Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Espaces Euclidiens pour les MP, PC, PSI et PT
Résumé de cours Exercices Annales
Résumé de cours et méthodes – Espaces Euclidiens
Plan
On suppose que est un espace euclidien.
1. Rappel des propriétés du produit scalaire dans un espace vectoriel euclidien .
2. Utilisation du produit vectoriel.
3. Caractérisation des isométries et des matrices orthogonales.
4. Matrices orthogonales d’ordre 2.
5. Matrices orthogonales d’ordre 3.
6. Endomorphismes symétriques.
7. Endomorphismes symétriques positifs (exercices).
1. Rappel des propriétés du produit scalaire dans un espace vectoriel euclidien .
M1. Utilisation d’une base orthonormale ,
.
,
et , alors et .
Si l’on note et les matrices colonnes de et dans la base , .
M2. Si est une base orthonormale de l’espace euclidien et si où , (à redémontrer).
M3. Si est un produit scalaire sur l’espace vectoriel euclidien de base , on peut définir la matrice où ,
(on dit que est la matrice du produit scalaire dans la base ).
En notant et ,
.
M4. Si est une forme linéaire sur l’espace euclidien , il existe un unique vecteur tel que .
Exercice :
Soit et une forme linéaire sur . Il existe une unique matrice telle que .
2. Utilisation du produit vectoriel
P1 est une application bilinéaire définie sur à valeurs dans vérifiant :
.
si, et seulement si, la famille est liée.
.
la famille est libre ssi est une base directe de
P2 Identité de Lagrange : .
P3 Si et sont deux vecteurs non nuls : , où est la mesure de l’angle de vecteurs et
vérifie .
P4 interprétation du produit mixte lorsque et forment une famille libre :
est égal au volume du parallélépipède construit sur les vecteurs et .
est égal à 6 fois le volume du tétraèdre construit sur les vecteurs et .
P5 Si est une base orthonormale directe de l’espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 :
, et .
si et ,
est égal à
P6 double produit vectoriel :
Pour tous vecteurs et de ,
et .
Pour retenir la formule : vecteur du milieu multiplié par le produit scalaire des deux autres moins le produit du vecteur restant dans la parenthèse multiplié par le produit scalaire des deux autres.
3. Caractérisation des isométries et des matrices orthogonales
Si est un espace vectoriel euclidien de dimension et si , il y a équivalence entre :
1. est une isométrie (ou un automorphisme orthogonal),
2. ,
3. ,
4. pour toute base orthonormale de est une base orthonormale de ,
5. il existe une base orthonormale de telle que soit une base orthonormale de ,
6. la matrice de dans une base orthonormale est une matrice orthogonale.
On note l’ensemble des isométries de , est un sous-groupe de appelé groupe orthogonal de .
Si est une isométrie, .
On note l’ensemble des rotations de (isométries de de déterminant égal à 1), est un sous-groupe de appelé groupe spécial orthogonal de .
n’implique pas que est une isométrie.
Si et si est le système de ses vecteurs colonnes, il y a équivalence entre :
1. est une matrice orthogonale,
2. ,
3. ,
4. ,
5. est une base orthonormale de l’espace vectoriel euclidien pour la structure euclidienne canonique,
6. ,
7. est la matrice d’une isométrie de , espace euclidien de dimension , dans une base orthonormale.
On note l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre .
est un sous-groupe de appelé groupe orthogonal d’ordre .
Si , .
est un sous-groupe de noté et appelé groupe spécial orthogonal d’ordre .
n’implique pas que est une matrice orthogonale.
À savoir redémontrer :
1. Si est un espace euclidien et , .
2. Si , .
3. Si , .
4. est une partie compacte de .
Réduction d’une isométrie :
Soient un espace euclidien et une isométrie.
Il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de est diagonale par blocs, les blocs étant de la forme et où .
Réduction d’une matrice orthogonale :
Toute matrice orthogonale est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, les blocs étant de la forme , et où .
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4. Matrices orthogonales d’ordre 2
P1 : Toute matrice de s’écrit
si son déterminant est égal à .
si son déterminant est égal à .
P2 : est un groupe commutatif.
Pour tout ,
et .
.
P3 : Soit un plan euclidien orienté et , il existe un unique réel de tel que la matrice de dans toute base orthonormale directe de s’écrive .
On dit que est une rotation d’angle de mesure .
P4 : Si est une rotation du plan euclidien orienté , on détermine une mesure de l’angle de la rotation en introduisant un vecteur unitaire et en résolvant
et
( est le produit mixte de et soit le déterminant de dans une base orthonormale directe).
P5 : Si est une isométrie du plan euclidien de déterminant égal à , il existe un réel tel que la matrice de dans une base orthonormale soit . est alors la réflexion, i.e. la symétrie orthogonale par rapport à où est un vecteur directeur de la droite
5. Matrices orthogonales d’ordre 3
5.1. Réduction en base orthonormale d’une isométrie
P1 : Si est une isométrie d’un espace euclidien de dimension 3, il existe une base orthonormale de et un réel tels que la matrice de dans la base s’écrive :
ou .
P2 : Si , il existe une matrice orthogonale d’ordre 3 et un réel tels que
ou .
Remarque : on peut supposer que la base du premier résultat est orthonormale directe (si n’est pas orthonormale directe, est directe et la matrice de dans est égale à la matrice de dans la base .)
On peut donc aussi supposer que est une matrice orthogonale directe dans le résultat 2).
Les résultats résumés ci-dessous sont développés dans les différents paragraphes qui suivent :
1er cas : matrice
1er sous-cas : ,
, .
2ème sous-cas : où ,
est une symétrie orthogonale par rapport à (cf §5.2.).
est symétrique de déterminant égal à 1.
On peut aussi dire que est une rotation d’axe dirigé par et d’angle .
3ème sous-cas : et est une base directe,
est une rotation d’axe dirigé par et d’angle (cf § 5.3.).
2ème cas matrice
1er sous-cas :
est une réflexion par rapport à (cf §5.2.).
est symétrique de déterminant égal à .
2ème sous-cas : où
, .
3ème sous-cas : et est une base directe
h.p : est une anti-rotation (cf § 5.4.).
5.2. Matrices orthogonales et symétriques
M1. Interprétation d’une matrice orthogonale d’ordre 3 et symétrique.
Si et si , est la matrice d’une symétrie orthogonale notée .
Dans le cas où ,
si , est une réflexion c’est-à-dire une symétrie telle que les sous espaces vectoriels et sont des supplémentaires orthogonaux et .
La résolution de l’équation donne l’équation d’un plan et on détermine un vecteur orthogonal à ce plan .
est la réflexion par rapport au plan .
si , est un retournement ou demi-tour (une symétrie telle que et sont des sous espaces supplémentaires orthogonaux et ).
En résolvant , on obtient l’équation d’un plan , on détermine un vecteur orthogonal à ce plan .
est le demi-tour par rapport à la droite .
Remarque :
est la réflexion par rapport au plan ssi est le retournement par rapport à la droite .
M2. On se place ici dans un espace euclidien de dimension
Écriture matricielle d’une symétrie orthogonale (c’est-à-dire une symétrie telle que les sous-espaces vectoriels et sont des supplémentaires orthogonaux. On suppose ici que .
M2.1. Traduction de la symétrie orthogonale par rapport à la droite où .
La projection orthogonale sur est définie par , la symétrie vérifie , soit .
Si est la matrice de dans une base orthonormale , on peut démontrer que la matrice de dans la base est .
M2.2. Traduction de la réflexion par rapport à l’hyperplan où est un vecteur unitaire :
La projection orthogonale sur est définie par ,
la projection orthogonale sur est définie par .
La symétrie par rapport à est définie par , soit .
Lorsque est la matrice de dans une base orthonormale , la matrice de la réflexion dans la base est égale à (à démontrer).
On pourra s’aider du dessin suivant pour la réflexion par rapport à .
5.3. Matrices de rotation
Dans ce paragraphe, on considère que est un espace euclidien orienté de dimension 3.
M1. Si est une base orthonormale directe de , la matrice de la rotation d’axe dirigé par le vecteur et d’angle de mesure dans la base est .
De plus, si . (sauf MP)
M2. Soit la matrice d’une rotation
1- Si est une mesure de l’angle de la rotation : .
2- On détermine un vecteur unitaire de l’axe de la rotation en résolvant (soit ).
3- On détermine le signe de en prenant et en utilisant a même signe que le produit mixte .
en effet .
exercice
Soit . Caractériser l’endomorphisme canoniquement associé.
M3. Pour écrire la matrice de la rotation d’axe dirigée par le vecteur unitaire et d’angle , on introduit un vecteur unitaire tel que . On détermine tel que soit une base orthonormale directe. Dans cette base, la matrice de est la matrice écrite dans M1, puis en introduisant la matrice de passage de la base orthonormale directe de l’énoncé à la base , par la formule de changement de bases.
(h.p. : ).
Exercice :
Ecrire la matrice de la rotation de d’axe dirigé par et d’angle de mesure dans la base canonique de .
5.4. Matrices d’anti-rotation (h.p.)
Dans ce paragraphe, on considère que est un espace euclidien orienté de dimension 3.
Soit une base orthonormale directe .
On suppose que est une isométrie dont la matrice dans est .
avec .
est égale aux deux produits :
.
.
alors où est la rotation d’axe dirigé par et d’angle et est la réflexion par rapport au plan .
6. Endomorphismes symétriques
6.1. Résultats généraux
D : Un endomorphisme de l’espace euclidien est symétrique ssi .
P1 : L’ensemble des endomorphismes symétriques de l’espace euclidien est un sous-espace vectoriel de noté .
P2 : Soit est un espace euclidien et .
Il y a équivalence entre :
est un endomorphisme symétrique de .
pour toute base orthonormale de la matrice de dans la base est une matrice symétrique,
il existe une base orthonormale de dans laquelle la matrice de est une matrice symétrique.
P3 : Si est un espace euclidien de dimension , .
P4 : Si est un endomorphisme symétrique de , et sont des supplémentaires orthogonaux. 🧡
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6.2. Réduction
LE théorème (dit aussi théorème spectral) :
Si est un endomorphisme symétrique de l’espace vectoriel euclidien de dimension , il existe une base orthonormale de formée de vecteurs propres de .
est somme directe des sous-espaces propres de qui sont deux à deux orthogonaux.
La traduction matricielle : soit , il existe une matrice diagonale et une matrice orthogonale d’ordre telles que .
Conséquences :
Si l’on demande de diagonaliser un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien , il faut commencer par se demander si est un endomorphisme symétrique.
Pour effectuer des raisonnements sur un endomorphisme symétrique , il peut être intéressant d’introduire une base orthonormale de vecteurs propres de .
Pour prouver des propriétés de symétrique réelle, il est en général utile de simplifier les calculs en écrivant où est diagonale et orthogonale.
Méthode de réduction d’une matrice symétrique réelle (d’ordre )
a) Commencer par dire qu’elle est diagonalisable et qu’il existe une matrice orthogonale telle que soit diagonale.
b) Déterminer (en général par calcul de ).
c) Déterminer une base orthonormale de vecteurs propres de , pour obtenir orthogonale.
i) Si a valeurs propres distinctes, il suffit de déterminer une base de vecteurs propres et de normer chacun de ces vecteurs.
ii) Si a au moins une valeur propre multiple, pour chacune des valeurs propres multiples , il sera nécessaire de déterminer une base orthonormale du sous-espace propre.
On peut commencer par déterminer une base de puis on peut l’orthonormaliser par le principe d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Cas particulier : a une valeur propre double et une valeur propre simple .
Soit l’endomorphisme canonique- ment associé à .
Dans ce cas, où et .
En traduisant , on obtient une équation de plan de la forme .
.
On en déduit tel que et .
On introduit tel que et , alors car .
Soit non colinéaire à . Par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, on détermine une base orthonormale de .
Alors est une base orthonormale de vecteurs propres de .
h.p. en utilisant le produit vectoriel, (c’est plus rapide) :
On introduit tel que et , alors car .
Soit . est une base orthonormale. On vérifie que .
Alors est une base orthonormale de vecteurs propres de .
6.3. Projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales
Résultats à savoir démontrer
Def : un projecteur est dit orthogonal lorsque et sont orthogonaux.
R1 : Soit un espace euclidien et un projecteur de . est un projecteur orthogonal si, et seulement si, est un endomorphisme symétrique. ( au programme en MP)
R2 : Soit un espace euclidien et une symétrie de différente de . Il y a équivalence entre :
a) est une isométrie
b) est un endomorphisme symétrique
c) les sous espaces et sont des supplémentaires orthogonaux.
On dit que est une symétrie orthogonale.
7. Endomorphismes symétriques positifs (exercices)
7.1. Raisonnements sur les endomorphismes
Soit un espace euclidien.
Un endomorphisme symétrique de est dit positif si , .
Un endomorphisme symétrique de est dit défini positif si
, .
Exercice 1
Soit un endomorphisme symétrique de . Montrer que :
est positif ssi ;
est défini positif ssi .
Exercice 2
Soit un endomorphisme symétrique positif. Il existe un endomorphisme symétrique positif tel que .
est unique.
7.2. Raisonnements sur les matrices
Soit .
est dite positive ssi .
est dite définie positive ssi .
On note l’ensemble des matrices symétriques réelles positives et l’ensemble des matrices symétriques réelles définies positives.
Exercice 3
Montrer que
et .
Exercice 4
a) Si , la matrice est une matrice symétrique positive.
b) Si , la matrice est une matrice symétrique définie positive.
Exercice 5
Si est une matrice symétrique positive, il existe symétrique positive telle que .
Exercice 6
Soit et l’endomorphisme canoniquement associé à .
est un endomorphisme symétrique positif (resp. défini positif) ssi est une matrice symétrique positive (resp. définie positive).
Les deux points de vue ont été développés de façon indépendante de façon à pouvoir être utilisés dans un devoir.
Exercices sur les espaces euclidiens en maths spé
Plan
1. Famille libre de matrices de rang 1 (25 mn)
2. Sur les projections orthogonales (60 mn)
3. Base orthonormale et distance à un s.e.v. (15 mn)
4. Caractérisation de sous-espaces orthogonaux en termes de distances. (30 mn)
5. Endomorphisme 1-lipschitzien d’un espace euclidien (30 mn)
6. Matrice telle que (40 mn).
1. Famille libre de matrices de rang 1
Soient et .
Soient et deux familles libres de .
La famille est une famille libre de formée de matrices de rang 1. Vrai ou Faux ?
Question 2
Si est une base orthonormale de pour le produit scalaire usuel, est une base orthonormale de muni du produit scalaire usuel noté .
2. Sur les projections orthogonales
Question 1
Soit un sous-espace vectoriel de dimension finie du préhilbertien et la projection orthogonale sur .
a)
b) Pour tout
c) vérifie
Question 2
Soient et deux sous-espaces vectoriels de dimension finie.
On suppose que .
a) Caractériser .
b) On suppose toujours .
Question 3
On se place dans un espace euclidien de dimension 3 de base orthonormale .
a) Les sous-espaces et sont des supplémentaires orthogonaux.
b) Soit .
est une projection orthogonale
Question 4
Soient et deux sous-espaces vectoriels de dimension finie du préhilbertien .
On suppose que
est une projection orthogonale.
Question 5
Soient et deux sous-espaces vectoriels de dimension finie du préhilbertien .
ssi et sont stables par .
Question 6
On note l’ensemble des projections orthogonales définies sur l’espace euclidien de dimension .
est une partie compacte de .
3. Base orthonormale et distance à un plan.
On se place dans .
On considère le sous-espace vectoriel d’équations et .
Question 1
admet pour base avec et
Question 2
Trouver une base orthonormale de .
Question 3
La distance de à est égale à
a) b )
4. Caractérisation de supplémentaires orthogonaux en terme de distances.
Mines Ponts PC 2014.
Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un espace euclidien et on note la norme euclidienne associée.
Montrer que et sont des s.e.v. supplémentaires orthogonaux si, et seulement si, pour tout , .
5. Endomorphisme 1-lipschitzien d’un espace euclidien
Mines Ponts MP
Soit un espace vectoriel euclidien et un endomorphisme de tel que pour tout .
On définit tel que pour tout et dans , .
Question 1
a) Justifier l’existence de et montrer que est un endomorphisme de .
b) Pour tout .
Question 2
.
Question 3
6. Matrice telle que
CCP PSI 2006
Soit .
On suppose que .
On note (resp. ) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice (resp. ).
Question 1
Montrer que
En déduire que .
Question 2
et ont les mêmes valeurs propres et les mêmes sous espaces propres.
Question 3
Soient et deux valeurs propres distinctes de . Les sous-espaces propres associés sont orthogonaux.
Question 4
.
Autres exercices sur les espaces euclidiens
Plan
1. Matrices blocs et matrices orthogonales (15mn)
2. Sur les coefficients d’une matrices orthogonale (35 mn)
3. Conservation de l’orthogonalité (25 mn)
4. Réflexions (40 mn)
5. Rotation en dimension 3 – exercice 1 (20 mn)
6. Rotation en dimension 3 – exercice 2 (25 mn) J’ai oublié de le supprimer. A ne pas faire, hp MP
7. Isométries de (30 mn)
8. Endomorphismes antisymétriques et isométries (40 mn)
9. Matrices telles que (40 mn).
1. Matrices blocs et matrices orthogonales
Soient , , , et .
On suppose que et ou .
Montrer que
et .
2. Sur les coefficients d’une matrice orthogonale
Soit , .
Question 1
Montrer que . Étudier le cas d’égalité.
Question 2
a) .
b) Cas d’égalité
Question 3
a) .
b) Cas d’égalité.
3. Conservation de l’orthogonalité
Question 1
Soit un endomorphisme non nul de l’espace vectoriel euclidien .
est une isométrie ssi deux vecteurs orthogonaux ont deux images par orthogonales
Question 2
Si est un endomorphisme non nul de l’espace euclidien tel que deux vecteurs orthogonaux ont deux images orthogonales, il existe et une isométrie tels que .
Question 3
Mines Ponts PC 2018
Déterminer l’ensemble des endomor- phismes non nuls de tels que pour tout sev de , .
4. Réflexions
CCP MP 2017
Soit un espace euclidien de dimension .
Soit . On pose .
On rappelle qu’une réflexion par rapport à l’hyperplan est la symétrie de sur par rapport à .
Soit la réflexion par rapport à et .
Question 1
est une isométrie.
Question 2
est une réflexion par rapport à
a) b) c) .
Question 3
et commutent si, et seulement si, est vecteur propre de .
Question 4 Première application de la question 3
Le centre de c’est à dire l’ensemble des tels que pour tout , est égal à .
Question 5 Deuxième application de la question 3
Soient et deux réflexions par rapport aux hyperplans et respectivement.
et permutent ssi ou .
5- Rotation en dimension 3 – exercice 1
Soit une base orthonormale directe de .
Démontrer qu’il existe une unique rotation telle que et si , .
Donner la matrice de dans la base et en donner les éléments caractéris- tiques.
6. Isométries de
On munit du produit scalaire canonique noté .
Soit . On définit et et .
Question 1
Soit .
et sont des isométries de .
Question 2
Si est une isométrie de , la matrice est-elle orthogonale ?
Question 3
Si est une isométrie de , la matrice est-elle orthogonale ?
7. Endomorphismes antisymétriques et isométries
Soient un espace euclidien et un endomorphisme de . On dit que est un endomorphisme antisiymétrique lorsque .
Question 1. Navale PSI
Si est un endomorphisme antisymétrique, .
Question 2
un endomorphisme de vérifie ssi sa matrice dans une base orthonormale est antisymétrique.
Question 3
Si est un endomorphisme antisymétrique, .
Question 4
a) Si est un endomorphisme antisymétrique,
est défini et est une isométrie
b) L’endomorphisme ainsi défini est une rotation et n’admet pas comme valeur propre.
Question 5
Soit une isométrie n’admettant pas pour valeur propre.
Il existe un unique endomorphisme antisymétrique de tel que .
8. Matrices telles que
MInes Ponts PSI 2015
Soient et deux matrices carrées d’ordre vérifiant .
Question 1
.
Question 2
Soient et les endomorphismes canoniquement associés à et et .
, .
Question 3
Soit .
Il existe tel que soit une base de et soit une base de .
Question 4
Montrer qu’il existe , matrice orthogonale, telle que .
Annales sur les espaces euclidiens en maths spé
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