Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

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Espaces Euclidiens pour les MP, PC, PSI et PT

Résumé de cours Exercices Annales

Résumé de cours et méthodes – Espaces Euclidiens

Plan

On suppose que $E$ est un espace euclidien.
1. Rappel des propriétés du produit scalaire dans un espace vectoriel euclidien $E$ .
2. Utilisation du produit vectoriel.
3. Caractérisation des isométries et des matrices orthogonales.
4. Matrices orthogonales d’ordre 2.
5. Matrices orthogonales d’ordre 3.
6. Endomorphismes symétriques.
7. Endomorphismes symétriques positifs (exercices).

1. Rappel des propriétés du produit scalaire dans un espace vectoriel euclidien $E$ .

$\bullet$ M1. Utilisation d’une base orthonormale $\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n}\,$ ,
$\ast$ $\forall \, x \in E,\; \displaystyle x = \sum_ {i = 1} ^n (x \, | \, e_i) \, e_i$ .
$\ast$ $\forall \, (x , \,y) \in E^2$ ,
$\displaystyle x = \sum_{i = 1} ^n x_i \, e_i\,$ et $\displaystyle y = \sum_{i = 1} ^n y_i \, e_i\,$ , alors $\displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i$ et $\Vert x \Vert ^2 = \displaystyle \sum_{i = 1} ^n x_i ^2$ .
$\ast$ Si l’on note $X$ et $Y$ les matrices colonnes de $x$ et $y$ dans la base $\mathcal{B}$ , $(x \, | \, y ) = X^{\textrm{T} } \, Y$ .

$\bullet$ M2. Si $\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n\, }$ est une base orthonormale de l’espace euclidien $E$ et si $A = M_ {\mathcal{B} }(u)$ où $u \in \mathcal{L}(E)$ , $a_{i , \, j} = (e_i \, | \, u(e_j))\,$ (à redémontrer).

$\bullet$ M3. Si $f$ est un produit scalaire sur l’espace vectoriel euclidien $E$ de base $\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n}\,$ , on peut définir la matrice $A = (a_{i,j})_{1 \leq i , \, j \leq n}$ où $\quad \forall \, (i , j) \in [\![1 ,\, n]\!]^2, \; a_{i , j} = f(e_i , \, e_j)$ ,
(on dit que $A$ est la matrice du produit scalaire $f$ dans la base $\mathcal{B}$ ).
En notant $X = M_{\mathcal{B}} (x) = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ et $Y = M_{\mathcal {B}} (y) = (y_i)_{1 \leq i \leq n}$ ,
$\quad \quad f(x , \, y) = X^{\textrm{T} } \, A \, Y$ .

$\bullet$ M4. Si $\varphi$ est une forme linéaire sur l’espace euclidien $E$ , il existe un unique vecteur $a \in E$ tel que $\quad \quad\forall\, x \in E, \, \varphi(x) = (a \, | \, x)$ .

Exercice :
Soit $E = \mathcal{M} _n(\mathbb{R})$ et $\varphi$ une forme linéaire sur $E$ . Il existe une unique matrice $A$ telle que $\quad \quad \forall \, M \in E, \, \varphi(M) = \textrm{Tr}(A \, M)$ .

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2. Utilisation du produit vectoriel

$\bullet$ P1 $(u , v) \mapsto u \wedge v$ est une application bilinéaire définie sur $E^ 2$ à valeurs dans $E$ vérifiant :
$\ast$ $\forall\, (u ,\, v) \in E^2,\; u \wedge v = - v \wedge u$ .
$\ast$ $u \wedge v = 0$ si, et seulement si, la famille $(u , \, v)$ est liée.
$\ast$ $u \wedge v \in (\textrm{Vect} (u , v))^{\perp}$ .
$\ast$ la famille $(u , v)$ est libre ssi $(u , \,v , \, u \wedge v)$ est une base directe de $E$

$\bullet$ P2 Identité de Lagrange : $\forall \, (u ,\, v) \in E ^2,$ $\quad \quad \Vert u \wedge v \Vert ^2 + (u \, | \, v)^2 = \Vert u \Vert ^2 \, \Vert v \Vert ^2$ .

$\bullet$ P3 Si $u$ et $v$ sont deux vecteurs non nuls : $\Vert u \wedge v \Vert = \Vert u\Vert \, \Vert v \Vert \sin \theta$ , où $\theta$ est la mesure de l’angle de vecteurs $u$ et $v$
$\theta \in [0 , \pi]$ vérifie $\quad \quad \quad \displaystyle \theta = \textrm{Arccos} \left ( \frac {(u \, | \, v) } { \Vert u \Vert \, \Vert v \Vert }\right )$ .

$\bullet$ P4 interprétation du produit mixte lorsque $u, v$ et $w$ forment une famille libre :
$\bigl | \, [u ,\, v , \,w] \, \bigl |$ est égal au volume du parallélépipède construit sur les vecteurs $u,\, v$ et $w$ .
$\bigl | \, [u , \, v ,\, w] \, \bigl |$ est égal à 6 fois le volume du tétraèdre construit sur les vecteurs $u, \,v$ et $w$ .

$\bullet$ P5 Si $(e_1\, ,\, e_2 \, , \,e_3)$ est une base orthonormale directe de l’espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 :
$\ast$ $e_1 \wedge e_2 = e_3$ , $e_2 \wedge e_3 = e_1$ et $e_3 \wedge e_1 = e_2\,$ .
$\ast$ si $u = x\, e_1 + y \,e_2 + z \,e_3$ et $v = x' \,e_1 + y' \,e_2 + z' \,e_3 \,$ ,
$u \wedge v$ est égal à $\quad \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} \, e_1 + \begin{vmatrix} z & z' \\ x & x' \end{vmatrix} \, e_2 + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \, e_3 \,$

$\bullet$ P6 double produit vectoriel :
Pour tous vecteurs $u, v$ et $w$ de $E$ ,
$(u \wedge v) \wedge w = (u \, |\, w)\, v - (v\, | \, w)\, u$
et $u \wedge (v \wedge w) = (u \, |\, w)\, v - (u \, | \, v) \,w$ .

Pour retenir la formule : vecteur du milieu multiplié par le produit scalaire des deux autres moins le produit du vecteur restant dans la parenthèse multiplié par le produit scalaire des deux autres.

3. Caractérisation des isométries et des matrices orthogonales

$\bullet$ Si $E$ est un espace vectoriel euclidien de dimension $n$ et si $u \in \mathcal{L} (E)$ , il y a équivalence entre :
1. $u$ est une isométrie (ou un automorphisme orthogonal),
2. $\forall \, (x ,\, y) \in E^2,$ $\quad \quad \quad \; (u(x)\, | \, u(y)) = (x \, |\, y)$ ,
3. $\forall \, x \in E,\; \Vert u(x)\Vert =\Vert x\Vert$ ,
4. pour toute base orthonormale $\mathcal{B}$ de $E,$ $u(\mathcal{B})$ est une base orthonormale de $E$ ,
5. il existe une base orthonormale $\mathcal{B}$ de $E$ telle que $u(\mathcal{B})$ soit une base orthonormale de $E$ ,
6. la matrice de $u$ dans une base orthonormale est une matrice orthogonale.

$\ast$ On note $O(E)$ l’ensemble des isométries de $E$ , $O(E)$ est un sous-groupe de $(\textrm{GL}_n(\mathbb{R}), \, \circ)$ appelé groupe orthogonal de $E$ .
$\ast$ Si $u$ est une isométrie, $\det(u) = \pm 1$ .
$\ast$ On note $SO(E)$ l’ensemble des rotations de $E$ (isométries de $E$ de déterminant égal à 1), $SO(E)$ est un sous-groupe de $O(E)$ appelé groupe spécial orthogonal de $E$ .

$\det(u) = \pm 1$ n’implique pas que $u$ est une isométrie.

$\bullet$ Si $M \in \mathcal{M}_n (\mathbb {R})$ et si $(C_1\, ,\, C_2 \,, \, \cdots \, , \, C_n)$ est le système de ses vecteurs colonnes, il y a équivalence entre :
1. $M$ est une matrice orthogonale,
2. $M^{\textrm{T}}\, M = \textrm{I}_n\,$ ,
3. $M\, M^{\textrm{T}} = \textrm{I}_n \,$ ,
4. $M^{- 1} = M^{\textrm{T}}$ ,
5. $(C_1\, ,\, C_2 \,, \, \cdots \, , \, C_n)$ est une base orthonormale de l’espace vectoriel euclidien $\mathbb{R} ^n$ pour la structure euclidienne canonique,
6. $\forall\, (i , \, j) \in [\![1 , \, n]\!]^2 , \; (C_i \, | \, C_j ) = \delta_{i , \, j} \,$ ,
7. $M$ est la matrice d’une isométrie de $E$ , espace euclidien de dimension $n$ , dans une base orthonormale.

$\ast$ On note $O_n(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre $n$ .
$O_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe de $(\textrm{GL}_n(\mathbb{R}) ,\, .)$ appelé groupe orthogonal d’ordre $n$ .
$\ast$ Si $M \in O_n(\mathbb{R})$ , $\det M = \pm 1$ .
$\ast$ $\{ U \in O_n(\mathbb{R}) \, / \, \textrm{det}(U) = 1\}$ est un sous-groupe de $O_n(\mathbb{R})$ noté $SO_n(\mathbb{R})$ et appelé groupe spécial orthogonal d’ordre $n$ .

$\det M = \pm 1$ n’implique pas que $M$ est une matrice orthogonale.

$\bullet$ À savoir redémontrer :
$\ast$ 1. Si $(E ,\, ( . \, | \, . ))$ est un espace euclidien et $u \in O(E)$ , $\quad \quad \quad \textrm{Sp}(u) \subset \{1 , \, - 1\}$ .

$\ast$ 2. Si $M \in O_n(\mathbb{R})$ , $\textrm{Sp}(M) \subset \{ 1, \, - 1\}$ .

$\ast$ 3. Si $M \in O_n(\mathbb{R})$ , $\quad \quad \textrm{Sp}_ {\mathbb{C}}(M) \subset \{ \lambda \in \mathbb{C} , \, \vert \lambda \vert = 1\}$ .

$\ast$ 4. $O_n(\mathbb{R})$ est une partie compacte de $\mathcal{M}_n (\mathbb{R})$ .

$\bullet$ Réduction d’une isométrie :
Soient $E$ un espace euclidien et $u$ une isométrie.
Il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, les blocs étant de la forme $\textrm{I}_r\, ,$ $-\textrm{I}_q$ et $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ où $\theta \notin \pi \mathbb{Z}$ .

$\bullet$ Réduction d’une matrice orthogonale :
Toute matrice orthogonale est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, les blocs étant de la forme $\textrm{I}_r$ , $-\textrm{I}_q$ et $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ où $\theta \notin \pi \mathbb{Z}$ .

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4. Matrices orthogonales d’ordre 2

P1 : Toute matrice de $O_2(\mathbb{R})$ s’écrit
$\ast$ $R(t) = \begin{pmatrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}$ si son déterminant est égal à $1$ .
$\ast$ $S(t) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix}$ si son déterminant est égal à $-1$ .

P2 : $\ast$ $(SO(E)\, ,\, .)$ est un groupe commutatif.
Pour tout $(t , t') \in \mathbb{R}^2$ ,
$\ast$ $R(t) R't') = R(t + t') = R(t') R(t)$ et $R(t) ^{-1} = R(-t)$ .
$\ast$ $S(t) S(t') = R(t - t')$ .

P3 : Soit $E$ un plan euclidien orienté et $r \in SO(E)$ , il existe un unique réel $t$ de $]- \pi,\, \pi]$ tel que la matrice de $r$ dans toute base orthonormale directe de $E$ s’écrive $R(t)$ .
On dit que $r$ est une rotation d’angle de mesure $t$ .

P4 : Si $r$ est une rotation du plan euclidien orienté $E$ , on détermine une mesure de l’angle $t$ de la rotation $r$ en introduisant un vecteur unitaire $u$ et en résolvant
$\quad \cos t = (u \, | \, v)$ et $\sin t = [u \, , \, v]$
( $[u \, ,\, v]$ est le produit mixte de $u$ et $v$ soit le déterminant de $(u , \, v)$ dans une base orthonormale directe).

P5 : Si $s$ est une isométrie du plan euclidien $E$ de déterminant égal à $- 1$ , il existe un réel $t$ tel que la matrice de $s$ dans une base orthonormale soit $S(t)$ . $s$ est alors la réflexion, i.e. la symétrie orthogonale par rapport à $\textrm{Vect}(a)$ où $a$ est un vecteur directeur de la droite $\textrm{Ker} (s - \textrm{Id}_E).$

5. Matrices orthogonales d’ordre 3

5.1. Réduction en base orthonormale d’une isométrie

$\bullet$ P1 : Si $u$ est une isométrie d’un espace euclidien $E$ de dimension 3, il existe une base orthonormale $\mathcal{B}$ de $E$ et un réel $\theta$ tels que la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ s’écrive :
$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta&- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$
ou $R'(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0& - 1\end{pmatrix}$ .

$\bullet$ P2 : Si $M\in O_3(\mathbb{R})$ , il existe une matrice $P$ orthogonale d’ordre 3 et un réel $\theta$ tels que
$M = P \begin{pmatrix} \cos \theta &- \sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&1\end{pmatrix} \, P ^{\textrm{T}}$
ou $\; \; M = P \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0& - 1\end{pmatrix} \, P ^{\textrm{T}}$ .

Remarque : on peut supposer que la base $\mathcal{B}$ du premier résultat est orthonormale directe (si $\mathcal{B} = (i , \,j , \, k)$ n’est pas orthonormale directe, $\mathcal{B}' = (i , \, j , \,- k)$ est directe et la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}'$ est égale à la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ .)
On peut donc aussi supposer que $P$ est une matrice orthogonale directe dans le résultat 2).

Les résultats résumés ci-dessous sont développés dans les différents paragraphes qui suivent :
$\bullet$ 1er cas : matrice $R(\theta)$
$\ast$ 1er sous-cas : $\theta \in 2 \pi \mathbb{Z}$ ,
$\quad \quad \quad u = \textrm{Id} _E$ , $M = \textrm{I} _3$ .
$\ast$ 2ème sous-cas : $\theta = (1 + 2 \, p)\, \pi$ où $p\in \mathbb {Z}$ ,
$u$ est une symétrie orthogonale par rapport à $\textrm{Vect}(k)$ (cf §5.2.).
$M$ est symétrique de déterminant égal à 1.
On peut aussi dire que $u$ est une rotation d’axe dirigé par $k$ et d’angle $\pi$ .
$\ast$ 3ème sous-cas : $\theta \notin \pi \mathbb{Z}$ et $\mathcal{B}$ est une base directe,
$u$ est une rotation d’axe dirigé par $k$ et d’angle $\theta$ (cf § 5.3.).

$\bullet$ 2ème cas matrice $R'(\theta)$
$\ast$ 1er sous-cas : $\theta \in 2 \pi \mathbb{Z}$
$u$ est une réflexion par rapport à $\textrm{Vect}(i , \, j)$ (cf §5.2.).
$M$ est symétrique de déterminant égal à $- 1$ .
$\ast$ 2ème sous-cas : $\theta = (1 + 2 \, p) \, \pi$ où $p\in \mathbb {Z}$
$\quad \quad \quad u = - \textrm{Id}_E$ , $M = - I_3\,$ .
$\ast$ 3ème sous-cas : $\theta \notin \pi \mathbb{Z}$ et $\mathcal{B}$ est une base directe
h.p : $u$ est une anti-rotation (cf § 5.4.).

5.2. Matrices orthogonales et symétriques

$\bullet$ M1. Interprétation d’une matrice orthogonale d’ordre 3 et symétrique.
Si $A \in O_3(\mathbb{R})$ et si $A^{\textrm{T}} = A$ , $A$ est la matrice d’une symétrie orthogonale notée $u$ .
Dans le cas où $A \neq \pm \textrm{I}_3\,$ ,
$\ast$ si $\textrm{det}(A) = - 1 \Leftrightarrow \textrm{Tr}(A) = 1$ , $u$ est une réflexion c’est-à-dire une symétrie telle que les sous espaces vectoriels $\textrm{Ker}(u - \textrm{Id}_E)$ et $\textrm{Ker}(u + \textrm{Id}_E)$ sont des supplémentaires orthogonaux et $\textrm{dim Ker }(u - \textrm{Id}_E ) = 2$ .
La résolution de l’équation $A X = X$ donne l’équation d’un plan $P$ et on détermine un vecteur $a$ orthogonal à ce plan $P$ .
$u$ est la réflexion par rapport au plan $P = \textrm{Vect}(a) ^{\perp}$ .

$\ast$ si $\textrm{det}(A) = 1 \Leftrightarrow \textrm{Tr}(A) = - 1$ , $u$ est un retournement ou demi-tour (une symétrie telle que $\textrm{Ker}(u - \textrm{Id}_E)$ et $\textrm{Ker}(u + \textrm{Id}_E)$ sont des sous espaces supplémentaires orthogonaux et $\textrm{dim Ker }(u - \textrm{Id}_E ) = 1$ ).
En résolvant $A X = - X$ , on obtient l’équation d’un plan $P$ , on détermine un vecteur $a$ orthogonal à ce plan $P$ .
$u$ est le demi-tour par rapport à la droite $\textrm{Vect}(a)$ .

Remarque :
$u$ est la réflexion par rapport au plan $(\textrm{Vect}(a))^{\perp}$ ssi $- u$ est le retournement par rapport à la droite $\textrm{Vect}(a)$ .

$\bullet$ M2. On se place ici dans un espace euclidien de dimension $n \geq 3.$
Écriture matricielle d’une symétrie orthogonale (c’est-à-dire une symétrie telle que les sous-espaces vectoriels $\textrm{Ker}(u - \textrm{Id}_E)$ et $\textrm{Ker}(u + \textrm{Id}_E)$ sont des supplémentaires orthogonaux. On suppose ici que $\textrm{dim} E = n \geq 2$ .
$\ast$ M2.1. Traduction de la symétrie orthogonale $s$ par rapport à la droite $\mathcal{D} = \textrm{Vect}(u)$ où $\Vert u \Vert = 1$ .
La projection orthogonale $p$ sur $\mathcal{D}$ est définie par $p : x \mapsto (u \, | \, x)\, u$ , la symétrie $s$ vérifie $s = 2\,p - \textrm{Id}_E$ , soit $\quad \quad s : x \mapsto 2(u \, | \, x)\, u - x$ .
Si $U$ est la matrice de $u$ dans une base orthonormale $\mathcal{B}$ , on peut démontrer que la matrice de $s$ dans la base $\mathcal{B}$ est $2 \, U \,U^{\textrm{T}} - \textrm{I}_n\,$ .

$\ast$ M2.2. Traduction de la réflexion $s$ par rapport à l’hyperplan $\mathcal{P} =(\mathbb{R} u)^{\perp}$ où $u$ est un vecteur unitaire :
La projection orthogonale $q$ sur $\textrm{Vect}(u)$ est définie par $\quad \quad \quad q : x \mapsto (u \, |\, x)\, u$ ,
la projection orthogonale $p$ sur $(\mathbb{R} u)^{\perp}$ est définie par $p = \textrm{Id}_E - q$ .
La symétrie par rapport à $\mathcal{P}$ est définie par $s = 2 p -\textrm{Id}_E = 2(\textrm{Id}_E - q) - \textrm{Id}_E$ $s =\textrm{Id}_E - 2 q$ , soit $\quad \quad \quad s : x \mapsto x - 2 (u\, |\, x)\, u$ .
Lorsque $U$ est la matrice de $u$ dans une base orthonormale $\mathcal{B}$ , la matrice de la réflexion $s$ dans la base $\mathcal{B}$ est égale à $\textrm{I}_n - 2\, U\, U ^{\textrm{T}}$ (à démontrer).

On pourra s’aider du dessin suivant pour la réflexion par rapport à $F$ .

5.3. Matrices de rotation

Dans ce paragraphe, on considère que $(E, ( .\, | \,. ))$ est un espace euclidien orienté de dimension 3.
$\bullet$ M1. Si $(i ,\, j ,\, k)$ est une base orthonormale directe de $E$ , la matrice de la rotation $r$ d’axe dirigé par le vecteur $k$ et d’angle de mesure $\theta$ dans la base $(i ,\, j ,\, k)$ est $\quad \quad R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$ .
De plus, si $x \in (\mathbb{R} \, k)^{\perp},$ $\quad \quad r(x) = \cos \theta x + \sin \theta (k \wedge x)$ . (sauf MP)

$\bullet$ M2. Soit $A$ la matrice d’une rotation $r$
$\ast$ 1- Si $\theta$ est une mesure de l’angle de la rotation : $\textrm{Tr}(A) = 2 \cos \theta + 1$ .
$\ast$ 2- On détermine un vecteur unitaire $a$ de l’axe de la rotation en résolvant $r(a) = a$ (soit $A X = X$ ).
$\ast$ 3- On détermine le signe de $\sin\theta$ en prenant $b \notin \mathbb{R} a$ et en utilisant $\sin \theta$ a même signe que le produit mixte $\quad \quad [a , \,b ,\, r(b)] = [b ,\, r(b) ,\, a]$ .
en effet $[a , \,b ,\, r(b)] = \sin\theta \, \Vert a \wedge b\Vert ^2$ .

exercice
Soit $A = \begin{pmatrix} 0 &0&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Caractériser l’endomorphisme $r$ canoniquement associé.

$\bullet$ M3. Pour écrire la matrice de la rotation $r$ d’axe dirigée par le vecteur unitaire $a$ et d’angle $\theta$ , on introduit un vecteur $b$ unitaire tel que $(a\, |\, b) = 0$ . On détermine $c$ tel que $\mathcal{C} = (b ,\, c ,\, a)$ soit une base orthonormale directe. Dans cette base, la matrice $R(\theta)$ de $r$ est la matrice écrite dans M1, puis en introduisant $P$ la matrice de passage de la base orthonormale directe de l’énoncé à la base $\mathcal{C}$ , $A = P \,R(\theta)\, P^{\textrm{T}}$ par la formule de changement de bases.
(h.p. : $c = a \wedge b$ ).

Exercice :
Ecrire la matrice de la rotation de $\mathbb{R}^3$ d’axe dirigé par $u = (1 ,\ 2 , \,- 2)$ et d’angle de mesure $- \pi/2$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .

5.4. Matrices d’anti-rotation (h.p.)

Dans ce paragraphe, on considère que $(E, ( . \, | \,. ))$ est un espace euclidien orienté de dimension 3.
Soit une base orthonormale directe $\mathcal{B} = (i ,\, j , \, k)$ .
On suppose que $u$ est une isométrie dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $R'(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$ .
avec $\theta \notin \pi \, \mathbb{Z}$ .
$R'(\theta)$ est égale aux deux produits :
$\begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix} \,\begin{pmatrix} 1&0 & 0\\ 0& 1& 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$ .
$\begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 1& 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$ .
alors $u = r \circ s = s \circ r$ où $r$ est la rotation d’axe dirigé par $k$ et d’angle $\theta$ et $s$ est la réflexion par rapport au plan $\textrm{Vect}(i ,\, j)$ .

6. Endomorphismes symétriques

6.1. Résultats généraux

D : Un endomorphisme $u$ de l’espace euclidien $E$ est symétrique ssi $\forall\, (x, \, y) \in E^2, \;(u(x) \, | \, y) = (x \, | \, u(y))$ .

P1 : L’ensemble des endomorphismes symétriques de l’espace euclidien $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ noté $\mathcal{S}(E)$ .

P2 : Soit $E$ est un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$ .
Il y a équivalence entre :
$\ast$ $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ .
$\ast$ pour toute base orthonormale $\mathcal{B}$ de $E$ la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ est une matrice symétrique,
$\ast$ il existe une base orthonormale $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est une matrice symétrique.

P3 : Si $E$ est un espace euclidien de dimension $n > 0$ , $\quad \quad \textrm{dim } \mathcal {S}(E) =\displaystyle \frac { n(n + 1)} 2$ .

P4 : Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ , $\textrm{Ker }u$ et $\textrm{Im } u$ sont des supplémentaires orthogonaux.

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6.2. Réduction

$\bullet$ LE théorème (dit aussi théorème spectral) :
Si $u$ est un endomorphisme symétrique de l’espace vectoriel euclidien $E$ de dimension $n > 0$ , il existe une base orthonormale de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ .
$E$ est somme directe des sous-espaces propres de $u$ qui sont deux à deux orthogonaux.

$\bullet$ La traduction matricielle : soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , il existe une matrice $D$ diagonale et une matrice $P$ orthogonale d’ordre $n$ telles que $A = P\, D\, P\,^{\textrm{T}}$ .

Conséquences :
$\ast$ Si l’on demande de diagonaliser un endomorphisme $u$ d’un espace vectoriel euclidien $E$ , il faut commencer par se demander si $u$ est un endomorphisme symétrique.
$\ast$ Pour effectuer des raisonnements sur un endomorphisme symétrique $u$ , il peut être intéressant d’introduire une base orthonormale $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de vecteurs propres de $u$ .
$\ast$ Pour prouver des propriétés de $A$ symétrique réelle, il est en général utile de simplifier les calculs en écrivant $A = P \, D\, P\,^{\textrm{T}}$ où $D$ est diagonale et $P$ orthogonale.

$\bullet$ Méthode de réduction d’une matrice symétrique réelle $A$ (d’ordre $n$ )
$\ast$ a) Commencer par dire qu’elle est diagonalisable et qu’il existe une matrice $P$ orthogonale telle que $P^{\textrm{T}}\, A\, P$ soit diagonale.
$\ast$ b) Déterminer $\textrm{Sp}(A)$ (en général par calcul de $\chi_A$ ).
$\ast$ c) Déterminer une base orthonormale de vecteurs propres de $A$ , pour obtenir $P$ orthogonale.
i) Si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes, il suffit de déterminer une base de vecteurs propres et de normer chacun de ces vecteurs.
ii) Si $A$ a au moins une valeur propre multiple, pour chacune des valeurs propres multiples $\lambda$ , il sera nécessaire de déterminer une base orthonormale du sous-espace propre.
On peut commencer par déterminer une base de $\textrm{E}_{\lambda} (A)$ puis on peut l’orthonormaliser par le principe d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Cas particulier : $A \in \mathcal{S}_3 (\mathbb{R})$ a une valeur propre double $\alpha$ et une valeur propre simple $\beta$ .
Soit $u$ l’endomorphisme canonique- ment associé à $A$ .
Dans ce cas, $\mathbb{R} ^3 =\textrm{E}_{\alpha} (u) \oplus ^{\perp} \textrm{E}_{\beta} (u)$ où $\textrm{dim } \textrm{E}_{\alpha} (u) = 2$ et $\textrm{dim } \textrm{E}_{\beta} (u) = 1$ .
$\ast$ En traduisant $A X =\alpha X$ , on obtient une équation de plan de la forme $\quad \quad \lambda\, x + \mu \, y +\nu \,z = 0$ .
$\ast$ $(\lambda ,\, \mu ,\, \nu ) \in \left ( \textrm{E}_{\alpha} (u) \right ) ^{\perp} = \textrm{E}_{\beta} (u)$ .
On en déduit $a \in \mathbb{R} ^3$ tel que $\Vert a \Vert = 1$ et $u(a) = \beta\, a$ .
$\ast$ On introduit $b \in \mathbb{R} ^3$ tel que $\Vert b \Vert = 1$ et $(a \, |\, b) = 0$ , alors $u(b) = \alpha\, b$ car $\quad \quad \quad \left ( \textrm{E}_{\alpha} (u) \right ) ^{\perp} = \textrm{E}_{\beta} (u)$ .
$\ast$ Soit $c' \in \textrm{E}{\beta} (u)$ non colinéaire à $b$ . Par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, on détermine une base orthonormale $(b , c)$ de $\textrm{E}{\beta} (u)$ .
Alors $\mathcal{C}$ est une base orthonormale de vecteurs propres de $u$ .

h.p. en utilisant le produit vectoriel, (c’est plus rapide) :
$\ast$ On introduit $b \in \mathbb{R} ^3$ tel que $\Vert b \Vert = 1$ et $(a \, |\, b) = 0$ , alors $u(b) = \alpha\, b$ car $\left ( \textrm{E}_{\alpha} (u) \right ) ^{\perp} = \textrm{E}_{\beta} (u)$ .
$\ast$ Soit $c = a \wedge b$ . $\mathcal{C} = (a , \, b ,\, c)$ est une base orthonormale. On vérifie que $u(c) = \alpha\, c$ .
Alors $\mathcal{C}$ est une base orthonormale de vecteurs propres de $u$ .

6.3. Projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales

Résultats à savoir démontrer
Def : un projecteur $p$ est dit orthogonal lorsque $\textrm{Im}(p)$ et $\textrm{Ker}(p)$ sont orthogonaux.

R1 : Soit $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur de $E$ . $p$ est un projecteur orthogonal si, et seulement si, $p$ est un endomorphisme symétrique. ( au programme en MP)

R2 : Soit $E$ un espace euclidien et $s$ une symétrie de $E$ différente de $\pm \textrm{Id}_E$ . Il y a équivalence entre :
a) $s$ est une isométrie
b) $s$ est un endomorphisme symétrique
c) les sous espaces $\textrm{Ker}(s - \textrm{Id} _ E)$ et $\textrm{Ker}(s + \textrm{Id} _ E)$ sont des supplémentaires orthogonaux.
On dit que $s$ est une symétrie orthogonale.

7. Endomorphismes symétriques positifs (exercices)

7.1. Raisonnements sur les endomorphismes

Soit $E$ un espace euclidien.
Un endomorphisme $u$ symétrique de $E$ est dit positif si $\forall \, x \in E$ , $(u(x) \,| \, x) \geq 0$ .
Un endomorphisme $u$ symétrique de $E$ est dit défini positif si
$\quad \quad \forall \, x \in E \setminus \{0\}$ , $(u(x) \,| \, x) > 0$ .

Exercice 1
Soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$ . Montrer que :
$u$ est positif ssi $\textrm{Sp}(u) \subset \mathbb{R}^+$ ;
$u$ est défini positif ssi $\textrm{Sp}(u) \subset \mathbb{R}^{+*}$ .

Exercice 2
Soit $u$ un endomorphisme symétrique positif. Il existe un endomorphisme symétrique $v$ positif tel que $v^2 = u$ .
$v$ est unique.

7.2. Raisonnements sur les matrices

Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ .
$A$ est dite positive ssi $\quad \forall \, X \in \mathcal {M}_{n , 1} ( \mathbb{R}) , \; X^{\textrm{T}}\, A\, X \geq 0$ .
$A$ est dite définie positive ssi $\quad \forall \, X \in \mathcal {M}_{n , 1}(\mathbb{R}) \setminus \{0\}, \; X^{\textrm{T}}\, A\, X >0$ .
On note $\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices symétriques réelles positives et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices symétriques réelles définies positives.

Exercice 3
Montrer que
$A \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^+$
et $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^{+*}$ .

Exercice 4
a) Si $A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R})$ , la matrice $B = A^{\textrm{T}} \, A$ est une matrice symétrique positive.
b) Si $A \in \textrm{GL}_n\mathbb{R})$ , la matrice $B = A^{\textrm{T}} \, A$ est une matrice symétrique définie positive.

Exercice 5
Si $A$ est une matrice symétrique positive, il existe $B$ symétrique positive telle que $A = B^2$ .

Exercice 6
Soit $A \in \mathcal{S} _ n(\mathbb{R})$ et $u$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ .
$u$ est un endomorphisme symétrique positif (resp. défini positif) ssi $A$ est une matrice symétrique positive (resp. définie positive).

Les deux points de vue ont été développés de façon indépendante de façon à pouvoir être utilisés dans un devoir.

Exercices sur les espaces euclidiens en maths spé

Plan

1. Famille libre de matrices de rang 1 (25 mn)
2. Sur les projections orthogonales (60 mn)
3. Base orthonormale et distance à un s.e.v. (15 mn)
4. Caractérisation de sous-espaces orthogonaux en termes de distances. (30 mn)
5. Endomorphisme 1-lipschitzien d’un espace euclidien (30 mn)
6. Matrice telle que $A^ {\textrm{T}}\, A = A \, A^ {\textrm{T}}$ (40 mn).

1. Famille libre de matrices de rang 1

Soient $E = \mathcal{M}_{n,\, 1}(\mathbb{R})$ et $(p , q) \in [\![1 , n]\!]^2$ .
Soient $(X_1 \,, \,X_2 ,\, \cdots\, , \, X_p)$ et $(Y_1 \,, \,Y_2 ,\, \cdots\, , \, Y_q)$ deux familles libres de $E$ .
La famille $(Y_j\, X_i^{\textrm{T}})_{1 \leq i \leq p ,1\leq j \leq q }$ est une famille libre de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ formée de matrices de rang 1. Vrai ou Faux ?

Question 2
Si $(X_1 \,, \,X_2 ,\, \cdots\, , \, X_n)$ est une base orthonormale de $E$ pour le produit scalaire usuel, $\mathcal {C} = (X_j\, X_i^{\textrm{T}})_{1 \leq i, j \leq n }$ est une base orthonormale de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire usuel noté $< . \, ,\, . >$ .

2. Sur les projections orthogonales

Question 1
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie du préhilbertien $(E , \, (. \, | \, . )$ et $p_F$ la projection orthogonale sur $F$ .
a) $F =\{ x \in E \, / \, \Vert p_F(x) \Vert = \Vert x \Vert \}$
b) Pour tout $x \in E ,\, \Vert p_F(x) \Vert \leq \Vert x \Vert$
c) $p_F$ vérifie $\forall \, (x , \, y) \in E^2, \, (p_F(x) \, | \, y) = (x \, | \, p_F(y))$

Question 2
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de dimension finie.
On suppose que $p_F \circ p_G = p_H\,$ .
a) Caractériser $H$ .
b) On suppose toujours $p_F \circ p_G = p_H\,$ .
$p_F \circ p_G = p_G \circ p_F$

Question 3
On se place dans un espace euclidien de dimension 3 de base orthonormale $(i ,\, j , \,k)$ .
a) Les sous-espaces $F = \textrm{Vect}(i + j)$ et $F' = \textrm{Vect}(i - j,\, k)$ sont des supplémentaires orthogonaux.
b) Soit $G = \textrm{Vect}(i + k)$ .
$p_F \circ p_G$ est une projection orthogonale

Question 4
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de dimension finie du préhilbertien $(E , \, (. \, | \, . ))$ .
On suppose que $p_F \circ p_G = p_G \circ p_F\, .$
$p_F \circ p_G$ est une projection orthogonale.

Question 5
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de dimension finie du préhilbertien $(E , \, (. \, | \, . ))$ .
$p_F \circ p_G = p_G \circ p_F$ ssi $F$ et $F ^\perp$ sont stables par $p_G$ .

Question 6
On note $\mathbb{P}$ l’ensemble des projections orthogonales définies sur l’espace euclidien $E$ de dimension $n > 0$ .
$\mathbb{P}$ est une partie compacte de $\mathcal{ L}(E)$ .

3. Base orthonormale et distance à un plan.

On se place dans $\mathbb{R}^4$ .
On considère le sous-espace vectoriel $F$ d’équations $x - y + z + t = 0$ et $x - y - 2 z - t = 0$ .
Question 1
$F$ admet pour base $(a , b)$ avec $a = (1 , 1 , 0 , 0)$ et $b= (1 , 0 , \lambda , \mu )$

Question 2
Trouver une base orthonormale de $F$ .

Question 3
La distance de $v = (1 , 0 , - 1 , 0)$ à $F$ est égale à
a) $\displaystyle \frac {2 \sqrt{3}} 3$ b ) $\displaystyle \frac 2 3$

4. Caractérisation de supplémentaires orthogonaux en terme de distances.

Mines Ponts PC 2014.
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d’un espace euclidien $(E, (. \, | \, .))$ et on note $\Vert . \Vert$ la norme euclidienne associée.
Montrer que $F$ et $G$ sont des s.e.v. supplémentaires orthogonaux si, et seulement si, pour tout $x \in E$ , $\Vert x \Vert ^2 = (d(x ,\, F))^2 + (d(x ,\, G))^2$ .

5. Endomorphisme 1-lipschitzien d’un espace euclidien

Mines Ponts MP
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que pour tout $x \in E,\, \Vert f(x)\Vert \leq \Vert x \Vert$ .
On définit $g$ tel que pour tout $x$ et $y$ dans $E$ , $(g(x)\, |\, y) = (x \,| \, f(y))$ .
Question 1
a) Justifier l’existence de $g$ et montrer que $g$ est un endomorphisme de $E$ .
b) Pour tout $x \in E,$ $\Vert g(x)\Vert \leq \Vert x \Vert$ .

Question 2
$f(x) = x \Leftrightarrow g(x) = x$ .

Question 3
$E = \textrm{Im}(f - \textrm{Id}) \oplus^{\perp} \textrm{Ker}(f - \textrm{Id}).$

6. Matrice telle que $A^ {\textrm{T}}\, A = A \, A^ {\textrm{T}}$

CCP PSI 2006
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .
On suppose que $A^ {\textrm{T}}\, A = A \, A^ {\textrm{T}}$ .
On note $u$ (resp. $v$ ) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice $A$ (resp. $A^ {\textrm{T}}$ ).
Question 1
Montrer que $\quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R}^n,\, \Vert u(x) \Vert = \Vert v(x) \Vert .$
En déduire que $\textrm{Ker } u = \textrm{Ker } v$ .

Question 2
$u$ et $v$ ont les mêmes valeurs propres et les mêmes sous espaces propres.

Question 3
Soient $\lambda$ et $\mu$ deux valeurs propres distinctes de $u$ . Les sous-espaces propres associés sont orthogonaux.

Question 4
$\mathbb{R}^n = \textrm{Ker } u \oplus \textrm{Im } u$ .

Autres exercices sur les espaces euclidiens

Plan

1. Matrices blocs et matrices orthogonales (15mn)
2. Sur les coefficients d’une matrices orthogonale (35 mn)
3. Conservation de l’orthogonalité (25 mn)
4. Réflexions (40 mn)
5. Rotation en dimension 3 – exercice 1 (20 mn)
6. Rotation en dimension 3 – exercice 2 (25 mn) J’ai oublié de le supprimer. A ne pas faire, hp MP
7. Isométries de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (30 mn)
8. Endomorphismes antisymétriques et isométries (40 mn)
9. Matrices telles que $A^\textrm{T}\, A = B^\textrm{T}\, B$ (40 mn).

1. Matrices blocs et matrices orthogonales

Soient $(n , p) \in\mathbb{N}^{*2}$ , $A \in \mathcal{M} _ {n}(\mathbb{R})$ , $B \in \mathcal{M} _ {n,p}(\mathbb{R})$ , $C \in \mathcal{M} _ {p,n}(\mathbb{R})$ et $D \in \mathcal{M} _ {p}(\mathbb{R})$ .
On suppose que $M = \begin{pmatrix} A&B\\C&D \end{pmatrix}\in O_{n + p} (\mathbb{R})$ et $A\in O_{n} (\mathbb{R})$ ou $D \in O_{p} (\mathbb{R})$ .
Montrer que
$B = 0, C = 0, A \in O_{n} (\mathbb{R})$ et $D\in O_{ p} (\mathbb{R})$ .

2. Sur les coefficients d’une matrice orthogonale

Soit $A\in O_{n} (\mathbb{R})$ , $A = (a_{i, j})_{1\leq i,j\leq n}$ .
Question 1
Montrer que $\displaystyle \left \vert \sum _ {i = 1} ^n \sum _ {j = 1} ^n a_{i,j} \right \vert \leq n$ . Étudier le cas d’égalité.

Question 2
a) $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _ {j = 1} ^n \vert a_{i,j} \vert \leq n\, \sqrt{n}$ .
b) Cas d’égalité

Question 3
a) $\displaystyle n \leq \sum _ {i = 1} ^n \sum _ {j = 1} ^n \vert a_{i,j} \vert$ .
b) Cas d’égalité.

3. Conservation de l’orthogonalité

Question 1
Soit $u$ un endomorphisme non nul de l’espace vectoriel euclidien $E$ .
$u$ est une isométrie ssi deux vecteurs orthogonaux ont deux images par $u$ orthogonales

Question 2
Si $u$ est un endomorphisme non nul de l’espace euclidien $E$ tel que deux vecteurs orthogonaux ont deux images orthogonales, il existe $\lambda \in \mathbb{R}^{+*}$ et une isométrie $v$ tels que $u = \lambda v$ .

Question 3
Mines Ponts PC 2018
Déterminer l’ensemble des endomor- phismes $u$ non nuls de $E$ tels que pour tout sev $V$ de $E$ , $u(V ^{\perp} ) \subset (u(V))^{\perp}$ .

4. Réflexions

CCP MP 2017
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n >0$ .
Soit $u \in E \setminus \{0\}$ . On pose $H = (\mathbb{R} \, u)^{\perp}$ .
On rappelle qu’une réflexion par rapport à l’hyperplan $H$ est la symétrie de $E$ sur $H$ par rapport à $H^{\perp}$ .
Soit $s$ la réflexion par rapport à $H$ et $f \in O(E)$ .
Question 1
$s$ est une isométrie.

Question 2
$f \circ s \circ f^{-1}$ est une réflexion par rapport à
a) $H$ b) $f(H)$ c) $f^{-1}(H)$ .

Question 3
$f$ et $s$ commutent si, et seulement si, $u$ est vecteur propre de $f$ .

Question 4 Première application de la question 3
Le centre de $O(E)$ c’est à dire l’ensemble des $g \in O(E)$ tels que pour tout $f \in O(E)$ , $f \circ g = g \circ f$ est égal à $\{\textrm{Id}_E \}$ .

Question 5 Deuxième application de la question 3
Soient $u$ et $f$ deux réflexions par rapport aux hyperplans $H$ et $H'$ respectivement.
$f$ et $s$ permutent ssi $H'^{\textrm{T }} \subset H$ ou $H' = H$ .

5- Rotation en dimension 3 – exercice 1

Soit $\mathcal{B} = (e_1 \,, \,e_2 \,,\, e_3)$ une base orthonormale directe de $\mathbb{R}^3$ .
Démontrer qu’il existe une unique rotation $r$ telle que $r(e_1) = - e_2$ et si $u = e_1 - e_2 + e_3$ , $r(u) = u$ .
Donner la matrice de $r$ dans la base $\mathcal{B}$ et en donner les éléments caractéris- tiques.

6. Isométries de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique noté $<., . >$ .
Soit $P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . On définit $\varphi : A \mapsto A \, P$ et et $\psi : A \mapsto P^{-1} \, A \, P$ .
Question 1
Soit $P \in O_n(\mathbb{R})$ .
$\varphi$ et $\psi$ sont des isométries de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Question 2
Si $\varphi$ est une isométrie de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , la matrice $P$ est-elle orthogonale ?

Question 3
Si $\psi$ est une isométrie de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , la matrice $P$ est-elle orthogonale ?

7. Endomorphismes antisymétriques et isométries

Soient $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$ . On dit que $u$ est un endomorphisme antisiymétrique lorsque $\forall \, x \in E,\, (u(x)\, | \, x) = 0$ .
Question 1. Navale PSI
Si $u$ est un endomorphisme antisymétrique, $\textrm{Im}(u) \oplus^{\perp} \textrm{Ker}(u) = E$ .

Question 2
$u$ un endomorphisme de $E$ vérifie $\forall \, x \in E ,\, (u(x)\, | \, x) = 0$ ssi sa matrice dans une base orthonormale est antisymétrique.

Question 3
Si $u$ est un endomorphisme antisymétrique, $\textrm{Sp}(u) \subset \{0\}$ .

Question 4
a) Si $u$ est un endomorphisme antisymétrique, $\quad \quad v = (\textrm{Id}_E - u) \circ (\textrm{Id}_E + u)^{ - 1}$
est défini et est une isométrie
b) L’endomorphisme $v$ ainsi défini est une rotation et n’admet pas $-1$ comme valeur propre.

Question 5
Soit $v$ une isométrie n’admettant pas $-1$ pour valeur propre.
Il existe un unique endomorphisme antisymétrique $u$ de $E$ tel que $\quad \quad v = (\textrm{Id}_E - u) \circ (\textrm{Id}_E + u)^{ - 1}$ .

8. Matrices telles que $A^\textrm{T}\, A = B^\textrm{T}\, B$

MInes Ponts PSI 2015
Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n> 1$ vérifiant $A^\textrm{T}\, A = B^\textrm{T}\, B$ .
Question 1
$\textrm{Ker}(A) = \textrm{Ker}(B)$ .

Question 2
Soient $f$ et $g$ les endomorphismes canoniquement associés à $A$ et $B$ et $E = \mathbb{R}^n$ .
$\forall \, (x,\, y) \in E^2$ , $\quad \quad (f(y) \, |\, f(x)) = (g(y) \, |\, g(x))$ .

Question 3
Soit $p = \textrm{rg}(f)$ .
Il existe $(x_1\, , \, \cdots \, , \, x_p) \in E^p$ tel que $(f(x_1)\, , \, \cdots \, , \, f(x_p))$ soit une base de $\textrm{Im }f$ et $(g(x_1)\, , \, \cdots \, , \, g(x_p))$ soit une base de $\textrm{Im }g$ .

Question 4
Montrer qu’il existe $O$ , matrice orthogonale, telle que $B = O \, A$ .

Annales sur les espaces euclidiens en maths spé

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2. Utilisation du produit vectoriel

3. Caractérisation des isométries et des matrices orthogonales

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4. Matrices orthogonales d’ordre 2

5. Matrices orthogonales d’ordre 3

5.1. Réduction en base orthonormale d’une isométrie

5.2. Matrices orthogonales et symétriques

5.3. Matrices de rotation

5.4. Matrices d’anti-rotation (h.p.)

6. Endomorphismes symétriques

6.1. Résultats généraux

6.2. Réduction

6.3. Projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales

7. Endomorphismes symétriques positifs (exercices)

7.1. Raisonnements sur les endomorphismes

7.2. Raisonnements sur les matrices

Exercices sur les espaces euclidiens en maths spé

Plan

1. Famille libre de matrices de rang 1

2. Sur les projections orthogonales

3. Base orthonormale et distance à un plan.

4. Caractérisation de supplémentaires orthogonaux en terme de distances.

5. Endomorphisme 1-lipschitzien d’un espace euclidien

Autres exercices sur les espaces euclidiens

Plan

1. Matrices blocs et matrices orthogonales

2. Sur les coefficients d’une matrice orthogonale

3. Conservation de l’orthogonalité

4. Réflexions

5- Rotation en dimension 3 – exercice 1

7. Endomorphismes antisymétriques et isométries

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