$ converge : $R \geq \vert x_0 \vert$ .
$\ast$ S’il existe $x_0$ tel que la suite $(a_n \, x_0^n)_n$ soit bornée : $R \geq \vert x_0 \vert$ .
$\ast$ S’il existe $x_1$ tel que la série de terme général $a_n \, x_1^n$ diverge : $R \leq \vert x_1 \vert$ .
$\ast$ S’il existe $x_1$ tel que la suite $a_n \, x_1^n$ ne soit pas bornée : $R \leq \vert x_1 \vert$ .

Tracer le disque de convergence et placer le point d’affixe $x_0$ dans le disque fermé de centre $0$ et de rayon $R$ et le point d’affixe $x_1$ à l’extérieur du disque ouvert de convergence.

$\bullet$ M2. Par utilisation de la règle de d’Alembert
M2.1. Il vaut mieux faire la démonstration complète à partir de la règle de d’Alembert pour les séries numériques :
On vérifie que $\forall \, n \in \mathbb{N} ,\, a_n \neq 0$ , on démontre que le quotient $\displaystyle \left \vert \frac {a_{n+1}\, x^{n + 1}} {a_{n}\, x^{n}}\right \vert$ où $x \neq 0$ admet une limite que l’on met en évidence.
$\ast$ Si cette limite est nulle, $\sum a_n\, x^n$ converge pour tout $x$ , donc $R = +\infty$ .
$\ast$ Si cette limite est égale à $q \, \vert x\vert$ avec $q > 0$ , $\sum a_n \, x^n$ converge si $\vert x \vert < 1/q$ et diverge si $\vert x \vert > 1/q$ , donc $R = 1/q$ .
M2.2. En utilisant la forme suivante à la limite du programme :
On vérifie que $\forall \, n \in \mathbb{N} ,\, a_n \neq 0$ , on démontre que le quotient $\displaystyle \left \vert \frac {a_{n+1}} {a_{n}}\right \vert$ admet une limite $L$ que l’on met en évidence.
$\ast$ Si $L > 0$ , $R = 1/L$ .
$\ast$ Si $L = 0$ , $R = +\infty$ .

Important : la règle de d’Alembert ne peut servir qu’à déterminer un rayon de convergence, elle n’est d’aucune utilité lorsque l’on connaît le rayon de convergence de $\sum a_n x^n$ .
Ne pas oublier de préciser que $x \neq 0$ en utilisant M2.1.
Il est indispensable d’utiliser M2.1. pour les séries dites « lacunaires » (par exemple si les $a_{2n}$ sont nuls ou si les $a_{2n+1}$ sont nuls).

La règle de d’Alembert est assez efficace lorsque $a_n$ est un produit de facteurs.
Lorsque $a_n$ est « compliquée », il vaut mieux chercher avant un équivalent simple $b_n$ de $a_n$ . On rappelle que $\sum a_n \, x^n$ et $\sum b_n \, x^n$ ont alors même rayon de convergence.

$\bullet$ M3. Par comparaison à une série de terme général $b_n\, x^n$ dont on connaît le rayon de convergence $R'$ :
$\ast$ M3.1. si $\forall \, n \in \mathbb{N}$ , $\vert a_n \vert \leq \vert b_n \vert$ : $R \geq R'$
$\ast$ M3.2. si $a _n \underset {n \to +\infty}{ = } \textrm{O} (b_n)$ : $R \geq R'$
$\ast$ M3.3. si $a _n \underset {n \to +\infty}\sim b_n$ : $R = R'$ .

$\bullet$ M4- Par utilisation des opérations sur les séries entières :
$\ast$ M4.1. Si $\sum a_n\, x^n$ et $\sum b_n\, x^n$ ont pour rayons de convergence respectifs $R$ et $R'$ , le rayon de convergence $R''$ de $\sum (a_n + b_n)\, x^n$ est égal à $\min(R , \, R')$ lorsque $R \neq R'$ et supérieur ou égal à $R$ lorsque $R = R'$ .
$\ast$ M4.2. Si $\sum a_n\, x^n$ et $\sum b_n\, x^n$ ont pour rayons de convergence respectifs $R$ et $R'$ , le rayon de convergence $R''$ de la série produit de Cauchy, $\sum c_n\, x^n$ où $\displaystyle c_n = \sum _{k = 0} ^n a_k \, b_{n - k} \,$ , est supérieur ou égal à $\min(R , R')$ .
$\ast$ M4.3. Il y a conservation du rayon de convergence par dérivation ou intégration terme à terme.

$\bullet$ M5. Si l’on connaît les rayons de convergence $R_1$ et $R_2$ de $\sum a_{2n} \, x^{2n}$ et de $\sum a_{2n+1} \, x^{2n+1}$ , le rayon $R$ de convergence de $\sum a_{n} \, x^{n}$ est égal à $R = \min(R_1 , \, R_2)$

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2. Comment utiliser les propriétés de la somme d’une série entière de terme général $a_n \, x^n$ de rayon de convergence $R > 0$ ?

$\bullet$ P1. La série de fonctions $x \mapsto a_n \, x^n$ est normalement convergente sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence $]- R ,\, R[$ .
$\bullet$ P1B. La série de fonctions $z \mapsto a_n \, z^n$ est normalement convergente sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence $\{ z \in \mathbb{C}, \, /\, \vert z \vert < R \}$ .

$\bullet$ P2. La somme de la série est continue sur l’intervalle ouvert de convergence et sur le disque ouvert de convergence.

$\bullet$ P3. Si $R > 0$ est le rayon de convergence de $\sum a_n \, x^n$ et si $\sum \vert a_n \vert \, R^n$ converge, la somme $S$ est continue sur $[ - R, \, R]$ .
La démonstration est obligatoire.

$\bullet$ P4. La somme $S$ de la série est de classe $C^{\infty}$ sur l’intervalle $]-R , R[$ et on obtient sa dérivée en dérivant terme à terme la somme de la série de terme général $a_n \, x^n$ .

$\bullet$ P5. On peut calculer les dérivées successives en $0$ de la somme $S$ de la série entière de terme général $a_n \, x^n$ :
$S^{(n)} (0) = n! \; a_n$ .

$\bullet$ P6. On obtient une primitive de la somme $S$ de la série sur $]-R , \, R[$ en intégrant terme à terme la série de terme général $a_n \, x^n$ .

$\bullet$ P7. On peut intervertir le signe $\sum$ et le signe $\int$ sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence
pour tout $(c ,\, d) \in \; ]- R , R[ ^2$ , $\quad \displaystyle \int_c^d \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \, t ^n\, \textrm{d} \, t = \sum _{n = 0} ^{\infty} \int _c ^d a_n \, t ^n \, \textrm{d} \, t$

$\bullet$ P8. Unicité des coefficients du développement en série entière :
s’il existe $\alpha > 0$ tel que $\displaystyle \forall x \in \; ]-\alpha , \alpha[, \; \sum _{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x^n = \sum _{n = 0} ^{+\infty} b_n \, x^n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $a_n = b_n$ .

$\bullet$ P9. Pour démontrer qu’une fonction $f$ est de classe $C^{\infty}$ au voisinage de $0$ , il suffit de prouver que $f$ est la somme d’une série entière sur $]- \alpha , _, \alpha[$ .
C’est utilisable en particulier pour $\quad x \mapsto \displaystyle \frac {\sin(x)} x$ , $\quad x \mapsto \displaystyle \frac {1 - \cos(x)} {x^2}$ , $\quad x \mapsto \displaystyle \frac {\ln(1 + x)} x$ , $\quad x \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e}^{ x} - 1 } x$
(avec démonstration et en prolongeant par continuité la fonction en 0).

$\bullet$ P10. On peut en déduire le développement limité à l’ordre $n$ au voisinage de $0$ de $f$ :
si pour $x \in\; ]-R , R[$ où $R > 0$ , $f(x) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x ^n$ , alors $\quad \quad \displaystyle f(x) \underset {x \to 0} { = } \sum_{k = 0} ^{n} a_k \, x ^k + o(x^n)$ .

3. Comment démontrer qu’une fonction $f$ est développable en série entière sur $] - \alpha , \, \alpha[$ ?

$\bullet$ M1. En utilisant la formule de Taylor :
$\ast$ M1.1. Par la formule de Taylor avec reste intégral (peu utilisé).
Par la condition nécessaire et suffisante : $f$ étant supposée de classe $C^{\infty}$ sur $] - \alpha , \, \alpha[$ , $f(x) = S_n(x) + R_n(x)$ où $\displaystyle S_n(x) = \sum_{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)}(0)} {k!} {x ^k}$ et $\displaystyle R_n(x) = \int_0 ^x \frac {(x - t) ^{n} } {n !} {f ^{(n + 1 )}(t)}\, \textrm{d} \, t$ .
$f$ est développable en série entière sur $] - \alpha , \, \alpha[$ ssi pour tout $x$ de $] - \alpha , \, \alpha[$ , la suite de terme général $(R_n(x))_n$ converge vers $0$ .

$\bullet$ M1.2. Par la condition suffisante :
$f$ étant supposée de classe $C^{\infty}$ sur $[-\alpha ,\, \alpha]$ , $f$ est développable en série entière sur $[-\alpha ,\, \alpha]$ lorsque la suite de terme général $\quad \quad \quad \quad \displaystyle \frac {\alpha^{n + 1} } {(n + 1)! } \Vert f ^{(n + 1)} \Vert _{\infty , [- \alpha , \, \alpha] }$
converge vers $0$ .

$\bullet$ M2. En utilisant des sommes de DSE connus. C’est utilisable :
$\ast$ 1. pour tout polynôme en $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ , en linéarisant l’expression.
$\ast$ 2. pour toute expression de la forme $\textrm{e} ^{a \, x}\, \cos(b\, x)$ ou $\textrm{e} ^{a \, x} \, \sin(b\, x)$ , en introduisant $\textrm{e} ^{(a + \textrm {i} \,b)\, x}$ .
$\ast$ 3. pour tout polynôme en $\textrm{ch}(x)$ et $\textrm{sh}(x)$ , en exprimant $\textrm{ch}(x)$ et $\textrm{sh}(x)$ en fonction de $\textrm{e}^{x}$ et de $\textrm{e} ^{- x}$ .
$\ast$ 4. utiliser $\ln(1 - x +x ^2) = \ln(1 + x^3) - \ln(1 + x)$ et pour $\ln(1 + x + x^2) = \ln(1 - x^3) - \ln(1 - x)$ .
$\ast$ 5. pour $\displaystyle \frac 1 {1 - x + x^2} = \frac {1 + x} {1 + x^3}$ , utiliser : $\displaystyle \frac 1 {1 - x + x^2} = \frac 1 {1 + x^3} + \frac x {1 + x^3}$
pour $\displaystyle \frac 1 {1 + x + x^2} = \frac {1 - x} {1 - x^3}$ , utiliser $\displaystyle \frac 1 {1 + x + x^2} = \frac 1 {1 - x^3} - \frac x {1 - x^3}$ .

$\bullet$ M3. En intégrant des DSE connus (par exemple pour $x \mapsto \textrm{ Arctan} x$ , $x \mapsto \ln(1 + x)$ , $x \mapsto \textrm{Arcsin}(x)$ ).

$\bullet$ M4. En dérivant des DSE connus (pour retrouver par exemple le DSE sur $]-1 ,\, 1[$ de $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {(1 - x)^k}$ ).
$\quad \displaystyle \frac 1 {(1 - x)^k} = \sum_{n = 0} ^{+\infty} \binom {n + k - 1} {n} x^n$ .

$\bullet$ M5. En utilisant des produits de DSE connus.
Si $\vert x \vert < R_1,$ $\displaystyle f(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x^n$ et si $\vert x\vert < R_2, \displaystyle g(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} b_n \, x^n$ , en notant $R = \min(R_1 \, , \, R_2)$ , si $x \in\; ]- R ,\, R[,$ $\displaystyle \, f(x) \, g(x) =\sum _ {n = 0} ^{+ \infty} c_n \, x^n$ où pour tout $n \in \mathbb{N }, \, \displaystyle c_n =\sum _{k = 0} ^n a_k \, b _{n - k}\,$ .
Prendre le temps d’écrire la formule avant de faire l’application numérique.

Si certaines difficultés persistent n’hésitez pas à bien relire votre cours ou prendre cours de maths à Lyon et à croiser les méthodes et les exemples de cours avec les notions de cours présentes dans les cours en ligne de Maths en PC, les cours en ligne de Maths en PSI ou encore les cours en ligne de Maths en MP et aussi les cours en ligne de PT en Maths.

$\bullet$ M6. En utilisant des fractions rationnelles dont le dénominateur ne s’annule pas :
On développe $f$ en éléments simples dans le domaine complexe soit sous la forme de sommes de quantité du type suivant :
$\ast$ pour $a \in \mathbb{C}^*$ , si $\vert x \vert < \vert a \vert$ ,
$\displaystyle \frac 1 {x+ a} = \frac 1 a \times \frac 1 {1 +(x/a)}$ $\displaystyle \frac 1 {x + a} = \frac 1 a \sum_{n = 0} ^{\infty} ( - 1) ^n \left ( \frac x a \right ) ^n$ .

$\ast$ pour $a \in \mathbb{C}^*$ et $p \in \mathbb{N}^* \setminus \{1 \},$ si $\vert x \vert < \vert a \vert,$ $\displaystyle \frac 1 { {(x+ a)}^p} = \frac 1 {a^p} \times \frac 1 {(1 +(x/a)) ^p }$ $\displaystyle \quad = \frac 1 {a^p} \sum_{n = 0} ^{\infty} \binom {n + p - 1} {p - 1} \left ( - \frac x a \right ) ^n$ .

On peut conserver les termes de la forme $\displaystyle \frac 1 {(x^k + a)^p}$ où $(k, \, p)\,\in \mathbb{N}^{*2}$ et $a \in \mathbb{C}^*$ , en utilisant les calculs précédents en remplaçant $x$ par $x^k$ .

$\bullet$ M7. Par utilisation d’équations différentielles :
a) On démontre que $f$ est développable en série entière
b) On cherche une équation différentielle $(E)$ dont $f$ est solution et on l’écrit de façon à ce que les calculs qui suivent soient simples.
c) On écrit qu’il existe $R > 0$ tel que $\forall x \in\; ]- R ,\, R[, \; f(x) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{\infty} a_n \, x^n$ , puis que $f$ est solution de $(E)$ sur $]-R , \,R[$ .
En utilisant l’unicité du DSE, on obtient une relation entre les coefficients $a_n\,$ .
d) On calcule $a_n$ et le rayon de convergence.
e) Si l’on obtient une seule suite $(a_n)_n\,$ , on a trouvé le développement en série entière de $f$ .
Si l’on obtient plusieurs suites $(a_n)_n\,$ , on cherche la suite qui convient en utilisant $f(0)$ et éventuellement $f '(0)$ .

variante : (c’est la méthode utilisée pour trouver le développement en série entière de $x \mapsto (1 + x) ^{\alpha})$
a) On ne sait pas démontrer que $f$ est développable en série entière mais on peut démontrer que $f$ est la seule solution d’une équation différentielle $(E)$ vérifiant de plus une condition $(C)$ .
b) On démontre qu’il existe une et une seule fonction $g$ développable en série entière sur $]-R , R[$ solution de $(E)$ et vérifiant la condition $(C)$ .
c) Alors $f = g$ sur $]-R ,\, R[$ , donc $f$ est développable en série entière sur $]-R ,\, R[$ .

a) Avant de se lancer dans les calculs, voir s’il n’y a pas de simplification possible (par exemple, $f$ paire ou impaire).
b) On remplace $f$ par son développement en série entière dans $(E)$ . On développe les calculs.
On regroupe les termes en $x^n$ , ceux en $x^{n - 1}$ , ceux en $x^{n + 1}$ , etc … . On effectue des changements d’indice de façon à ce que toutes les sommes obtenues s’expriment en fonction de $x^n$ .
les coefficients des $x^n$ doivent être indépendants de $x$ !
c) Si l’on obtient $a_n$ en fonction de $a_{n - 2}\,$ il faut calculer séparément $a_{2p}$ en fonction de $a_0$ ou $a_2$ et $a_{2p + 1}$ en fonction de $a_1$ ou $a_3$ .

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4. Comment calculer la somme d’une série entière ?

$\bullet$ M1. cas où $u_n = P(n) x^n$ où $P \in \mathbb{C} _p[\textrm{X} ]$ et $P \neq 0$ .
En utilisant un équivalent de $P(n)$ , démontrer que le rayon de convergence est égal à $1$ .
Décomposer $P$ dans la base $b = (1 ,\, \textrm{X} ,\, \textrm{X}(\textrm{X} - 1) ,\ \cdots\, ,$
$\quad \quad \quad \quad \quad \textrm{X}(\textrm{X} - 1)\cdots (\textrm{X} - p + 1))$ ,
de façon à pouvoir utiliser les sommes de séries suivantes :
si $\vert x \vert < 1,$ $\displaystyle S_k(x) = \sum_{n = k} ^{+\infty} n(n - 1)\cdots (n- k + 1) x ^n$
$S_k(x) = \displaystyle \sum _{ n = k} ^{+\infty } \frac {n!} {(n - k)! } x^n$
$S_k(x)= \displaystyle \sum_{p = 0} ^{\infty} \frac {(p+ k )!}{p! }\, x^{p +k}$ $\S_k(x) = \displaystyle \frac {k! \, x^k} {(1 -x)^{k + 1}}$ .

$\bullet$ M2. cas où $\displaystyle u_n = \frac {P(n)} {n!} x^n$ où $P \in \mathbb{C} _p[\textrm{X} ]$ et $P \neq 0$ .
En utilisant un équivalent de $P(n)$ , démontrer que le rayon de convergence est égal à $+\infty$ .
Décomposer $P$ dans la base $b = (1 ,\, \textrm{X} ,\, \textrm{X}(\textrm{X} - 1) ,\, \cdots\, ,$ $\quad \quad \quad \quad \quad \textrm{X}(\textrm{X} - 1)\cdots (\textrm{X} - p + 1))$ ,
de façon à se ramener à des sommes de séries de la forme :
si $x \in \mathbb{C}$ ,
$\displaystyle S_k(x) = \sum_{n = k}^{+\infty} n(n - 1)\cdots (n -k+1) \frac {x ^n}{n!}$
$\displaystyle S_k(x) = \sum_{n = k} ^{+\infty} \frac 1 {(n - k)! }\, x^n = \sum _{p = 0}^{\infty} \frac {1} {p! } \, x^{p + k}$ $S_k(x) = x^k \, \textrm{e} ^x$ .

$\bullet$ M3. cas où $\displaystyle u_n = \frac {P(n)} {Q(n)} \, x^n$ où $P$ et $Q$ sont des fonctions polynômes et $x \in \mathbb{R}$ .
Décomposer la fraction $P/Q$ en éléments simples.
On saura trouver la somme lorsque l’on obtient des termes de la forme :
a) $\displaystyle \frac {x^n} {n - a}$ où $a \in \mathbb{Z}$ , en utilisant le changement d’indice $p = n - a$ , on se ramène à la somme $\quad \quad \displaystyle \sum_{p = 1} ^{+\infty} \frac {x^p} p = - \ln(1 - x)$ .
b) $\displaystyle \frac {x^n} {2 n + 1}$ , utiliser le changement de variable : $t= \sqrt{x} \textrm{ si } x > 0$ et $t = \sqrt{ - x} \textrm{ si } x < 0$ , de façon à se ramener au calcul de $\displaystyle g(t) =\sum _ {n = 0} ^{ +\infty} \frac {t ^{2 n + 1}} {2 n + 1}$ ou $\displaystyle g(t) =\sum _ {n = 0} ^{ +\infty} (- 1) ^n \frac {t ^{2 n + 1}} {2 n + 1}$ .
Dans ce cas, on calcule $g'(t)$ pour se ramener à la somme d’une série géométrique.

$\bullet$ M4. cas où $\displaystyle u_n = \frac {P(n)} {n! \, Q(n)} \, x^n$ où $P$ et $Q$ sont des fonctions polynômes et $x \in \mathbb{R}$ .
Décomposer la fraction $P/Q$ en éléments simples.
On saura trouver la somme lorsque l’on obtient des termes de la forme :
a) $\displaystyle \frac {x^n} {n!(n - a)}$ où $a \in \mathbb{Z}$ , introduire $\displaystyle g(x) = \sum _{n = max(a + 1, 0)} ^{+\infty} \frac {x^{n - a} } {n!(n - a)}$ puis calculer $g'(x)$ .
b) $\displaystyle \frac {x^n} {n! \,(2 n + 1)}$ , utiliser le changement de variable : $t = \sqrt{x} \textrm{ si } x > 0$ et $t = \sqrt{-x} \textrm{ si } x < 0$ , de façon à introduire $\displaystyle g(t) =\sum _ {n = 0} ^{ +\infty} \frac {t ^{2 n + 1}} {n!(2 n + 1)}$ $\textrm {ou } \displaystyle g(t) =\sum _ {n = 0} ^{ +\infty} (- 1) ^n \frac {t ^{2 n + 1}} {n!(2 n + 1)}$
et calculer $g'(t)$ .

$\bullet$ M5. utilisation d’une équation différentielle : (uniquement si c’est suggéré).
a) Écrire que $f$ est solution d’une équation différentielle $(E)$ .
si l’équation différentielle n’est pas donnée par l’énoncé, trouver une expression sans dénominateur liant $a_{n + 1}$ et $a_n$ (et éventuellement $a_{n- 1}$ ), sommer les relations ainsi obtenues multipliées par $x^n$ (ou $x^{n + 1}$ ) et exprimer ces sommes à l’aide de $f(x),\, f '(x)$ (éventuellement $f ''(x)$ ) et $x$ .
b) Résoudre $(E)$ .
c) Parmi les solutions de $(E)$ , chercher celle qui convient (en général, on utilisera $f(0)$ et même $f '(0)$ .

5. Développement en série entière d’une intégrale à paramètre

Hypothèses soit à développer en série entière $F(x) = \int_c^d f(x , t) \, \textrm{d} \,t$ lorsque $(x, \, c, \,d) \in \mathbb{R}^3$ , $c < d$ et si pour tout $t \in [c, \, d] ,\; x \mapsto f(x, \, t)$ est développable en série entière.

1- Montrer que l’on peut écrire pour tout $x \in \; ]- R , R[,\; f(x, t) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n(t) x^n$ pour $t \in [c , \, d]$ .
2- Fixer $x$ dans $]- R , R[$ . Lorsque $t \in [c ,\, d]$ , poser $u_n(t) = a_n(t)\, x^n$ (étape indispensable).
Il est important de bien faire attention à la variable de la fonction $u_n$ il s’agit de la variable d’intégration.
3- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $u_n$ est continue sur $[c ,\, d]$ .
4- Montrer que la série de fonctions de terme général $u_n$ (de la variable $t$ ) converge uniformément sur $[c ,\, d]$ .
On peut alors intervertir l’intégrale sur $[c ,\, d]$ et le signe $\sum$ et écrire que :
$\forall \, x \in \; ]-R , R[,$ $F(x) = \displaystyle \int_c^d f(x,t) \, \textrm {d} \, t= \int_c^d \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n(t) \textrm{d} \,t$
$\displaystyle F(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty}\int_c^d u_n(t) \, \textrm{d}\, t$ $\displaystyle F(x) =\sum _{n = 0} ^{+\infty} \int _ c^d a_n(t)\, x^n \, \textrm{d}\, t$
$\displaystyle F(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} x^n \int_c^d a_n(t)\, \textrm{d}\, t$ .

Autre cas : lorsque l’intervalle d’intégration $I$ de bornes $c$ et $d$ n’est pas un segment et lorsque pour tout $t \in I, \; x \mapsto f(x, \, t)$ est développable en série entière.
1- Montrer que l’on peut écrire pour tout $x \in \; ]- R , R[,\; f(x, t) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n(t) x^n$ pour $t \in I$ .
2- Fixer $x$ dans $]- R , R[$ . Lorsque $t \in I$ , poser $u_n(t) = a_n(t)\, x^n$ (étape indispensable).
Il est important de bien faire attention à la variable de la fonction $u_n$ il s’agit de la variable d’intégration.
3- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $u_n$ est continue et intégrable sur $I$ .
4- Par hypothèse, la série de fonctions de terme général $u_n$ (de la variable $t$ ) converge simplement sur $I$ et sa somme $t \mapsto(x,\, t)$ est continue sur $I$ .
5- Montrer que la série de terme général $\displaystyle \int_c^d \vert u_n(t) \vert \, \textrm{d} \, t$ converge.
On peut alors utiliser le théorème d’intégration terme à terme et intervertir l’intégrale sur $I$ et le signe $\sum$ et conclure comme dans le premier cas que :
$\forall \, x \in \; ]-R , R[,\;$ $\quad \displaystyle F(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} x^n \int_c^d a_n(t)\, \textrm{d}\, t$

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