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Équations différentielles linéaires en MP, PC, PSI et PT

Résumé de cours Exercices Annales

Résumé de cours et méthodes – Équations différentielles linéaires

Plan

1. Résolution d’une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1 (paragraphe de révision du programme de première année).
2. Équation différentielle linéaire vectorielle du premier ordre
3. Équation $X' = A \, X$ où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$
4. Résolution de $X' = A \, X + B(t)$ où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $B(t) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K})$ .5. Transformer une équation différentielle scalaire d’ordre $n$ en une équation différentielle vectorielle d’ordre 1
6. Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2
7. Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants (Programme de maths sup)
8. Quelques autres méthodes de résolutions d’équations différentielles linéaires du second ordre.
8.1. Par changement de fonction inconnue
8.2. Méthode de Lagrange
8.3. Par utilisation d’une série entière
8.4. Par changement de variable
8.5. Cas des équations d’Euler
8.6. En cherchant une solution particulière sous la forme d’une fonction polynôme
8.7. Méthode de la variation des constantes (avec indications de l’énoncé) .

1. Résolution d’une équation linéaire scalaire d’ordre 1

1.1. Résolution de l’équation différentielle

$\quad \quad \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = \gamma(t)$
où $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des fonctions continues sur un intervalle $J$ à valeurs dans $\mathbb {K}$ .

Première étape.
On se place sur un intervalle $I$ sur lequel $\alpha,\, \beta,\, \gamma$ sont continues et l’application $\alpha$ ne s’annule pas et on utilise l’équation normalisée (après division par $\alpha(t)$ ) $\quad \quad (\mathcal{E }) : x' = a(t) \, x + b(t)$
et l’équation sans second membre associée $(\mathcal{H}) : x' = a(t) \, x$ .

Si $I = \; ]c , \, d[$ et si la fonction $\alpha$ s’annule sur $I$ en un unique point $t_0$ , on sera amené à poser $I_1 = \; ]c ,\, t_0[$ et $I_2 = \; ]t_0 ,\, d[$ et à résoudre l’équation $(\mathcal{E})$ sur $I_1$ et sur $I_2\,$ .
On gagne du temps s’il est possible de résoudre $(\mathcal{E})$ sur $I_k$ où $k \in \{1 ,\, 2\}$ , sans être obligé de faire deux études différentes (l’une sur $I_1$ , l’autre sur $I_2$ ).
À la fin, il faudra donner l’ensemble des solutions sur $I_1$ puis l’ensemble des solutions sur $I_2\,$ .

1.1.1. Résolution de l’équation sans second membre $(\mathcal{H}) : x' = a(t)\, x$ .
On détermine une primitive $A$ de $t \mapsto a(t)$ sur l’intervalle $I$ .
La solution générale de $(\mathcal{H})$ est donnée par : $I \to \mathbb {K},\; t \mapsto \lambda\, \textrm {e} ^{A(t)}$ où $\lambda \in \mathbb{K}$ .

Cas particulier :
Si $a \in \mathbb{K}$ , l’ensemble des solutions de $x' = a \, x$ sur $\mathbb{R}$ est l’ensemble des fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{K}$ , $t \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{a \, t}$ où $\lambda \in \mathbb{K}$ .

Dans le cas où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , une solution de $(\mathcal{H})$ est soit nulle sur $I$ , soit ne s’annule pas sur $I$ et garde alors un signe constant sur $I$ .
Donc lorsque la solution générale de $(\mathcal{H})$ s’écrit sous la forme $\quad \quad t \mapsto \lambda \, \vert u(t) \vert \, v(t)$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ ,
comme la fonction $t \mapsto u(t)$ ne s’annule pas sur $I$ , elle a un signe constant donc la solution générale de $(\mathcal{H})$ peut s’écrire $t \mapsto \lambda \, u(t) \, v(t)$ ou $t \mapsto - \lambda \, u(t) \, v(t)$ , donc en résumé sous la forme $t \mapsto \mu\; u(t) \, v(t)$ où $\mu \in \mathbb{R}$
On peut donc « supprimer » la valeur absolue.

1.1.2. Détermination d’une solution particulière de $(\mathcal{E})$ .
a) Elle peut être évidente.

b) Sinon, on utilise la méthode de variation de la constante.
Ayant trouvé comme solution de $(\mathcal{H})$ , $t \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{A(t)}$ , on note $\quad \quad \forall\, t \in I,\, x(t) = \lambda(t) \, \textrm{e} ^{A(t)}$ .
On écrit que $x$ est solution de $(\mathcal{E})$ sur $I$ Le terme en $\lambda(t)$ doit disparaître et on obtient :
$x$ est solution sur $I$ de $(\mathcal{E})$ $\Leftrightarrow \forall\, t \in I, \, \lambda'(t) \, \textrm{e}^{A(t)} = b( t)$ $\Leftrightarrow \forall \, t \in I,\, \lambda'(t) = \textrm{e} ^{- A(t)}\, b( t)$ .

$\bullet$ En général, on peut déterminer une primitive de $t \mapsto \textrm{e} ^{- A(t)}\, b( t)$ .
$\bullet$ Si l’on ne sait pas déterminer une primitive de cette fonction à l’aide des fonctions usuelles, on introduit $t_0 \in I$ et on dit qu’il existe $C \in \mathbb{K},\, \forall\, t \in I,$ $\displaystyle \lambda(t) = C + \int_{t_0} ^{t } b( u)\, \textrm{e} ^{-A(u)}\, \textrm{d} \, u$ .
Dans ce cas, l’ensemble des solutions sur $I$ est l’ensemble des fonctions $I \to \mathbb{K}$ , $t \mapsto \displaystyle \, \left ( C + \int_{t_0} ^{t } b( u)\, \textrm{e} ^{-A(u)}\, \textrm{d} \, u\right ) \, \textrm{e} ^{A(t)}$
où $C \in \mathbb{K}$ .
On termine en donnant l’ensemble des solutions, ou en cherchant la solution vérifiant la condition initiale donnée par l’énoncé.

1.1.3. Théorème de Cauchy-Lipschitz
Th : Si les fonctions $a$ et $b$ sont continues sur l’intervalle $I$ , pour tout $(t_0 ,\, x_0) \in I \times \mathbb{K}$ , il existe une unique solution $f$ de $x' = a(t) \, x + b(t)$ sur $I$ vérifiant $f(t_0) = x_0\,$ .

Elle est définie par : si $t \in I$ , $f(t) = \displaystyle \, \left ( x_0 + \int_{t_0} ^{t } b( u)\textrm{e} ^{-A(u)}\, \textrm{d} \, u\right ) \, \textrm{e} ^{A(t)}$ avec $\displaystyle A(t) = \int_{t_0} ^{t } {a(u)}\, \textrm{d} \, u$ .

PROF DE MATHS PARTICULIER

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1.2. Consignes de rédaction sur les équations différentielles

$\bullet$ a) Si nécessaire, écrire l’équation différentielle sous forme normalisée, soit $(\mathcal{E }) : x' = a(t) \, x + b(t)$ .
Déterminer un (ou plusieurs) intervalles $I_j$ sur lesquels les fonctions $a$ et $b$ sont continues.
Dans la suite, on note $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ (resp. $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ ) si les fonctions $a$ et $b$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}$ (resp. $\mathbb{C}$ ) .

$\bullet$ b) Noter $(\mathcal{H }) : x' = a(t)\, x$ .
Dire : on introduit $A : I_j \to \mathbb{K}$ une primitive de $a$ sur l’intervalle $I_j\,$ .
La solution générale de $(\mathcal{H })$ sur $I_j$ est la fonction $t \mapsto k\, \textrm{e} ^ {A(t)}$ où $k \in \mathbb{K}$ .

Lorsque l’équation est homogène, terminer la rédaction par :
l’ensemble des solutions de $(\mathcal{H })$ sur $I_j$ est l’ensemble des fonctions $\quad I_j \to \mathbb{K},\, t \mapsto k \, \textrm{e} ^{A(t)}$ où $k \in \mathbb{K }$ .

$\bullet$ c) Lorsqu’il y a un second membre et pas de solution particulière évidente, dire :
On cherche une solution particulière par la méthode de variation de la constante. On écrit :
$t \mapsto \lambda(t) \, \textrm{e} ^{A(t)}$ est solution de $(\mathcal{E })$ sur $I_j$
$\Leftrightarrow \forall\, t \in I_j\, , \, \lambda'(t) \, \textrm{e} ^{ A(t)} = b(t)$
$\Leftrightarrow \forall\, t \in I_j\,, \, \lambda'(t) = b(t) \, \textrm{e} ^{ - A(t)}$
$\Leftrightarrow \exists \, C \in \mathbb{K} ,\, \forall\, t \in I_j\, , \, \lambda(t) = F(t) + C$ où $F$ est une primitive sur $I_j$ de $\quad \quad \quad t \mapsto b(t) \, \textrm{e} ^{ - A(t)}$ .

Terminer en disant au choix :
$\ast$ La solution générale de $(\mathcal{E })$ sur $I_j$ est définie par $I_j \to \mathbb{K}$ , $\quad \quad t \mapsto (F(t) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{A(t)}$ où $\alpha \in \mathbb{K}$ .
ou
$\ast$ L’ ensemble des solutions de $(\mathcal{E })$ sur $I_j$ est l’ensemble des fonctions $I_j \to \mathbb{K},$ $t \mapsto (F(t) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{A(t)}$ où $\alpha \in \mathbb{K}$
ou encore
$\ast$ L’ ensemble $\mathcal{S}_{I_j } (\mathcal{E })$ des solutions de $(\mathcal{E })$ sur $I_j$ est égal à :
$\left \{ I_j \to \mathbb{K} ,\, t \mapsto (F(t) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{A(t)} \, / \, \alpha \in \mathbb{K} \right \}$ .

1.3. Raccordement de solutions d’une équation différentielle

Soit $(\mathcal{E})\, : \, \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = \gamma(t)$ .

$\bullet$ Supposons pour fixer les idées que $I = \; ]a ,\, b[$ et que $\alpha$ ne s’annule qu’en un point $c$ de $]a ,\, b[$ .
Si $a < c < b$ et si l’on a su déterminer les solutions de $(\mathcal{E})$ sur $]a ,\, c[$ et sur $]c ,\, b[$ , on pose
$\quad \quad f(t) = \left \{ \begin{matrix} f_1(t) &\textrm{si}& t \in \; ]a , \, c [ \\ f_2(t) &\textrm{si}& t \in \; ]c , \, b [ \end{matrix} \right.$
où $f_1$ est solution de $(\mathcal{E})$ sur $]a ,\, c[$ et $f_2$ est solution de $(\mathcal{E})$ sur $]c ,\, b[$ .

$\bullet$ Puis
$\ast$ a) on cherche s’il est possible (en choisissant éventuellement les constantes) de prolonger $f$ par continuité en $c$ , donc on cherche si la limite à gauche de $c$ de la fonction $f_1$ est égale à la limite à droite de $c$ de $f_2$ .
Si c’est le cas,
$\ast$ b) on cherche si la fonction $f$ est dérivable en $c$ .
Si c’est le cas,
$\ast$ c) on cherche si $f$ est encore solution de $(\mathcal{E})$ en $c$ .
Dans ce cas, la (ou les) fonction(s) obtenue(s) est (sont) solution(s) de $(\mathcal{E})$ sur $]a ,\, b[$ .
On dit que l’on a raccordé les solutions en $c$ .

2- Équation différentielle linéaire vectorielle du premier ordre

2.1. Première forme

$(\mathcal{E})\, : \; x' = a(t) (x) + b(t)$ où
$\ast$ $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$
$\ast$ $E$ est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ (et $E = \mathbb{K}$ si $n = 1)$ .
$\ast$ $I \to \mathcal{L}(E),\, t \mapsto a(t)$ est continue
$\ast$ $I \to E ,\, t \mapsto b(t)$ est continue
et l’équation homogène associée :
$\quad \quad \quad (\mathcal{H})\, : \; x' = a(t) (x)\, .$

Théorème de Cauchy : Si $t_0 \in I$ et $x_0 \in \, E$ , il existe une unique fonction $x$ de classe $C^1$ sur $I$ à valeurs dans $E$ vérifiant le problème de Cauchy :
$\left \{ \begin{matrix} \forall\, t \in I, \;\; x'(t)& =& a(t) (x(t)) + b(t) \\ x(t_0)&=& x_0 \end{matrix}\right.$
De plus $\forall \, t \in I$ ,
$\displaystyle x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{ t} a(s) (x(s))+ b(s) \, \textrm{d} \, s$

Conséquence 1 : Si $t_0 \in I$ , l’application $\mathcal{S}(\mathcal{H}) \to E ,\, x \mapsto x(t_0)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Conséquence 2 : Il y a équivalence entre :
$\ast$ $(\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)$ est une base de l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène $(\mathcal{H})$
$\ast$ $\forall \, t \in I$ , $( \varphi_1(t)\, , \, \varphi_2(t) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t))$ est une base de $E$
$\ast$ il existe $t_0\in I$ tel que $\quad \quad ( \varphi_1(t_0)\, , \, \varphi_2(t_0) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t_0))$
est une base de $E\, .$

2.2. Deuxième forme

$(\mathcal{E})\, : \, X' = A(t) X + B(t)$ où
$\ast$ $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$
$\ast$ $n \in \mathbb{N},\, n \geq 2$
$\ast$ $I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\, t \mapsto A(t)$ est continue
$\ast$ $I \to \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K}),\, t \mapsto B(t)$ est continue
et l’équation homogène associée :
$\quad \quad \quad (\mathcal{H})\, : \, X' = A(t) X\, .$

C’est la traduction matricielle de la première forme.

Théorème de Cauchy :
Si $t_0 \in I$ et $X_0 \in \, \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K})$ , il existe une unique fonction $X$ de classe $C^1$ sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ vérifiant le problème de Cauchy :
$\left \{ \begin{matrix} \forall\, t \in I \;, \; X'(t)& =& A(t) X(t) + B(t) \\ X(t_0)&=& X_0 \end{matrix}\right.$

De plus $\forall \, t \in I$ ,
$\displaystyle X(t) = X_0 + \int_{t_0}^{ t} A(s)\, X(s)+ B(s) \, \textrm{d} \, s$

Conséquence 1 :
Si $t_0 \in I$ , l’application $\quad \quad \mathcal{S}(\mathcal{H}) \to \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K}) ,\, X \mapsto X(t_0)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Conséquence 2 :
Il y a équivalence entre :
$\ast$ $(\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)$ est une base de l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène $(\mathcal{H})$
$\ast$ si $t \in I$ , $( \varphi_1(t)\, , \, \varphi_2(t) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t))$ est une base de $\mathcal{S}(\mathcal{H})$
$\ast$ il existe $t_0\in I$ tel que $\quad \quad ( \varphi_1(t_0)\, , \, \varphi_2(t_0) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t_0))$
est une base de $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ .

2.3. Résultats généraux

Avec les hypothèses de 2.1. ou 2.2.:
$\ast$ T1 : L’ ensemble $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ des solutions de $(\mathcal{H})$ est un espace vectoriel de dimension $n$ .

$\ast$ T2 : La solution générale de $(\mathcal{E})$ est la somme d’une solution particulière de $(\mathcal{E})$ et de la solution générale de $(\mathcal{H})$ . C’est un espace affine.

$\ast$ T3 : Superposition des solutions
Si $b = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, b_i$ et si $\forall \, i \in [\! [1 , \, n ]\!]$ , $x_i$ est une solution particulière de $\quad \quad x' = a(t)(x) + b_i(t)$ ,
$x_P = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, x_i$ est une solution particulière de $x' = a(t)(x) + b(t)$ .
et la traduction matricielle :
Si $B = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, B_i$ et si pour tout $i \in [\! [1 , \, n ]\!]$ , $X_i$ est une solution particulière de $X' = A(t)\, X + B_i(t)$ , $X_P = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, X_i$ est une solution particulière de $X' = A(t)\, X + B(t)$ .

2.4. Variation des constantes

$\bullet$ Équation $(\mathcal{E})\, : \; x' = a(t)\, (x) + b(t)$
Hypothèse : On a pu trouver $n$ solutions $(\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)$ de l’équation homogène $(\mathcal{H})$ formant une base de $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ .
On rappelle que pour tout $t \in I$ , $\quad \mathcal{B}(t) = ( \varphi_1(t)\, , \, \varphi_2(t) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t))$ est une base de $E$ .

S’il n’y a pas de solution particulière de $(\mathcal{E})$ évidente, on utilise la méthode de variation des constantes :
On cherche une solution particulière de la forme $t \mapsto \displaystyle \sum_{i = 1} ^n u_i(t) \varphi_i(t)$ en écrivant que $\forall\, t \in I,\, \displaystyle \sum_{i = 1} ^n u'_i(t) \varphi_i(t) = b(t)$ .
Il suffit de décomposer $b(t)$ dans la base $\mathcal{B}(t)$ : $\displaystyle b(t) = \sum_{i = 1} ^n b_i(t)\, \varphi_i(t)$ .
Par unicité de la décomposition de $b(t)$ dans la base $\mathcal{B}(t)$ , il suffit de trouver une solution particulière des équations si $1 \leq i \leq n$ , $u'_i(t) = b_i(t)$ .

$\bullet$ Équation $(\mathcal{E})\, : \; X' = A(t)X + B(t)$
Hypothèse : On a pu trouver $n$ solutions $(\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)$ , de l’équation homogène $(\mathcal{H})$ formant une base de $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ .S’il n’y a pas de solution particulière de $(\mathcal{E})$ évidente, on utilise la méthode de variation des constantes :

On cherche une solution particulière de la forme $t \mapsto \displaystyle \sum_{i = 1} ^n u_i(t) \varphi_i(t)$ en écrivant que $\forall\, t \in I,\, \displaystyle \sum_{i = 1} ^n u'_i(y) \varphi_i(t) = B(t)$ .
Il suffit de décomposer $B(t)$ dans la base $\mathcal{B}(t)$ , $\displaystyle B(t) = \sum_{i = 1} ^n B_i(t)\, \varphi_i(t)$ .
Par unicité de la décomposition de $B(t)$ dans la base $\mathcal{B}(t)$ , il suffit de trouver une solution particulière des équations : $\forall \, i \in [\![1 , \, n]\!]$ , $u'_i(t) = B_i(t)$ .

2.5. Quelques pistes de résolution

Si l’énoncé ne donne pas d’indication,
$\bullet$ Dans le cas $n = 2$ et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , il est parfois possible en posant $z = x + \textrm{i} y$ d’obtenir une équation différentielle linéaire du premier ordre en $z$ que l’on sait résoudre.

$\bullet$ On peut aussi chercher s’il existe une matrice $P$ (indépendante de $t$ et inversible) et une matrice diagonale ou triangulaire $D(t)$ telles que $\quad \quad \quad A(t) = P \,D(t)\, P ^{-1}$
et poser $Y(t) = P ^{-1}\, X(t)$ (on obtient alors $Y'(t) = D(t) Y(t) + P ^{-1}\, B(t)$ ).

3. Équation $X' = A\, X$ où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

$\bullet$ M1. Utilisation de l’exponentielle de matrices
$\ast$ La solution du problème de Cauchy : $X' = A \, X$ et $X(t_0) = X_0$ est la fonction $t \mapsto \textrm{e} ^{(t - t_0) A} \, X_0 \,$ .
$\ast$ Si $(E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_n)$ est une base de $\mathcal{M}_{n , 1} (\mathbb{K})$ , les fonctions $t \mapsto \textrm{e} ^{t \, A}\, E_k$ pour $1 \leq k \leq n$ forment une base de $\mathcal{S }(\mathcal{H})$ .

$\bullet$ M2. $A$ est une matrice dagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ :
$\ast$ M2.1. La méthode la plus simple est de déterminer une base de vecteurs propres $(V_1 \, , \, V_2 \, , \, \cdots \, , \, V_n)$ de $A$ associés respectivement aux valeurs propres $(\lambda_1 \, , \, \lambda_2 \, , \, \cdots \, , \, \lambda_n)$ .
L’ ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions :
$\mathbb{R } \to \mathcal{M}_{n , 1}(\mathbb{K})$ , $t\mapsto \displaystyle \sum _{i = 1} ^n C_i \, \textrm{e} ^{\lambda_i \, t } \, V_i$ lorsque $(C_1 \, , \, C_2 \, , \, \cdots \, , \, C_n)$ décrit $\mathbb{K} ^n$ .

On peut aussi noter $\quad \quad \forall\, i \in [\![1 , \, n ]\!],\; \varphi _ i : t \mapsto \textrm{e} ^{\lambda_i \, t } \, V_i$
et dire que $(\varphi_1 \, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)$ est un système fondamental de solutions de $X' = A\, X$ c’est-à-dire une base de l’espace vectoriel des solutions.

$\ast$ M2.2. On détermine $P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $D$ diagonale telles que $A = P\, D \, P^{-1}\,$ ; on pose $Y = P^{-1}\, X$ ; l’équation à résoudre s’écrit $Y' = D \,Y$ , ce qui donne $n$ équations linéaires scalaires d’ordre 1 (du type $y'_i = \lambda_i \, y_i$ ) que l’on résout.
Il suffit de calculer $X = P \,Y$ , pour obtenir $X$ . Dans ce cas, le calcul de $P^{-1}$ est inutile.

Si l’on doit de plus résoudre le problème de Cauchy $X' = A \,X$ et $X(t_0) = X_0\,$ , il faut déterminer $P^ {-1}$ pour déterminer les constantes $C_i$ de façon à ce que $Y(t_0) = P^ {- 1} \, X_0\,$ ou résoudre directement le système $X(t_0) = X_0\,$ .

$\bullet$ M3. $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ n’est pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ mais est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et on cherche les solutions réelles :
$\ast$ a) Pour chaque valeur propre réelle $\lambda$ , on détermine une base du sous-espace propre $E_{\lambda}(A)$ .
$\ast$ b) Si $\lambda$ est une valeur propre non réelle de $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , on rappelle que si $(V_1 \, , \, V_2 \, , \, \cdots \, , \, V_k)$ forme une base de $E_{\lambda}(A)$ , $(\overline{V_1} \, , \, \overline{V_2 } \, , \, \cdots \, , \, \overline{V_k})$ forme une base de $E_{\overline{\lambda}}(A)$ .
$\ast$ c) En utilisant les notations du b), $\forall\, p \in [\![1 ,\, k]\!],\,$ $W_p : t\mapsto \displaystyle \frac 1 2 \left ( V_p + \overline{V_p} \right )$
et $Z_p : t \mapsto \displaystyle \frac 1 {2\, \textrm{i}}\left ( V_p - \overline{V_p} \right )$ sont des solutions à valeurs réelles de $X' = A \,X$ .
On regroupe les solutions ainsi obtenues (en a) et c)), notées par exemple $\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n\,$ et on démontre que l’on a une famille libre.

Pour cela, il suffit de prouver que $\textrm{det}(\varphi_1(0)\, , \, \varphi_2 (0)\, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(0) \,) \neq 0$ .

$\bullet$ M3. $A$ est trigonalisable.
On introduit $P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $T$ matrice triangulaire supérieure telles que $A = P \, T \, P^{- 1}$ , on pose $Y = P^{-1}\, X$ .
L’ équation à résoudre s’écrit $Y' = T\, Y$ , ce qui donne $n$ équations linéaires scalaires.
On résout le système « triangulaire » obtenu en commençant par la dernière équation de la forme $y_n' = \lambda_n \, y_n\,$ , puis l’avant dernière $\quad y'_ {n - 1} = \lambda_n \, y_{n - 1} + \mu _ {n - 1 } \, y_n$ etc …
Il suffit de calculer $X = P \, Y$ pour obtenir $X$ . Dans ce cas, le calcul de $P^{- 1}$ est inutile.

Cas particulier : la somme des dimensions des sous-espaces propres de $A$ est égale à $n - 1$ .
Soit $u$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ et $(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _{n - 1} )$ une famille libre de $n - 1$ vecteurs propres.
En introduisant un vecteur $\varepsilon_n$ tel que $(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _{n - 1} \, , \, \varepsilon _n )$ soit une base $\mathcal {C}$ de $\mathbb{R} ^n$ , la matrice $T$ de $u$ dans la base $\mathcal {C}$ est triangulaire supérieure.
Il est alors possible d’appliquer la méthode précédente.

4. Équation $X' = A\, X + B(t)$

$X' = A\, X + B(t)$ où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $B(t) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K})$ .

$\bullet$ M1. Cas $n = 2$ .
Lorsque la fonction $B$ est dérivable sur l’intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , la méthode la plus simple de résolution d’un système différentiel linéaire d’ordre 2 avec second membre est de chercher une équation différentielle d’ordre 2 vérifiée par $x$ , en déduire $x$ puis $y$ .
En n’oubliant pas la réciproque !

$\bullet$ M2. Cas $n > 2$ et $A$ diagonalisable :
Introduire $P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $D$ diagonale telles que $A = P \, D \, P^{-1}$ , poser $Y = P^{-1}\, X$ et $C(t) = P^{-1}\, B(t)$ .
L’ équation $X' = A\, X + B(t)$ s’écrit $Y' = D \, Y + C(t)$ .
On obtient alors un système de $n$ équations du type.
$\quad \quad y'_k = \lambda_k \, y_k + f_k(t)$ où $1\leq k \leq n\,$ .
Ayant résolu ce système, il reste à calculer $X = P\, Y$ . Dans ce cas, on doit calculer $P^{-1}$ .

$\bullet$ M3. Cas $n > 2$ et $A$ trigonalisable :
Introduire $P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $T$ triangulaire telles que $A = P \, T\, P^{-1}$ , poser $Y = P^{-1}\, X$ et $C(t) = P^{-1} \, B(t)$ .
L’ équation $X' = A\, X + B(t)$ s’écrit $Y' = T \, Y + C(t)$ .

On obtient alors un système triangulaire de $n$ équations.
On commence par résoudre $\quad \quad y'_n = \lambda _n \, y_n + f_n (t)$
puis on « remonte ».
Ayant résolu ce système, il reste à calculer $X = P\, Y$ .
Dans ce cas, on doit calculer $P^{-1}$ .

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5. Transformer une équation différentielle scalaire d’ordre $n$ en une équation différentielle vectorielle d’ordre 1

Hypothèse : on suppose que $(a_k)_{0 \leq k \leq n}$ est une famille de fonctions continues sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ .

Soit l’équation différentielle linéaire d’ordre $n$ : $\quad (\mathcal{E }) \, : \, \displaystyle x^ {(n)} + \sum_{k = 0} ^{n - 1} a_k (t) \, x^{(k)} = b(t)\,$ .
On pose
$A(t) = \begin{pmatrix} 0&1&0& \cdots & 0\\ 0&0&1&\ddots &\vdots\\ \vdots &\textrm{ }&\ddots &\ddots & 0\\ 0& \cdots & \cdots &0 &1 \\ -a_0(t)&-a_1(t)&\cdots &\cdots &-a_{n - 1}(t) \end{pmatrix}$
$B( t)= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ \vdots \\ 0\\ b(t)\end{pmatrix} , \, Y(t) = \begin {pmatrix} x(t) \\x'(t)\\ \vdots \\ x^{(n - 2)} (t) \\ x^{(n - 1)} (t) \end{pmatrix}$

$(\mathcal{E})$ est équivalente à $\quad\forall\, t \in I,\, Y'(t) = A(t) \, Y(t)+ B(t)$ .
et
$(\mathcal{H})$ : $\displaystyle x^ {(n)} + \sum_{k = 0} ^{n - 1} a_k (t) \, x^{(k)} = 0\,$
est équivalente à $\quad \quad \forall\, t \in I,\, Y'(t) = A(t) \, Y(t)$ .

En particulier on peut écrire $\quad \quad x'' + a(t) \,x' + b(t) \,x = c(t)$ sous la forme équivalente $\quad \forall\, t \in I,\, Y'(t) = A \, Y(t)+ B(t)$ avec
$\quad \quad A(t) = \begin{pmatrix} 0&1 \\-b(t)&- a(t) \end{pmatrix}$ , $B(t)= \begin{pmatrix} 0\\ c(t)\end{pmatrix}$ et $Y(t) = \begin {pmatrix} x(t) \\x'(t) \end{pmatrix}$ .

Théorème de Cauchy
Si $b$ et $(a_k)_{0 \leq k \leq n}$ sont des fonctions continues sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ ,
si $t_0 \in I$ et si $(y_0 \,, \, \cdots \, , \, y_{n - 1}) \in \mathbb{K} ^n\, ,$
il existe une unique fonction $\varphi$ vérifiant le problème de Cauchy suivant :
$\forall\, t \in I \, , \, \displaystyle \varphi^ {(n)}(t) + \sum_{k = 0} ^{n - 1} a_k (t) \, \varphi^{(k)}(t) = b(t)\,$
et $\forall \, k \in [\![0, n - 1]\!],\, \varphi^{(k)} (t_0) = y_k \, .$

P1 : L’ensemble des solutions de $\mathcal{H}$ sur $I$ est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $n$ .

P2 : L’ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$ est un espace affine : la solution générale est la somme de la solution générale de $\mathcal{H}$ et d’une solution particulière de $\mathcal{E}$ .

Les étudiants de Maths Spé qui n’ont pas la possibilité de faire appel à un prof de maths particulier ou de participer à des stages intensifs de révision en Maths Sup, ont la possibilité d’utiliser différents cours en ligne de Maths en PT, ou des cours en ligne de PSI en Maths, des cours en ligne de MP en Maths ou même des cours en ligne de PC en Maths pour s’aider dans leurs révisions personnelles.

6. Résolution d’équations linaires scalaires du second ordre

6.1. Théorème de Cauchy

On cherche à déterminer les fonctions $x$ deux fois dérivables sur $I$ et vérifiant
$\forall \, t \in I,\,$ $a(t)\, x''(t) + b(t)\, x'(t) + c(t) \, x(t) = d(t)$
où $a, \, b, \, c, \, d$ sont des fonctions continues sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ , la fonction $a$ ne s’annulant pas sur $I$ .

Dans le cas où $a, \, b, \, c$ sont des scalaires, on se trouve dans le cas des équations à coefficients constants étudiées au paragraphe VII.

En se plaçant sur un intervalle $I$ où la fonction $a$ ne s’annule pas, on obtient
l’équation homogène $(\mathcal{H})$ : $\quad \quad x'' + \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = 0$
et l’équation complète $(\mathcal{E})$ : $\quad x'' + \alpha(t) \, x' + \beta(t) \, x = \gamma(t)$ .
les fonctions $\alpha,\, \beta , \, \gamma$ étant continues sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ .

Théorème de Cauchy :
On suppose que les fonctions $\alpha,\, \beta , \, \gamma$ sont continues sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ .
Pour tout $t_0 \in I$ et $(x_0 ,\, x_1) \in \mathbb{K} ^2$ , il existe une unique fonction $x$ deux fois dérivable sur $I$ et vérifiant le problème de Cauchy : $\left \{ \begin{matrix} \forall \, t \in I , \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ x''(t) + \alpha(t) \, x'(t) + \beta(t) \, x(t)= \gamma(t)\\ x(t_0)= x_0 ,\; x'(t_0) = x_1 \end{matrix} \right.$

Conséquence : Pour prouver que deux solutions $f$ et $g$ de $(\mathcal{E})$ sur $I$ sont égales, il suffit de trouver $t_0 \in I$ tel que $f(t_0) = g(t_0)$ et $f'(t_0) = g'(t_0)$ et utiliser ensuite l’unicité donnée par le théorème de Cauchy.

6.2. Équation homogène

$\bullet$ L’ ensemble des solutions de $(\mathcal{H})$ : $x'' + \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = 0$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension 2.

$\bullet$ Si $t_0 \in I$ , l’application :
$\quad \mathcal{S}(\mathcal{H}) \to \mathbb{K} ^2$ , $f \mapsto (f(t_0) ,\, f '(t_0))$
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
C’est à dire si $t_0 \in I$ et $(a , b) \in \mathbb{K}^2$ , il existe une unique solution $f$ de $(\mathcal{H})$ telle que $f(t_0) = a$ et $f'(t_0) = b$ .

$\bullet$ Si $t_0 \in I$ et si $x$ est solution de $(\mathcal{H})$ et vérifie $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ , alors $x = 0$ , car $x$ et la solution nulle vérifient le même problème de Cauchy. 🧡

$\bullet$ Pour vérifier que deux solutions $h_1 ,\, h_2$ forment une base de $(\mathcal{H})$ , il suffit de prendre $t_0 \in I$ (le plus simple possible) et de prouver que $\left ( \theta_{t_0 }( h_1),\, \theta_{t_0 }( h_2) \right )$ est une base de $\mathbb{K}^2$ (il suffit de prouver que $\quad \quad \begin{vmatrix} h_1(t_0)& h_2(t_0)\\ h'_1(t_0)& h'_2(t_0) \end{vmatrix}\neq 0$ )
et de dire que $(h_1 , h_2)$ est une base de $\mathcal{S}(\mathbb{K})$ comme image d’une base de $\mathbb{K}^2$ par l’isomorphisme $\theta_{t_0} ^{- 1}\, .$

Si $(h_1 ,\, h_2)$ est une base de $\mathcal{S}(\mathbb{K})$ , pour tout $t \in I,$ $\begin{vmatrix} h_1(t)& h_2(t)\\ h'_1(t)& h'_2(t) \end {vmatrix} \neq 0$ .
dem : il suffit de dire que pour tout $t \in I, \, (\theta_t(h_1) , \, \theta_t(h_2))$ est une base de $\mathbb{K}^2$ .

$\bullet$ Si $t_0 \in I$ ,
$\ast$ il existe un unique couple $(h_1 ,\, h_2)$ de solutions de $(\mathcal{h})$ vérifiant
$\quad \quad h_1(t_0)=1 \textrm{ et } h'_1(t_0)=0$ $\quad \quad h_2(t_0)= 0 \textrm{ et } h'_2(t_0)= 1$ .
$\ast$ $(h_1 ,\, h_2)$ est une base de $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ , comme image de la base canonique de $\mathbb{K}^2$ par l’isomorphisme $\theta_{t_0} ^{-1}$ .

$\bullet$ Si $h_1$ et $h_2$ sont solutions de $(\mathcal{H})$ , la fonction $W$ définie, pour tout $t \in I$ , par $W(t) = \begin{vmatrix} h_1(t)& h_2(t)\\ h'_1(t)& h'_2(t) \end {vmatrix}$ est solution de l’équation linéaire du premier ordre :
$\quad \quad \forall \, t \in I,\, W'(t)= - \alpha(t) \,W(t)$ . 🧡

6.3. Consignes de rédaction (cas de fonctions à valeurs réelles)

Si $(h_1\,,\, h_2)$ est une base de $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ et si $x_p$ est une solution particulière de $(\mathcal{E}),$ conclure en disant au choix :
$\ast$ la solution générale de $(\mathcal{E})$ sur $\mathbb {R}$ est définie par
$I \to \mathbb {R}$ , $t \mapsto A\, h_1(t) + B \, h_2(t) + x_p(t)$ où $(A ,\, B) \in \mathbb {R}^2$ .
ou
$\ast$ l’ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$ sur $\mathbb {R}$ est l’ensemble des fonctions
$I \to \mathbb {R}$ , $t \mapsto A\, h_1(t) + B \, h_2(t) + x_p(t)$ où $(A , \, B) \in \mathbb {R}^2$ .

6.4. Raccordements de solutions d’une équation différentielle

Si $a < c < b$ et si l’on a su déterminer les solutions de $(\mathcal{E})$ sur $]a ,\, c[$ et sur $]c ,\, b[$ , on pose
$\quad f(t) = \left \{ \begin{matrix} f_1(t) &\textrm{si}& t \in \; ]a , \, c [ \\ f_2(t) &\textrm{si}& t \in \; ]c , \, b [ \end{matrix} \right.$
où $f_1$ est solution de $(\mathcal{E})$ sur $]a ,\, c[$ et $f_2$ est solution de $(\mathcal{E})$ sur $]c ,\, b[$ .
Puis
$\ast$ a) on cherche s’il est possible (en choisissant éventuellement les constantes) de prolonger $f$ par continuité en $c$ , donc en démontrant que la limite à gauche de $c$ de la fonction $f_1$ est égale à la limite à droite de $f_2$ en $c$ .
Si c’est le cas,
$\ast$ b) on cherche si la fonction $f$ est dérivable en $c$
… par limite du taux d’accroissement de $f$ en $c$
… ou en cherchant si $f'$ admet la même limite $L$ à droite et à gauche en $c$ (dans ce cas, on rappelle que, par théorème, $f$ est de classe $C^1$ sur $]a , b[$ et $f '(c) = L$ )
Si c’est le cas,
$\ast$ c) on cherche si $f$ est deux fois dérivable en $c$ (par limite du taux d’accroissement de $f'$ en $c$ ou grâce à la limite de $f''$ en c).
Si c’est le cas,
$\ast$ d) on cherche si $f$ est encore solution de $(\mathcal{E})$ en $c$ .

Dans ce cas, la (ou les) fonction(s) obtenue(s) est (sont) solution(s) de $(\mathcal{E})$ sur $]a ,\, b[$ .
On dit que l’on a raccordé les solutions en $c$ .

7. Équation linéaire du second ordre à coefficient constants

Hypothèses : soit à résoudre l’équation $\quad \quad (\mathcal{E}) : a\, x'' + b\, x' + c \, x = f(t)$
où $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2$ et $f$ est une fonction continue sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ . On note $(\mathcal{H}) : a\, x'' + b \,x' + c \,x = 0$ .

7.1. Résolution de $a\, x'' + b \,x' + c \,x = 0$ où $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2$ .
On note $P(r) = a\, r^2 + b\, r + c$ .
L’ ensemble des solutions $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ de l’équation homogène est un espace vectoriel de dimension 2 et on note $(h_1, \, h_2)$ une base de $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ .

Si l’équation caractéristique $P(r) = 0$
$\ast$ a deux racines distinctes $\alpha$ et $\beta$ dans $\mathbb{K}$ :
… $h_1 : t \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, t}$
$h_2 : t \mapsto \textrm {e} ^{\beta \, t}$ .

$\ast$ a une racine double $\alpha$ :
… $h_1 : t \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, t}$
$h_2 : t \mapsto t \, \textrm {e} ^{\alpha \, t}$ .

$\ast$ a deux racines complexes conjuguées : $\alpha + \textrm {i} \, \beta$ et $\alpha - \textrm {i} \, \beta$ , où $\beta \neq 0$ dans le cas où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ :
… $h_1 : t \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, t}\, \cos(\beta\, t)$
$h_2 : t \mapsto \, \textrm {e} ^{\alpha \, t}\, \sin(\beta\, t)$ .

$\ast$ et pour aller plus vite dans le cas $y'' + \, \omega^2\, y = 0$ avec $\omega > 0$ :
… $h_1 : t \mapsto \cos(\omega \, t)$
$h_2 : t \mapsto \sin(\omega \, t)$ .

$\ast$ et pour aller plus vite dans le cas $y'' - \, \omega^2\, y = 0$ avec $\omega > 0$ :
… $h_1 : t \mapsto \textrm{ch}(\omega \, t)$
$h_2 : t \mapsto \textrm{sh}(\omega \, t)$ .
ou
… $h_1 : t \mapsto \textrm{e}^{\omega \, t}$
$h_2 : t \mapsto \textrm{e}^{- \omega \, t}$ .

Hypothèses : soit à résoudre l’équation $\quad \quad (\mathcal{E}) :a\, x'' + b \,x' + c \,x = f(t)$
où $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2$ et $f$ est une fonction continue sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ . On note $(\mathcal{H}) : a\, x'' + b \,x' + c \,x = 0$ .

7.2. Recherche d’une solution particulière de $\quad (\mathcal{E}) : a\, x'' + b \,x' + c \,x = f(t)$ où $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2$ .
$\bullet$ M1. Utilisation du principe de superposition des solutions.
Si $f = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, f_i$ et si $\forall\, i \in [\! [1 , \, n ]\!]$ , $x_i$ est une solution particulière de $\quad \quad a\, x'' + b\, x' + c\,x = f_i(t)$ ,
$x = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, x_i$ est solution de $\quad \quad \, x'' + b\, x' + c\, x = f(t)$ .

$\bullet$ M2. Utilisation de la fonction conjuguée.
Si $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb{R} ^3$ et si $I \to \mathbb {C }$ , $t \mapsto x(t)$ est solution de $a \,x'' + b \,x' + c\, x = f(t)$ la fonction $I \to \mathbb {C }$ , $t \mapsto \overline {x(t)}$ est solution de $\quad a \,x'' + b \,x' + c \,x = \overline {f(t)}$ .

$\bullet$ M3. Second membre $f(t) = g(t)\, \textrm{e} ^{m \,t}$ où $m$ est racine double de l’équation caractéristique $P$ .
$\ast$ On cherche une solution particulière $x : t \mapsto h(t) \, \textrm{e} ^{m \, t}$ .
Après calculs, on obtient l’équation : $a \, h''(t) = g(t)$ .
$\ast$ Cette méthode peut aussi être utilisée lorsque le second membre est de la forme $f(t) = g(t) \, \textrm{e} ^{m \, t}$ , où $m$ est racine simple de l’équation caractéris- tique $P$ . On obtient l’équation : $\quad a\, h''(t) + (2\, a\, m + b)\, h'(t) = g(t)$
et on se ramène donc à une équation linéaire scalaire du premier ordre (en posant $H(t) = h'(t)$ ).

$\bullet$ M4. Second membre $f$ de la forme $t \mapsto Q(t) \, \textrm {e} ^ {m \, t}$ , où $Q$ est une fonction polynôme et $m \in \mathbb {C}$ .
On cherche une solution particulière sous la forme $t \mapsto R(t) \, \textrm{e} ^{m \,t}$ où $R : t \mapsto t ^{\alpha } \, U(t)$ avec $U$ fonction polynôme de même degré que $Q$ et
$\ast$ si $m$ n’est pas racine de $P$ , $\alpha = 0$
$\ast$ si $m$ est racine simple de $P$ , $\alpha = 1$
$\ast$ si $m$ est racine double de $P$ , $\alpha = 2$
(attention, M3 est plus simple dans ce dernier cas).
Dans cette méthode, lorsque le degré de $Q$ est « élevé », il est conseillé de calculer les dérivées de $t \mapsto R(t) \textrm{e} ^{m \, t}$ , puis de remplacer dans l’équation différentielle et d’introduire ensuite les coefficients de $U$ .

$\bullet$ M4B. On peut aussi raisonner avec $R$ et démontrer que $t\mapsto R(t)\, \textrm{e} ^{m\, t}$ est solution de l’équation $(\mathcal{E})$ ssi
$\forall \, t \in \mathbb{R}$ , $(a m ^2 + b m + c) \, R(t)$
$+ \, (2 a m + b) \, R'(t) + a R''(t) = Q(t)$
et de trouver ensuite une solution particulière de cette équation.

$\bullet$ M5. Second membre $\quad \quad f(t) = \lambda \, \cos (\alpha\, t) + \mu \sin (\alpha \, t)$ , lorsque $(a , \,b , \,c) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^2$ .
M5.1. On cherche une solution particulière sous la forme :
$\ast$ $t \mapsto C\, \cos(\alpha\, t) + D\, \sin(\alpha\,t)$ si $\textrm{i} \, \alpha$ n’est pas racine du polynôme caractéristique $P$ .
$\ast$ $t \mapsto t \left ( C\, \cos(\alpha\, t) + D\, \sin(\alpha\,t) \right )$ si $\textrm{i} \, \alpha$ est racine simple du polynôme caractéristique $P$ .

M5.2. On utilise les formules d’Euler, on cherche une solution particulière $x_0$ de $\quad a \, x'' + b\, x' + c\, x = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \alpha \, t}$ ;
on utilise M2 pour dire que $\overline {x_0}$ est solution particulière de $\quad \quad a\, x'' + b \, x' + c \, x = \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \alpha \, t}$
et on termine par utilisation du principe de superposition des solutions (cf M1).
En particulier, $\textrm{Re}(x_0)$ est une solution particulière de $\quad \quad a x'' + b x' + c x = \cos(\alpha \, t)$
et $\textrm{Im}(x_0)$ est une solution particulière de $\quad \quad a x'' + b x' + c x = \sin(\alpha \, t)$ .

8. Quelques autres méthodes de résolutions d’équations différentielles scalaires du second ordre

8.1. Par changement de fonction inconnue

On note $x$ l’ancienne fonction, $y$ la nouvelle fonction et $t$ la variable. On exprime $x'$ et éventuellement $x''$ en fonction de $t,\, y,\, y'$ et éventuellement $y''$ .
On remplace dans l’équation différentielle donnée. On doit obtenir une équation différentielle en $y$ de même ordre que celle dont on est parti.
On résout l’équation obtenue. Ne pas oublier à la fin de donner les solutions $x$ en utilisant la relation entre $x$ et $y$ .

8.2. Méthode de Lagrange pour les équations différentielles

On suppose que l’on doit résoudre $(\mathcal{E}) : a(t) \, x'' + b(t) \, x' + c(t) \, x = f(t)$ quand
a) les fonctions $a,\, b,\, c$ et $f$ sont continues sur l’intervalle $I$ et $a$ ne s’annule pas sur l’intervalle $I$ .
b) on connaît une solution particulière $x_1$ de $\quad (\mathcal{H}) : a(t) \, x'' + b(t) \, x' + c(t) \, x = 0$ ne s’annulant pas sur $I$ .

On note $\forall\, t \in I, \, x(t) = u(t)\, x_1(t)$ .
$x$ est deux fois dérivable sur $I$ ssi $u$ est deux fois dérivable sur $I$ .
En écrivant que $x$ est solution sur $I$ de $(\mathcal{E})$ et en utilisant le fait que $x_1$ est solution de $(\mathcal{H})$ , on obtient (calculs à faire) :
$x$ est solution sur $I$ de $(\mathbb{E})$ ssi $\forall\, t \in I,$ $\left (2 \, a(t)\, x'_1(t)+ b( t)\, x_1(t) \right ) u'(t)$ $\quad \quad \quad \quad +a\, ( t) \, x_1(t)\, u''(t) = f(t).$
En posant $y = u'$ , la fonction $y$ est solution sur $I$ de l’équation linéaire scalaire d’ordre 1 :
$\left (2 \, a(t)\,x'_1(t)+ b( t)\, x_1(t) \right ) y$ $\quad \quad \quad \quad \quad + \, a( t) \, x_1(t)\, y' = f(t)$
On résout cette équation puis il reste à résoudre $u' = y$ .

Important : Il vaut mieux conserver (sauf si $x_1$ est très simple) l’expression littérale $x_1$ et on arrive à l’équation sans second membre, normalisée sous la forme, $\quad \displaystyle y ' + \left (\frac {2 \, x'_1(t)} {x_1(t)} + \frac {b(t)} {a(t)} \right ) y = 0$ .
Il suffit ensuite de trouver une primitive de $f$ de $\displaystyle t \mapsto \frac {b(t)} {a(t)}$ pour en déduire que $t \mapsto f(t) + 2 \ln \vert x_1(t) \vert$ est une primitive de $\displaystyle t \mapsto \frac {2 \, x'_1(t)} {x_1(t)} + \frac {b(t)} {a(t)}$ .

8.3. Par utilisation d’une série entière

On rédige ainsi :
On cherche une suite $(a_n)_n$ telle que la série entière de terme général $a_n\, x^n$ ait un rayon de convergence $R > 0$ et telle que la fonction $f$ définie pour tout $t \in \; ]- R ,\, R[$ , par $\displaystyle f(t) = \sum _{n = 0} ^{+\infty} a_n \, t^n$ soit solution sur $]- R ,\, R[$ de l’équation différentielle $( \mathcal {E})$ .

Par propriété des sommes de série entière sur l’intervalle ouvert de convergence, pour tout $t \in\; ]- R ,\, R[$ ,
$\displaystyle f'(t) = \sum _{n = 1} ^{+\infty}n \, a_n \, t^{n - 1}$ et $\displaystyle f''(t) = \sum _{n = 2} ^{+\infty}n( n - 1) \, a_n \, t^{n - 2}$ .

Puis
1. On écrit que $f$ est solution de $( \mathcal {E})$ .
2. En utilisant l’unicité de l’écriture d’une série entière, on obtient une relation entre les coefficients $a_n$ .
3. On détermine $a_n$ .
4. On cherche le rayon de convergence $R$ .
5. Si possible, on calcule la somme de la série entière et éventuellement on termine la résolution de l’équation différentielle (par exemple, en utilisant la méthode de Lagrange dans le cas d’une équation linéaire du second ordre).

Cette méthode peut être utilisée lorsque les coefficients de l’équation sont des fonctions polynômes, le second membre étant une fonction polynôme ou une fonction développable en série entière.

8.4. Par changement de variable pour une équation linéaire du second ordre.

On note $t$ l’ancienne variable et $u = \Phi(t)$ la variable proposée par l’énoncé.
$\ast$ On suppose que $\Phi$ est une bijection de classe $C^2$ de l’intervalle $I$ sur l’intervalle $J$ et que $\forall\, t \in I, \Phi'(t) \neq 0$ .
$\ast$ Alors la fonction $\Phi ^{-1}$ est de classe $C^2$ sur $J$ .
$\ast$ On écrit $x(t) = z(u) = z (\Phi(t))$ soit $x = z \circ \Phi \Leftrightarrow z = x\, \circ \, \Phi^{ - 1}$ .
$\ast$ La fonction $x$ est de classe $C^2$ sur $I$ ssi la fonction $z$ est de classe $C^2$ sur $J.$

$\ast$ $\forall \, t \in I,\, x'(t) = z'(\Phi(t)) \Phi'(t)$ $x'(t) = z'(u) \Phi'(t)$
et $x''(t) = z''(\Phi(t) ) \Phi'^2(t) + z'(\Phi(t)) \Phi''(t)$ $x''(t) = z''(u) \Phi'^2(t) + z'(u) \Phi''(t)$ .
$\ast$ On remplace dans l’équation différentielle et on doit obtenir à la fin une équation différentielle de même ordre que celle dont on est parti, ne dépendant que de $u$ .
$\ast$ On la résout puis on détermine l’ensemble des solutions $t \mapsto x(t)$ , en utilisant le changement de variable donné.

**8.5. Cas des équations d’Euler : $a \, t^2 \, x''(t) + b\, t\, x' + c\, x = f(t)$ où $(a , \, b ,\, c) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} ^2$**

$\bullet$ M1. par changement de variable :
On résout l’équation sur $I_1 = \; ]0 ,\, +\infty[$ ou $I_2 = \; ]- \infty ,\, 0[$ et on utilise le changement de variable :
$u = \ln \vert t \vert$ ou $t = \varepsilon \, \textrm{e} ^u$ ( $\varepsilon = 1$ si l’on résout sur $I_1$ et $\varepsilon = - 1$ sinon).

La fonction $\Phi : I_k \to \mathbb {R}, t \mapsto \ln \vert t \vert$ est une bijection de classe $C^2$ telle que $\Phi ^{ - 1} : \mathbb {R} \to I_k , \, u \mapsto \varepsilon\, \textrm{e} ^{u}$ ( $\varepsilon = 1$ pour $I_1$ et $\varepsilon = - 1$ pour $I_2$ ) est une bijection de classe $C^2$ .
On note $x(t) = x(\varepsilon \textrm {e} ^u) = z(u)$ ; on en déduit que $x$ est de classe $C^2$ sur $I_1\,$ , (resp $I_2$ ) ssi $z$ est de classe $C ^2$ sur $\mathbb {R}$ .

On obtient l’équation à coefficients constants :
$\forall \, u \in \mathbb {R},$ $a z''(u) + (b - a) z'(u) + c z(u) = f(\varepsilon \, \textrm {e} ^u).$

$\bullet$ M2. On peut aussi chercher les solutions de l’équation homogène sur $I_1 = \; ]0 ,\, + \infty[$ ou $I_2 =\; ]-\infty ,\, 0[$ sous la forme $x_{\alpha} : t \to \vert t \vert ^{\alpha }$ .
On démontre que $x_{\alpha}$ est solution ssi $\quad \quad a \, \alpha^2 + (b - a) \, \alpha + c = 0$ .
Dans le cas où il y a deux solutions distinctes, on vérifie que l’on obtient une base de l’espace vectoriel des solutions $\mathcal{S }(\mathcal{H})$ .

8.6. En cherchant une solution particulière sous la forme d’une fonction polynôme

On commence par déterminer le degré du polynôme $P$ : en notant $n = \textrm{deg} P$ , on calcule le terme de plus haut degré dans l’équation, ce qui permet d’obtenir une équation, donnant en général la valeur de $n$ .
Il ne reste plus qu’à noter $\quad \quad \quad \displaystyle P(t) = \sum_{k = 0} ^n a_k \, t^k$ .
En remplaçant dans l’équation différentielle, on détermine les coefficients $a_k$ par résolution d’un système linéaire.

8.7. Méthode de la variation des constantes

On suppose que l’on connaît deux solutions $h_1$ et $h_2$ formant une base de l’espace vectoriel des solutions de $(\mathcal{H }) : x'' + \alpha(t) \, x'(t) + \beta (t)\, x = 0.$

La méthode de variation des constantes consiste à trouver deux fonctions $u_1$ et $u_2$ de classe $C^1$ sur $I$ telles que $x = u_1\, h_1 + u_2 \,h_2$ soit solution de
$(\mathcal{E }) : x'' + \alpha(t) \, x'(t) + \beta (t)\, x = \gamma(t)$
avec la condition $u'_1\, h_1+ u'_2\, h_2= 0$ .

On rappelle que les fonctions vérifient le système :
$\quad \quad \left \{ \begin{matrix} u'_1\, h_1+ u'_2\, h_2&=& 0\\ u'_1\, h'_1+ u'_2\, h'_2&= &\gamma \end{matrix} \right.$

On résout le système en $u'_1$ , $u'_2$ . Puis on détermine $u_1$ et $u_2$ : comme on cherche une solution particulière, on peut choisir les constantes d’intégration de $u_1$ et $u_2$ .

Exercice
Soit $\omega > 0$ .
Résoudre l’équation $x'' + \omega^2 x = f(t)$ où la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$ en utilisant la méthode de variation des constantes.

Exercices sur les Équations différentielles linéaires en maths spé

Plan

1. Systèmes différentiels (100 mn)
2. Résolution d’équations linéaires du premier ordre (60 mn)
3. Résolution d’équations linéaires du second ordre (110mn)
4. Problèmes théoriques avec des équation du premier ordre (40 mn)
5. Problèmes théoriques avec des équations du second ordre. (180 mn)

1. Systèmes différentiels

Exercice 1
Résoudre sur $I = \mathbb{R}$ l’équation $(\mathcal{H})$ : $X' = A(t) X$ avec $A(t) =\begin {pmatrix} 1 & - 2 t \\ 2 t & 1 \end{pmatrix}$

Exercice 2
Résoudre le système $X' = A X$ avec $A = \begin {pmatrix} - 5 &6&12\\4&-3&-8\\-4&4&9 \end{pmatrix}$ .

Exercice 3
Solutions réelles de $X' = A X$ avec $A = \begin {pmatrix} - 1 &1&0\\-1&0&1\\1&0&-1 \end{pmatrix}$ .

Exercice 4
Solutions réelles de $x'' = y - x' + y'$ et $y'' = x - x' + y'$

2. Résolution d’équations du premier ordre

Exercice 1 Mines Ponts PC

Résoudre l’équation différentielle $y'(x) = x\, y(- x)$

Exercice 2 Centrale PSI
Soit $(\mathcal{E})$ l’équation différentielle : $- (1 - x)\ln(1 - x)y' + y = 1 - x$ .

Question 1
Déterminer une relation de récurrence satisfaite par les coefficients d’une série entière $\sum a_n \, x^n$ dont la somme satisfait $(\mathcal{E})$ au voisinage de 0.
Question 2
Montrer que $\displaystyle \frac{- 1} {n + 1} \leq a_n \leq 0$ pour $n \geq 1$ ; minorer alors le rayon de convergence de $\sum a_n \, x^n$ .
Question 3
Exprimer à l’aide des fonctions élémentaires la solution trouvée dans la question 1.

3. Résolution d’équations d’ordre supérieur ou égal à 2

Exercice 1. CCP PC 2018
On considère l’équation différentielle $(\mathcal{H})$ : $y ^{(3)} = y$ .

Question 1
Montrer que $f$ vérifie $(\mathcal{H})$ ssi il existe $\lambda \in \mathbb{R }$ tel que $\forall \, x \in \mathbb{R},\, f ''(x) + f'(x) + f(x) = \lambda \, \textrm{e}^{ x}$ .

Question 2
Résoudre l’équation $(\mathcal{H})$ .

Exercice 2 MinesPOnts PC

L’équation différentielle $\quad \quad y'' + 4y = t\, \cos t$ possède-t-elle des solutions bornées sur $\mathbb{R}$ ?

Exercice 3 CCP PC 2018
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $y''(x) + y(x) = y(0)\cos(x)$ .

Exercice 4
Résoudre $\quad (\mathcal{E}) \; (t^2 + 1) x'' - 2 t x' + 2 x = 0$ en cherchant une solution polynomiale.

Exercice 5
Résoudre, sur tout intervalle ne contenant pas $\pm 1$ , l’équation différentielle $(x^2 - 1) y'' - 2 x y' - (x^2 - 2 x - 1) y = 0$ en cherchant une solution de la forme $x \mapsto \textrm{e} ^{a\,x}$ .

Exercice 6 Mines Ponts MP 2018
On considère l’équation différentielle $\quad x^2 y'' - 4 x y' + (x^2 + 6)\, y = 0$ .

Question 1
Déterminer les solutions développables en série entière.

Question 2
Quelle est la dimension de l’espace des solutions sur $\mathbb{R}$ ?

Exercice 7
Résoudre sur $]0 , \, \pi[$ , l’équation $x''(t) + x(t) = \textrm{cotan} t$ .
Indication : quelle est la dérivée de $F : \displaystyle t \mapsto \ln \tan \left ( \frac {t } {2}\right )$ ?

4. Problèmes théoriques pour les équations d’ordre 1

Exercice 1
Soit $a$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et périodique de période 1. Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha$ tel que pour toute solution non nulle $f$ de $\quad \quad \quad \quad (\mathcal{E}) : y' = a(x)\, y$ l’application $F : x \mapsto \textrm{e} ^{ -\alpha \, x} \, f(x)$ soit périodique.

Exercice 2
Question 1
Soit $h$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ continue telle que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x) = 0$ . Montrer que toute solution de $y' + y = h$ admet $0$ pour limite en $+\infty$ .

Question 2
Soient $L \in \mathbb{R}$ et $f$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) + f '(x) = L$ , montrer que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = L$ .

5. Problèmes théoriques pour les équations d’ordre 2

Exercice 1 Mines Ponts MP 2018

Question 1 : lemme de Gronwall
Soit $y : [a\, ,b] \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ , $\varphi : [a,\, b] \to \mathbb{R }^+$ continue et $C \in \mathbb{R}$ tels que pour tout $x \in [a,\, b]$ , $\quad \quad y(x) \leq C + \int_a ^x \varphi (t)\, y(t)\, \textrm{d} \, t$

Question 2
On suppose $a$ impaire et $b$ paire. Montrer que la fonction $f$ solution de $(\mathcal{E})$ avec les conditions initiales $f(0) = 1$ et $f '(0) = 1$ est paire.
Montrer de même que la fonction $g$ solution de $(\mathcal{E})$ avec les conditions initiales $g(0) = 0$ et $g'(0) = 1$ est impaire.
En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de $(\mathcal{E})$ constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Question 3
On note $\mathcal{S}(\mathcal{E})$ l’ ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$ . On suppose que $\mathcal{S}(\mathcal{E})$ admet une base $(f , \,g)$ avec $f$ paire et $g$ impaire.
Montrer que $a$ est impaire et $b$ est paire.

Exercice 2 Centrale 2015
Soit $a \in C^1 (\mathbb{R}^+, \mathbb{R} )$ intégrable sur $\mathbb{R} ^+$ .

Question 1
A-t-on toujours $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} a(x) = 0$ ?

Question 2
Soit $f$ vérifiant sur $\mathbb{R} ^+$ : $\quad \quad y''(x) + (1 + a(x)) y(x) = 0$ .

Soit $g : x \to \mathbb{R} ^+$ , $x \mapsto f(x) + \int_0 ^x \sin(x - t)\, a(t) f(t) \, \textrm{d} \, t$ . Montrer que $g$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R} ^+$ puis que $g'' + g = 0$ .

Question 3
Montrer qu’il existe $c \in \mathbb{R} ^+$ tel que pour tout $x\in \mathbb{R} ^+$ , $\quad \vert f(x) \vert \leq c + \int_0 ^x \, \, \vert a(t) \vert \, \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \, t$ .

Question 4
Montrer que toutes les solutions sur $\mathbb{R} ^+$ de $y'' + (1 + a(x) ) \,y = 0$ sont bornées.

Exercice 3 TPE
Soit l’équation différentielle $\quad \quad (\mathcal{E}) : y'' + f(x) y = 0$ , où $f$ est continue et intégrable sur $\mathbb{R}^+$ .

question 1
Montrer que si $y_1$ et $y_2$ sont solutions de $(\mathcal{E})$ , $y'_1 \, y_2 - y_1\, y'_2$ est constante.

Question 2
Montrer que si $y$ est une solution de $(\mathcal{E})$ bornée sur $\mathbb{R}^+$ , $y'(x)$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $+ \infty$ , puis montrer que cette limite est nulle.

Question 3
Montrer que $(\mathcal{E})$ admet une solution non bornée.

Exercice 4

MinesPonts MP 2018 (PC 2014)
Soient $a,\, b : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continues et $(\mathcal{E})$ l’équation différentielle $\quad \quad y'' = a(t) y' + b(t) y$ .

Calculer pour deux solutions $f,\, g$ de $(\mathcal{E})$ la quantité $W = f\, g' - f' \, g.$

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1. Résolution d’une équation linéaire scalaire d’ordre 1

1.1. Résolution de l’équation différentielle

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1.2. Consignes de rédaction sur les équations différentielles

1.3. Raccordement de solutions d’une équation différentielle

2- Équation différentielle linéaire vectorielle du premier ordre

2.1. Première forme

2.2. Deuxième forme

2.3. Résultats généraux

2.4. Variation des constantes

2.5. Quelques pistes de résolution

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6. Résolution d’équations linaires scalaires du second ordre

6.1. Théorème de Cauchy

6.2. Équation homogène

6.3. Consignes de rédaction (cas de fonctions à valeurs réelles)

6.4. Raccordements de solutions d’une équation différentielle

7. Équation linéaire du second ordre à coefficient constants

8. Quelques autres méthodes de résolutions d’équations différentielles scalaires du second ordre

8.1. Par changement de fonction inconnue

8.2. Méthode de Lagrange pour les équations différentielles

8.3. Par utilisation d’une série entière

8.4. Par changement de variable pour une équation linéaire du second ordre.

8.6. En cherchant une solution particulière sous la forme d’une fonction polynôme

8.7. Méthode de la variation des constantes

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