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Intégration sur un intervalle quelconque en Maths Spé

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.9 (1049 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés sur Intégration sur un intervalle quelconque

1. Convergence d’intégrales

Exercice 1
Montrer que $f \, : \, t \mapsto {\ln(\cos t) }$ est intégrable sur $[0 ,\, \pi/2[$

Corrigé de l’exercice 1 :

$f$ est continue sur

$[0 , \, \pi/2[$ .
On utilise

$\displaystyle \sqrt {\frac {\pi} 2 -t } \underset {t \to \pi/2} \sim \sqrt {\sin \left (\frac {\pi} 2 - t \right ) }$

$\displaystyle \sqrt {\frac {\pi} 2 -t } f(t) \underset {t \to \pi/2} \sim \sqrt {\cos(t)}\, \ln(\cos(t))$ .

$\displaystyle \lim _{t\to \pi/2} \,\sqrt{\pi/2 - t} \; f(t) = 0$ en utilisant

$\displaystyle \lim_{u\to 0} \sqrt{u} \, \ln(u) = 0$ donc

$\quad \quad \quad \displaystyle f(t) \underset {t \to \pi/2} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {\sqrt{\pi/2 - t}} \right )$ .
La fonction

$\displaystyle t \mapsto \frac 1 {\sqrt{\pi/2 - t}}$ est intégrable sur

$[0 ,\, \pi/2[$ ,

$f$ est intégrable sur

$[0 , \, \pi/2[$ par domination.

Exercice 2
Étude de l’intégrabilité selon le réel $a$ de $\displaystyle f\, : \, \mapsto \frac {a +\textrm{Arctan}(t)} {1 + t}$ sur $[0 , + \infty[$ .

Corrigé de l’exercice 2 :

$f$ est continue sur $[0 , + \infty[$ . Au voisinage de $+\infty$ ,
$\displaystyle f(t)= \frac {a + \pi/2 - \textrm{Arctan} (1/t)} {t(1 + 1/t)}$
$\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty} { = } \frac 1 t \, \left ( \frac {\pi} 2 + a - \frac 1 t + \textrm{o} \left ( \frac 1 t \right ) \right ) \,$
$\displaystyle \times \, \left ( 1 - \frac 1 t + \textrm{o} \left ( \frac 1 t \right ) \right )$
$\displaystyle f(t) \underset {t \to \infty} { = } \frac 1 t \left ( \frac {\pi} 2 + a - \frac {1 + a + \pi/ 2} t + \textrm{o} \left (\frac 1 t \right ) \right)$
$\displaystyle f(t) \underset {t \to \infty} { = } \frac {\pi+ 2a} {2t} - \frac {1 + a + \pi/ 2} {t ^2} + \textrm{o} \left (\frac 1 {t^2} \right )$

$\ast$ si $a \neq - \pi/2$ , $\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty} { \sim } \frac {\lambda } {t}$
donc $f$ est du signe de $\lambda$ au voisinage de $+\infty$ et comme $\displaystyle t \mapsto \frac {\lambda } {t}$ n’est pas intégrable sur $[1 , \, +\infty[$ , $f$ n’est pas intégrable sur $[1 , \, +\infty[$ .

$\ast$ si $a = - \pi/2$ , $\displaystyle \vert f(t) \vert \underset {t \to \infty} { \sim } \frac 1 {t^2}$ donc par comparaison par équivalence, $f$ est intégrable sur $[1 , \, +\infty[$ , donc $f$ est intégrable sur $[0 , \, +\infty[$ .

Exercice 3
Montrer que $\displaystyle f\, :\, t \mapsto \frac {\sqrt{ - \ln(t)}} {t^a}$ est intégrable sur $]0 , \,1/2]$ ssi $a < 1$

Corrigé de l’exercice 3 :

$f$ est continue sur $]0 , \, 1/2]$ .
$\bullet$ Si $a < 1$ , soit $\gamma = (1 + a)/2$ , $\displaystyle \lim _{t\to 0} \, t^{\gamma} \, f(t) = \lim _{t\to 0} \, t^{(1 - a )/2 } {(- \ln(t))^{1/2} } = 0$ car $1 -a > 0$ donc $\displaystyle f(t) \underset {t \to 0} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {t ^{\gamma}} \right )$ . La fonction $\displaystyle t \mapsto \frac 1 {t^{\gamma}}$ est intégrable sur $]0 ,\, 1]$ , donc, par domination, $f$ est intégrable sur $]0 , \, 1/2]$ .

$\bullet$ Si $a \geq 1$ , pour $t \in \;]0 ,\, \textrm {e} ^{ - 1} ] , - \ln(t) \geq 1$ et $f(t)\geq 1/t^a$ ; par minoration par une fonction non intégrable sur $]0 , 1/2]$ , $f$ n’est pas intégrable sur $]0 , 1/2]$ .

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2. D’autres convergences et aussi des calculs d’intégrales

Exercice 4
Convergence de $\quad \quad \quad \displaystyle \int_0^{+\infty} \ln \left ( 1 + \frac {\sin(t)} {t } \right ) \, \textrm{d} \, t$ .

Corrigé de l’exercice 4 :

$\bullet$ La fonction $g$ : $\displaystyle t \mapsto \frac {\sin(t)} {t }$ et $0 \mapsto 1$ est continue sur $[0 , + \infty[$ .
Si $t \in \; ]0 , \pi], \; t + \sin(t) > 0$ , si $t > \pi , \; t + \sin(t) > \pi\, -\, 1 > 0$ .
Donc pour tout $t > 0,\; t + \sin(t) > 0$ , alors $f(t)$ est définie.
La fonction $f : t \mapsto \ln(1 + g(t))$ est continue sur $[0 , + \infty [$ .

$\bullet$ En utilisant le développement limité de $\ln(1 + u)$ à l′ordre 2 au voisinage de $0$ ( $g$ tend vers $0$ en $+\infty$ ),
$\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty}{ = } g(t) - \frac {g^2(t) } 2 + \textrm {o} (g^2(t))$

On a donc écrit $f(t) = g(t) - h(t)$ avec $\displaystyle h(t) \underset {t \to +\infty}{ = } \frac {g^2(t) } 2 + \textrm {o} (g^2(t))$ $\displaystyle h(t) \underset {t \to +\infty}{ \sim } \frac {g^2(t) } 2$ .
On sait (exercice classique) que l’intégrale $\int_1^{+\infty} g(t) \, \textrm{d} \, t$ converge.
Comme $\displaystyle g^2(t) \leq \frac 1 {t^2}\;$ , $g^2$ est intégrable sur $[1 , +\infty[$ , alors $h$ l’est aussi, donc l’intégrale $\int _1 ^{+\infty} h(t) \, \textrm {d} \, t$ converge.
On en déduit par différence de deux intégrales convergentes que l’intégrale $\int_1^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t$ converge.
Donc l’intégrale $\int_0^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t$ converge.

Exercice 5
Convergence et calcul de $\quad \quad \quad \quad \displaystyle \int_0 ^1 \frac {\ln(t)} {\sqrt{1 - t}} \,\textrm{d} \, t$ .

Corrigé de l’exercice 5 :

$\bullet$ Soit $\displaystyle f\, :\, t \mapsto \frac {\ln(t)} {\sqrt{1 - t}}$ , $f$ est continue sur $]0 ,_, 1[$ .
$\ast$ $f(t) \underset {t \to 0} \sim \ln(t)$ , $t \mapsto \ln(t)$ est intégrable sur $]0 , \,1]$ , donc $f$ est intégrable sur $]0 , \, 1/2]$ par comparaison par équivalence de fonctions à valeurs négatives ou nulles.
$\ast$ $\displaystyle f(t) \underset {t \to 1} \sim \frac {t - 1} {\sqrt{1 - t}} \underset {t \to 1} \sim - {\sqrt{1 - t}}$ , comme $f$ admet 0 pour limite en 1, on prolonge $f$ par continuité en 1 en posant $f (1) = 0$ et $f$ est intégrable sur $[1/2 ,\, 1]$ comme fonction continue.
On a prouvé que $f$ est intégrable sur $]0 , \, 1[$ .

$\bullet$ La fonction
$\varphi \, :\; ]0 , \, 1[ \rightarrow ]0 , \, 1[$ , $u \mapsto 1 - u^2$
est une bijection strictement décroissante et de classe $C^1$ et la fonction $f$ est intégrable sur $]0 ,\, 1[$ . Par le théorème de changement de variable,
$\displaystyle I = \int_0 ^1 \frac {\ln(t)} {\sqrt{1 - t}} \,\textrm{d} \, t$ $\displaystyle I = \int_0 ^1 \frac {\ln(1 - u^2 )} {\sqrt{u^2 }} \vert - 2 u \vert \,\textrm{d} \, u$
$I = 2 \int_0 ^1 {\ln(1 - u^2 )} \,\textrm{d} \, u$
en utilisant $\quad \ln(1 - u^2 ) = \ln(1 - u ) + \ln(1 + u )$
et $t \mapsto t \ln(t) - t$ est une primitive de $t \mapsto \ln(t)$ ,
donc $u \mapsto - (1 - u) \ln(1 - u ) - u$ est une primitive sur $[0 ,\, 1[$ de $u \mapsto \ln(1 - u)$
et $u \mapsto (1 + u) \ln(1 + u ) - u$ est une primitive sur $[0 , \,1]$ de $u \mapsto \ln(1 +u )$
$I = 2 \left [ - (1 - u) \ln(1 - u) \right] _0 ^1$
$+2 \left [ (1 + u) \ln(1 + u) - 2\, u \right] _0^1$
donc $I = 4 \,\ln(2) - 4$
car $\displaystyle \lim _{u \to 1} (1 - u) \ln(1 - u) = 0$ .

Exercice 6
Convergence et valeur de $\quad \quad \quad \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t$ .

Corrigé de l’exercice 6 :

La fonction $\displaystyle f : t \mapsto \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }$ est continue, positive et paire.
$\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty} \sim \frac {\textrm{e} ^t /2} {\textrm{e} ^{2t} /2} \underset {t \to +\infty} \sim {\textrm{e} ^{- t}}$ , donc par comparaison par équivalence à une fonction intégrable sur $\mathbb{R}^+$ , $f$ l’est aussi.
Par parité, $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ .

$2\, \textrm{ch} (2 t) = \textrm {e }^{2 t} + \textrm {e} ^{- 2 t} = (\textrm {e} ^{t} - \textrm {e} ^{ - t}) ^2 + 2$
donc $\textrm{ch} (2 t)= 2 \, \textrm{sh}^2 ( t) + 1$ .
On doit donc calculer $I = \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {2\, \textrm{sh}^2 (t) + 1}\, \textrm{d} \, t$ .

La fonction $\varphi : t \mapsto \textrm{sh} (t)$ définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ de classe $C^1$ strictement croissante et la fonction
continue $t \mapsto \displaystyle \frac 1 {2 t ^2 + 1}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ .
On remarque que
$\displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t = \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\varphi'(t)} {2 \varphi^2(t) + 1 } \, \textrm{d} \, t$
On applique le théorème de changement de variable,
$\displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t = \displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {1} {2 u^2 + 1 } \, \textrm{d} \, u$ .
donc $\displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t = \left [ \frac { \textrm {Arctan} \left (\sqrt {2} \; u \right )} {\sqrt{2}} \right] _ { - \infty} ^{+ \infty}$

$\displaystyle \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {\textrm{ch} (t) } {\textrm{ch} (2t) }\, \textrm{d} \, t = \frac {\pi} {\sqrt{2}}$ .

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3. Comparaison d’une intégrale avec une série

Exercice 7
Si $f$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R }^+,$ décroissante et à valeurs positives ou nulles, lorsque $f$ est intégrable sur $\mathbb{R }^+ ,$ encadrer à l’aide de deux intégrales $\displaystyle \sum _{k = n+1}^{+\infty} f(k).$

Corrigé de l’exercice 7 :

Comme

$f$ est décroissante,

$\forall \, k \in \mathbb{N} ,\; \forall\, t \in [k ,\, k + 1] ,$

$\quad \quad \quad f(k + 1) \leq f(t) \leq f(k)$ .
En intégrant sur

$[k ,\, k + 1]$ , on obtient :

$\quad \quad f(k + 1) \leq \int_k^{k + 1} f(t) \, \textrm {d} \, t \leq f(k)$ .
Donc si

$k \geq 1$ ,

$\quad \int_k^{k + 1} f(t) \, \textrm {d} \, t \leq f(k) \leq \int_{k - 1}^{k} f(t) \, \textrm {d} \, t$ .
puis en sommant si

$n + 1 \leq k \leq N$ , par la relation de Chasles :

$\displaystyle \int_{n + 1} ^{N + 1} f(t) \, \textrm {d} \, t \leq \sum _{k = n + 1} ^N f(k) \leq \int_{n }^{N} f(t) \, \textrm {d} \, t$ .
On peut passer à la limite lorsque

$N$ tend vers

$+\infty$ , puisque l’intégrale et la série convergent, et on obtient :

$\displaystyle \int_{n + 1} ^{+\infty} f(t) \, \textrm {d} \, t \leq \sum _{k = n + 1} ^{+\infty} f(k)$

$\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \leq \int_{n }^{+\infty} f(t) \, \textrm {d} \, t$ .👍 On note

$F(n) = \int_n^{+\infty} f(t)\, \textrm{d} \, t$ .

Lorsque $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac {F(n + 1)} {F(n)} = 1$ , une division par $F(n) > 0$ de l’encadrement précédent permet de dire que le reste $R_n$ est équivalent à $F(n)$ .
C’est le cas par exemple pour $\displaystyle f : t \mapsto \frac 1 {t ^\alpha}$ pour $\alpha > 1$ .

Exercice 8 MinesPonts PSI 2017.
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $]0 , + \infty[$ dans $\mathbb{C}$ .
Question 1
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*,$ $\int_n ^{n + 1} f(t) \, \textrm{d} \, t =$
$\quad \quad \quad f(n) + \int _n ^{n + 1} (n + 1 - t ) f'(t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 2
On suppose que $f'$ est intégrable sur $[1,+\infty[$ .
Montrer que la série $\sum f(n)$ converge si, et seulement si, la série de terme général $\int _n^{n + 1} f(t ) \, \textrm{d} \, t$ converge.

Question 3
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac {\sin(\ln(n))} n$ et l’intégrale $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac {\sin(\ln(t))} t \, \textrm{d} \, t$ sont de même nature.
Conclure.

Corrigé de l’exercice 8 :

Question 1 :

Par intégration par parties en utilisant les fonctions $f$ et $h\,: \, t \mapsto t - (n + 1)$ qui sont de classe $C^1$ sur $[1 , +\infty[$ ,
$\displaystyle \int_n ^{n + 1} f(t) \, \textrm{d} \, t = \left [ (t - n - 1) f(t) \right ]_n ^{n + 1}$
$\displaystyle - \int _n ^{n + 1} (t - n - 1) f'(t) \, \textrm{d} \, t$
soit $\int_n ^{n + 1} f(t) \, \textrm{d} \, t = f(n) \, +$
$\int _n ^{n + 1} (n + 1 - t ) f'(t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 2 :

La série de terme général $v _n = \int _n ^{n + 1} (n + 1 - t ) f'(t) \, \textrm{d} \, t$ vérifie $\vert v_n \vert \leq \int _n ^{n + 1} \vert f'(t) \vert \, \textrm{d} \, t$ donc est absolument convergente car pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , les sommes partielles de la série à termes positifs $\vert v_n \vert$ sont majorées par $\int_1 ^{+\infty} \vert f'(t) \vert \, \textrm{d} \, t$ .
En écrivant que $\int_n^{n + 1} f(t) \, \textrm{d} \, t = f(n) + v_n\,$ , on en déduit que $\sum f(n)$ converge ssi $\quad \quad \quad \quad \sum \int_n^{n + 1} f(t ) \, \textrm{d} \, t$ converge.

Question 3 :

La fonction

$\displaystyle f : t \mapsto \frac {\sin(\ln(t)} t$ est de classe

$C^1$ sur

$]0 , +\infty[$ et

$\displaystyle f'(t) = \frac {\cos(\ln(t)} {t^2} - \frac {\sin(\ln(t)} {t^2}$ vérifie

$\displaystyle \vert f '(t) \vert \leq \frac 2 {t^2}$ ,
donc

$f'$ est intégrable sur

$[1 , +\infty[$ .
On peut donc utiliser la question a).

$\sum f(n)$ converge ssi la suite de terme général

$I_n = \int_1 ^{n} f(t) \, \textrm {d} \, t$ converge.On note

$F(x) = \int_{1} ^x f(t) \, \textrm {d} \, t$ et

$n$ la partie entière de

$x$ ,

$\vert F(x) - F(n) \vert \leq \int_n ^{n + 1} \vert f(t)\vert \, \textrm {d} \, t$

$\displaystyle \vert F(x) - F(n) \vert \leq \int_n ^{n + 1} \frac 1 t \, \textrm {d}\, t\leq \frac 1 n$ .
On en déduit que

$F$ a une limite finie en

$+\infty$ ssi la suite

$(F(n))_n$ converge.Pour

$x > 1, F(x) = \left [ - \cos(\ln(t)) \right ]_1 ^x$

$F(x) = 1 - \cos (\ln(x))$ .
On note

$a_n = \textrm{e} ^{2 n \pi}$ et

$b_n = \textrm{e} ^{(2 n + 1) \pi}$ ,

$F(a_n) = 0$ et

$F(b_n) = 2$ , les suites

$(a_n)_n$ et

$(b_n)_n$ divergent vers

$+\infty$ et les suites constantes

$(F(a_n))_n$ et

$(F(b_n))_n$ convergent vers des limites différentes, donc

$F$ n’a pas de limite en

$+\infty$ .
Comme l’intégrale diverge, la série est divergente.

4. Fonctions définies par une intégrale

Exercice 9 Mines Ponts 2017 MP
Soit $f(x) = \int_x^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t$ .

Question 1
Justifier l’existence de $f(x)$ pour tout réel $x$ , trouver sa limite en $+ \infty$ , sa dérivée, un équivalent en $+ \infty$ .

Question 2
Montrer que $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}^ +$ et calculer son intégrale.

Corrigé de l’exercice 9 :

Question 1 :

La fonction $g : t \mapsto \textrm{e} ^{ - t ^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et vérifie $\quad \quad \forall\, t \geq 1, \; 0 \leq g(t) \leq \textrm{e} ^{ - t }$ ,
donc $g$ est intégrable sur $[1 , + \infty[$ , et alors $g$ est intégrable sur $[x ,+ \infty[$ pour tout réel $x$ .
En écrivant $f(x) = f(0) - \int_0^{x} \textrm{e} ^{ - t ^2} \textrm{d} \, t$ , on obtient : $f$ est de classe $C ^1$ sur $\mathbb{R}$ et $\quad \quad \quad f '(x) = - g(x) = - \textrm{e} ^{ - x^2}$ .
En utilisant cette relation, $f$ admet $0$ pour limite en $+ \infty$ .

On écrit si $x > 0$ , $\quad \quad \quad \displaystyle f(x) = \int_x^{+\infty} \frac 1 t \, . \, t \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t$

Les fonctions $u : t \mapsto \frac 1 t$ et $v : t \mapsto - \frac 1 2 \textrm{e} ^{ - t ^2}$ sont de classe $C^1$ sur $[x , + \infty[$ , $u\, v$ admet $\displaystyle \frac {- 1} {2\, x} \textrm{e} ^{ - x^2}$ pour limite en $x$ et $0$ pour limite en $+ \infty$ , par le théorème d’intégration par parties,
$f(x) = \displaystyle \frac 1 {2 x} \textrm{e} ^{- x^2} - \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2 \, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t$ .

$\displaystyle \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2\, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t = \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2 \, t^3 } ( t \, \textrm{e} ^{ - t ^2}) \, \textrm{d} \, t$
Si $t \geq x , \; 1/t^3 \leq 1/x^3$ ,
$\displaystyle \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2\, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t \leq \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2 \,x^3 } ( t \, \textrm{e} ^{ - t ^2}) \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2 \, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t \leq \frac 1 {2\, x^3 } \left [ - \frac 1 2 \, \textrm{e} ^{ - t ^2} \right] _ x ^{+\infty}$
$\quad \displaystyle 0 \leq \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2\, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t \leq \frac {\textrm{e} ^{ - x^2} } {4 \, x^3}$
donc $\displaystyle \int_ {x} ^{+\infty} \frac 1 {2\, t^2} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t \underset {x\to +\infty} { = } \textrm{o} \left ( \frac 1 {2 \, x} \textrm{e} ^{- x^2} \right )$
puis $f(x) \displaystyle \underset {x\to +\infty} { = } \frac 1 {2 x} \textrm{e} ^{- x^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x} \textrm{e} ^{- x^2} \right )$
et $f(x) \displaystyle \underset {x\to +\infty} { \sim } \frac 1 {2 x} \textrm{e} ^{- x^2}$ .

Question 2 :

La fonction $f$ est continue et équivalente en $+\infty$ à une fonction intégrable car $\displaystyle \quad \quad \forall \, x \geq 1, \; 0 \leq \frac 1 {2 x} \textrm{e} ^{- x^2}\leq \textrm{e} ^{ - x}$ .
Par intégration par parties, les fonctions $f$ et $g : t \mapsto t$ étant de classe $C^1$ , la fonction $f\, g'$ est intégrable sur $]0 , + \infty[$ , $\displaystyle \lim_{x\to 0} xf(x) = 0$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} xf(x) = 0$ , en utilisant l’ équivalent de $f$ obtenu en b),
$\displaystyle \int _0^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \,t = \left [ t f(t) \right ] _0^{+\infty} - \int _0^{+\infty} t f' (t) \, \textrm{d} \,t$
$\displaystyle \int _0^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \,t = \int _0^{+\infty} \textrm{e}^{- t^2 } \, \textrm{d} \,t = \frac { \sqrt{\pi }} 2$ .

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