Cours en ligne Maths en Maths Spé
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Les Espaces Vectoriels en MP, PC, MPI, PSI, PT
Résumé de cours Exercices et corrigés
Exercices et corrigés – espaces vectoriels
1. Famille libre
On note l’espace vectoriel des fonctions de dans .
Si , on note
Montrer que la famille est libre.
Corrigé de l’exercice :
Si , on note
: la famille est libre.
est vraie, car
On suppose que est vraie.
Si l’on avait Vect, il existerait des réels tels que
En dérivant deux fois la relation et en utilisant , on obtient :
En formant , on obtient
.
Par indépendance de la famille pour tout , donc car
On en déduit que ce qui est absurde.
n’est pas combinaison linéaire de la famille libre , donc est libre.
On a prouvé
La propriété est démontrée par récurrence. On en déduit que la famille est libre.
Quand le chapitre diagonalisation a été traité, la démonstration est plus simple.
On se place sur l’espace vectoriel des fonctions de classe de dans et on introduit l’endomorphisme de : .
Il suffit de remarquer que et .
On a donc introduit une famille de vecteurs propres de associés à des valeurs propres deux à deux distinctes. Elle est libre.
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2. Endomorphisme et supplémentaires
Soit un espace vectoriel et un endomorphisme de tel que et .
Question 1
Montrer que .
Question 2
Question 3
Corrigé de l’exercice :
1/ et sont des sous-espaces vectoriels de .
On raisonne par analyse-synthèse.
Analyse :
Soit . On suppose qu’il existe et tels que .
Alors et .
Donc .
Si la décomposition existe, elle est unique.
Synthèse :
On remarque que si , donc . (*)
Si , on note et ;
par (*)
donc
et ,
donc
On a donc prouvé que .
La partie analyse a permis de prouver que la somme est directe.
Donc .
2/ Si l’on avait ,
pour tout , comme , on aurait , donc soit ce qui contredit .
3/ Pour tout , il existe tel que , alors , donc .
On a prouvé que .
Si , , alors , donc .
On a prouvé que .
Par double inclusion, .
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3. Somme directe de s.e.v.
Exercice 1
Soit l’ensemble des fonctions de dans .
On note l’ensemble des fonctions constantes sur , l’ensemble des éléments de nuls sur et l’ensemble des éléments de nuls sur
Montrer que
Corrigé de l’exercice 1 :
On démontre facilement que , et sont des sous-espaces vectoriels de .
On raisonne par analyse-synthèse.
Analyse : soit , on suppose que l’on peut écrire avec et
Il existe tel que et en prenant la valeur en 0,
Puis si , car donc
et si car donc
On en déduit que si la décomposition existe, elle est unique.
Synthèse : Soit
On définit ,
et
Il est évident que , et et que (il suffit de distinguer les cas , et ).
On a donc établi que
Exercice 2
Soient et deux projecteurs de tels que
Montrer que
Corrigé de l’exercice 2 :
, et sont des sous-espaces vectoriels de
Analyse :
On suppose que avec et
Comme et sont des projecteurs, et
donc
donc
Alors
Si la décomposition existe, elle est unique.
Synthèse :
Soit , on note , et
,
car
donc
donc
De plus
On avait justifié l’unicité de la décomposition dans la partie analyse.
On a donc prouvé que
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4. Existence d’un endomorphisme
Exercice 1
Il existe une unique application linéaire sur telle que si est une matrice symétrique, et si est une matrice antisymétrique,
Corrigé de l’exercice 1 :
En effet, où est le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques et est le sous-espace vectoriel des matrices symétriques.
L’application est linéaire
et l’application est linéaire.
Par le théorème de recollement des applications linéaires, il existe donc un unique endomorphisme de tel que , et ,
Exercice 2
On suppose que sont trois -e.v. de dimension finie strictement positive.
Soit et .
Le but de l’exercice est de trouver une CNS pour que .
Question 1.
S’il existe tel que , .
Question 2
On note , et .
Dans les questions a) à e) on suppose que .
a) Il existe une base de telle que soit une base de .
b) On note si .
est une base de .
c) Il existe une base de
d) On définit tel que et si .
Si , .
e) Si et si , il existe tel que .
Corrigé de l’exercice :
1/ Si , donc .
On a prouvé que .
2/ a/ est un sous-espace vectoriel de dimension , on peut donc introduire une base de la forme .
C’est une famille libre de . Par le théorème de la base incomplète, on peut introduire une base de de la forme .
b/ Pour tout , il existe tel que .
On écrit .
.
On a prouvé que est une famille génératrice de .
Elle est formée de vecteurs dans un espace vectoriel de dimension .
Donc est une base de
c/ Comme , est une famille libre de que l’on peut compléter en une base de par le théorème de la base incomplète.
d/ L’application est bien définie par le théorème de caractérisation d’une application linéaire.
,
, .
Les applications linéaires et sont égales sur une base, donc .
e/ Si , est injective, l’image d’une base de par est une famille libre.
Donc en notant si , est une famille libre de . On continue comme dans les questions d) et e).
Si , .
Comme , alors , donc et toute application linéaire de dans convient.
Conclusion : on a prouvé que ssi il existe tel que .
5. Noyaux itérés
Question 1 Un résultat classique
a)Si où , il existe tel que et si ,
.
b) L’entier étant défini dans la question a), montrer que si , .
Question 2
Montrer que la suite est monotone pour l’inclusion et qu’elle est stationnaire à partir du même rang .
Question 3
Montrer que et que la restriction de à est un automorphisme de .
Question 4 (plus difficile)
On note .
Montrer que .
Indication : introduire si , un supplémentaire de dans et montrer que
Corrigé de l’exercice :
1/ a/ Si , donc , alors , ce qui prouve que .
On a démontré que la suite est une suite croissante.
.
Il est impossible d’avoir :
,
car on aurait, puisque toutes les dimensions sont entières, , ce qui est absurde dans un espace vectoriel de dimension
On peut donc introduire le plus petit entier inférieur ou égal à tel que , donc
et si , .
b/ On peut alors établir par récurrence que si ,
La propriété est vraie pour
On suppose qu’elle est vraie au rang où est un entier supérieur ou égal à
Si , soit soit
Comme , car , donc
L’inclusion contraire est évidente puisque la suite est croissante pour l’inclusion et
Par double inclusion, on a prouvé que
La propriété est vraie par récurrence sur
2/ Pour tout , si , il existe tel que avec , donc , et alors .
Donc la suite est une suite croissante.
Si ,
donc
.
Par la première question,
si , et alors .
si , , donc , on en déduit que si , .
On a montré que la suite est décroissante pour l’inclusion et est stationnaire à partir du même rang .
3/ Si , il existe tel que et , donc ,
, alors
, donc
L’inclusion contraire étant toujours vraie, .
Comme de plus ,
on obtient .
Si , et , donc, il existe tel que et , , .
L’endomorphisme du -espace vectoriel de dimension finie est injectif. C’est donc un automorphisme.
La restriction de à est un automorphisme de .
4/ On suppose que , et les sous-espaces sont distincts.
On introduit tel que . (*)
On démontre que .
Si , il existe tel que , alors il existe et tels que , donc avec et ,
donc .
et donc .
On a montré que .
On remarque que si est un endomorphisme de , espace vectoriel de dimension finie, pour tout sev de différent de
, l’image d’une base de est une partie génératrice de , donc , ce résultat reste vrai si .
On en déduit que
donc
puis
ce qui donne
On termine avec par (*), soit .
On a établi que :
.
6. Hyperplan
Exercice 1
Question 1
Montrer que est un hyperplan de et en déterminer une infinité de supplémentaires.
Question 2
Déterminer une base de
Corrigé de l’exercice 1 :
1/ Soit , est une forme linéaire (démonstration simple) non nulle (car ).
Comme est un hyperplan de
Pour tout , , donc est un supplémentaire de
2/ il existe [X] tel que
il existe une suite de scalaires nuls à partir d’un certain rang telle que
soit . On a prouvé que la famille est une famille génératrice de .
C’est une famille libre car formée de polynômes de degrés deux à deux distincts, donc c’est une base de
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- réduction d’endomorphismes
- les matrices
- les espaces vectoriels normés
- les suites et séries de fonctions
- l’intégration sur un intervalle quelconque
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