Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Équations différentielles linéaires en MP, PC, PSI et PT
Résumé de cours Exercices Annales
Résumé de cours et méthodes – Équations différentielles linéaires
Plan
1. Résolution d’une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1 (paragraphe de révision du programme de première année).
2. Équation différentielle linéaire vectorielle du premier ordre
3. Équation où
4. Résolution de où et .5. Transformer une équation différentielle scalaire d’ordre en une équation différentielle vectorielle d’ordre 1
6. Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2
7. Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants (Programme de maths sup)
8. Quelques autres méthodes de résolutions d’équations différentielles linéaires du second ordre.
8.1. Par changement de fonction inconnue
8.2. Méthode de Lagrange
8.3. Par utilisation d’une série entière
8.4. Par changement de variable
8.5. Cas des équations d’Euler
8.6. En cherchant une solution particulière sous la forme d’une fonction polynôme
8.7. Méthode de la variation des constantes (avec indications de l’énoncé) .
1. Résolution d’une équation linéaire scalaire d’ordre 1
1.1. Résolution de l’équation différentielle
où et sont des fonctions continues sur un intervalle à valeurs dans .
Première étape.
On se place sur un intervalle sur lequel sont continues et l’application ne s’annule pas et on utilise l’équation normalisée (après division par )
et l’équation sans second membre associée .
Si et si la fonction s’annule sur en un unique point , on sera amené à poser et et à résoudre l’équation sur et sur .
On gagne du temps s’il est possible de résoudre sur où , sans être obligé de faire deux études différentes (l’une sur , l’autre sur ).
À la fin, il faudra donner l’ensemble des solutions sur puis l’ensemble des solutions sur .
1.1.1. Résolution de l’équation sans second membre .
On détermine une primitive de sur l’intervalle .
La solution générale de est donnée par : où .
Cas particulier :
Si , l’ensemble des solutions de sur est l’ensemble des fonctions , où .
Dans le cas où , une solution de est soit nulle sur , soit ne s’annule pas sur et garde alors un signe constant sur .
Donc lorsque la solution générale de s’écrit sous la forme où ,
comme la fonction ne s’annule pas sur , elle a un signe constant donc la solution générale de peut s’écrire ou , donc en résumé sous la forme où
On peut donc « supprimer » la valeur absolue.
1.1.2. Détermination d’une solution particulière de .
a) Elle peut être évidente.
b) Sinon, on utilise la méthode de variation de la constante.
Ayant trouvé comme solution de , , on note .
On écrit que est solution de sur Le terme en doit disparaître et on obtient :
est solution sur de .
En général, on peut déterminer une primitive de .
Si l’on ne sait pas déterminer une primitive de cette fonction à l’aide des fonctions usuelles, on introduit et on dit qu’il existe .
Dans ce cas, l’ensemble des solutions sur est l’ensemble des fonctions ,
où .
On termine en donnant l’ensemble des solutions, ou en cherchant la solution vérifiant la condition initiale donnée par l’énoncé.
1.1.3. Théorème de Cauchy-Lipschitz
Th : Si les fonctions et sont continues sur l’intervalle , pour tout , il existe une unique solution de sur vérifiant .
Elle est définie par : si , avec .
PROF DE MATHS PARTICULIER
Des cours de qualité et enseignants aguerris
Préparer des concours ou s'exercer
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
1.2. Consignes de rédaction sur les équations différentielles
a) Si nécessaire, écrire l’équation différentielle sous forme normalisée, soit .
Déterminer un (ou plusieurs) intervalles sur lesquels les fonctions et sont continues.
Dans la suite, on note (resp. ) si les fonctions et sont à valeurs dans (resp. ) .
b) Noter .
Dire : on introduit une primitive de sur l’intervalle .
La solution générale de sur est la fonction où .
Lorsque l’équation est homogène, terminer la rédaction par :
l’ensemble des solutions de sur est l’ensemble des fonctions où .
c) Lorsqu’il y a un second membre et pas de solution particulière évidente, dire :
On cherche une solution particulière par la méthode de variation de la constante. On écrit :
est solution de sur
où est une primitive sur de .
Terminer en disant au choix :
La solution générale de sur est définie par , où .
ou
L’ ensemble des solutions de sur est l’ensemble des fonctions où
ou encore
L’ ensemble des solutions de sur est égal à :
.
1.3. Raccordement de solutions d’une équation différentielle
Soit .
Supposons pour fixer les idées que et que ne s’annule qu’en un point de .
Si et si l’on a su déterminer les solutions de sur et sur , on pose
où est solution de sur et est solution de sur .
Puis
a) on cherche s’il est possible (en choisissant éventuellement les constantes) de prolonger par continuité en , donc on cherche si la limite à gauche de de la fonction est égale à la limite à droite de de .
Si c’est le cas,
b) on cherche si la fonction est dérivable en .
Si c’est le cas,
c) on cherche si est encore solution de en .
Dans ce cas, la (ou les) fonction(s) obtenue(s) est (sont) solution(s) de sur .
On dit que l’on a raccordé les solutions en .
2- Équation différentielle linéaire vectorielle du premier ordre
2.1. Première forme
où
est un intervalle de
est un espace vectoriel de dimension (et si .
est continue
est continue
et l’équation homogène associée :
Théorème de Cauchy : Si et , il existe une unique fonction de classe sur à valeurs dans vérifiant le problème de Cauchy :
De plus ,
Conséquence 1 : Si , l’application est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Conséquence 2 : Il y a équivalence entre :
est une base de l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène
, est une base de
il existe tel que
est une base de
2.2. Deuxième forme
où
est un intervalle de
est continue
est continue
et l’équation homogène associée :
C’est la traduction matricielle de la première forme.
Théorème de Cauchy :
Si et , il existe une unique fonction de classe sur à valeurs dans vérifiant le problème de Cauchy :
De plus ,
Conséquence 1 :
Si , l’application est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Conséquence 2 :
Il y a équivalence entre :
est une base de l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène
si , est une base de
il existe tel que
est une base de .
2.3. Résultats généraux
Avec les hypothèses de 2.1. ou 2.2.:
T1 : L’ ensemble des solutions de est un espace vectoriel de dimension .
T2 : La solution générale de est la somme d’une solution particulière de et de la solution générale de . C’est un espace affine.
T3 : Superposition des solutions
Si et si , est une solution particulière de ,
est une solution particulière de .
et la traduction matricielle :
Si et si pour tout , est une solution particulière de , est une solution particulière de .
2.4. Variation des constantes
Équation
Hypothèse : On a pu trouver solutions de l’équation homogène formant une base de .
On rappelle que pour tout , est une base de .
S’il n’y a pas de solution particulière de évidente, on utilise la méthode de variation des constantes :
On cherche une solution particulière de la forme en écrivant que .
Il suffit de décomposer dans la base : .
Par unicité de la décomposition de dans la base , il suffit de trouver une solution particulière des équations si , .
Équation
Hypothèse : On a pu trouver solutions , de l’équation homogène formant une base de .S’il n’y a pas de solution particulière de évidente, on utilise la méthode de variation des constantes :
On cherche une solution particulière de la forme en écrivant que .
Il suffit de décomposer dans la base , .
Par unicité de la décomposition de dans la base , il suffit de trouver une solution particulière des équations : , .
2.5. Quelques pistes de résolution
Si l’énoncé ne donne pas d’indication,
Dans le cas et , il est parfois possible en posant d’obtenir une équation différentielle linéaire du premier ordre en que l’on sait résoudre.
On peut aussi chercher s’il existe une matrice (indépendante de et inversible) et une matrice diagonale ou triangulaire telles que
et poser (on obtient alors ).
3. Équation où
M1. Utilisation de l’exponentielle de matrices
La solution du problème de Cauchy : et est la fonction .
Si est une base de , les fonctions pour forment une base de .
M2. est une matrice dagonalisable dans :
M2.1. La méthode la plus simple est de déterminer une base de vecteurs propres de associés respectivement aux valeurs propres .
L’ ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions :
, lorsque décrit .
On peut aussi noter
et dire que est un système fondamental de solutions de c’est-à-dire une base de l’espace vectoriel des solutions.
M2.2. On détermine et diagonale telles que ; on pose ; l’équation à résoudre s’écrit , ce qui donne équations linéaires scalaires d’ordre 1 (du type ) que l’on résout.
Il suffit de calculer , pour obtenir . Dans ce cas, le calcul de est inutile.
Si l’on doit de plus résoudre le problème de Cauchy et , il faut déterminer pour déterminer les constantes de façon à ce que ou résoudre directement le système .
M3. n’est pas diagonalisable dans mais est diagonalisable dans et on cherche les solutions réelles :
a) Pour chaque valeur propre réelle , on détermine une base du sous-espace propre .
b) Si est une valeur propre non réelle de , on rappelle que si forme une base de , forme une base de .
c) En utilisant les notations du b),
et sont des solutions à valeurs réelles de .
On regroupe les solutions ainsi obtenues (en a) et c)), notées par exemple et on démontre que l’on a une famille libre.
Pour cela, il suffit de prouver que .
M3. est trigonalisable.
On introduit et matrice triangulaire supérieure telles que , on pose .
L’ équation à résoudre s’écrit , ce qui donne équations linéaires scalaires.
On résout le système « triangulaire » obtenu en commençant par la dernière équation de la forme , puis l’avant dernière etc …
Il suffit de calculer pour obtenir . Dans ce cas, le calcul de est inutile.
Cas particulier : la somme des dimensions des sous-espaces propres de est égale à .
Soit l’endomorphisme canoniquement associé à et une famille libre de vecteurs propres.
En introduisant un vecteur tel que soit une base de , la matrice de dans la base est triangulaire supérieure.
Il est alors possible d’appliquer la méthode précédente.
4. Équation
où et .
M1. Cas .
Lorsque la fonction est dérivable sur l’intervalle de , la méthode la plus simple de résolution d’un système différentiel linéaire d’ordre 2 avec second membre est de chercher une équation différentielle d’ordre 2 vérifiée par , en déduire puis .
En n’oubliant pas la réciproque !
M2. Cas et diagonalisable :
Introduire et diagonale telles que , poser et .
L’ équation s’écrit .
On obtient alors un système de équations du type.
où .
Ayant résolu ce système, il reste à calculer . Dans ce cas, on doit calculer .
M3. Cas et trigonalisable :
Introduire et triangulaire telles que , poser et .
L’ équation s’écrit .
On obtient alors un système triangulaire de équations.
On commence par résoudre
puis on « remonte ».
Ayant résolu ce système, il reste à calculer .
Dans ce cas, on doit calculer .
5. Transformer une équation différentielle scalaire d’ordre en une équation différentielle vectorielle d’ordre 1
Hypothèse : on suppose que est une famille de fonctions continues sur l’intervalle à valeurs dans .
Soit l’équation différentielle linéaire d’ordre : .
On pose
est équivalente à .
et
:
est équivalente à .
En particulier on peut écrire sous la forme équivalente avec
, et .
Théorème de Cauchy
Si et sont des fonctions continues sur l’intervalle à valeurs dans ,
si et si
il existe une unique fonction vérifiant le problème de Cauchy suivant :
et
P1 : L’ensemble des solutions de sur est un espace vectoriel de dimension .
P2 : L’ensemble des solutions de est un espace affine : la solution générale est la somme de la solution générale de et d’une solution particulière de .
Les étudiants de Maths Spé qui n’ont pas la possibilité de faire appel à un prof de maths particulier ou de participer à des stages intensifs de révision en Maths Sup, ont la possibilité d’utiliser différents cours en ligne de Maths en PT, ou des cours en ligne de PSI en Maths, des cours en ligne de MP en Maths ou même des cours en ligne de PC en Maths pour s’aider dans leurs révisions personnelles.
6. Résolution d’équations linaires scalaires du second ordre
6.1. Théorème de Cauchy
On cherche à déterminer les fonctions deux fois dérivables sur et vérifiant
où sont des fonctions continues sur l’intervalle à valeurs dans , la fonction ne s’annulant pas sur .
Dans le cas où sont des scalaires, on se trouve dans le cas des équations à coefficients constants étudiées au paragraphe VII.
En se plaçant sur un intervalle où la fonction ne s’annule pas, on obtient
l’équation homogène :
et l’équation complète : .
les fonctions étant continues sur à valeurs dans .
Théorème de Cauchy :
On suppose que les fonctions sont continues sur l’intervalle à valeurs dans .
Pour tout et , il existe une unique fonction deux fois dérivable sur et vérifiant le problème de Cauchy :
Conséquence : Pour prouver que deux solutions et de sur sont égales, il suffit de trouver tel que et et utiliser ensuite l’unicité donnée par le théorème de Cauchy.
6.2. Équation homogène
L’ ensemble des solutions de : est un -espace vectoriel de dimension 2.
Si , l’application :
,
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
C’est à dire si et , il existe une unique solution de telle que et .
Si et si est solution de et vérifie , alors , car et la solution nulle vérifient le même problème de Cauchy. 🧡
Pour vérifier que deux solutions forment une base de , il suffit de prendre (le plus simple possible) et de prouver que est une base de (il suffit de prouver que )
et de dire que est une base de comme image d’une base de par l’isomorphisme
Si est une base de , pour tout .
dem : il suffit de dire que pour tout est une base de .
Si ,
il existe un unique couple de solutions de vérifiant
.
est une base de , comme image de la base canonique de par l’isomorphisme .
Si et sont solutions de , la fonction définie, pour tout , par est solution de l’équation linéaire du premier ordre :
. 🧡
6.3. Consignes de rédaction (cas de fonctions à valeurs réelles)
Si est une base de et si est une solution particulière de conclure en disant au choix :
la solution générale de sur est définie par
, où .
ou
l’ensemble des solutions de sur est l’ensemble des fonctions
, où .
6.4. Raccordements de solutions d’une équation différentielle
Si et si l’on a su déterminer les solutions de sur et sur , on pose
où est solution de sur et est solution de sur .
Puis
a) on cherche s’il est possible (en choisissant éventuellement les constantes) de prolonger par continuité en , donc en démontrant que la limite à gauche de de la fonction est égale à la limite à droite de en .
Si c’est le cas,
b) on cherche si la fonction est dérivable en
… par limite du taux d’accroissement de en
… ou en cherchant si admet la même limite à droite et à gauche en (dans ce cas, on rappelle que, par théorème, est de classe sur et )
Si c’est le cas,
c) on cherche si est deux fois dérivable en (par limite du taux d’accroissement de en ou grâce à la limite de en c).
Si c’est le cas,
d) on cherche si est encore solution de en .
Dans ce cas, la (ou les) fonction(s) obtenue(s) est (sont) solution(s) de sur .
On dit que l’on a raccordé les solutions en .
7. Équation linéaire du second ordre à coefficient constants
Hypothèses : soit à résoudre l’équation
où et est une fonction continue sur à valeurs dans . On note .
7.1. Résolution de où .
On note .
L’ ensemble des solutions de l’équation homogène est un espace vectoriel de dimension 2 et on note une base de .
Si l’équation caractéristique
a deux racines distinctes et dans :
…
.
a une racine double :
…
.
a deux racines complexes conjuguées : et , où dans le cas où :
…
.
et pour aller plus vite dans le cas avec :
…
.
et pour aller plus vite dans le cas avec :
…
.
ou
…
.
Hypothèses : soit à résoudre l’équation
où et est une fonction continue sur à valeurs dans . On note .
7.2. Recherche d’une solution particulière de où .
M1. Utilisation du principe de superposition des solutions.
Si et si , est une solution particulière de ,
est solution de .
M2. Utilisation de la fonction conjuguée.
Si et si , est solution de la fonction , est solution de .
M3. Second membre où est racine double de l’équation caractéristique .
On cherche une solution particulière .
Après calculs, on obtient l’équation : .
Cette méthode peut aussi être utilisée lorsque le second membre est de la forme , où est racine simple de l’équation caractéris- tique . On obtient l’équation :
et on se ramène donc à une équation linéaire scalaire du premier ordre (en posant ).
M4. Second membre de la forme , où est une fonction polynôme et .
On cherche une solution particulière sous la forme où avec fonction polynôme de même degré que et
si n’est pas racine de ,
si est racine simple de ,
si est racine double de ,
(attention, M3 est plus simple dans ce dernier cas).
Dans cette méthode, lorsque le degré de est « élevé », il est conseillé de calculer les dérivées de , puis de remplacer dans l’équation différentielle et d’introduire ensuite les coefficients de .
M4B. On peut aussi raisonner avec et démontrer que est solution de l’équation ssi
,
et de trouver ensuite une solution particulière de cette équation.
M5. Second membre , lorsque .
M5.1. On cherche une solution particulière sous la forme :
si n’est pas racine du polynôme caractéristique .
si est racine simple du polynôme caractéristique .
M5.2. On utilise les formules d’Euler, on cherche une solution particulière de ;
on utilise M2 pour dire que est solution particulière de
et on termine par utilisation du principe de superposition des solutions (cf M1).
En particulier, est une solution particulière de
et est une solution particulière de .
8. Quelques autres méthodes de résolutions d’équations différentielles scalaires du second ordre
8.1. Par changement de fonction inconnue
On note l’ancienne fonction, la nouvelle fonction et la variable. On exprime et éventuellement en fonction de et éventuellement .
On remplace dans l’équation différentielle donnée. On doit obtenir une équation différentielle en de même ordre que celle dont on est parti.
On résout l’équation obtenue. Ne pas oublier à la fin de donner les solutions en utilisant la relation entre et .
8.2. Méthode de Lagrange pour les équations différentielles
On suppose que l’on doit résoudre quand
a) les fonctions et sont continues sur l’intervalle et ne s’annule pas sur l’intervalle .
b) on connaît une solution particulière de ne s’annulant pas sur .
On note .
est deux fois dérivable sur ssi est deux fois dérivable sur .
En écrivant que est solution sur de et en utilisant le fait que est solution de , on obtient (calculs à faire) :
est solution sur de ssi
En posant , la fonction est solution sur de l’équation linéaire scalaire d’ordre 1 :
On résout cette équation puis il reste à résoudre .
Important : Il vaut mieux conserver (sauf si est très simple) l’expression littérale et on arrive à l’équation sans second membre, normalisée sous la forme, .
Il suffit ensuite de trouver une primitive de de pour en déduire que est une primitive de .
8.3. Par utilisation d’une série entière
On rédige ainsi :
On cherche une suite telle que la série entière de terme général ait un rayon de convergence et telle que la fonction définie pour tout , par soit solution sur de l’équation différentielle .
Par propriété des sommes de série entière sur l’intervalle ouvert de convergence, pour tout ,
et .
Puis
1. On écrit que est solution de .
2. En utilisant l’unicité de l’écriture d’une série entière, on obtient une relation entre les coefficients .
3. On détermine .
4. On cherche le rayon de convergence .
5. Si possible, on calcule la somme de la série entière et éventuellement on termine la résolution de l’équation différentielle (par exemple, en utilisant la méthode de Lagrange dans le cas d’une équation linéaire du second ordre).
Cette méthode peut être utilisée lorsque les coefficients de l’équation sont des fonctions polynômes, le second membre étant une fonction polynôme ou une fonction développable en série entière.
8.4. Par changement de variable pour une équation linéaire du second ordre.
On note l’ancienne variable et la variable proposée par l’énoncé.
On suppose que est une bijection de classe de l’intervalle sur l’intervalle et que .
Alors la fonction est de classe sur .
On écrit soit .
La fonction est de classe sur ssi la fonction est de classe sur
et .
On remplace dans l’équation différentielle et on doit obtenir à la fin une équation différentielle de même ordre que celle dont on est parti, ne dépendant que de .
On la résout puis on détermine l’ensemble des solutions , en utilisant le changement de variable donné.
8.5. Cas des équations d’Euler : où
M1. par changement de variable :
On résout l’équation sur ou et on utilise le changement de variable :
ou ( si l’on résout sur et sinon).
La fonction est une bijection de classe telle que ( pour et pour ) est une bijection de classe .
On note ; on en déduit que est de classe sur , (resp ) ssi est de classe sur .
On obtient l’équation à coefficients constants :
M2. On peut aussi chercher les solutions de l’équation homogène sur ou sous la forme .
On démontre que est solution ssi .
Dans le cas où il y a deux solutions distinctes, on vérifie que l’on obtient une base de l’espace vectoriel des solutions .
8.6. En cherchant une solution particulière sous la forme d’une fonction polynôme
On commence par déterminer le degré du polynôme : en notant , on calcule le terme de plus haut degré dans l’équation, ce qui permet d’obtenir une équation, donnant en général la valeur de .
Il ne reste plus qu’à noter .
En remplaçant dans l’équation différentielle, on détermine les coefficients par résolution d’un système linéaire.
8.7. Méthode de la variation des constantes
On suppose que l’on connaît deux solutions et formant une base de l’espace vectoriel des solutions de
La méthode de variation des constantes consiste à trouver deux fonctions et de classe sur telles que soit solution de
avec la condition .
On rappelle que les fonctions vérifient le système :
On résout le système en , . Puis on détermine et : comme on cherche une solution particulière, on peut choisir les constantes d’intégration de et .
Exercice
Soit .
Résoudre l’équation où la fonction est continue sur l’intervalle en utilisant la méthode de variation des constantes.
Exercices sur les Équations différentielles linéaires en maths spé
Plan
1. Systèmes différentiels (100 mn)
2. Résolution d’équations linéaires du premier ordre (60 mn)
3. Résolution d’équations linéaires du second ordre (110mn)
4. Problèmes théoriques avec des équation du premier ordre (40 mn)
5. Problèmes théoriques avec des équations du second ordre. (180 mn)
1. Systèmes différentiels
Exercice 1
Résoudre sur l’équation : avec
Exercice 2
Résoudre le système avec .
Exercice 3
Solutions réelles de avec .
Exercice 4
Solutions réelles de et
2. Résolution d’équations du premier ordre
Exercice 1 Mines Ponts PC
Résoudre l’équation différentielle
Exercice 2 Centrale PSI
Soit l’équation différentielle : .
Question 1
Déterminer une relation de récurrence satisfaite par les coefficients d’une série entière dont la somme satisfait au voisinage de 0.
Question 2
Montrer que pour ; minorer alors le rayon de convergence de .
Question 3
Exprimer à l’aide des fonctions élémentaires la solution trouvée dans la question 1.
3. Résolution d’équations d’ordre supérieur ou égal à 2
Exercice 1. CCP PC 2018
On considère l’équation différentielle : .
Question 1
Montrer que vérifie ssi il existe tel que .
Question 2
Résoudre l’équation .
Exercice 2 MinesPOnts PC
L’équation différentielle possède-t-elle des solutions bornées sur ?
Exercice 3 CCP PC 2018
Résoudre sur l’équation différentielle .
Exercice 4
Résoudre en cherchant une solution polynomiale.
Exercice 5
Résoudre, sur tout intervalle ne contenant pas , l’équation différentielle en cherchant une solution de la forme .
Exercice 6 Mines Ponts MP 2018
On considère l’équation différentielle .
Question 1
Déterminer les solutions développables en série entière.
Question 2
Quelle est la dimension de l’espace des solutions sur ?
Exercice 7
Résoudre sur , l’équation .
Indication : quelle est la dérivée de ?
4. Problèmes théoriques pour les équations d’ordre 1
Exercice 1
Soit une fonction continue de dans et périodique de période 1. Montrer qu’il existe un unique réel tel que pour toute solution non nulle de l’application soit périodique.
Exercice 2
Question 1
Soit une fonction de dans continue telle que . Montrer que toute solution de admet pour limite en .
Question 2
Soient et une fonction continue de dans telle que , montrer que .
5. Problèmes théoriques pour les équations d’ordre 2
Exercice 1 Mines Ponts MP 2018
Question 1 : lemme de Gronwall
Soit de classe , continue et tels que pour tout ,
Question 2
On suppose impaire et paire. Montrer que la fonction solution de avec les conditions initiales et est paire.
Montrer de même que la fonction solution de avec les conditions initiales et est impaire.
En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Question 3
On note l’ ensemble des solutions de . On suppose que admet une base avec paire et impaire.
Montrer que est impaire et est paire.
Exercice 2 Centrale 2015
Soit intégrable sur .
Question 1
A-t-on toujours ?
Question 2
Soit vérifiant sur : .
Soit , . Montrer que est de classe sur puis que .
Question 3
Montrer qu’il existe tel que pour tout , .
Question 4
Montrer que toutes les solutions sur de sont bornées.
Exercice 3 TPE
Soit l’équation différentielle , où est continue et intégrable sur .
question 1
Montrer que si et sont solutions de , est constante.
Question 2
Montrer que si est une solution de bornée sur , admet une limite finie quand tend vers , puis montrer que cette limite est nulle.
Question 3
Montrer que admet une solution non bornée.
Exercice 4
MinesPonts MP 2018 (PC 2014)
Soient continues et l’équation différentielle .
Calculer pour deux solutions de la quantité
Annales sur les équations différentielles linéaires en maths spé
Des annales de maths spé en mathématiques sont disponibles via la rubrique Annales.
Divers cours en ligne de maths pour les maths spé sont consultables totalement gratuitement. Que ce soit pour une légère remise à niveau ou pour combler un tout petit oubli, les cours en ligne sont toujours utiles. Découvrez quelques autres cours de maths au programme :