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Cours Variables aléatoires MP, PC, PSI, PT

Résumé de cours Exercices et corrigés

Résumé de cours et méthodes – Variables aléatoires

1. Variables aléatoires discrètes

$\bullet$ 1. Pour démontrer que $X$ est une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \, \mathcal{A})$
$\ast$ Il suffit de démontrer que
… $X$ est une application de $\Omega$ dans un ensemble $E$ .
… $X(\Omega)$ est une partie finie ou dénombrable de $E$ .
… et $\forall \, x \in X(\Omega)$ , $(X = x) \in \mathcal{A}$
$\ast$ Il suffit de prouver que $X$ est une combinaison linéaire ou un produit d’un nombre fini de variables aléatoires discrètes réelles sur $(\Omega, \, \mathcal{A})$ .
$\ast$ Il suffit de trouver une variable aléatoire discrète $Y$ sur $(\Omega, \, \mathcal{A} )$ et une fonction $f$ définie sur $Y(\Omega)$ telles que $X = f(Y)$ .
$\ast$ Il suffit de trouver $n$ variables aléatoires $(Y_k)_{1 \leq k \leq n}$ sur $(\Omega, \, \mathcal{A})$ et une fonction $f$ définie sur $\displaystyle \prod_{k = 1 }^n Y_k(\Omega)$ telles que $X = f(Y_1 \, , \, \, \cdots \, ,\, Y_n)$ .

$\bullet$ 2. Pour donner la loi d’une variable aléatoire discrète $X$ , on détermine $X(\Omega)$ et pour $x \in X(\Omega), \, \mathbb{P}(X = x)$ .
Il est conseillé si la loi de $X$ doit servir et si les calculs sont assez simples de prendre le temps de vérifier que la famille $\left ( \mathbb {P}(X=x)\right) _ {x \in X(\Omega)}$ est une famille sommable de somme égale à 1.

$\bullet$ 3. Obtention d’un système complet d’événements
$\left ( (X = x) \right ) _ {x \in X(\Omega)}$ est un système complet d’événements.

$\bullet$ 4. Pour démontrer que les variables aléatoires $X$ et $Y$ suivent la même loi, on démontre que
$\ast$ $X(\Omega) = Y(\Omega)$
$\ast$ $\forall \, x \in X(\Omega),\; \mathbb{P}(X = x) = \mathbb{P}(Y = x)$ .
Dans ce cas, si elles existent, $\quad \textrm{E}(X) = \textrm{E}(Y)$ et $\textrm{V}(X) = \textrm{V}(Y)$ .
Cela ne veut pas dire que $X = Y$ .
Voir aussi l’utilisation des fonctions génératrices lorsque $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ .

$\bullet$ 5. Variables aléatoires suivant une loi binomiale
$\ast$ On peut justifier le fait que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ en montrant que $X$ est le nombre de succès au cours de $n$ épreuves identiques et indépendantes de Bernoulli de probabilité $p$ de « succès ».
$\ast$ On peut aussi justifier la loi binomiale en écrivant $X$ comme somme de $n$ variables aléatoires indépendantes, de même loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

$\bullet$ 6. Variables aléatoires suivant une loi géométrique
Lorsque l’on effectue une suite d’épreuves indépendantes et identiques de probabilité $p$ de « succès », la variable aléatoire égale au rang du premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$ .

$\bullet$ 7. Pour vérifier qu’une application $f$ définit la loi d’une variable aléatoire discrète
Il suffit de se donner un ensemble $E$ fini ou dénombrable et une fonction $f$ de $E$ dans $\mathbb{R} ^+$ telle que la famille $(f(x))_{x \in E}$ soit sommable de somme égale à 1.
Alors il existe une variable aléatoire sur $X$ sur $(\Omega , \mathcal {A} , \mathbb{P})$ telle que $X(\Omega) = E$ et $\forall \, x \in E, \; \mathbb{P} (X = x) = f(x)$ .

Remarque : il est possible que $X$ ne soit définie que presque-sûrement c’est à dire que $\left ( (X = x) \right ) _{x \in X(\Omega)}$ soit seulement un système quasi-complet d’événements.
C’est le cas pour $X$ de loi géométrique égale au temps d’arrêt pour obtenir pour la première fois un événement $A$ de probabilité $p$ , la probabilité de ne jamais obtenir l’événement $A$ étant nulle.

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2. Couples de variables aléatoires

2.1. Loi d’un couple et lois marginales
$\bullet$ 1. Pour donner la loi d’un couple $(X , \,Y)$ de variables discrètes, il faut donner : $X(\Omega),\, Y(\Omega)$ et pour tout $x \in X(\Omega)$ et $y \in Y(\Omega)$ , la valeur de $\mathbb{P} (X = x \cap Y = y)$ .
$\ast$ On peut noter aussi : $\mathbb{P} (X = x \cap Y = y) = \mathbb{P} (X = x \, , \, Y = y)$
$\ast$ Faire apparaître clairement les conditions sur $x$ et $y$ lorsque $\mathbb{P} (X = x \cap Y = y)$ dépend des positions relatives de $x$ et $y$ .
$\ast$ Lorsque $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ sont de cardinal peu élevé, on peut présenter les résultats en un tableau à double entrée.
La famille $\quad \left ( \mathbb{P} (X = x \cap Y = y) \right )_{x \in X(\Omega) , \, y \in Y(\Omega)}$ est sommable de somme égale à 1.

$\bullet$ 2. Ayant la loi du couple $(X , Y)$ , on en déduit les lois marginales par sommation.
$\forall \, x \in X(\Omega),$ $\displaystyle \mathbb{P} (X = x) = \sum _{y \in Y(\Omega)} \mathbb{P} (X = x \cap Y = y)$ .
$\forall \, y \in Y(\Omega),$ $\displaystyle \mathbb{P} (Y = y) = \sum _{x \in X(\Omega)} \mathbb{P} (X = x \cap Y = y)$ .
La seule difficulté est de tenir compte des conditions liant $x$ et $y$ s’il y en a.

$\bullet$ 3. $\ast$ La donnée des lois marginales de $X$ et $Y$ ne donne pas la loi du couple sauf si les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.
$\ast$ Il est possible d’avoir des couples $(X , \,Y)$ et $(X' , \, Y')$ ayant des lois conjointes différentes, alors que les lois marginales sont les mêmes.
$\ast$ Si $X$ et $Y$ suivent des lois de Bernoulli de paramètres connus et si l’on connaît une des 4 probabilités
$\mathbb{P} (X = \varepsilon_1 , Y = \varepsilon_2)$ avec $\varepsilon_1$ et $\varepsilon _2$ dans $\{0 ,\, 1\}$ , on peut trouver la loi du couple $(X ,\, Y)$ .

2.2. Indépendance de deux variables aléatoires
$\bullet$ 1. Pour étudier l’indépendance des variables $X$ et $Y$ ,
a) s’il existe $x \in X(\Omega)$ et $y \in Y(\Omega)$ tels que $\mathbb{P} (X = x \cap Y = y) = 0$ alors que $\mathbb{P} (X = x)\, \mathbb{P}(Y = y) \neq 0$ , les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
b) s’il existe $x \in X(\Omega)$ et $y \in Y(\Omega)$ tels que $\mathbb{P} (X = x , Y = y) \neq \mathbb{P} (X = x)\, \mathbb{P}(Y = y)$ les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
c) si l’on ne trouve pas de telles valeurs, pour démontrer l’indépendance, on doit vérifier que
$\forall \, x \in X(\Omega), \; \forall \, y \in Y(\Omega)$ , $\mathbb{P} (X = x , Y = y) = \mathbb{P} (X = x)\, \mathbb{P}(Y = y)$

$\bullet$ 2. Si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes, pour tout $A \subset X(\Omega)$ et $B \subset Y(\Omega)$ , $(X \in A)$ et $(Y \in B)$ sont des événements indépendants.
Ce résultat est souvent utilisé sous la forme :
Si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires réelles indépendantes, pour tous intervalles $I$ et $J$ de $\mathbb{R}$ , les événements $(X \in I)$ et $(Y \in J)$ sont indépendants.

$\bullet$ 3. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et ont une espérance mathématique, $X\, Y$ a une espérance et $\quad \quad \quad \textrm{E}(X Y) = \textrm{E}(X) \textrm{E}(Y)$
donc la covariance de $X$ et $Y$ est nulle. La réciproque est fausse.

$\bullet$ 4. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et si $f$ (resp. $g$ ) est une application définie sur $X(\Omega)$ (resp. $Y(\Omega)$ ), $f(X)$ et $g(Y)$ sont des variables indépendantes.

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3. Indépendance mutuelle de $n$ variables aléatoires

$\bullet$ 1. $X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n$ sont des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes lorsque
$\forall\, k \in [\![1 , n ]\!],\; \forall\, t_k \in X_k(\Omega),$
$\displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _ {k = 1} ^n (X_k =t_k) \right ) = \prod_{k = 1} ^n \mathbb{P} (X_k = t_k)$ .

$\bullet$ 2. Si $X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n$ sont des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes,
$\ast$ elles sont 2 à 2 indépendantes.
$\ast$ si $\forall \,k \in [\![1 , n]\!]$ , $f_k$ est une application définie sur $X_k(\Omega)$ , $f_1(X_1)\, , \, \cdots \, , \, f_n(X_n)$ sont des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes.
$\ast$ si $1 \leq p < n$ et si $f$ est une application définie sur $X_1(\Omega) \times \cdots \,\times \, X_p(\Omega)$ et $g$ est définie sur $X_{p +1}(\Omega)\times \cdots \,\times \, X_n(\Omega)$ , les variables $f(X_1 \, , \, \cdots \, , \, X_p)$ et $g(X_{p + 1} \, , \, \cdots \, , \, X_n)$ sont indépendantes.
Dans la suite, on suppose de plus que les variables aléatoires sont réelles.
$\ast$ Si $\forall \,k \in [\![1 , n]\!]$ , $I_k$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ les événements $(X_k \in I_k)_{1 \leq k \leq n}$ sont mutuellement indépendants.
$\ast$ $X_ 1 \, + \, \cdots \, + \, X_{n - 1}$ et $X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes.
(lemme des coalitions)

Les cours de mathématiques en Maths Spé doivent être appris rigoureusement, et les définitions de cours ainsi que les méthodes de cours doivent être apprises par cœur. Chaque cours comme les cours en ligne de Maths en PT, par exemple ou les cours en ligne de Maths en MP, les cours en ligne de Maths en PSI et les cours en ligne de Maths en PC comportent ces notions essentielles qui guideront les étudiants vers la réussite.

4. Recherche de lois particulières

4.1. Maximum et minimum de 2 variables aléatoires réelles
Si $X_1$ et $X_2$ sont deux variables et $U = \min(X_1 , \, X_2)$ et $V = \max(X_1 , \, X_2)$ ,
$\bullet$ Lois de $U$ et $V$
$\mathbb{P} (U = u) = \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = u)$
$\quad \quad \quad \quad +\, \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 > u)$
$\quad \quad \quad \quad + \,\mathbb{P}(X_1 > u \cap X_2 = u)$ .
$\ast$ $\forall \, v$ ,
$\mathbb{P}(V = v) = \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 = v)$
$\quad \quad \quad \quad + \, \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 < v)$
$\quad \quad \quad \quad +\, \mathbb{P}(X_1 < v \cap X_2 = v)$ .

$\bullet$ Loi du couple
$\ast$ $\forall \, u,$ $\mathbb{P}(U = u \cap V = u) =$ $\quad \quad \quad \quad \quad \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = u)$ .
$\ast$ Si $u < v$ , $\mathbb{P}(U = u \cap V = v) =$ $\quad \quad \quad \quad \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = v)$
$\quad \quad \quad \quad +\, \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 = u)$
$\ast$ et si $u > v,\; \mathbb{P}(U = u \cap V = v) = 0$ .

On peut aussi utiliser la méthode du paragraphe suivant.

👍 Il est utile de se souvenir des relations : $U + V = X_1 + X_2$ et $V - U = \vert X_1 - X_2\vert$ .

4.2. Maximum et minimum de $n \geq 3$ variables aléatoires réelles
Si $X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n$ sont $n$ variables aléatoires réelles, on note $\quad U = \displaystyle \min _{1 \leq i \leq n} X_i$ et $V = \displaystyle \max _{1 \leq i \leq n} X_i\,$ .

$\bullet$ Loi de $U$
On calcule $\mathbb {P} (U \geq u) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{i = 1} ^n ( X_i \geq u) \right )$
(On peut aussi utiliser $\mathbb{P} (U > u)$ ).
Lorsque les variables $X_i$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ , on utilise si $u \in \mathbb{N},$ $\quad (U \geq u) = (U = u) \cup (U \geq u + 1)$ donc
$\mathbb{P} (U = u) = \mathbb{P}(U \geq u) - \mathbb{P}(U \geq u + 1)$

$\bullet$ Loi de $V$
On calcule $\mathbb {P} (V \leq v) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{i = 1} ^n ( X_i \leq v) \right )$ .
Lorsque les variables $X_i$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ , on utilise si $v \in \mathbb{N}^*,$ $\quad (V \leq v) = (V = v) \cup (V \leq v - 1)$ donc
$\mathbb{P} (V = v) = \mathbb{P}(V \leq v) - \mathbb{P}(V \leq v - 1)$ et $\mathbb{P} (V = 0) = \mathbb{P} (V \leq 0)$ .

$\bullet$ Loi du couple $(U , \, V)$
On détermine lorsque $u \leq v$ , $\mathbb{P} (U \geq u , V \leq v) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _ {i = 1} ^n (u \leq X_i \leq v ) \right )$

4.3. Utilisation de relations matricielles
Soit $k \in \mathbb{N},\; k \geq 2$ . $I$ une partie non vide de $\mathbb{N}$ formée d’éléments consécutifs (en général $I = \mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$ ).
On suppose que l’on définit une famille (finie ou infinie) de variables aléatoires $(X_n)_{n \in I}$ à valeurs dans $[\![1 , k ]\!]$ telles que $\forall \, n \in I$ tel que $n + 1 \in I$ , $\quad \quad \mathbb{P}(X_{ n + 1} = i \, | \, X_n = j) = a_{i , j}$
( $a_{i,\, j}$ est indépendant de $n$ ).
On introduit la matrice $A = (a_{i , j}) _{1 \leq i , j \leq k}$
Soit $\; \; U_n = \left (\mathbb{P}(X_n = i) \right ) _{1 \leq i \leq k} \in \mathcal{M} _{k , 1} ( \mathbb{R})$ .
On vérifie que $U_{n+ 1} = A \, U_n$ .
Dans le cas où $I = \mathbb{N}$ , on obtient pour tout entier $n$ , $U_n = A^n \, U_0\,$ , il faudra déterminer la matrice $A^n$ (en la diagonalisant par exemple).

Propriétés de $A$ et de sa transposée.
$\ast$ a) La somme des termes de chaque colonne de $A$ est égale à 1.
$\ast$ b) $A^{\textrm{T}}$ admet 1 pour valeur propre et le vecteur de coordonnées égales à 1 est un vecteur propre de $A^{\textrm{T}}$ associé à la valeur propre 1
$\ast$ c) 1 est toujours valeur propre de la matrice $A$ (puisque 1 est valeur propre de $A^{\textrm{T}}$ ). On peut démontrer que les autres valeurs propres de $A$ sont de module inférieur ou égal à 1.

Voir aussi le paragraphe 5 chaînes de Markov (méthodes probabilités), pour déterminer la limite de la suite $\left ( \mathbb{P}(X_n = i)\right)_ n$ lorsque $i \in [\![ 1 , \, k]\!]$ .

4.5. Loi de la différence de deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ .
On utilise si $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle (X - Y = n) = \bigcup_{k = 0} ^{+\infty} (X = k + n , Y = k)$
et $\displaystyle (X - Y = - n) = \bigcup_{k = 0} ^{+\infty} (X = k , Y = k + n)$
Dans les deux cas, on a introduit une réunion dénombrable d’événements 2 à 2 incompatibles.

Il est conseillé de calculer $\mathbb{P}(X - Y = - n)$ si $n \in \mathbb{N}^*$ plutôt que $\mathbb{P} (X - Y = m)$ pour $m \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ .

On raisonne comme dans le paragraphe précédent, avec les mêmes précautions dans les calculs pratiques.
Par contre, il est impossible d’utiliser la fonction génératrice de $X - Y$ sauf si $X \geq Y$ .

Il est conseillé de calculer $\mathbb{P}(X - Y = - n)$ si $n \in \mathbb{N}^*$ plutôt que $\mathbb{P} (X - Y = m)$ pour $m \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ .

Délaisser les révisions de certains chapitres de maths est une mauvaise stratégie de révision. En effet, pour obtenir de bonnes notes lors des épreuves de concours, il est primordial de s’assurer d’avoir un niveau de connaissances homogène dans tous les chapitres du programme. Si ce n’est pas le cas, utilisez un cours particulier de maths en ligne pour améliorer votre niveau, et révisez :

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