Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

Cours Intégrales à paramètre MP, PC, PSI, PT

Résumé de cours Exercices et corrigés

Résumé de cours et méthodes – Intégrales à paramètres

I- Continuité des intégrales à paramètres en maths spé

1.1. Continuité

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $A$ une partie non vide d’un espace vectoriel de dimension finie.
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
$\ast$ (a) si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$
$\ast$ (b) si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est continue sur $A$
$\ast$ (c) s’il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ telle que $\quad \forall \, (x , t) \in A \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)$ ,

Conclusion
$\ast$ $\ast$ la fonction $g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ est définie sur $\mathcal{V}$ et continue en $a$ .

Pour la continuité en un point :
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $A$ une partie non vide d’un espace vectoriel de dimension finie et $a \in A$ .
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
$\ast$ (a)si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$ .
$\ast$ (b) si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est continue en $a$
$\ast$ (c) s’il existe un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ et une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ telle que $\quad \forall \, (x , t) \in \mathcal{V} \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)$ ,

Conclusion
$\ast$ $\ast$ la fonction $g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ est définie sur $\mathcal{V}$ et continue en $a$ .

Dans la plupart des exercices, $A$ est un intervalle et on peut utiliser la forme énoncée dans le sous-paragraphe suivant.

1.2. Cas général

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $A$ un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
$\ast$ (a) si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$
$\ast$ (b) si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est continue sur $A$
$\ast$ (c) hypothèse de domination globale
s’il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux et intégrable sur $I$ , telle que $\forall \, (x , t) \in A \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)$ ,
ou
$\ast$ (c’) hypothèse de domination locale
si pour tout segment $S$ inclus dans $A$ , il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ , telle que $\forall \, (x , t) \in S \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)$ ,

Conclusion :
$\ast$ $\ast$ la fonction $g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ est définie et continue sur $A$ .

Lorsque l’intervalle $A$ est ouvert ou non borné, il est courant de raisonner par domination locale.

Important : si $f$ est continue sur $A \times I$ , les hypothèses de continuité contenues dans (a) et (b) sont vérifiées.

1.3. Cas particulier

Soit $I = [a ,\, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et soit $A$ un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soit $f : A\times I \to \mathbb{K}$ continue.
La fonction $\quad \quad g : A \to \mathbb{K}, \; x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$
est continue sur $A$ .

1.4. Exemple : la fonction $\Gamma$

$\Gamma : x \mapsto \int_0^{+\infty} t^ {x - 1} \textrm{ e} ^ {- t}\, \textrm{d} \, t$ .
Retrouver le domaine de définition de la fonction $\Gamma$ .
Démontrer qu’elle est continue.

UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER

La pratique et la compréhension
clés de la réussite

Cours de maths en ligne ou à domicile

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

2. Dérivabilité des intégrales à paramètres

2.1. Cas général

Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ .
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
Hypothèses :
$\ast$ (a) si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x , \, t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ ,
$\ast$ (b) si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est de classe $C^1$ sur $A$ ,
$\ast$ (c) si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto \displaystyle \frac {\partial f} {\partial x} (x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ,
$\ast$ (d) hypothèse de domination globale
s’il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ , telle que $\displaystyle \forall \, (x , t) \in A \times I, \;\left \vert \frac {\partial f} {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi (t)$
ou
$\ast$ (d’) hypothèse de domination locale
si pour tout segment $S$ inclus dans $A$ , il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ telle que $\displaystyle \forall \, (x , t) \in S \times I, \;\left \vert \frac {\partial f} {\partial x}(x , \, t)\right \vert \leq \varphi (t)$

Conclusion :
$\ast$ $\ast$ pour tout $x \in A$ , la fonction $\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f} {\partial x}(x ,\, t)$ est intégrable sur $I$
$\ast$ $\ast$ la fonction $g$ , définie sur $A$ par $\forall \, x \in A, \; g(x) = \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ , est de classe $C^1$ sur $A$ ,
et $\displaystyle \forall \, x \in A, \; g'(x) = \int_I \frac {\partial f} {\partial x}(x,\, t) \, \textrm{d} \, t$ .

👍 Si $f$ est de classe $C^1$ sur $A \times I$ , les hypothèses de continuité contenues dans (a), (b) et (c) sont vérifiées. (nécessite le cours sur les fonctions de plusieurs variables).

2.2. Cas particulier

Soit $I = [a ,\, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et soit $A$ un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ continue telle que la fonction $\displaystyle \frac {\partial f} {\partial x}$ est définie et continue sur $A \times I$ .
$g : A \to \mathbb{R}, \; x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ est de classe $C^1$ sur $A$ et $\quad \displaystyle \forall \, x \in A, \; g'(x) = \int_I \frac {\partial f} {\partial x}(x,\, t) \, \textrm{d} \, t$ .

3. Généralisation aux fonctions de classe $C^k$ – intégrales à paramètres

3.1. Théorème

Présentation avec une domination locale :
Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ .
Soit $k \in \mathbb{N}, \; k\geq 2$ .
On considère $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
Hypothèses
$\ast$ si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est de classe $C^k$ sur $A$ ,
$\ast$ si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x ,\, t)$ et les fonctions $t \mapsto \displaystyle \frac {\partial^i f} {\partial x^i } (x , \, t)$ où $1 \leq i \leq k - 1$ sont continues par morceaux et intégrables sur $I$ ,
$\ast$ si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto \displaystyle \frac {\partial^k f} {\partial x^k } (x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$ et si pour tout segment $S$ inclus dans $A$ , il existe une fonction $\varphi$ continue par morceaux et intégrable sur $I$ telle que
$\quad \forall (x , \, t) \in S \times I,\; \displaystyle \left \vert \frac {\partial^k f} {\partial x^k } (x , \, t \right \vert \leq \varphi(t)$ ,

conclusion
$\ast$ $\ast$ pour tout $x \in A$ , la fonction $\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f^k } {\partial x^k }(x ,\, t)$ est intégrable sur $I$
$\ast$ $\ast$ la fonction $g$ , définie sur $A$ par $\forall \, x \in A, \; g(x) = \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ , est de classe $C^k$ sur $A$ et $\displaystyle \forall\, i \in [\![1 , \, k]\!]$ ,
$\displaystyle \forall \, x \in A, \; g^{(i)} (x) = \int_I \frac {\partial f^i } {\partial x^i }(x,\, t) \, \textrm{d} \, t$ .

3.2. Application à la fonction $\Gamma$ .

Montrer que la fonction $\Gamma$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ .

Pour réussir en Maths Spé, il est important de revenir régulièrement sur l’ensemble des chapitres de maths au programme de Maths en Maths Spé. Les cours en ligne de PT en Maths, les cours en ligne de Maths en PC, ou les cours en ligne de Maths en PSI ou encore les cours en ligne de Maths en MP, permettent aux étudiants de pouvoir revoir les grandes notions de cours rapidement et efficacement.

4. Étude d’une intégrale à paramètre

On se place dans le cas où $\quad \quad \quad F(x) = \int_a ^b f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ .

$\bullet$ M1. Comment donner le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $F$ ?
Il s’agit de déterminer l’ensemble $\mathcal{D}$ des $x$ tels que la fonction $t \mapsto f(x ,\, t)$ soit intégrable sur $I$ . Attention $t$ est la variable d’intégration et $x$ est un paramètre.

$\bullet$ M2. On étudie la continuité de $F$ sur $\mathcal{D}$ , en utilisant le paragraphe I.

$\bullet$ M3. Si l’on demande d’étudier la monotonie de $F$ en demandant seulement dans une question située plus loin de prouver que $F$ est dérivable : on prend $x < y$ dans $\mathcal{D}$ et on étudie le signe de $F(y) - F(x)$ en étudiant le signe sur $I$ de la fonction $t \mapsto f(y , t) - f(x , t)$ .

Exercice

Soit $\displaystyle F(x) = \int_{ 1} ^{ +\infty} \frac 1 {1 + t ^x} \, \textrm{d} \, t$ .
Domaine de définition et sens de variation de $F$ .

$\bullet$ M4. On démontre que la fonction $F$ est de classe $C^1$ en utilisant le § 2, de classe $C^n$ en utilisant le § 3.
Dans certains cas, il est possible de calculer l’intégrale définissant $F'(x)$ et d’en déduire par intégration la fonction $F$ , en déterminant la constante d’intégration.

$\bullet$ M5. Pour déterminer la limite de la fonction $F$ en une des bornes $c$ de $\mathcal{D}$ :
$\ast$ M5.1. Il est parfois possible d’encadrer $F(x)$ par deux fonctions admettant même limite en $c$ , ou de minorer $F(x)$ par une fonction qui tend vers $+\infty$ en $c$ , ou de la majorer par une fonction qui tend vers $- \infty$ en $c$ .

$\ast$ M5.2. On applique la généralisation du théorème de convergence dominée.
On se place sur un intervalle $A \subset \mathcal {D}$ de borne $c$ . On vérifie que :
… pour tout $x \in A, \; t \mapsto f(x , t)$ est continue par morceaux sur $I$ ,
… pour tout $t \in I, \; x \mapsto f(x , t)$ admet une limite en $c$ notée $g(t)$ et que la fonction $g$ est continue par morceaux sur $I$ .
… On cherche une fonction $\varphi$ continue par morceaux et intégrable sur $I$ telle que $\forall \, (x, t) \in A \times I, \; \vert f(x , \, t) \vert \leq \varphi(t)$ .
Alors $F$ admet une limite en $c$ et $\quad \displaystyle \lim_{x \to c} F(x) = \int_a ^b \lim_{x \to c} f(x , t) \, \textrm{d} \, t$ .

Exercice

Si $x > 1$ , $\displaystyle F(x) = \int_{ 1} ^{ +\infty} \frac 1 {1 + t ^x} \, \textrm{d} \, t$ . Déterminer les limites aux bornes de la fonction $F$ .

$\bullet$ M6. Dans quelques cas particuliers, on peut ramener l’étude de $x \mapsto \int_a ^b f(x ,\, t) \, \textrm {d} \, t$ à l’étude d’une fonction de la forme $x \mapsto \int_{u(x)} ^{v(x)} g(t) \, \textrm {d} \, t$ .

Exemple 1 🧡
Si $x \in [0 , \, 1],$ $\quad \quad g(x) = \int_ 0 ^1 \min(x , \, t) f(t) \, \textrm {d} \, t$
où $f$ est continue sur $[0 , \, 1]$ .
Dérivée de $g$ .

Exemple 2
$g(x)= \int_{ 0}^ {1}\cos(t) f(x + t) \, \textrm {d} \, t$ où $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Dérivabilité de $g$ .

COURS DE MATHS

Nous avons recruté pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths

S'EXERCER ET APPRENDRE

Avis Google France ★★★★★ 4,8 sur 5

5. Fin de l’étude de la fonction $\Gamma$

On a déjà prouvé que $\Gamma$ est de classe $C^2$ sur $]0 , +\infty[$ (on pourrait démontrer qu’elle est $C ^{\infty}$ ).
Dans le chapitre Intégration sur un intervalle quelconque, on a prouvé que
pour tout $x > 0, \; \Gamma(x + 1) = x\, \Gamma(x)$ .
pour tout $n \in \mathbb{N}^*, \, \Gamma (n) = (n - 1)!$ .

$\bullet$ Signe de $\Gamma'$ .
Comme tout $x > 0, \, \Gamma''(x) > 0$ (car on intègre une fonction continue positive ou nulle est différente de la fonction nulle), $\Gamma'$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+*}$ .
Comme $\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1$ , le théorème de Rolle assure l’existence de $a \in \; ]1 , \, 2[$ tel que $\Gamma'(a) = 0$ .
La stricte croissance de $\Gamma'$ assure que $\Gamma'(x) < 0$ si $x < a$ et $\Gamma'(x) > 0$ si $x > a$ .
La fonction $\Gamma'$ est strictement croissante et s’annule en $a\in \; ]1 , \, 2[$ .
$\Gamma$ est strictement décroissante sur $]0 , \, a]$ et strictement croissante sur $[a, \, +\infty[$ .
On peut démontrer que $a \approx 1.45$ et $\Gamma(a) \approx 0.866$ .

$\bullet$ Étude aux bornes :
$\ast$ En utilisant la continuité de $\Gamma$ en 1, $\Gamma(1) = 1$ et la relation $\quad \quad \quad \displaystyle \Gamma(x) = \frac {\Gamma(x + 1) } x$ ,
$\quad \quad \quad \Gamma(x) \underset {x \to 0} \sim \displaystyle \frac 1 x$ ,
ce qui donne $\displaystyle \lim_{x\to 0} \Gamma(x) = +\infty$ .
La courbe admet une asymptote d’équation $x = 0$ .

$\ast$ Soit $x \geq 2$ et $p$ la partie entière de $x$ .
Par croissance de $\Gamma$ sur $[2 , +\infty[$ , $\Gamma(x) \geq \Gamma(p)$ donc
$\quad \Gamma(x) \geq (p - 1)! \geq (x - 2)(x - 3)$ .
Cette minoration donne :
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \Gamma(x) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac {\Gamma(x)} x = +\infty$ .
La courbe représentative de $\Gamma$ admet une branche parabolique de direction $Oy$ .

$\bullet$ La fonction $\ln \circ \, \Gamma$ est convexe.

6. Autres types de fonctions définies avec une intégrale

On se place dans le cas où $F$ est définie par $F(x) = \displaystyle \int _{u(x)}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t$ , $f$ étant continue.

6.1. Domaine de définition.

$\ast$ On cherche le domaine de définition $\Delta$ de $f$ . On suppose dans la suite que $f$ est continue sur $\Delta$ .
$\ast$ Puis on détermine l’ensemble des $x$ tels que $u(x)$ et $v(x)$ soient définis et tels que le segment d’extrémités $u(x)$ et $v(x)$ soit inclus dans un intervalle $I$ sur lequel $f$ est continue.

On note $\mathcal{D}$ le domaine de définition de $F$ .

⚠️ : les domaines $\Delta$ et $\mathcal{D}$ peuvent être distincts.

exemple $f : t \mapsto t \sqrt{ \vert \ln (t)\vert }$ , $0 \mapsto 0$ est continue sur $\mathcal{D} = \mathbb{R}^+$ .
Trouver le domaine de définition de $\displaystyle F : x \mapsto \int_{1 - x } ^{x^2} f(t) \, \textrm{d}\,t$ .

6.2. Comment trouver la limite de $F$ lorsque $u$ et $v$ ont même limite $L$ et où $\displaystyle \lim_{t \to L} \vert f(t) \vert = +\infty$ ?

Hypothèses :
$L \in \mathbb{R}\,$ , $\displaystyle \lim_{x\to a} u(x) = \lim_{x\to a} v(x) = L$ et $\displaystyle \lim_{t \to L} \vert f(t) \vert = + \infty.$

$\bullet$ M1. On cherche un équivalent simple noté $g(t)$ de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $L$ . On note $h(t) = f(t) - g(t)$ .
On démontre que $h$ est prolongeable par continuité en $L$ . On détermine un intervalle $I$ contenant $L$ sur lequel $h$ est continue et on introduit une primitive $H$ de $h$ sur $I$ . On vérifie que $(u(x) , \, v(x)) \in I^ 2$ lorsque $x$ tend vers $a$ et en écrivant $\displaystyle \int_{u(x)} ^{v(x)} h(t) \, \textrm{d} \,t = H(v(x) ) - H(u(x))$ ,
on obtient
$\displaystyle \lim_{x \to a} \int_{u(x)} ^{v(x)} h(t) \, \textrm{d} \,t = H(L) - H(L) = 0$
Il reste à trouver $\displaystyle \lim_{x \to a} \int_{u(x)} ^{v(x)} g(t) \, \textrm{d} \,t$ pour trouver la limite de $F$ en $a$ .

exemple :
Limite en $0$ de $x \mapsto \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t$ .

$\bullet$ M2. On peut aussi chercher à encadrer $f(t)$ et en déduire un encadrement de $F(x)$ par deux fonctions ayant même limite.

Exemple :
Appliquer une méthode d’encadrement à $F(x) = \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t$ pour en retrouver la limite en $0$ .

$\bullet$ M3. Si $f$ est intégrable sur $[\alpha ,\, L[$ ou sur $]L ,\, \alpha]$ où $\alpha \in \Delta$ ( $\Delta$ est le domaine de continuité de $f$ ), on note $K = \int_{\alpha} ^L f(t) \, \textrm{d} \, t$ et on écrit $F(x) = \displaystyle \int _{\alpha}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t - \int _{\alpha}^{u(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t$ .
Quand $x$ tend vers $a$ , comme $u(x)$ et $v(x)$ admettent $L$ pour limite, $F(x)$ admet $K - K = 0$ pour limite lorsque $x$ tend vers $a$ .

exemple : $F : x \mapsto \displaystyle \int_{x^2} ^{x} \frac 1 {\sqrt{1 - t ^3}} \, \textrm{d}\,t$
Trouver le domaine de définition et étudier la limite de $F$ aux bornes.

6.3. Calcul de la dérivée.

Introduire une primitive $\Phi$ de $f$ sur un intervalle $I$ à préciser et écrire $F(x) = \Phi (v(x)) - \Phi(u(x))$ ; dériver alors les fonctions composées ainsi obtenues.

exemple :
Dérivée de la fonction définie par $F(x) = \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t$ si $x \neq 0$ et $F(0) = \ln(3)$ .

6.4. Comment trouver la limite de $F$ en $a$ lorsque $u$ et $v$ tendent vers $\infty$ ?

Hypothèses : $\displaystyle \lim_{x \to a} u(x) = \lim_{x \to a} v(x) = \varepsilon \; \infty$ où $\varepsilon = \pm 1$

$\bullet$ M1. Lorsque la fonction $f$ est monotone, on encadre $f(t)$ entre $f(u(x))$ et $f(v(x))$ (il faut faire attention à la position relative des réels $u(x$ ) et $v(x)$ ), puis on intègre entre $u(x$ ) et $v(x)$ (toujours en faisant attention à la position relative de $u(x)$ et $v(x)$ ), de façon à obtenir un encadrement de $F(x)$ .
On saura trouver la limite de $F(x)$
$\ast$ lorsque les deux fonctions encadrant $F$ ont même limite,
$\ast$ ou lorsqu’on a minoré $F$ par une fonction admettant $+\infty$ pour limite en $a$
$\ast$ ou lorsqu’on a majoré $F$ par une fonction admettant $- \infty$ pour limite en $a$

exemple : Soit $\displaystyle F : x \mapsto \int _x ^{2 x} \frac {\textrm{exp}(t)} t \, \textrm{d} \, t$ et $F(0) = \ln(2)$ .
Déterminer les limites de $F$ en $\pm \infty$ .

$\bullet$ M2. S’il existe $\alpha$ tel que $f$ soit intégrable sur $I = [\alpha , \, +\infty[$ (resp. sur $I = ]- \infty , \, \alpha]$ ), on note $\quad \quad K = \int _{\alpha}^{+\infty } f(t) \, \textrm{d}\,t$ $\quad \quad (\textrm{resp.} \; K' = \int _{- \infty}^{\alpha} f(t) \, \textrm{d}\,t$ ).
On écrit que $\displaystyle F(x) = \int _{\alpha}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t - \int _{\alpha}^{u(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t$ ; $F(x$ ) admet $K - K = 0$ pour limite si $v(x)$ et $u(x)$ tendent vers $+\infty$
(resp. $- K' + K' = 0$ si $u(x)$ et $v(x)$ tendent vers $- \infty$ ).

exemple : $\displaystyle F : x \mapsto \int _x ^{2 x} \frac {\textrm{exp}(t)} t \, \textrm{d} \, t$ . Étude de la limite en $- \, \infty$ .

6.5. Lorsqu’une seule des bornes tend vers $\infty$

Par exemple sous les hypothèses :
$\displaystyle \lim_{x \to a} u(x) = L$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} v(x) = \infty$ ,
cela revient à chercher si l’intégrale $\int_{L} ^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t$ ou $\int_{-\infty} ^{L} f(t) \, \textrm{d} \, t$ converge.

exemple : Étude des limites de $F$ où $F(x) = \displaystyle \int_{1/x} ^x \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt {\vert t \vert }} \, \textrm{d} \, t$ en $0$ et $\infty$ .

Lors de vos révisions de cours ou lors de votre préparation aux concours, n’hésitez pas à revoir plusieurs chapitres de Maths afin de vérifier réellement votre niveau de connaissances et d’identifier d’éventuelles lacunes. Vous pouvez par exemple, à la suite de ce cours, revenir sur les chapitres en cours de maths particuliers :

Cours Intégrales à paramètre MP, PC, PSI, PT

Résumé de cours et méthodes – Intégrales à paramètres

I- Continuité des intégrales à paramètres en maths spé

1.1. Continuité

1.2. Cas général

1.3. Cas particulier

1.4. Exemple : la fonction $\Gamma$

UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER

La pratique et la compréhension
clés de la réussite

Cours de maths en ligne ou à domicile

2. Dérivabilité des intégrales à paramètres

2.1. Cas général

2.2. Cas particulier

3. Généralisation aux fonctions de classe $C^k$ – intégrales à paramètres

3.1. Théorème

3.2. Application à la fonction $\Gamma$ .

4. Étude d’une intégrale à paramètre

COURS DE MATHS

Nous avons recruté pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths

S'EXERCER ET APPRENDRE

5. Fin de l’étude de la fonction $\Gamma$

6. Autres types de fonctions définies avec une intégrale

6.1. Domaine de définition.

6.2. Comment trouver la limite de $F$ lorsque $u$ et $v$ ont même limite $L$ et où $\displaystyle \lim_{t \to L} \vert f(t) \vert = +\infty$ ?

6.3. Calcul de la dérivée.

6.4. Comment trouver la limite de $F$ en $a$ lorsque $u$ et $v$ tendent vers $\infty$ ?

6.5. Lorsqu’une seule des bornes tend vers $\infty$

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales

Cours Intégrales à paramètre MP, PC, PSI, PT

Résumé de cours et méthodes – Intégrales à paramètres

I- Continuité des intégrales à paramètres en maths spé

1.1. Continuité

1.2. Cas général

1.3. Cas particulier

UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER

La pratique et la compréhension clés de la réussite

Cours de maths en ligne ou à domicile

2. Dérivabilité des intégrales à paramètres

2.1. Cas général

2.2. Cas particulier

3.1. Théorème

4. Étude d’une intégrale à paramètre

COURS DE MATHS

Nous avons recruté pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths

S'EXERCER ET APPRENDRE

6. Autres types de fonctions définies avec une intégrale

6.1. Domaine de définition.

6.3. Calcul de la dérivée.

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales

La pratique et la compréhension
clés de la réussite