Cours en ligne Maths en Maths Spé

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Probabilités en Maths Spé pour les MP, PC, PSI et PT

Résumé de cours Exercices Annales

Résumé de cours et méthodes – Probabilités

Plan

1. Définir une probabilité en SPE
2. Probabilité d’une réunion. (1h pour les 5 exercices)
3. Probabilité d’événements contenant l’expression « au moins » . (40 mn pour les 3 exercices)
4. Probabilité conditionnelle.(15 mn pour les 2 exercices)
5. Quelques méthodes de calcul de probabilité.(90 mn pour les 5 exercices).
6. Chaîne de Markov.
Pour les méthodes seules : 90 mn.

Toutes les probabilités obtenues doivent être éléments de $[0 , \,1]$ .

Il faut s’apercevoir des erreurs flagrantes (probabilité strictement négative ou strictement supérieure à 1), reconnaître qu’il y a erreur, même si l’on ne sait pas la découvrir ou la corriger.

Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ en utilisant un « . » comme séparateur décimal.

1. Définir une probabilité en Maths spé

Rappel définition d’une tribu
Soit $\Omega$ un ensemble et $\mathcal{A}$ une partie de $\mathcal{P}(\Omega)$ est une tribu sur $\Omega$ lorsque
$\ast$ $\Omega \in \mathcal{A}$
$\ast$ $\forall\, \, A \in \mathcal{A},\overline{A} = \Omega \setminus A \in \mathbb{A}$
$\ast$ si $\forall \, n \in \mathbb{N}, \, A_n \in \mathcal{A}, \, \displaystyle \bigcup _{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$ .
$(\Omega, \, \mathcal{A})$ est appelé espace probabilisable.

M1. Connaître la définition :
On suppose que $(\Omega, \mathcal{A})$ est un espace probabilisable. $\mathbb{P}$ est une application de $\mathcal{A}$ dans $[0 ,\, 1]$ telle que
$\ast$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$
$\ast$ Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ vérifie $\forall \, i \neq j, \, A_i \cap A_j = \varnothing$ , alors la série de terme général $\mathbb{P}(A_n)$ est convergente et $\displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup_{n \in \mathbb{N} } A_n \right ) = \sum _ {n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)$ .

$(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ est un espace probabilisé.

M2. Si $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ est un espace probabilisé,
$\ast$ $\mathbb{P}(\varnothing) = 0$ .
$\ast$ si $A \in \mathcal{A},\, \mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)$ .
$\ast$ si $n \in \mathbb{N}^*$ , si $(A_k)_{ 0 \leq k \leq n } \in \mathcal{A} ^{n +1}$ vérifie si $i \neq j, \, A_i \cap A_j = \varnothing$ ,
$\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 0} ^{n} A_i \right ) = \sum _{i = 0} ^{n} \mathbb{P} (A_i)$ .
$\ast$ si $n \in \mathbb{N}^*$ , si $(A_k)_{ 0 \leq k \leq n } \in \mathcal{A} ^{n +1}$ ,
$\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 0} ^{n} A_i \right ) \leq \sum _{i = 0} ^{n} \mathbb{P} (A_i)$ .
$\ast$ si $A ,\, B \in \mathcal{A}$ et $A \subset B$ , $\mathbb{P} (A)\leq \mathbb{P}(B)$ .
$\ast$ propriété de continuité croissante
Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ vérifie $\forall \, n \in \mathbb{N}, \, A_n \subset A_{n + 1} \,$ ,
$\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup_{n \in \mathbb{N} } A_n \right ) = \lim _ {n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n)$ .
$\ast$ propriété de continuité décroissante
Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ vérifie $\forall \, n \in \mathbb{N}, \, A_{n + 1} \subset A_{n}\,$ ,
$\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap_{n \in \mathbb{N} } A_n \right ) = \lim _ {n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n)$ .
$\ast$ si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ , $\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup_{n \in \mathbb{N} } A_n \right ) \leq \sum _ {n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)$
avec la convention $\displaystyle \sum _ {n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P}(A_n) = +\infty$ lorsque la série diverge.

M3. Caractérisation d’une probabilité sur $(\Omega,\, \mathcal{P}(\Omega) )$ , lorsque $\Omega$ est fini ou dénombrable.
Se donner une probabilité sur $(\Omega,\, \mathcal{P}(\Omega) )$ revient à se donner une application $f : \Omega \to \mathbb{R} ^+$ telle que la famille $(f(\omega))_{\omega \in \Omega}$ soit une famille sommable de somme égale à 1.
Dans ce cas, pour tout $A \subset \Omega,$ $\quad \quad \mathbb{P}(A) = \displaystyle \sum _ {a \in A} f(a)$ .

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2. Probabilité d’une réunion

2.1. Cas d’événements deux à deux incompatibles.

Avant d’écrire $\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{ k = 1} ^n A_k \right ) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (A_k)$ ,
vérifier que les événements $A_k$ sont deux à deux incompatibles.

Exercice 1 :
Soit une urne contenant une proportion $p$ de boules blanches et une proportion $q$ de boules noires avec $p + q = 1$ .
A et B tirent alternativement chacun au plus $n$ boules avec remise et le joueur A commence. Le premier qui a tiré une boule blanche a gagné.
Quelle est la probabilité que A gagne ? que B gagne ?

Exercice 2 :
Quelle est la probabilité d’avoir au plus un carreau en tirant 5 cartes d’un jeu de 32 cartes ?

2.2. Cas d’événements non incompatibles.

$\bullet$ Pour $n =2$ : $\mathbb{P} (A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$

$\bullet$ Pour $n = 3$ , en utilisant deux fois la formule précédente, on obtient :
$\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C)$
$\; - \, \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C)$
$+ \,\mathbb{P}(A \cap B \cap C)$ .

Exercice 3
On place $n$ boules numérotées dans 4 tiroirs numérotés de 1 à 4.
Calculer la probabilité que chacun des trois premiers tiroirs contienne au moins une boule.

Exercice 4
On place $2 n$ boules numérotées de $1$ à $2 n$ dans $n$ tiroirs numérotés de $1$ à $n$ , quelle est la probabilité qu’aucun tiroir ne soit vide ?

2.3. Probabilité d’une réunion dénombrable.

Calcul de $\displaystyle \mathbb{P} \left (\bigcup _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right )$ .
On ne sait résoudre ce problème que dans deux situations :
a) Les événements $(A_n)_n$ sont deux à deux incompatibles, alors $\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left (\bigcup _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right ) =\sum _{n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)$ .
b) La suite $(A_n)_n$ est une suite croissante d’événements ( $A_n \subset A_{n + 1}$ ), alors $\displaystyle \mathbb{P} \left (\bigcup _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right ) = \lim _{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n)$ . (propriété de continuité croissante)

Exercice 5
Démontrer que si pour tout entier $n$ , $A_n$ est un événement négligeable (de probabilité nulle), leur réunion est négligeable.

3. Probabilité d’événements contenant l’expression « au moins »

3.1. Calcul de $P(A)$ où $A$ est l’événement « avoir au moins un élément vérifiant une propriété $\mathcal{P}$ «

$\bullet$ M1 : on passe par le complémentaire $\overline {A}$ est l’événement « n’avoir aucun élément vérifiant $\mathcal{P}$ « .

$\bullet$ M2 : on peut aussi poser $A = \displaystyle \bigcup _ {k \geq 1} ^n A_k$ où $A_k$ est l’événement « avoir exactement $k$ éléments vérifiant $\mathcal{P}$ » en cherchant le nombre maximum $n$ d’éléments vérifiant $\mathcal{P}$ que l’on peut obtenir ; les événements $A_k$ étant deux à deux disjoints, $\mathbb{P} (A) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \mathbb{P} (A _k)$ .

$\bullet$ M3 : on peut aussi se ramener au calcul de $\mathbb{P} (A) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _ {k \geq 1} ^n A_k \right )$ où les $A_k$ ne sont pas deux à deux disjoints.

Exercice 1
En tirant 6 cartes dans un jeu de 32 cartes, probabilité d’avoir au moins une paire de coeurs.

3.2. Calcul de $\mathbb{P} (A \cup B)$ où $A$ : « avoir au moins un élément vérifiant une propriété $\mathcal{P}$ » et $B$ : « avoir $k$ éléments vérifiant une propriété $\mathcal{Q}$ «

Si $\Omega$ est l’univers, on utilise $\Omega = A \cup \overline{A}$ , alors
$\quad B = B \cap \Omega = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$ ,
les événements étant incompatibles, $\mathbb{P} (B) = \mathbb{P} (A \cap B) + \mathbb{P} (\overline{A} \cap B)$ .
Donc $\mathbb{P} (A \cap B) = \mathbb{P} (B) - \mathbb{P} (\overline{A} \cap B)$ .

Exercice 2
En tirant 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité d’avoir deux valets et au moins un as ?

3.3. Calcul de $\mathbb{P} (A \cap B)$ où $A$ : « avoir au moins un élément vérifiant une propriété $\mathcal{P}$ » et $B$ : « avoir au moins un élément vérifiant une propriété $\mathcal{Q}$ «

On passe par le complémentaire $\quad \quad \mathbb{P} (A \cap B) = 1 - \mathbb{P} \left ( \overline{A} \cup \overline {B} \right)$ .

En général $\overline{A}$ et $\overline{B}$ ne sont pas incompatibles.

Exercice 3
En tirant 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité d’avoir au moins un as et au moins un cœur ?

4. Probabilité conditionnelle

4.1. Il faut distinguer les quantités $\mathbb{P} (A \cap B)$ et $\mathbb{P}(A \, | \, B) = \mathbb{P}_B (A)$

a) Quand on calcule $\mathbb{P} (A \cap B)$ , on calcule la probabilité que $A$ et $B$ soient réalisés en même temps.
Dans ce cas, $A \cap B$ est un événement

b) Quand on calcule $\mathbb{P}(A\, | \, B)$ , on calcule un quotient de probabilités : $\quad \quad \mathbb{P}(A\, | \, B) = \displaystyle \frac {{P}(A \cap B)} {{P}( B)}$ .
$A \, | \, B$ n’est pas un événement.
On sait que $B$ est réalisé et on cherche la probabilité que $A$ soit réalisé lorsque $B$ l’est.

Cela nécessite une lecture attentive de l’énoncé.

$\bullet$ Dans certains cas, il est évident que l’on demande une probabilité conditionnelle, car on demande la probabilité d’un événement sachant (ou lorsque) l’on a obtenu $B$ . On peut repérer cette situation en cherchant les mots « sachant », « si », « lorsque » dans l’énoncé.
$\bullet$ Dans d’autres cas, on donne la réalisation de l’événement $B$ , dans une phrase du type « on a obtenu ? » et on demande ensuite de calculer la probabilité de $A$ , donc de calculer $\mathbb{P}(A \,| \,B)$ .

$\bullet$ Par contre, si l’on demande le calcul de $\mathbb{P} (A \cap B)$ , il faut voir s’il vaut mieux calculer :
$\ast$ $\mathbb{P} (A \cap B)$ : événements de « mêmes rangs » ou de « même époque ».
$\ast$ $\mathbb{P}(A \, |\, B)$ c’est-à-dire si la réalisation de $B$ permet de savoir comment réaliser $A$ .

On rappelle que si $B \in \mathcal{A}$ vérifie $\mathbb{P}(B) \neq 0$ , $\mathcal{A} \to \mathbb{R}, A \mapsto \mathbb{P}(A \, | \, B)$ définit une probabilité sur $(\Omega\, , \, \mathbb{A})$ .

4.2. Utilisation de la formule des probabilités composées

$\displaystyle \mathbb{P}\left ( \bigcap _{k = 1} ^{n} A_k \right) =$
$\displaystyle \mathbb{P} \left (A_n \; \Biggl | \; \bigcap _{k = 1} ^{n - 1} A_k \right) \, \times \mathbb{P} \left ( A_{n - 1} \; \Biggl | \; \bigcap _{k = 1} ^{n - 2} A_k \right)$
$\quad \quad \quad \times \, \cdots\, \times \mathbb{P} (A_2 \, |\, A_{1}) \, \mathbb{P} (A_1) \,$ .

Ne pas oublier de vérifier que $\mathbb{P} (A_1 \cap \, \cdots \, \cap A_{n - 1}) > 0$ , pour justifier l’existence des probabilités conditionnelles.

On conditionne « en remontant le temps », c’est-à-dire par les événements antérieurs.

4.3. Probabilité d’une intersection dénombrable

On ne sait calculer $\displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right )$ que lorsque $\forall \, n \in \mathbb{N}, A_{n + 1} \subset A_n$ : par propriété de continuité décroissante,
$\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right ) = \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P} (A_n)$ .

Exercice 1
Si l’on effectue des tirages avec remise dans une urne contenant une proportion $p$ de boules rouges, calculer la probabilité de toujours obtenir une boule bouge.

Exercice 2
Soit $(A_n)_{n \geq 1}$ une suite d’événements mutuellement indépendants.
On note $R = \displaystyle \bigcap _{n = 1} ^{+\infty} A_n$ .
$\displaystyle \mathbb{P}(R) = \lim_{n \to +\infty} \prod _ {k = 1} ^{n} \mathbb{P}(A_k)$ .

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5. Quelques méthodes de calcul de probabilité

5.1. Utilisation de la formule des probabilités totales

$\bullet$ Rappel de la formule
Soit $(\Omega,\, \mathcal {A}, \, \mathbb{P})$ un espace probabilisé.
$\ast$ Si $(A_i) _ {1 \leq i \leq n}$ est un système complet d’événements de probabilité non nulle, pour tout $B \in \mathcal {A}$ , $\quad \displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (B \, | \, A_k) \mathbb{P} (A_k)$ .

$\ast$ Si $(A_n) _ {n \in \mathbb{N} }$ est un système complet (ou quasi-complet) d’événements, pour tout $B \in \mathcal {A}$ , $\displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum _{n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P} (B \cap A_n)$
Ce que l’on peut écrire sous la forme
$\displaystyle \mathbb{P}(B) =\sum _{n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P} (B \, | \, A_n) \mathbb{P} (A_n)$ ,
…. si pour tout $n$ , $\mathbb{P} (A_n) > 0$
…. en ajoutant la convention si $\mathbb{P} (A_n) = 0$ , $\mathbb{P} (B \, | \, A_n) \mathbb{P} (A_n) = 0$ .

$\bullet$ M1 Lorsque l’on fait des tirages qui peuvent avoir lieu dans des urnes différentes ou dans des conditions différentes qui sont définies par les résultats d’une première épreuve, il faut introduire un système complet d’événements correspondant aux différents choix des urnes ou des différents résultats de la première épreuve.

Exercice 1
On lance un dé équilibré. Lorsque l’on obtient la face $k$ , on tire dans une urne contenant les jetons numérotés de 1 à $k$ . Quelle est la probabilité d’obtenir un jeton numéroté 1 ?

$\bullet$ M2 Lorsque les résultats de l’épreuve $n$ dépendent des résultats de l’épreuve $n - 1$ , introduire un système complet d’événements correspondant à toutes les éventualités du rang $n - 1$ et utiliser la formule des probabilités totales.

Exercice 2
On a deux urnes contenant respectivement une proposition $p$ et $p'$ de boules blanches. Le premier tirage a lieu dans la première urne.
Puis si l’on obtient une boule blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne 1 sinon il se fait dans l’urne 2.
Si $b_n$ est la probabilité d’obtenir une boule blanche au $n$ -ème tirage, trouver une relation de récurrence liant $b_n$ et $b_{n - 1}$ .

$\bullet$ M3 Lorsque les résultats de l’épreuve $n$ dépendent des résultats de toutes les épreuves précédentes, introduire un système complet d’événements correspondant à toutes les éventualités des premières épreuves permettant soit de terminer l’ensemble des épreuves soit de « remettre le compteur à zéro » et utiliser la formule des probabilités totales.
Si $B$ est un des événements du système complet précédent correspondant à $k$ épreuves, on sera donc amené à calculer des probabilités du type $\mathbb{P} (A \, | \, B)$ : il reste $n - k$ épreuves à effectuer pour passer d’une situation résultant de la réalisation de $B$ à une situation où l’on doit avoir $A$ .

Exercice 3
On joue à pile (probabilité $p$ ) ou face (probabilité $q$ ) en arrêtant dès que l’on obtient pour la première fois deux piles de suite.
On note $a_n$ la probabilité de s’arrêter au $n$ -ème lancer.
Trouver une relation de récurrence exprimant $a_n$ en fonction des $(a_k)_{1\leq k\leq n - 1}$ si $n \geq 3$ .

On peut calculer la probabilité que le jeu s’arrête au bout d’un nombre fini d’épreuves sans avoir calculé $a_n = \mathbb{P} (A_n)\,$ .

$\bullet$ M4 Dans une suite infinie d’épreuves, lorsque l’on gagne en obtenant pour la première fois une suite donnée de résultats, pour calculer la probabilité de gagner, on peut introduire un système complet d’événements correspondant aux premières épreuves (on obtient la bonne figure, ou on revient après quelques épreuves « à une remise à zéro »).

Exercice 4
Dans une suite d’épreuves indépendantes de pile (probabilité $p$ ) et face (probabilité $q$ ), on gagne en obtenant la suite $PPP$ .
Quelle est la probabilité de gagner ?

5.2. Calcul de $\mathbb{P}(A)$ où $A$ est du type « il faut faire $k$ épreuves pour obtenir un $x$ -ème élément vérifiant $H$ « (avec $x \in \mathbb{N}^*$ et $x \leq k$ ).

On écrit $A = B \cap C$ avec
$\ast$ $C$ : « lors de la $k$ ème épreuve, on obtient un élément vérifiant $H$ »
$\ast$ $B$ : « lors des $k - 1$ premières épreuves, on a obtenu $x - 1$ éléments vérifiant $H$ et $k - x$ éléments ne vérifiant pas $H$ « .
puis on utilise $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B \cap C) = \mathbb{P}(C \,|\, B) \, \mathbb{P}(B)$ .

Exercice 5
On lance une pièce donnant pile avec la probabilité $p$ jusqu’à obtenir le troisième pile.
Quelle est la probabilité de lancer la pièce $n$ fois (avec $n \geq 3$ ) ?

5.3. Recherche de la probabilité de gain de $A$ dans une suite de jeux

a) On note $G_k$ l’événement « $A$ gagne la partie avec le $k$ -ième jeu » .
On cherche $I$ l’ensemble des numéros des jeux où $A$ peut gagner (attention $I$ peut être infini si l’on a une suite infinie de jeux).
Si $G$ est l’événement « $A$ gagne », $\quad G = \displaystyle \bigcup _{i \in I} G_i$ et $\displaystyle \mathbb{P} (G) = \sum _{i \in I} \mathbb{P} (G_i).$

b) Si l’unique adversaire de $A$ est $B$ , il est possible que la probabilité que $B$ gagne ne soit pas égale à $1 - \mathbb{P}(A)$ : il existe des jeux où il n’y a pas de gagnant.

En reprenant l’exemple du paragraphe 1.1., la probabilité qu’il y ait un gagnant est $\mathbb {P} (G) + \mathbb{P}(G') = 1 - q^{2 n}$ .

6. Chaîne de Markov

On considère une suite d’épreuves identiques, chaque épreuve pouvant donner $k$ résultats différents.
On note les $k$ résultats à l’épreuve $n$ sous la forme $R_n^{(1)},\,R_n^{(2)},\,\cdots\,,\, R_n^{(k)}$ .

Méthode habituelle dans les sujets :
On suppose que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et pour tout $(i, j) \in [\![ 1 , \,k ]\!]^2$ , la probabilité $\mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\, \Bigl |\, R_{n-1}^{(j)}\right )$ ne dépend pas de $n$ et on la note $a_{i , j}\,$ .
On introduit la matrice $A = (a_{i,j})_{ 1 \leq i , j \leq k }$
On définit la matrice colonne $U_n$ de type $(k , 1)$ par $U_n = \left ( \mathbb{P} (R_n^{(i)})\right ) _{1\leq i \leq k}$ .

Par la formule des probabilités totales, $\displaystyle \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\right ) = \sum _{ j = 1} ^ k \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\, \Bigl |\, R_{n-1}^{(j)}\right ) \, \mathbb{P} \left ( R_{n-1}^{(j)}\right )$ ce qui se traduit matriciellement par $U_n = A\, U_{n - 1}$ .
On en déduit $U_n$ par la formule $U_n = A^{n - 1} \, U_1$ ou $U_n = A^n \, U_0$ . Il suffit de savoir diagonaliser $A$ pour trouver $U_n$ .

Quelques remarques utiles :
R1 : La somme des termes de chaque colonne de $A$ est égale à 1.
R2 : La matrice $A^{\textrm{T}}$ est dite stochastique : les coefficients de $A^{\textrm{T}}$ sont positifs ou nuls et la somme des termes de chaque ligne de $A^{\textrm{T}}$ est égale à 1.
1 est valeur propre de $A^{\textrm{T}}$ (donc aussi de $A$ ), la matrice colonne dont tous les termes sont égaux à 1 est un vecteur propre de $A^{\textrm{T}}$ associé à la valeur propre 1.

et deux résultats que l’on trouve dans de nombreux sujets :
Théorème3 : On peut démontrer que les valeurs propres de $A^{\textrm{T}}$ (donc de $A$ ) sont de module inférieur ou égal à 1.

Théorème4 : Si les éléments de la matrice $A^{\textrm{T}}$ sont strictement positifs, 1 est la seule valeur propre de module 1 de $A$ et le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1.

Pour les exercices demandant de prouver que pour tout $i \in [\![1 , k]\!]$ , la suite $\left ( \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\right ) \right ) _n$ converge :
a) Étudier la réduction de $A$ .
Lorsque $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M} _ k ( \mathbb{C})$ , il existe $P \in \text{GL}_k(\mathbb{C})$ telle que $A = P \, D\, P ^{- 1}$ , où $\quad \quad \quad D = \textrm{diag}(\lambda_1 ,\, \cdots \, , \, \lambda_k)$ .

b) $1 \in \textrm{Sp}(A)$ . On suppose dans la suite que $r$ est tel que $\quad \quad \lambda_1 = \, \cdots \, = \lambda_r = 1$ $\quad \textrm{et si } k \geq i > r,\; \vert \lambda_i \vert < 1.$
Dans ce cas, $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} D^n = \Delta = \textrm{diag} (1 , \cdots , 1 , 0, \cdots , 0)$ ( $r$ fois 1 et $k - r$ fois 0).
Par continuité de l’endomorphisme de $\mathcal{M} _ k ( \mathbb{C})$ , $M \mapsto P \, M\, P^{ - 1}$ , $\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty } P \, D^n \, P ^{- 1} = P \, \Delta \, P^{-1}$ .
La suite $(A^n)_n$ converge vers $\quad \quad P \, \Delta \, P^{-1} \in \mathcal{M} _ k ( \mathbb{R})$ .

c) Par continuité de l’application linéaire $\mathcal{M} _ k ( \mathbb{R}) \to \mathcal{M} _ {k, 1} ( \mathbb{R})$ , $\quad \quad \quad \quad M \mapsto M \, U_0\,$ ,
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} U_n = P \, \Delta \, P^{-1} \, U_0$ que l’on note $L$ .

d) $U_{n + 1} = A \,U_n \,$ , par continuité de l’endomorphisme de $\mathcal{M} _ {k, 1} ( \mathbb{R})$ , $X \mapsto A \, X$ , on obtient : $L = A \,L$ .

e) Si $L = (\mu_i)_{1 \leq i \leq k} \,$ , $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^k \mu_i = 1$ .
avec pour tout $i,\; \mu_i \geq 0$
car pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ,
$\quad \displaystyle \sum _{i = 1} ^k \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\right ) = 1$ et $\mathbb{P} \left ( R_n^{(i)} \right ) \geq 0$ .

f) Lorsque $r = 1$ , le sous espace propre de $A$ associé à la valeur propre 1 est de dimension 1, $L$ est le vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 1 et dont la somme des coefficients est égale à 1.

Autre traduction :
Certains énoncés peuvent introduire la matrice ligne de type $(1 , \, k)$ .
$L_n = \left ( \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\right ) \right )_{1 \leq i \leq k }$ .

Dans ce cas, on note $B = (b_{i,j})_{ 1 \leq i , j \leq k}$ avec $b_{i, j} = \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\, \Bigl |\, R_{n-1}^{(j)}\right )$ .
Alors, $B = A^{\textrm{T}}$ où $A$ est définie ci-dessus.
La relation s’écrit $L_{n + 1} = L_n \, A^{\textrm{T}}$ .

Les cours en prépa se déroulent relativement rapidement et certaines notions importantes sont parfois abordées trop vite. Les cours en ligne de Maths en PSI, les cours en ligne de Maths en MP et les cours en ligne de Maths en PC ou aussi les cours en ligne de Maths en PT permettent ainsi aux étudiants de pouvoir compléter leur prise de notes.

Exercices sur les probabilités en maths spé

Plan

1. Ajout de boules après tirages (30 mn).
2. Balade sur un triangle (20 mn).
3. Des questions de parité (20 mn).
4. Un jeu de fléchette (20 mn).
5. Tirages de parties de $E$ (60 mn)
6. $2n$ boules pour $n$ boîtes (30 mn)

1. Ajout de boules après tirage

Soit une urne contenant initialement $b$ boules blanches et $r$ boules rouges. On note $N = b + r$ .
À la suite de chaque tirage, on remet dans l’urne la boule tirée ainsi que $a$ boules de la même couleur ( $a \in \mathbb{N}^*$ ).
Question 1
Quelle est la probabilité en $n$ tirages de n’obtenir que des blanches ?

Question 2
La probabilité d’obtenir une boule blanche au deuxième tirage si l’on a obtenu blanc au premier et troisième tirage est égale à
a) $\displaystyle \frac {a } {N + a}$ b) $\displaystyle \frac {a + b} {N + a}$ c) $\displaystyle \frac {2 a + b} {N + 2 a}$ .

Question 3
La probabilité de tirer blanc au $n$ -ième tirage ne dépend pas de $n$ .

2. Balade sur un triangle

CCP MP 2018
Une puce se déplace sur un triangle équilatéral $ABC$ .
Elle se situe initialement en $A$ .
Si elle est en $A$ à un instant $n$ donné, elle se déplace sur un des deux autres sommets à l’instant $n + 1$ de manière équiprobable.
Si elle est en $B$ à un instant $n$ donné, elle se déplace sur un des deux autres sommets à l’instant $n + 1$ de manière équiprobable.
Si elle est en $C$ à un instant, elle reste en $C$ à l’instant suivant.
On note $A_n$ (resp $B_n,\, C_n$ ) « La puce est en $A$ (resp $B,\, C$ ) à l’instant $n$ « .
On note $u_n$ (resp $v_n$ , $w_n$ ) $\mathbb{P}(A_n)$ (resp $\mathbb{P}(B_n)$ , $\mathbb{P}(C_n)$ ).

Question 1
a) Déterminer $u_{n+1}\,, \, v_{n+1}\, ,\, w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}\,, \, v_{n}\, ,\, w_{n}$ .
b) Soit $X_n =\begin{pmatrix} u_n\\v_n\\w_n \end{pmatrix}$ . Il existe une matrice $M \in \mathcal{M} _ 3(\mathbb{R})$ telle que $X_n = M^n \, X_0$ .

Question 2
Donner les expressions explicites de $u_{n}\,, \, v_{n}\, ,\, w_{n}$ .

Question 3
Que se passe-t-il lorsque $n \to +\infty$ ? Expliquer.

3. Des questions de parité

TPE MP 2018
On dispose de $n$ pièces numérotées. La $k$ -ième pièce a une probabilité égale à $\displaystyle \frac 1{2k+1}$ de donner pile.
Question 1
On note $u_i$ la probabilité d’avoir un nombre pair de « pile » après avoir lancé les $i$ premières pièces. Exprimer $u_{i+1}$ en fonction de $i$ et $u_i$ .

Question 2
Quelle est la probabilité d’avoir un nombre pair de « pile » en lançant toutes les pièces ?

4. Un jeu de fléchettes

A, B et C jouent aux fléchettes.
La probabilité que A (resp. B, resp. C) touche la cible est égale à $\displaystyle \frac 1 4$ (resp. $\displaystyle \frac 1 6$ , resp $\displaystyle \frac 1 8$ ).
On choisit au hasard le premier joueur.
Question 1
Quelle est la probabilité que la cible soit atteinte ?

Question 2
Si la cible n’est pas atteinte, A rejoue. Quelle est la probabilité que A touche la cible ?

Question 3.
La cible a été touchée. Quelle est la probabilité que ce soit par A ?

5. Tirages de parties de $E$

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble de cardinal $n$ .
Partie 1
On se donne une partie $A$ de $E$ , de cardinal $k$ où $k \in [\![1 \, n]\!]$ .
On tire au hasard une partie $B$ de $E$ .
On suppose que toutes les parties de $E$ ont la même probabilité d’être tirées.
Question 1
Calculer la probabilité de tirer la partie $A$ .

Question 2
Calculer la probabilité de l’événement $F$ : « la partie tirée contient $A$ « .

Question 3
On note $G$ l’événement « la partie tirée est incluse dans $A$ « . Les événements $F$ et $G$ sont-ils indépendants ?

Question 4
Calculer la probabilité de tirer une partie disjointe de $A$ .

Deuxième partie
On tire maintenant avec remise deux parties de $E$ .
Question 1
Quelle est la probabilité qu’elles soient égales ?

Question 2
Quelle est la probabilité qu’elles soient disjointes ?

Question 3
Quelle est la probabilité que l’une des parties tirées soit incluse dans l’autre ?

Question 4
On se donne une partie $F$ de $E$ à $k$ éléments ( $1 \leq k \leq n - 1$ ).
Quelle est la probabilité que l’intersection des deux parties tirées soit égale à $F$ ?

Question 5 (plus simple en utilisant des variables aléatoires)
Quelle est la probabilité que les parties tirées aient même cardinal ?

6. $2n$ boules pour $n$ boîtes

Un sac contient $n$ boules noires et $n$ boules blanches, discernables ( $n > 2$ ).
On répartit au hasard ces boules dans $n$ boîtes, à raison de deux boules par boîte.
Question 1
Calculer la probabilité $p_n$ pour que chaque boîte contienne une boule de chaque couleur.

Question 2
Calculer la probabilité $q_n$ pour que chaque boîte contienne deux boules de la même couleur.

Question 3
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N }^*,$ $\quad \quad \quad \displaystyle \frac {2 ^{2 n - 1} } n \leq \binom {2 n} n \leq 2 ^{2n}$

Question 4
Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} p_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} q_{n}$

Autres exercices

Plan

1. Une tribu et une probabilité (15 mn)
2. Probabilité sur $\mathbb{N}^*$ (20 mn)
3. Un jeu de balle (30 mn).
4. Une inégalité (30 mn).
5. Remplir trois boîtes (45 mn).
6. Suite croissante de résultats (30 mn).
7. Lemme de Borel Cantelli (40 mn).
8. Probabilités et nombres premiers (40 mn).
9. Un jeu de pile ou face (60 mn).
10. Démonstration de la formule de Poincaré en utilisant des variables aléatoires. (30 mn).

1. Une tribu et une probabilité

Question 1
Soit $\Omega$ un ensemble infini non dénombrable.
On note $\mathcal{A}$ l’ensemble des parties $A$ de $\Omega$ telles que $A$ ou $\overline{A}$ est fini ou dénombrable.
$\mathcal{A}$ est une tribu sur $\Omega$ .

Question 2
On définit la fonction $\mathbb{P}$ sur $\mathcal{A}$ par si $A \in \mathcal{A}$ , $\mathbb{P}(A) = 0$ si $A$ est fini ou dénombrable et $\mathbb{P}(A) = 1$ si $A$ n’est pas fini ou dénombrable.
$\mathbb{P}$ est une probabilité sur $(\Omega , \mathcal{A})$ .

2. Une probabilité sur $\mathbb{N}^*$

Question 1
Déterminer le réel $\alpha$ qu’il existe une probabilité sur $(\mathbb{N}^*, \, \mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ telle que si $n \in \mathbb{N}^*, \, \mathbb{P}(\{n\}) = \displaystyle \frac {\alpha} {2 ^n}$

Question 2
Soit $k \in \mathbb{N}^*$ , on note $A_k$ l’événement : » l’entier tiré est un multiple de $k$ « . Calculer $\mathbb{P}(A _k)$ .

Question 3
Calculer $\mathbb{P}(A_2 \cup A_3)$ .

Question 4
On note $B$ l’événement » l’entier tiré est un nombre premier ».
$\displaystyle \frac {13} {32 } \leq \mathbb{P}(B) \leq \frac {209} {504}$

3. Un jeu de balle

Trois enfants A, B et C jouent avec une balle.
Lorsque A a la balle, la probabilité pour qu’il l’envoie à B est 0.75 et la probabilité pour qu’il l’envoie à C est 0.25.
Lorsque B a la balle, la probabilité pour qu’ il l’envoie à A est 0.75 et la probabilité pour qu’il l’envoie à C est 0.25.
C envoie toujours la balle à B.
On désigne respectivement par $p_n$ , $q_n$ et $r_n$ les probabilités pour qu’à l’issue du jeu $n$ ce soit A, resp B, resp. C qui ait la balle.

Question 1
Montrer qu’il existe une matrice carrée d’ordre 3 notée $M$ telle que $\quad \quad \quad \begin {pmatrix} p_{n + 1} \\q_{n + 1} \\r_{n + 1} \end{pmatrix} = M \, \begin {pmatrix} p_n \\q_n \\r_n \end{pmatrix}$ .

Question 2
Exprimer la matrice $M ^n$ sous forme de produit de matrices simples.

Question 3
Démontrer que les suites $(p_n)_n\, , \, (q_n)_n$ et $(r_n)_n$ convergent et en déterminer les limites.
On vérifiera que ces limites sont indépendantes de l’enfant qui avait la balle au début du jeu.

4. Une inégalité

CCP MP 2018
Soit $(\Omega, \, \mathcal{A} , \, \mathbb{P})$ un espace probabilisé.
Question 1
Si $x \in [0 , \, 1]$ , l’inégalité $\displaystyle x(1 - x) \leq \frac 1 4$ est vérifiée.

Question 2
Soient $A, \, B$ deux éléments de $\mathcal{A}$ , incompatibles.
$\displaystyle \mathbb{P}(A)\; \mathbb{P}(B) \leq \frac 1 4$ .

Question 3
Soient $A, \, B$ deux éléments de $\mathcal{A}$ .
a) Montrer que
$\mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A)\, \mathbb{P}(B) =$
$\quad \mathbb{P}(A \cap B)\, \mathbb{P}(\overline {A} ) - \mathbb{P}(\overline {A} \cap B)\, \mathbb{P}(A).$
b) Montrer que $\displaystyle \quad \left \vert \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A)\, \mathbb{P}(B) \right \vert \leq \frac 1 4$ .

Question 4
L’inégalité précédente est une égalité si, et seulement si,
$\quad \quad \quad \displaystyle \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = \frac 1 2$ $\quad \quad \textrm{et }\displaystyle \mathbb{P} (A \cap B) \in\left \{0 , \, \frac 1 2 \right \}$ .

5. Remplir trois boîtes

Des boules indiscernables en nombre infini sont placées dans des boites numérotées de 1 à 3 à capacité illimitée.
On place les boules indépendamment les unes des autres.
On arrête quand les trois boîtes sont non vides.
Question 1
On note $B_k$ l’événement « on a placé $k$ boules lorsque pour la première fois deux boîtes des trois boîtes sont non vides ».
Calculer $\mathbb{P}(B_k)$ .

Question 2
$(B_k)_{k \geq 2}$ est un système quasi-complet d’événements.

Question 3
On note $C_p$ l’événement « on a placé $p$ boules lorsque pour la première fois les trois boîtes sont non vides ».
Si $p \in \mathbb{N}$ , $p \geq 3$ , $\mathbb{P}(C_p)$ est égal à
a) $\displaystyle \frac {2 ^{p - 1} } {3^{p - 1}}$ b) $\displaystyle \frac {2 ^{p - 1} - 2 } {3^{p - 1}}$ c) $\displaystyle \frac {2 ^{p - 1} - 1 } {3^{p - 1}}$

Question 4
La probabilité d’arrêter la répartition au bout d’un nombre fini d’épreuves est égale à 1

Question 5
Quelle est la probabilité d’arrêter avec deux boîtes ne contenant qu’une seule boule ?

6. Suite croissante de résultats

Question 1
Soit $n$ et $N$ deux entiers naturels non nuls. On note $\mathcal{C}_{n , N} = \{ u_1\, , \, \cdots \, , \, u_n) \in \mathbb{N}^n$ $\quad \quad \quad \quad 1 \leq u_1 \leq \cdots \leq u_n \leq N\}$ .
En utilisant $\varphi$ définie sur $\mathcal{C}_{n , N}$ par $\varphi (u_1\, , \, \cdots \, , \, u_n) = (v_1\, , \, \cdots \, , \, v_n)$ où $\quad \forall\, \, k \in [\! [1 , n]\!] , \, v_k = u _ k + k - 1$ ,
déterminer $\# \, \mathcal{C}_{n , N}\,$ .

Dans la suite, $N \in \mathbb{N} ^*$ . On effectue des tirages avec remise dans un sac contenant $N$ jetons numérotés de $1$ à $N$ .
Question 2.
Si $n \geq 2$ , on note $A_n$ l’événement : « les $n$ numéros tirés sont rangés par ordre croissant (au sens large) ».
Calculer $a_n = \mathbb{P}(A_n)\,$ .
On pose $a_1 = 1$ .

Question 3
En utilisant la série de terme général $b_n = \ln(a_{n + 1}) - \ln(a_n)$ , déterminer la convergence de la suite $(a_n)_n$ et sa limite.

Question 4
On arrête les tirages lorsque l’on obtient pour la première fois un numéro strictement inférieur aux numéros déjà tirés.
La probabilité d’obtenir d’arrêter au bout d’un nombre fini de tirages est strictement inférieure à 1.

Question 5
Quelle est la probabilité $p_n$ d’arrêter au $n$ -ième tirage ?

7. Lemme de Borel-Cantelli

Soit $(A_n)_n$ une suite d’événements de l’espace probabilisé $(\Omega, \, \mathcal{A})$ ,
Question 1
On note $A$ : « une infinité d’événements $A_n$ sont réalisés ».
Exprimer $A$ et justifier que $A$ est un événement.

Question 2
On suppose que $\sum \mathbb{P}(A_n)$ est convergente. $A$ est un événement

Question 3
On suppose que les événements $(A_n)_n$ sont indépendants et que $\sum \mathbb{P}(A_n)$ diverge. $A$ est un événement

Question 4 application :
Soit une épreuve ayant $r$ issues distinctes équiprobables.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A_n$ l’événement « au cours des $n\, r$ premières épreuves, on obtient chacun des $r$ résultats $n$ fois « . On dit alors qu’il y a compensation exacte.
a) Calculer $\mathbb{P}(A_n)$ .
b) En déduire un équivalent de $\mathbb{P}(A_n)$ .
c) Si $r \geq 4$ , l’événement « il n’y a qu’un nombre fini de compensations exactes » est

8. Probabilités et nombres premiers

On note si $s > 1, \, \zeta (s) = \displaystyle \sum _{n = 1} ^{+\infty} \frac 1 {n ^s}$ .
Question 1
Déterminer le réel $a$ tel qu’il existe une probabilité $\mathbb{P}$ sur $(\mathbb{N}^*, \, \mathcal {P} ( \mathbb{N}^*) )$ telle que $\displaystyle \forall \, n \in \mathbb{N}^*, \, \mathbb{P} ( \{ n \}) = \frac a {n ^s}$ .

Question 2
Soit $q \in \mathbb{N}^*$ et $A_q$ l’ensemble des éléments de $\mathbb{N}^*$ divisibles par $q$ . Calculer $\mathbb{P}(A_q)$ .

Question 3
On note $(p_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ l’ensemble des nombres premiers.
Si $k \in \mathbb{N}^*,$ on note $B_{k}$ l’ensemble des éléments de $\mathbb{N}^*$ divisibles par $p_k\,$ .
$(B_{k})_{k \in \mathbb{N}^*}$ est une famille d’événements mutuellement indépendants.

Question 4
En déduire que $\quad \quad \displaystyle \frac 1 {\zeta(s)} = \lim_{n \to +\infty} \prod _{k = 1} ^{n} \left ( 1 - \frac 1 {p_k^s} \right )$ .

9. Un jeu de pile ou face

On effectue une série de lancers d’une pièce donnant pile avec une probabilité $p$ et face avec la probabilité $q$ .
Le joueur A gagne si « PFP » sort avant « FFP » auquel cas B gagne.
On note $Fk$ : « face sort au $k$ -ième jeu » et $Pk$ : « pile sort au $k$ -ième jeu »,
$A$ : « A gagne » et $B$ : « B gagne ».
Question 1
La probabilité de n’obtenir que des faces à partir du rang 2 est nulle

Question 2
Calculer $\mathbb{P} (A \cap F_1)$ en fonction de $\mathbb{P}(A \cap P_1)$ . En déduire $\mathbb{P}(A)$ .

Question 3
Calculer $\mathbb{P}(B \cap P_1)$ et $\mathbb{P}(B \cap F_1)$ . En déduire $\mathbb{P}(B)$ .

Question 4
« Il y a un gagnant » est un événement presque certain

10. Démonstration de la formule de Poincaré ou du crible

Soit $(\Omega , \, \mathcal{A},\, \mathbb {P})$ un espace probabilisé.
Si $A$ est une partie de $\Omega$ , on appelle fonction caractéristique de $A$ la fonction $\textbf{1}_A$ définie sur $\Omega$ à valeurs dans $\{0 ,\, 1\}$ par
$\textbf{1}_A(x) = 1$ si $x \in A$ et $\textbf{1}_A(x) = 0$ si $x \notin A$ .

Question 1
$\textbf{1}_A$ est une variable aléatoire sur $(\Omega,\, \mathcal{A} )$ ssi $A \in \mathcal{A}$ .

Question 2
Soient $A,\, B \in \mathcal{A}$ .
a) Déterminer $\textbf{1}_{\Omega}\,$ , $\textbf{1}_{\overline{A}}\,$ .
b) $\textbf{1}_{A} . \textbf{1}_{B} = \textbf{1}_{A\cap B}\,$ .

Question 3
Soit $(A_k)_{1 \leq k \leq n } \in \mathcal{A}^n$ .
En utilisant le développement de $\displaystyle \prod_{i = 1} ^{n}(1 - x_i)$ où $\forall \, i \in [\![1 ,\, n]\!], \; x _ i \in \mathbb{R}$ et les fonctions caractéristiques des événements $A_k\,$ , démontrer la formule du crible ou Poincaré :
$\displaystyle \mathbb{P}\left (\bigcup_{k = 1} ^n A_k \right)$
$\displaystyle = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (A_k) - \sum _{1 \leq i < j \leq n } \mathbb{P} (A_i \cap A_j) + \, \cdots \,$
$\displaystyle + \,(- 1) ^{k - 1} \sum _{1 \leq i_1 < \, \cdots \, < i_k \leq n } \mathbb{P}\left ( A_{i_1} \cap \, \cdots \, \cap \, A_{i_k} \right )$
$+\, \cdots\,+\, (-1) ^{n- 1} \mathbb{P} \left (A_1 \cap \, \cdots \, \cap A_n \right )$ .

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2.3. Probabilité d’une réunion dénombrable.

3. Probabilité d’événements contenant l’expression « au moins »

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5. Quelques méthodes de calcul de probabilité

5.1. Utilisation de la formule des probabilités totales

6. Chaîne de Markov

Plan

1. Ajout de boules après tirage

2. Balade sur un triangle

3. Des questions de parité

4. Un jeu de fléchettes

Autres exercices

Plan

1. Une tribu et une probabilité

3. Un jeu de balle

4. Une inégalité

5. Remplir trois boîtes

6. Suite croissante de résultats

7. Lemme de Borel-Cantelli

8. Probabilités et nombres premiers

9. Un jeu de pile ou face

10. Démonstration de la formule de Poincaré ou du crible

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