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Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corriges

Exercices et corrigés – Dénombrements

1. Ensembles dénombrables

Exercice 1 :

Soit $f$ une fonction croissante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.

Corrigé de l’exercice 1 :

Soit $A$ l’ensemble des points de discontinuité de $f$ .
En tout point $a \in A$ , $f$ admet une limite à gauche $f (a - 0)$ et une limite à droite $f(a + 0)$ telles que $f(a - 0) < f(a + 0)$ .
$\mathbb{Q}$ étant dense dans $\mathbb{R}$ , il existe $r \in \mathbb{Q}$ tel que $f(a - 0) < r < f(a + 0)$ .
On définit ainsi une application $\varphi : A \to \mathbb{Q},\; a \mapsto r$ injective.
Comme $\mathbb{Q}$ est dénombrable, il existe une bijection $\psi$ de $\mathbb{Q}$ sur $\mathbb{N}$ donc une injection $\psi \circ \varphi$ de $A$ dans $\mathbb{N}$ .
On en déduit que $A$ est finie ou dénombrable.

Exercice 2 :

Soit $E = \{0 , 1\}^{\mathbb{N}}$ l’ensemble des suites d’éléments égaux à $0$ ou $1$ .
Question 1
$E$ est dénombrable ?

Question 2
On note $D$ l’ensemble des éléments de $E$ qui sont des $0$ à partir d’un certain rang.
$D$ est dénombrable ?

Question 3
L’ensemble $E'$ des suites périodiques de $E$ est dénombrable ?

Corrigé de l’exercice 2 :

Question 1 :

$E$ était dénombrable, il existerait une bijection

$\varphi$ de

$\mathbb{N}$ dans

$E$ .
On définit alors la suite

$u = (u_n)_n$ par

$u_n = 0$ si

$\varphi(n)_n = 1$ et

$u_n = 1$ si

$\varphi(n)_n = 0$ .
On obtient un élément

$u$ de

$E$ et pour tout

$p \in \mathbb{N},\; u_p \neq \varphi_p(p)$ , donc la contradiction avec

$\varphi$ bijective.

Question 2
On note $D'_0 = \{(0 ,\, \cdots \, 0 , \, \cdots )\}$ , $D_0 = \{(\omega_0 , \, 1 ,\, \cdots \, 0 , \, \cdots )\, / \, \omega_0 = 0 \textrm { ou } 1\}$
et si $n \geq 1, \;D_n$ l’ensemble des éléments de $E$ dont le terme d’indice $n$ est égal à 1, les termes d’indices supérieurs ou égaux à $n + 1$ sont des $0$ .
L’application $\varphi_n : D_n \to \{0 , 1\}^{n },$ $(\omega_k)_{k \in \mathbb{N} } \mapsto (\omega_0 ,\, \cdots \, , \, \omega_{n - 1} )$ est bijective.

Comme $\{0 , 1\}^{n}$ est fini, $D_n$ est fini.
$D$ est la réunion dénombrable des ensembles finis $D_n$ et de l’ensemble $D'_0\,$ , donc $D$ est fini ou dénombrable.
$D$ contient une famille infinie : $(X_n)_n$ où $X_n$ est la suite formée de $n$ $1$ suivis de $0$ .

Donc $D$ est dénombrable.

Question 3

On note $\mathcal{P}_n$ l’ensemble des éléments de $E$ périodiques de période $n \in \mathbb{N}^*$ .
Si $n \in \mathbb{N}^*$ , à tout élément $x$ de $\mathcal{P}_n$ on associe l’élément de $\mathbb{N} ^n$ égal à $(x_0 \, ,\, \cdots \, , \, x_{n - 1} )$ .
On définit ainsi une application bijective de $\mathcal{P}_n$ dans $\{0 , \, 1\} ^{n}$ car une suite périodique de période $n$ est entièrement définie par ses $n$ premiers éléments.
$\# \mathcal{P}_n = 2^n$
$E'$ est une réunion dénombrable d’ensembles finis, donc $E'$ est fini ou dénombrable.
$E'$ contient une famille infinie à savoir la famille $(X_n)_n$ où $X_n$ est la suite périodique de période $n$ dont les $n$ premiers éléments sont $1 , \, \cdots\, , \, 1 , \, 0$
( $n - 1$ éléments $1$ suivis de $0$ ).
Donc $E'$ est dénombrable.

Exercice 3 :

Question 1
Montrer que l’ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$ est dénombrable.

Question 2
L’ensemble des parties de $\mathbb{N}$ n’est pas dénombrable ?

Corrigé de l’exercice 3 :

Question 1 :

On note $\mathcal {P}$ l’ensemble des parties finies non vides de $\mathbb{N}$ .
On note $\mathcal {P} _ n$ l’ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$ de cardinal $n$ .

$\bullet$ Première méthode
On considère $\mathcal{P}_n \to \mathbb{N}^n , \{a_1 ,\, \cdots\, , \, a_n\} \mapsto (a_1 ,\, \cdots\, ,\, a_n)$ (les $a_i$ étant rangés par ordre strictement croissant).
$\varphi_n$ est une application injective. Donc $\mathcal{P}_n$ est fini ou dénombrable.

$\mathcal{P}_n$ n’est pas fini car il contient l’ensemble infini $\{ [\![k , \, k + n - 1 ]\!] \, / \, k \in \mathbb{N} \}$ . donc $\mathcal{P}_n$ est dénombrable.
Les ensembles $\mathcal{P}_n$ forment une partition de $\mathcal{P}$ et sont dénombrables, donc par réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, $\mathcal{P}$ est un ensemble dénombrable.

$\bullet$ Deuxième méthode
On note $\mathcal{Q}_n$ l’ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$ dont le plus grand élément est égal à $n$ .
Se donner un élément de $\mathcal{Q}_n$ revient à se donner une partie de $[\![0 , n - 1]\!]$ et à lui ajouter l’élément $n$ .
Donc $\# \mathcal{Q}_n = 2 ^ n$ (car le nombre de parties de $[\![0 , n - 1]\!]$ est égal à $2^n$ ).

Les ensembles $\mathcal{Q}_n$ forment une partition de $\mathcal{P}$ et sont finis, donc par réunion dénombrable d’ensembles finis, $\mathcal{P}$ est un ensemble dénombrable ou fini.
$\mathcal{P}$ contient la famille infinie $(\{n\})_{n \in \mathbb{N}}$ , donc $\mathcal{P}$ est dénombrable.

Question 2

On suppose que l’ensemble $\mathcal{Q}$ des parties non vides de $\mathbb{N}$ est dénombrable.
Il existe donc une application $\Phi$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathcal{Q}$ bijective.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on note $A_n = \Phi(n)$ .
On note $B$ la partie de $\mathbb{N}$ définie ainsi : $n \in B \Leftrightarrow n \notin A_n\,$ .
$B$ est une partie de $\mathbb{N}$ . Il existe donc $p \in \mathbb{N}$ tel que $B = \Phi(p) = A_p\,$ .
Or si $p \in A_p \,, \,b \notin B$ et si $p \notin A_p\, ,\; b \in B$ , donc $B \neq A_p\,$ . On aboutit à une contradiction.

L’ensemble des parties non vides de $\mathbb{N}$ est non dénombrable. Il en est de même de l’ensemble des parties de $\mathbb{N}$ .

Exercice 4 :

Soit $(I_a)_{a \in A}$ une famille d’intervalles ouverts non vides et 2 à 2 disjoints de $\mathbb{R}$ .
$A$ est au plus dénombrable ?

Corrigé de l’exercice 4 :

En utilisant la densité de $\mathbb {Q}$ , pour tout $a \in A$ , il existe $r_a \in I_a \cap \mathbb{Q}$ .
Si $a \neq b$ , $r_a \neq r_b$ car $I_a \cap I_b = \varnothing$ .
On définit ainsi une injection $f : A \to \mathbb{Q}$ .
Comme il existe une bijection $\varphi : \mathbb{Q} \to \mathbb{N}$ , $\varphi \circ f$ est une injection de $A$ dans $\mathbb{N}$ , alors $A$ est fini ou dénombrable.

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2. Exercies sur les dénombrements en maths spé

Exercice 5 :

On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de mains contenant 2 as ?

Corrigé de l’exercice 5 :

On choisit 2 as parmi 4 de $\displaystyle \binom {4} {2} = 6$ façons.
Puis on choisit 3 cartes parmi les $32 - 4 = 28$ cartes sans as de $\displaystyle \binom {28} {3} = 3\, 276$ façons.
Le nombre de mains contenant deux as est égal à $6 . 3276 = 19\, 656$ .

Exercice 6 :

Quel est le nombre de mains de 4 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 dames ?

Corrigé de l’exercice 6 :

On ne peut pas avoir deux rois et trois dames en même temps dans une main de 4 cartes.
On note $R$ l’ensemble des mains contenant 2 Rois et $D$ l’ensemble des mains contenant 3 dames.

$\ast$ $\# R = 6 . 14 . 27$
car on choisit 2 rois parmi 4 de $\displaystyle \binom {4} {2} = 6$ façons puis 2 cartes parmi les 28 qui restent de $\displaystyle \binom {28} {2} = 14 . 27$ façons.

$\ast$ $\# D = 4 . 28$
car on choisit 3 dames parmi 4 de $\displaystyle \binom {4} {3} = 4$ façons puis 1 carte parmi les 28 qui restent de $28$ façons.

$\# (R \cup D) = \#R + \#D = 2 \, 380$ car $R \cap D = \varnothing$ .

Aviez-vous pensé à écrire que les deux ensembles sont disjoints ?

Exercice 7 :

Quel est le nombre de mains de 4 cartes contenant 2 rois ou 3 trèfles d’un jeu de 32 cartes ?

Corrigé de l’exercice 7 :

On peut obtenir une main contenant le roi de trèfle.
Soit $R$ l’ensemble des mains contenant $2$ rois et $T$ l’ensemble des mains de 4 cartes contenant $3$ trèfles.

$\ast$ $\# R = 6 . 14 . 27$
car on choisit $2$ rois parmi $4$ de $\displaystyle \binom {4} {2} = 6$ façons puis $2$ cartes parmi les $28$ qui restent de $\displaystyle \binom {28} {2} = 14 . 27$ façons.

$\ast$ $\# T = 56 . 24$
car on choisit $3$ trèfles parmi $8$ de $\displaystyle \binom {8} {3} = 56$ façons puis $1$ carte parmi les $24$ qui restent de $24$ façons.

$\ast$ $\# R \cap T = 3 . 21$
C’est l’ensemble des mains contenant le roi de trèfle, un autre roi et $2$ autres trèfles.
On choisit un roi qui n’est pas de trèfle ( $3$ choix), deux trèfles différents du roi de $\displaystyle \binom {7} {2} = 21$ façons.

$\# (R \cup T) = \# R + \# T - \# (R \cap T)$
$\#R = 6 . 14 . 27 + 56 . 24 - 3 . 21 = 3 \,549$ .

Exercice 8 :

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ . Soit $A$ l’ensemble des parties de $E$ ayant un nombre pair d’éléments.
Déterminer $\# A$ .

Corrigé de l’exercice 8 :

On note $p = \lfloor n / 2 \rfloor$ (la partie entière de $n/2$ ).

Si $k \in [[0 , \,p]]$ , on note $A_k$ l’ensemble des parties de $E$ à $2 \,k$ éléments.
La famille $(A_k)_{0 \leq k \leq p}$ forme une partition de $A$ .
Donc $\displaystyle \# A = \sum _{k = 0} ^p \# A_k = \sum _ {k = 0} ^{p} {\binom {n} {2 \,k}}$
$\#A = 2 ^{n - 1}$ (pour le calcul de la somme, voir l’exercice 3 du §2.4. dans la partie méthodes).

Exercice 9
Soient $a,\, b$ et $n$ trois entiers naturels non nuls avec $n \leq a + b$ .
En utilisant un raisonnement de dénombrement, démontrer la formule de Vandermonde :
$\displaystyle \binom {a+b} {n} = \sum_{ k = \max(0 , n - b)}^{\min(a , \,n)}\binom {a} {k} \, \binom {b} {n- k}$ .

Corrigé de l’exercice 9 :

Soient $A = [[1 ,\, a]]$ et $B = [[ a + 1 , \, b + a]]$ .
$A$ et $B$ sont disjoints et ont respective- ment $a$ et $b$ éléments. $E = A \cup B = [[1 , \, a + b]]$ .
$\bullet$ On note $\mathcal{P}_n(E)$ l’ensemble des parties de $E$ ayant $n$ éléments. $\quad \quad \quad \displaystyle \# \mathcal{P}_n(E) = \binom {a + b} {n}$ .

$\bullet$ On note $E_k$ l’ensemble des parties de $E$ formées de $k$ éléments dans $A$ et $n - k$ dans $B$ .
L’ensemble $E_k$ est non vide
ssi $0 \leq k \leq a$ et $0 \leq n - k \leq b$
ssi $k \geq 0 \textrm{ et } k \geq n - b , \; k \leq a \textrm{ et } k \leq n$ .
Les ensembles ( $E_k) _{\max(0 , \, n - b) \leq k \leq \min(a , \, n)}$ forment une partition de $\mathcal{P}_n(E)$ .
$\#E_k = \displaystyle \binom {a} {k} \, \binom {b} {n - k}$ car on doit choisir $k$ éléments parmi $a$ et $n - k$ éléments parmi $b$ .

$\bullet$ $\displaystyle \# \mathcal{P}_n(E) = \sum _ {k = \max(0 , n - b)} ^{\min(a , n)} \# \,E_k$
soit $\displaystyle \binom {a+b} {n} = \sum_{ k = \max(0 , n -b)}^{\min(a , n)}\binom {a} {k} \, \binom {b} {n- k}$ .

D’autres chapitres de mathématiques peuvent être révisés par les étudiants en CPGE, en se rendant sur les pages de cours en ligne de Maths en Maths Spé. Sont accessibles, les cours en ligne de Maths en PC, la page de cours en ligne de Maths en MP et la page de cours en ligne de Maths en PSI.

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2. Exercices sur les les surjections en maths spé

Exercice 10 :

Si $N \in \mathbb{N}^*$ , on note $E_N = [\![1 , \, N]\!]$ .
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On note $S(n , \, p)$ le nombre de surjections de $E_n$ dans $E_p$ .

Question 1
Donner les valeurs de $S(n,\, n)$ et de $S(n ,\, p)$ si $n < p$ .

Question 2
Calculer $S(n , \, 2)$ .

Question 3
Calculer $S(n , \, 3)$ .

Question 4
Calculer $S(n + 1 , \, n)$ .

Question 5
Si $p \geq 1$ ,
$S(n ,\, p) =$ $\quad \quad p(S(n - 1 ,\, p) + S(n - 1 ,\, p - 1))$ .

Question 6
Montrer que $k ^n =\displaystyle \sum _{k = 1} ^ p \binom {p} {k} S(n ,\, k)$

Question 7
Si $q\leq k \leq p$ ,
$\displaystyle \binom {p} {k} \, \binom {k} {q}$ est égal à $\displaystyle \binom {p} {q} \, \binom {p - q} {k - q}$

Corrigé de l’exercice 10 :

Question 1 :

$\ast$ Une application de $E_n$ dans lui-même est une surjection ssi elle est bijective, donc $S(n,\, n) = n!$ .
$\ast$ Il n’y a aucune surjection de $E_n$ dans $E_p$ lorsque $p > n$ car une application de $E_n$ dans $E_p$ a au plus $n$ images distinctes.

Question 2 :

Une application de $E_n$ dans $E_2$ est surjective ssi elle n’est pas constante. Il y a $2 ^n$ applications de $E_n$ dans $E_2$ et deux applications constantes, donc $S(n ,\, 2) = 2^n - 2$ .

Question 3

On note $A$ l’ensemble des applications de $E_n$ dans $E_3\,$ . $\# A = 3^n$ .
On forme une partition de $A$ de la façon suivante :
$\ast$ $A_1$ est l’ensemble des applications constantes : il y en a 3.
$\ast$ $A_2$ est l’ensemble des applications dont l’image est une partie à deux éléments.
Pour définir un élément de $A_2\,$ , on se donne une partie de $E_3$ à deux éléments (ce qui se fait de $\displaystyle \binom {3}{2} = 3$ façons). Puis on définit une application surjective de $E_n$ dans cet ensemble. En utilisant la question 2, il y a $2^n - 2$ applications de ce type.
Donc $\# A_2 = 3(2 ^n - 2)$ .
$\ast$ $A_3$ est l’ensemble des surjections.

Comme $\#A = \#A_1 + \#A_2 + \#A_3\,$ , on en déduit que $\#A_3 = 3^n - 3(2^n - 2) - 3$ .

Question 4 :

Pour définir une surjection de $E_{n + 1}$ dans $E_n$
$\ast$ on choisit l’élément $a$ de $E_n$ ayant deux antécédents : il y a $n$ choix pour $a$ .
$\ast$ on se donne les deux éléments $x_1 , \, x_2$ de $E_{n + 1}$ d’image égale à $a$ : il y a $\displaystyle \binom {n + 1} {2} = \frac {n(n + 1)} 2$ choix.
$\ast$ on définit une surjection (donc une bijection) de $E_{n + 1} \setminus \{x_1 , \, x_2 \}$ dans $E_n \setminus \{ a\}$ ce qui se fait de $(n - 1)!$ façons.
Donc $\displaystyle S(n + 1 , \, n) = n . \frac {n(n + 1)} 2 . (n-1)!$ $\displaystyle S(n + 1, \, n) = \frac {n \, (n + 1)!} 2$ .

Question 5 :

On note $\mathbb {S} (n ,\, p)$ l’ensemble des surjections de $E_n$ dans $E_p\,$ .
On écrit que $\mathbb {S} (n ,\, p) = \mathcal {A} \cup \mathcal {B}$ où
$\mathcal {A}$ est l’ensemble des surjections $f$ de $E_n$ dans $E_p$ telles que la restriction de $f$ à $E_{n - 1}$ soit une surjection de $E_{n - 1}$ sur $E_p$ et $\mathcal{B}$ est l’ensemble des surjections $f$ de $E_n$ dans $E_{p}$ telles que cette restriction ne soit pas surjective .

$\bullet$ Se donner un élément $f$ de $\mathcal{A}$ revient à se donner une surjection $g$ de $E_{n - 1}$ dans $E_p$ et à donner $f(n + 1)$ quelconque dans $E_p$ ( $p$ choix pour $f(n + 1)$ ) donc $\# \mathcal{A} = p \, S(n ,\, p - 1)$ .

$\bullet$ Pour définir un élément $f$ de $\mathcal{B}$ ,
$\ast$ on définit la restriction $f'$ de $f$ à $E_{n -1}\,$ , un seul élément $a$ de $E_p$ n’est pas atteint par $f'$ , on choisit cet élément ( $p$ choix), puis on définit $f'$ qui est une surjection de $E_{n - 1}$ sur $E_p \setminus \{ a \}$ ce qui se fait de $S(n - 1 , p - 1)$ façons
$\ast$ puis on définit $f(p + 1) = a$ .
Donc $\#B = p . S(n - 1 , \, p - 1)$

$\ast$ Comme $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont incompatibles :
$\# \, \mathcal{S}( n , p) = \# \, \mathcal {A} + \# \,\mathcal {B}$
$S(n , \, p) = p \, S(n - 1 , p) + p \, S(n - 1 ,\, p - 1 )$ .

Question 6 :

Si $k \in [\![1 ,\, p]\!]$ , on note $A_k$ l’ensemble des applications $f$ de $E_n$ dans $E_p$ telles que $\# f(E_n) = k$ .
On forme ainsi une partition de l’ensemble $\mathcal {F } (E_n \, ,\, E_p)$ , ensemble des applications de $E_n$ dans $E_p\,$ .
Donc $\# \mathcal {F } (E_n\, , \, E_p) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{p} \# A_k\,$ .

Se donner un élément $f$ de $A_k$ revient à se donner une partie $G$ de $E_p$ ayant $k$ éléments (de $\displaystyle \binom {p} {k}$ façons) puis à définir une application surjective de $E_n$ dans $G$ ce qui se fait de $S(n , \,k)$ façons.
donc $\displaystyle \# A_k = \binom {p} {k} \, S(n, \, k)$ .
On obtient donc $p^n = \displaystyle \sum _{k = 1} ^ p \binom {p} {k} S(n , \, k)$ .

Question 7 :

Si $q\leq k \leq p$ ,
$\alpha = \displaystyle \binom {p} {k} \, \binom {k} {q} = \frac {p!} {k! \, (p - k)!} \, \frac {k!} {q! \, (k - q)!}$
$\displaystyle \alpha = \frac {p!} {q! \, (p - q)! } \, \frac {(p - q)!} {(p - k)! \, (k - q)!}$
soit $\displaystyle \binom {p} {k} \, \binom {k} {q} = \displaystyle \binom {p} {q} \, \binom {p - q} {k - q}$ .

4. Exercices sur les mots de Dyck

On appelle » mot de Dyck » une chaîne de $2 n$ caractères, $n \in \mathbb{N}^*$ , formée de $n$ lettres $A$ et $n$ lettres $B$ , telle que, lorsque l’on dénombre les lettres de gauche à droite, en s’arrêtant à une lettre du mot, le nombre de $A$ soit toujours supérieur ou égal au nombre de $B$ . Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur $2$ est : $AB$ . Les mots de Dyck de longueur 4 sont : $AABB$ et $ABAB$ .
$ABAABB$ et $AAABBB$ sont des mots de Dyck, alors que $BA$ et $AABBBA$ n’en sont pas.
Pour tout entier $n \geq 1$ , on désigne par $C_n$ le nombre de mots de Dyck de $2 n$ lettres.

Question 1
Calculer $C_1\, , \, C_2\, , \, C_3 \, , \, C_4\,$ .

Question 2
On pose : $C_0 = 1$ . Montrer que, pour tout entier $n > 1, \displaystyle C_n = \sum _{k = 1 } ^{n - 1} C_{k - 1} \, C_{n - k }$

Question 3
Montrer que $C_{n} = \displaystyle \frac 1 {n + 1} \, \binom {2 n} {n}$ .

👍 $C_n$ est appelé le $n$ -ième nombre de Catalan.

Question 4 : Une application
Une particule se déplace sur une droite graduée en partant de l’origine et en se déplaçant à chaque minute d’une unité vers la droite ou vers la gauche.
Le nombre de façons de revenir pour la première fois à l’instant $2 n + 2$ en $O$ est égal à $a \, C_{n}\,$

Si toutes les réponses à ces exercices sont correctes, il faut désormais passer aux entraînements sur les annales. Mais, si vous souhaitez vous entraîner sur d’autres exercices de cours en ligne, vous avez le choix. Quelques idées de chapitres au programme de Maths Spé :

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