Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Courbes Paramétrées – PT
Résumé de cours Exercices Annales
Résumé de cours, méthodes et exercices – courbes paramétrées
Il y a une partie méthodes, partie avec 4 exemples de courbes paramétrées significatifs et un chapitre d’exercices sur les coniques.
Plan de cette partie méthode
1. Méthodes courbes paramétrées planes
2. Courbe donnée par une équation cartésienne.
3. Coniques
1. Courbes paramétrées planes
On suppose que est un repère orthonormal de (en général, c’est le repère canonique).
1.1. Domaine de définition et restriction du domaine d’étude
On cherche le domaine de définition de la fonction d’une variable réelle à valeurs dans , éventuellement on prolonge par continuité.
Lorsque est une réunion d’intervalles, on parle de la courbe paramétrée .
Dans la suite, on note :
,
et si , ;
la courbe représentative c’est à dire l’ensemble des points lorsque décrit .
Il y a lieu de restreindre le domaine d’étude dans les cas suivants :
a) utilisation d’une période :
si où et : on étudie sur ou sur .
b) utilisation de la parité : le domaine étant symétrique par rapport à :
si , ,
.
On étudie sur sur
(la courbe est décrite deux fois).
si ,
et sont symétriques par rapport à .
On étudie sur et on complète par symétrie par rapport à .
si ,
et sont symétriques par rapport à la droite .
On étudie sur et on complète par symétrie par rapport à .
si
et sont symétriques par rapport à la droite
On étudie sur et on complète par symétrie par rapport à .
c) il y a d’autres restrictions possibles.
Par exemple, si l’on doit étudier sur et si l’on peut trouver et égaux à tels que et , il suffit d’étudier sur et de compléter la courbe par la symétrie convenable
(en effet décrit lorsque décrit ).
👍 Ne pas hésiter à faire un dessin pour placer et
1.2. Calcul de , , signe, sens de variation de et et début du tableau de variations
👍 Il est conseillé de placer les lignes donnant le sens de variation de et l’une sous l’autre.
1.3. Étude locale de l’arc paramétré
On suppose que dans le repère : .
1. On étudie les points où une seule des dérivées s’annule.
Si et , la tangente en est horizontale
Si et , la tangente en est verticale.
Si le point est régulier (soit ), une équation de la tangente en est .
2. On étudie les points stationnaires (ou singuliers).
Si l’on se limite à déterminer la tangente en , on cherche le plus petit entier tel que soit non nul.
Dans ce cas, la tangente en à est la droite passant par et de vecteur directeur .
👍 Remarque : dans le cas d’un point stationnaire de paramètre , on peut aussi chercher la limite de la pente de la droite lorsque , c’est à dire .
Si la limite est un réel , la droite passant par et de pente est tangente à en .
Si la limite est , la tangente en à est verticale.
Si l’on veut étudier complètement le point stationnaire, il faut déterminer les entiers (dits entiers caractéristiques) et tels que
est le plus petit entier supérieur ou égal à 1 tel que soit non nul et le plus petit entier strictement supérieur à tel que ne soit pas colinéaire à .
Pour cela on a le choix entre :
le calcul des dérivées successives de et en .
l’utilisation des développements limités de et en à un ordre suffisant (3 convient dans la plupart des cas), pour cela on se ramène au voisinage de 0 en posant .
Grâce à la formule de Taylor-Young, on obtient les dérivées successives de et en .
En notant , on a donc obtenu les dérivées successives de en .
Dans le repère , les coordonnées de
vérifient et ,
est du signe de et du signe de au voisinage de .
Démonstration
Pour tout tel que (si de tels existent) , est colinéaire à , donc s’écrit
avec .
Par la formule de Taylor-Young :
.
En notant
on peut donc écrire au voisinage de
avec et .
Dans le repère , les coordonnées de sont :
et
donc et
1.4. Branches infinies
def1 : On dit que a une branche infinie quand tend vers lorsque
def 2 : Si et s’il existe une droite telle que
,
on dit que la droite est asymptote à l’arc .
👍 En pratique, on a une branche infinie quand l’une au moins des fonctions , tend vers lorsque tend vers .
Cas usuels de branche infinie :
Cas 1 :
et ,
la droite d’équation est asymptote à .
Cas 2 :
et ,
la droite d’équation est asymptote à .
Cas 3 :
et ,
on étudie la limite en de .
sous-cas 1 : , admet une branche parabolique de direction .
sous-cas 2 : , admet une branche parabolique de direction .
sous-cas 3 : et , admet une branche parabolique de direction .
sous-cas 4 : et ,
la droite d’équation est asymptote à . Le signe de au voisinage de donne la position de par rapport à
… La courbe est au dessus de lorsque
… La courbe est en dessous de lorsque .
1.5. Tracé :
Commencer par placer les asymptotes, les points particuliers et les tangentes.
Se positionner (au dessus / en dessous, à droite / à gauche) pour les asymptotes horizontales suivant les valeurs de .
Se positionner (à droite / à gauche, en haut / en bas) pour les asymptotes verticales suivant les valeurs de .
Se positionner (au dessus / en dessous), en faisant en plus attention au signe de et pour les asymptotes obliques.
Si la calculatrice est utilisable, on programme les fonctions et pour calculer les coordonnées d’autres points.
1.6. Points doubles
Si l’on s’aperçoit après tracé qu’il y a des points doubles, il faut les déterminer.
Cas 1 : et sont des fractions rationnelles.
On cherche tels que et .
Faire le produit en croix. Simplifier par et exprimer les équations obtenues en fonction de et .
Déterminer et (il est inutile de chercher et sauf si l’énoncé le demande).
Calculer les coordonnées du point double en utilisant le fait que vérifie (calcul de inutile, remplacer par ).
Cas 2 : et sont des lignes trigonométriques.
On cherche d’abord à encadrer les nombres et .
On résout les équations trigonométriques ce qui fait en général intervenir une ou plusieurs constantes de . On utilise l’encadrement de et pour obtenir les valeurs nécessaires de (une ou plusieurs valeurs selon les cas) et on termine la résolution.
Il faudra éventuellement corriger le tracé obtenu précédemment.
Un autre exemple est présenté avec la deuxième courbe de la tâche suivante.
Exemple
Soit la courbe paramétrée définie par et .
Déterminer son point double.
Corrigés :
On cherche tel que et .
Première équation
en simplifiant par
En notant et , on obtient une première condition
Deuxième équation
en simplifiant par
On obtient une deuxième condition :
Les relations et donnent
vérifie soit
et
Le point double a pour coordonnées .
2. Courbe donnée par une équation cartésienne
Si est de classe sur l’ouvert de , on note la courbe d’équation cartésienne .
Soit tel que . Le point est dit régulier.
La tangente en à est la droite passant par et orthogonale à .
Elle a pour équation :
Exercice
Reconnaître la courbe d’équation .
Déterminer de deux façons différentes une équation de la tangente à au point de cordonnées .
Corrigé
.
est le cercle de centre et de rayon . Première méthode :
est la courbe d’équation avec , qui est une fonction de classe sur . est non nul car ssi .
Comme , tout point de est régulier.
La tangente à en est la droite passant par et orthogonale à
Elle a pour équation :
ssi
ssi .
Deuxième méthode
On peut paramétrer le cercle par , .
Si est le point de paramètre , la tangente en est dirigée par le vecteur et pour équation
soit
ssi
puis en multipliant l’équation par 2 :
ssi
car et .
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3. Equations réduites des coniques
def : On appelle conique toute courbe d’équation :
où .
3.1. Ellipse
d’équation si ,
Remarque : dans le cas où , il faut échanger les axes et .
La courbe admet
pour centre de symétrie.
et pour axes de symétrie.
et sont les sommets du grand axe
Le segment est appelé demi-grand axe de
et sont les sommets du petit axe.
Une représentation paramétrique de est définie par
.
La tangente en a pour équation .
3.2. Hyperbole
d’équation si et ,
Remarque : dans le cas d’une équation de la forme , il faut échanger les axes et .
La courbe admet
pour centre de symétrie.
et pour axes de symétrie.
et sont les sommets du grand axe
Les droites d’équation et sont asymptotes à l’hyperbole.
L’hyperbole est dite équilatère lorsque , dans ce cas les asymptotes sont orthogonales.
👍 : on retrouve les équations des asymptotes en résolvant
.
Une représentation paramétrique de est définie par
.
👍 On retrouve cette représentation paramétrique en écrivant l’équation de sous la forme
et en posant .
On obtient une représentation paramétrique de la moitié de l’hyperbole située dans le demi plan (resp. ) par :
,
(resp. ).
3.3. Parabole
d’équation si ,
est appelé paramètre de la parabole.
La courbe admet
pour axe de symétrie.
est le sommet de et est la tangente en à .
Une représentation paramétrique de est définie par :
ou aussi .
La tangente en a pour équation .
4. Obtenir une équation réduite
Conique d’équation :
où .
L’équation d’une conique est la somme
d’une forme quadratique ,
d’une partie linéaire
et d’une constante .
4.1. cas où
M1 Si et , est selon les valeurs des coefficients
un point
un cercle.
Démonstration
a pour équation :
ssi
ssi .
avec
donc Si , est un cercle de centre éventuellement réduit à un point
Si , .
M2. Si et , écrire l’équation sous la forme avec . Si , on obtient une ellipse si et une hyperbole si . Si , on obtient selon le cas , un point ou deux droites concourantes.
M3. Si , écrire l’équation sous la forme . si , on obtient une parabole. si , on obtient , une droite ou deux droites distinctes.
M3bis Si , raisonner de même en échangeant et .
4.2. Cas général
Notations : Soit et et , l’équation de s’écrit :
⚠️ à bien écrire comme terme hors diagonale de , la moitié du coefficient de .
4.2.2. Centre de symétrie si est inversible. Soit la courbe du second degré d’équation avec .
Si est inversible, admet un unique centre de symétrie où est le seul point critique de (c’est à dire vérifie ou encore ).
Dans le repère , a pour équation .
4.2.3. Utilisation de la réduction
La matrice symétrique réelle admet deux valeurs propres réelles et soit une base orthonormale de vecteurs propres. Dans le repère , a pour équation avec où est la matrice de passage de la base canonique à la base .
👍 Si l’on a déterminé vecteur propre unitaire associé à la valeur propre de coordonnées , le vecteur de coordonnées , est un vecteur propre unitaire associé à l’autre valeur propre de .
a pour équation
Si , on choisit . Alors car .
Dans le repère , l’équation est
ssi .
si , on obtient une équation de la forme donc deux droites, un point ou .
si , on obtient une équation de la forme par changement d’origine.
Exercices sur les Courbes Paramétrées en maths spé
4 courbes sont étudiées dans ce chapitre :
1. L’astroïde où , quelques propriétés géométriques et la longueur (en PSI).
2. .(avec un point double)
3. et (avec un point double)
4. ; (un point stationnaire et une recherche de parabole asymptote)
1. Exemple 1 : astroïde
où .
Question 1
Déterminer le domaine d’étude de la courbe paramétrée
On étudie sur avec
Question 2
Etudier les variations de et et donner le tableau de variation*
Question 3
Tracer le graphe
Question 4
Soit un point de l’astroïde n’appartenant pas aux axes.
La tangente en à coupe en et en .
Calculer la longueur du segment . Est-elle contante ?
Question 5
Soit un cercle de centre et de rayon .
Si est un point de différent des axes, on note sa projection sur et sa projection sur . Soit la projection orthogonale de sur . Calculer les coordonnées de .
Lorsque est un point des axes, on note .
Question 6
Calculer la longueur de l’astroide.
2. Exemple 2
.
Question 1
Déterminer le domaine de définition et restreindre le domaine d’étude.
Question 2
Calculer les dérivées, préciser les tangentes aux points remarquables.
Donner le tableau de variation.
Question 3
Tracer la courbe.
Question 4
Déterminer les points doubles.
3. Exemple 3
Soit la courbe paramétrée définie par et .
Question 1
Déterminer le domaine de définition.
Question 2
Etudier les dérivées, les tangentes aux points particulier s’il y a lieu et donner le tableau de variation
Question 3
Etudier les banches infinies de la courbe
Question 4
Etudier le point limite.
Question 6
Tracer le graphe.
Question 7
Etudier le point double
4. Exemple 4
Soit la courbe paramétrée définie par :
; .
Question 1.
Déterminer le domaine de définition, calculer les dérivées, préciser les tangentes aux points réguliers particuliers et donner le tableau de variation.
Question 2
Etudier le point stationnaire
Question 3
Etudier les branches infinies de .
Question 4
Montrer qu’il existe une parabole asymptote
Question 5
Représenter , ses asymptotes et la parabole asymptote.
Exercices sur les Coniques en maths spé
Plan
1. Réduction d’une conique : exemple 1
2. Réduction d’une conique : exemple 2
3. Réduction d’une conique : exemple 3
4. Réduction d’une conique : exemple 4
5. Parabole et géométrie
6. Construction de l’ellipse point par point.
1. Exemple 1 de réduction d’une conique
Question 1
Caractériser la conique d’équation
et la représenter.
Question 2
Déterminer les points de où la tangente est parallèle à la droite d’équation .
2. Exemple 2
Caractéristiques de la conique et représentation.
3. Exemple 3
Caractéristiques de la conique
et représentation.
4. Exemple 4
Caractéristiques de la conique
et représentation.
5. Parabole et géométrie
Soit , et la droite d’équation .
Question 1
L’ensemble des points équidistants de et est une parabole.
Question 2
Soit le point de d’ordonnée égale à et la tangente en à .
Soit la projection orthogonale de sur la droite .
La tangente en est la médiatrice du segment et la bissectrice de l’angle .
Question 3
On suppose que . On note le point d’intersection de la tangente en et de la droite .
Le triangle est rectangle en .
6. Construction de l’ellipse
Soit l’ellipse d’équation et le point de coordonnées où .
Trouver le point d’intersection de la tangente en à l’ellipse et de la tangente en au cercle de centre et de rayon .
En déduire une construction de et de la tangente en à .
Annales sur les courbes paramétrées en maths spé
Rendez-vous sur les annales de maths spé en mathématiques pour vous tester en conditions réelles.
Si certains exercices des annales vous paraissent trop compliqués, jetez un œil aux chapitres de maths qui vous posent problème grâce à l’ensemble des cours en ligne de maths en maths spé. Quelques exemples de cours à étudier :