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Réduction des endomorphismes en Maths Spé

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Résumé de cours et méthodes – Réduction en MP, PC, PSI et PT

1. Utilisation des polynômes d’endomorphismes ou de matrices

1.1. Polynôme minimal d’un endomorphisme

$E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel, $u \in \mathcal{L}(E)$

$\bullet$ $\Phi : \mathbb{K}[\textrm X ] \rightarrow \mathcal{L}(E)$ , $u \mapsto P(u)$ est un morphisme d’algèbre.

$\bullet$ Ker $\Phi$ est un idéal de $\mathbb{K}[\textrm X ]$ , appelé idéal annulateur de $u$ .

$\bullet$ Im $\Phi$ est le sous-espace vectoriel engendré par $(u^k)_{ \{k \in\ \mathbb{N}\}}$ . On le note $\mathbb{K}[u]$ .

Si $E$ est de dimension finie $n > 0$ ,

$\bullet$ l’idéal annulateur de $u$ est différent de $\{0\}$ , il est engendré par un unique polynôme unitaire appelé polynôme minimal de $u$ et noté $\Pi_u\,$ .

$\bullet$ Si $d$ est le degré du polynôme minimal de $u$ , $\mathbb{K}[u]$ admet pour base $(\textrm{ Id},\, u ,\, ... \,, \, u^ {d - 1} )$ .

$\bullet$ Si $F$ est un sev de $E$ non égal à $\{0\}$ et $u$ -stable et si $v$ l’endomorphisme de $F$ induit par $u$ , $\Pi_v$ divise $\Pi_u\,$ .

1.2. Polynôme minimal d’une matrice

Soit $A \in {\mathcal M}_n(\mathbb{K})$ .

$\bullet$ $\Phi : \mathbb{K}[\textrm X ] \rightarrow {\mathcal M}_n(\mathbb{K})$ , $A \mapsto P(A)$ est un morphisme d’algèbres.

$\bullet$ Ker $\Phi$ est un idéal de $\mathbb{K}[\textrm X ]$ , appelé idéal annulateur de $A$ . Il est différent de $\{0\}$ , il est engendré par un unique polynôme unitaire appelé polynôme minimal de $A$ et noté $\Pi_A\,$ .

$\bullet$ Im $\Phi$ est le sous-espace vectoriel engendré par $(A^k)_{ \{k \in\ \mathbb{N}\}}$ . On le note $\mathbb{K}[A]$ .

$\bullet$ Si $d$ est le degré du polynôme minimal de $A$ , $\mathbb{K}[A]$ admet pour base $(\textrm{ Id},\, A ,\, ... \,, \, A^ {d - 1} )$ .

$\bullet$ Si $u$ est un endomorphisme de $E$ de matrice $A$ dans une base de $E$ , $u$ et $A$ ont même polynôme minimal.

1.3. Lemme de décomposition des noyaux

Si $u$ est un endomorphisme du $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ , si $P_1 , \ ... \,, \, P_r$ sont des éléments de $\mathbb{K}[\textrm X ]$ deux à deux premiers entre eux, de produit égal à $P$ ,

$\textrm {Ker } P(u) = \displaystyle \bigoplus _{i=1}^r \text {Ker } P_i(u)$ .

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2. Synthèse des résultats – reduction des endomorphismes methodes

2.1. Pour un endomorphisme

Dans tout ce §, $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie $n > 0$ ,

$u$ est un élément de $\mathcal{L}(E)$ ,

$\lambda$ un élément de $\mathbb{K}$ .

On note $\chi_u$ le polynôme caractéristique de $u$ .

2.1.1. Valeurs propres d’un endomorphisme

$\bullet$ Les conditions nécessaires et suffisantes :

$\lambda\in \textrm {Sp}(u)$

$\Leftrightarrow \exists\; x\in E,\, \underline{x\neq0},\; u(x)=\lambda \,x$

$\Leftrightarrow u-\lambda \, \textrm {Id}_E$ n’est pas injectif.

$\Leftrightarrow \textrm {Ker}(u-\lambda\, \textrm {Id}_E)\neq \{ 0 \}$ , $\Leftrightarrow \textrm {det}(u-\lambda \, \textrm {Id}_E)=0$

$\Leftrightarrow \chi_u(\lambda)=0$

$\bullet$ La condition nécessaire:

Soit $P$ un élément de $\mathbb{K}[\textrm {X}]$ .

Si $\lambda$ valeur propre de $u$ et $P(u) = 0$ , alors $P(\lambda) = 0$ .

$P(u) = 0 \Rightarrow \textrm {Sp}(u) \subset \{t \in \mathbb{K} \,/ \,P(t) = 0\}$

2.1.2. Polynôme caractéristique

$\bullet$ $\forall x\in\mathbb{K}$ , $\chi_u(x)=\textrm {det}(x \,\textrm {Id}_E-u)$ .

$\bullet$ $\chi_u=\textrm X^n-\textrm {Tr}(u) \textrm X^{n-1}+...$

$+(-1)^n\textrm {det}(u)$

$\bullet$ les racines de $\chi_u$ sont les valeurs propres de $u$ .

$\bullet$ si $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et $\textrm {Sp}(u)=\{\lambda_1,...,\lambda_p\}$ , si $m(\lambda_i)$ est l’ordre de multiplicité de $\lambda_i$ si $1 \leq i \leq p$

$\quad \quad \quad \textrm {Tr}(u)= \displaystyle \sum_{i=1}^{p}m(\lambda_i)\, \lambda_i$ , $\quad \quad \quad \textrm {det} (u)= \displaystyle \prod_{i=1}^{p} \lambda_i^{m(\lambda_i)}$ .

$\bullet$ Si $F$ est un sev de $E$ non égal à $\{0\}$ et $u$ -stable et si $v$ l’endomorphisme de $F$ induit par $u$ , $\chi_v$ divise

$\chi_u$ .

$\bullet$ Théorème de Cayley-Hamilton : $\chi_u(u) = 0$ .

2.1.3. Conditions de diagonalisibilité

$\bullet$ Les conditions nécessaires et suffisantes :

$u$ est diagonalisable

$\Leftrightarrow$ il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$

$\Leftrightarrow$ il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale

$\Leftrightarrow$ $\dim E=\displaystyle\sum_{\lambda\in \textrm {Sp}(u)}\dim \textrm E_\lambda(u)$

$\Leftrightarrow$ $\chi_u$ est scindé dans $\mathbb{K}$ et pour tout $\lambda\in \textrm {Sp}(u),$ $\dim \textrm E_\lambda(u)=m(\lambda)$

( $m(\lambda)=$ ordre de multiplicité de la valeur propre $\lambda$ dans $\chi_u$ )

$\Leftrightarrow$ il existe un polynôme $Q$ de $\mathbb{K}[X]$ scindé dans $\mathbb{K}$ , à racines simples, tel que $Q(u) = 0$

$\Leftrightarrow$ lorsque $\textrm{Sp}(u) = \{\lambda_1,... , \lambda_p\}$ , $(\textrm {X} -\lambda_1)... (\textrm {X} -\lambda_p)$ est un polynôme annulateur de $u$ . C’est alors le polynôme minimal de $u$ .

$\Leftrightarrow$ le polynôme minimal de $u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ à racines simples.

$\Leftrightarrow$ la matrice $A$ de $u$ dans une base $\mathcal{B}$ est diagonalisable.

$\Leftrightarrow$ $E=\displaystyle \bigoplus_{\lambda\in \textrm {Sp}(u)} \textrm E_\lambda(u)$ .

$\bullet$ La condition suffisante :

Si $n$ = dim $E$ et si $\chi_u$ a $n$ racines distinctes, $u$ est diagonalisable.

2.1.4. Endomorphisme induit

Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ différent de $\{0\}$ stable pour l’endomorphisme $u$ de $E$ , on note $v$ l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$ ,

$\ast$ Le polynôme caractéristique de $v$ divise le polynôme caractéristique de $u$

$\ast$ Si $u$ est diagonalisable, $v$ est diagonalisable.

2.2. Pour une matrice

Dans tout ce $\S$ , $A \in {\mathcal M}_n(\mathbb{K})$ et $\lambda$ un élément de $\mathbb{K}$ .

On note $\chi_A$ le polynôme caractéris- tique de $A$ .

2.2.1. Valeurs propres d’une matrice

Les conditions nécessaires et suffisantes :

$\lambda\in \textrm {Sp}(A)$

$\Leftrightarrow \lambda$ est valeur propre de l’endomor- phisme canoniquement associé à $A$

$\Leftrightarrow \exists\; X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}),\, \underline{X\neq0}$ tel que $A\,X=\lambda \, X$

$\Leftrightarrow A-\lambda \, \textrm{I}_n$ n’est pas inversible

$\Leftrightarrow \textrm {det}(A-\lambda \, \textrm{I}_n)=0$

$\Leftrightarrow \chi_A(\lambda)=0$

$\Leftrightarrow \textrm{rg}(A-\lambda \, \textrm{I}_n) < n$ .

La condition nécessaire :

Soit $P$ un élément de $\mathbb{K}[\textrm {X}]$ .

Si $\lambda$ valeur propre de $A$ et $P(A) = 0$ , alors $P(\lambda) = 0$ .

Donc si $P(A) = 0$ , $\quad \quad \textrm {Sp}(A) \subset \{t \in \mathbb{K}\, /\, P(t) = 0\}.$

2.2.2. Polynôme caractéristique

$\bullet$ $\forall x\in\mathbb{K},$ $\chi_A(x)=\textrm {det}(x \, \textrm I_n-A)$ .

$\bullet$ $\chi_A=\textrm {X}^n-\textrm {Tr}(A)\textrm {X}^{n-1}+...$

$+(-1)^n\textrm {det}(A)$

$\bullet$ les racines de $\chi_A$ sont les valeurs propres de $A$ .

$\bullet$ si $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et $\textrm{Sp}(A)=\{\lambda_1,...,\lambda_p\},$ si $m(\lambda_i)$ est l’ordre de multiplicité de $\lambda_i$ pour $1 \leq i \leq p$ ,

$\quad \quad \quad \textrm{Tr}(A)=\displaystyle \sum_{i=1}^{p}m(\lambda_i)\, \lambda_i$ , $\quad \quad \quad \textrm{det}(A)= \displaystyle \prod_{i=1}^{p} \lambda_i^{m(\lambda_i)}$

$\bullet$ $A$ , $A^{\textrm T}$ et toute matrice $B$ semblable à $A$ ont même polynôme caractéristique.

$\bullet$ Théorème de Cayley-Hamilton : $\chi_A(A) = 0$ .

2.2.3. Conditions de diagonalisibilité

Les conditions nécessaires et suffisantes :

$A$ est diagonalisable

$\Leftrightarrow$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ est diagonalisable.

$\Leftrightarrow$ il existe $D$ diagonale et $P\in \textrm {GL}_n( \mathbb{K})$ telles que $A=P\,D\,P^{-1}$

$\Leftrightarrow$ $n=\displaystyle\sum_{\lambda\in \textrm {Sp}(A)}\dim \textrm E_\lambda(A)$

$\Leftrightarrow \chi_A$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et pour tout $\lambda\in \textrm{Sp}(A)$ , $\textrm {dim} \, \textrm E_\lambda(A)=m(\lambda)$

( $m(\lambda)=$ ordre de multiplicité de la valeur propre $\lambda$ dans $\chi_A$ )

$\Leftrightarrow$ il existe un polynôme $Q$ de $\mathbb{K}[\textrm X]$ scindé sur $\mathbb{K}$ , à racines simples, tel que $Q(A) = 0$

$\Leftrightarrow$ lorsque $\textrm {Sp}(A) = \{\lambda_1,\,... \,,\, \lambda_p\}$ , $(\textrm X -\lambda_1)\,...\, (\textrm X -\lambda_p)$ est un polynôme annulateur de $A$ .

$\Leftrightarrow$ le polynôme minimal de $A$ est scindé sur $\mathbb{K}$ à racines simples.

$\Leftrightarrow$ $A$ est la matrice d’un endomorphisme diagonalisable.

$\Leftrightarrow$ $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})=\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in \textrm{Sp}(A)}\textrm E_\lambda(A)$ .

La condition suffisante :

Si $A$ est carrée d’ordre $n$ et si $\chi_A$ a $n$ racines distinctes, la matrice $A$ est diagonalisable.

2.2.4. Cas particulier des matrices symétriques réelles (voir le chapitre espaces vectoriels euclidiens)

Théorème : Soit $A$ une matrice symétrique réelle carrée d’ordre $n$ .

$\ast$ Le polynôme caractéristique de $A$ est scindé sur $\mathbb{R}.$

$\ast$ Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux dans $\mathbb{R}^n$ , muni du produit scalaire canonique.

$\ast$ $A$ est diagonalisable et il existe $P$ orthogonale et $D$ diagonale telles que $A = P\, D \,P^{\textrm T}$ .

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3. Trouver le polynôme minimal de $u$ ou de $A$

$\bullet$ 1er cas : le polynôme caractéristique de $u$ (ou de $A$ ) est scindé sur $\mathbb{K}$ et $\lambda_1 , \, ... \,, \, \lambda_p$ étant deux à deux distincts,

$\chi_u = \displaystyle \prod _{i=1}^p ( \textrm {X} - \lambda_i)^{m(\lambda_i)}$ .

$\ast$ Si $u$ est diagonalisable, $\Pi_u = \displaystyle \prod _{i=1}^p ( \textrm {X} - \lambda_i)$ .

$\ast$ Si $u$ n’est pas diagonalisable, on cherche $\Pi_u$ sous la forme

$\Pi_u = \displaystyle \prod _{i=1}^p ( \textrm {X} - \lambda_i)^{\alpha_i}$
où $\forall i \in [\![1, \, p]\!]$ , $1 \leqslant \alpha_i \leqslant m(\lambda_i)$ , l’un au moins des $\alpha_i$ étant supérieur ou égal à 2.

$\bullet$ 2ème cas : $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ et le polynôme caractéristique de $u$ (ou de $A$ ) n’est pas scindé sur $\mathbb{R}$ .

On suppose que $\chi_u = \displaystyle \prod _{i = 1}^r P_i^{n_i}$ , les polynômes $P_1 , \, ... \, ,\, P_r$ étant deux à deux distincts unitaires, soit de degré 1, soit de degré 2 à discriminant strictement négatif et $n_i \geqslant 1$ pour tout $i \in [\![1, \, r]\!]$ .

Chercher le polynôme minimal sous la forme $\Pi_u = \displaystyle \prod _{i = 1}^r P_i^{k_i}$

$\quad$ où $\forall \, i \in [\![1, \, r]\!]$ , $1 \leqslant k_i \leqslant n_i\,$ .

$\bullet$ M3. Détermination de l’image (et seulement de l’image)

On cherche une matrice $A'$ équivalente à la matrice $A$ en échelonnant les colonnes de $A$ par la méthode du pivot de Gauss. Les matrices $A$ et $A'$ ont même image.

Une base de Im $A'$ est formée par les colonnes échelonnées à pivot non nul de la matrice $A'.$

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4. Comment trouver les valeurs propres d’une matrice $A$ ?

Remarque : les méthodes ci-dessous peuvent être appliquées à un endomorphisme $u$ en introduisant sa matrice $A$ dans une base $\mathcal{B}$ de $E$ .

Des résultats importants :

$\bullet$ R1 : Si $E$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension finie $n > 0$ , tout endomorphisme $u$ de $E$ admet au moins une valeur propre complexe car $\chi_u$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$ .

Le résultat n’est pas vrai si $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel :

Prendre $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ tel que $u(e_1) = e_2$ et $u(e_2) = - e_1$ où $(e_1 ,\, e_2$ ) est la base canonique de

$\mathbb{R}^2$ , $(\chi_u = \textrm {X}^2 + 1)$ .

$\bullet$ R2 : Si $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , $A$ admet au moins une valeur propre complexe.

$\bullet$ R3 : Si $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et si $n$ est impair, $A$ admet au moins une valeur propre réelle (puisque

$\chi_A\in\mathbb{R}[X]$ et $\deg \chi_A$ est impair).

$\bullet$ R4 : Si $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , les valeurs propres non réelles de $A$ considérée comme élément de

$\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sont deux à deux conjuguées et les sous-espaces propres de valeurs propres conjuguées ont même dimension.

Quand on écrit $\quad \quad \quad \textrm {Sp}(A) = \{\lambda_1,\,...\, ,\, \lambda_p\}$
les scalaires $\lambda_k$ sont deux à deux distincts.

Lorsque $\chi_A$ est scindé et les valeurs propres ne sont pas distinctes 2 à 2, il faut dire : on note $\lambda_1, ... , \lambda_n$ une liste de valeurs propres de $A$ .

$\bullet$ M1. En calculant son polynôme caractéristique c’est-à-dire en calculant lorsque $x\in \mathbb{K}$ , $\textrm {det}(x \,\textrm {I}_n - A)$

Cette méthode a deux inconvénients :

$\ast$ cela nécessite un calcul de déterminant (qui peut être pénible quand $n\geqslant 4$ ).

$\ast$ puis cela nécessite la recherche des racines d’un polynôme de degré $n$ (les calculs pouvant être compliqués pour $n \geqslant 3$ lorsque le polynôme caractéristique n’a pas de racine évidente).

Mais elle peut être intéressante :

si $\chi_A$ est facilement calculable et factorisable, on connaît alors les valeurs propres de $A$ .

Exercice : Polynôme caractéristique d’une matrice compagnon. 🧡

Soit $(a_0,\,...\,,\,a_{n-1})\in\mathbb{K}^n$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ,

$A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \cdots & 0 & a_2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \cdots & 0& 1 & 0 & a_{n-2} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & a_{n-1} \\ \end{pmatrix}$ , $\chi_A= \displaystyle \textrm {X}^n-\sum_{i=0}^{n-1}a_i\, \textrm {X}^i.$

Montrer que $A$ est diagonalisable ssi le polynôme caractéristique de $A$ est scindé à racines simples.

5. Comment trouver les éléments propres d’une matrice ?

$\bullet$ Rappel de deux résultats qui peuvent simplifier les calculs:
1) Si $A\in\mathcal{ M}_n(\mathbb{K})$ et si $\lambda \in \textrm {Sp}(A)$ , $\textrm {dim }\, \textrm E_\lambda(A) = n - \textrm {rg}(A -\lambda \textrm {I}_n)$

et $m(\lambda) \geq \textrm {dim} \, \textrm E_\lambda(A)$ .

Si $\lambda$ est valeur propre simple de $A$ , $\textrm {dim } \textrm E_\lambda(A) = 1$ .

2) Si $A\in\mathcal{ M}_n(\mathbb{R})$ et si $\lambda\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ est une valeur propre de $A$ ,

$\ast$ $\overline{\lambda}$ est valeur propre de $A$ de même ordre de multiplicité,

$\ast$ $X \in \mathcal{M}_{n , 1}(\mathbb{C})$ vérifie

$\quad \quad A X = \lambda X \Leftrightarrow A \overline{X} = \overline{\lambda}\; \overline{X}$ .

Il suffit donc de déterminer $\textrm E_\lambda(A)$ .

$\bullet$ M1. On connaît déjà Sp $(A)$

(en utilisant une des méthodes du § II-) ou des conditions nécessaires sur les valeurs propres de $A$ :

il suffit de résoudre pour ces valeurs $\lambda$ de $\mathbb{K}$ , l’équation $A X =\lambda X$ , où $X \in \mathcal{M}_{n , 1}(\mathbb{C})$ .

$\bullet$ M2. On ne connaît pas Sp $(A)$ (et on ne veut pas calculer $\chi_A$ ) :

il faut chercher $\lambda \in \mathbb{K}$ et $X \in \mathcal{M}_{n , 1}(\mathbb{K})$ et $X\neq 0$ tels que $A \, X = \lambda \,X$ .

Pour cela, on peut :

$\ast$ utiliser le pivot de Gauss, chercher un système triangulaire équivalent et écrire que le système ainsi obtenu admet une solution non nulle (c’est à dire que la matrice $B$ triangulaire du système ainsi obtenu est non inversible si, et seulement si, $\textrm {det}(B) = 0$ si, et seulement si, le produit des termes de la diagonale de $B$ est nul).

$\ast$ par combinaison linéaire des $n$ équations, obtenir une condition nécessaire portant sur $\lambda$ ou sur les $x_i$ et étudier ensuite la réciproque.

Il est indéniable que le travail personnel est la clé de la réussite en prépa et notamment en Maths Spé. Ainsi, pour vous aider à atteindre vos objectifs, nous vous mettons à disposition l’ensemble des chapitres des Maths au programme de Maths Spé, en voici quelques un :

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