Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

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Méthodes et cours sur les dénombrements en MP, PC, PSI, PT

Résumé de cours Exercices et Corrigés

Résumé de cours et méthodes – Dénombrements

1. Révision du programme de maths sup sur le dénombrement

1. En utilisant des résultats de cours

1.1. Récapitulatif des résultats

Dans la suite, $n$ et $p$ sont des entiers non nuls et $E_n$ est un ensemble de cardinal $n$ .

$\bullet$ $n^p$ est le nombre
$\ast$ de choix successifs avec remise de $p$ éléments de $E_n$
$\ast$ de listes avec répétition de $p$ éléments de $E_n$
$\ast$ d’applications de $E_p$ dans $E_n$ .
l’ordre des éléments a de l’importance

$\bullet$ si $p \leq n$ , $\displaystyle A_n^p = \frac {n!} {(n - p)!}$ est le nombre
$\ast$ de choix successifs sans remise de $p$ éléments de $E_n$
$\ast$ de listes de $p$ éléments distincts de $E_n$
$\ast$ d’applications injectives de $E_p$ dans $E_n$ .
les éléments sont choisis les uns après les autres et les $p$ éléments choisis sont distincts.

$\bullet$ si $p \leq n$ , $\displaystyle {\binom {n} {p}} = \displaystyle \frac{n!} {p! \, (n - p)!}$ est le nombre
$\ast$ de choix simultanés sans remise de $p$ éléments de $E_n$
$\ast$ de listes strictement croissantes de $p$ éléments de $[\![1 , n]\!]$ (voir dem 1)
$\ast$ de parties à $p$ éléments de $E_n$ .
les éléments sont choisis en même temps. Les $p$ éléments choisis n’ont pas d’ordre.

$\bullet$ hors programme $\displaystyle \Gamma_n^p = {\binom {n + p - 1} {p}}$ est le nombre
$\ast$ de listes croissantes de $p$ éléments de $[\![1 , n]\!]$
$\ast$ de solutions entières de l’équation $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = p$ .
( $p$ – combinaisons avec répétitions des $n$ éléments de $E_n$ )
Voir dem 2.

Nombre de listes strictement croissantes de $p$ éléments de $[\![1 , n]\!]$ .

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1.2. Règle du produit

Si l’on doit choisir un premier élément de $n_1$ façons, un deuxième élément de $n_2$ façons , … , et le $p$ – ième élément de $n_p$ façons, le nombre de choix possibles est égal à $n_1\, n_2\, \cdots \,n_p$ (règle du produit).

1.3. Cardinal d’une réunion de deux ensembles

Si l’on doit choisir un élément vérifiant une propriété $P_1$ ou un élément vérifiant une propriété $P_2$ :
On note $A$ (resp $B$ ) l’ensemble des éléments vérifiant $P_1$ (resp $P_2$ ).
a) Dans le cas où il n’y a aucun élément vérifiant les propriétés $P_1$ et $P_2$ en même temps :
$\quad \quad \# (A \cup B) = \# A + \# B$
car $A \cap B = \varnothing$ .

b) Dans le cas où il y a des éléments vérifiant les propriétés $P_1$ et $P_2$ en même temps :
$\# (A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B)$ .

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1.4. Cardinal d’une réunion de $n$ ensembles

Pour justifier $\displaystyle \# A = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,$ , commencer par prouver que la famille $(A_k)_{0\leq k\leq n }$ est une partition de $A$ (parties non vides, deux à deux disjointes, de réunion égale à $A$ ).
Puis $\displaystyle \# \bigcup _{k = 0} ^n A_k = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,$ .

1.5. « avoir au moins un élément vérifiant une propriété $\mathcal{P}$ «

Pour dénombrer un problème contenant un « au moins », en général, il est plus simple de dénombrer le complémentaire (c’est le cas lorsque le complémentaire se traduit par « sans »).

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2. Propriétés des coefficients du binôme

2.1. Les résultats à savoir

1. $\displaystyle \binom {n} {1} =\binom {n} {n - 1} = n$ , $\displaystyle\binom {n} {2} = \binom {n} {n - 2 }= \frac {n(n - 1)} 2$ , $\displaystyle \binom {n} {3} = \binom {n} {n - 3 }= \frac {n(n - 1)(n - 2)} 6$
ce qui permet d’aller plus vite, garder dans les autres cas $\displaystyle \binom {n} {k}= \frac {n!} {k! \, (n - k)!}$ .

2. Si $0 \leq k \leq n$ , $\displaystyle \binom {n} {k} = \binom {n} {n - k}$ .

3. Si $1 \leq k \leq n$ , $\displaystyle k \, \binom {n} {k} = n\, \binom {n - 1 } {k - 1}$ .

4. Formule du triangle de Pascal si $1 \leq k \leq n - 1$ , $\quad \quad \displaystyle \binom {n} {k} = \binom {n - 1 } {k - 1} + \binom {n - 1 } {k }$ .

5. Formule du binôme de Newton.
Si $a , b \in \mathbb{C}$ , $\quad \quad \displaystyle (a + b) ^n = \sum _ {p = 0} ^n \binom {n } {p} a ^p \, b ^{n - p}$ .

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