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Intégration sur un intervalle quelconque en Maths Spé
Résumé de cours Exercices et corrigés
Exercices et corrigés sur Intégration sur un intervalle quelconque
1. Convergence d’intégrales
Exercice 1
Montrer que est intégrable sur
Corrigé de l’exercice 1 :
On utilise .
en utilisant donc .
La fonction est intégrable sur , est intégrable sur par domination.
Exercice 2
Étude de l’intégrabilité selon le réel de sur .
Corrigé de l’exercice 2 :
est continue sur . Au voisinage de ,
si ,
donc est du signe de au voisinage de et comme n’est pas intégrable sur , n’est pas intégrable sur .
si , donc par comparaison par équivalence, est intégrable sur , donc est intégrable sur .
Exercice 3
Montrer que est intégrable sur ssi
Corrigé de l’exercice 3 :
est continue sur .
Si , soit , car donc . La fonction est intégrable sur , donc, par domination, est intégrable sur .
Si , pour et ; par minoration par une fonction non intégrable sur , n’est pas intégrable sur .
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2. D’autres convergences et aussi des calculs d’intégrales
Exercice 4
Convergence de .
Corrigé de l’exercice 4 :
La fonction : et est continue sur .
Si , si .
Donc pour tout , alors est définie.
La fonction est continue sur .
En utilisant le développement limité de à l′ordre 2 au voisinage de ( tend vers en ),
On a donc écrit avec .
On sait (exercice classique) que l’intégrale converge.
Comme , est intégrable sur , alors l’est aussi, donc l’intégrale converge.
On en déduit par différence de deux intégrales convergentes que l’intégrale converge.
Donc l’intégrale converge.
Exercice 5
Convergence et calcul de .
Corrigé de l’exercice 5 :
Soit , est continue sur .
, est intégrable sur , donc est intégrable sur par comparaison par équivalence de fonctions à valeurs négatives ou nulles.
, comme admet 0 pour limite en 1, on prolonge par continuité en 1 en posant et est intégrable sur comme fonction continue.
On a prouvé que est intégrable sur .
La fonction
,
est une bijection strictement décroissante et de classe et la fonction est intégrable sur . Par le théorème de changement de variable,
en utilisant
et est une primitive de ,
donc est une primitive sur de
et est une primitive sur de
donc
car .
Exercice 6
Convergence et valeur de .
Corrigé de l’exercice 6 :
La fonction est continue, positive et paire.
, donc par comparaison par équivalence à une fonction intégrable sur , l’est aussi.
Par parité, est intégrable sur .
donc .
On doit donc calculer .
La fonction définit une bijection de sur de classe strictement croissante et la fonction
continue est intégrable sur .
On remarque que
On applique le théorème de changement de variable,
.
donc
.
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3. Comparaison d’une intégrale avec une série
Exercice 7
Si est continue par morceaux sur décroissante et à valeurs positives ou nulles, lorsque est intégrable sur encadrer à l’aide de deux intégrales
Corrigé de l’exercice 7 :
En intégrant sur , on obtient :
.
Donc si , .
puis en sommant si , par la relation de Chasles :
.
On peut passer à la limite lorsque tend vers , puisque l’intégrale et la série convergent, et on obtient :
.👍 On note .
Lorsque , une division par de l’encadrement précédent permet de dire que le reste est équivalent à .
C’est le cas par exemple pour pour .
Exercice 8 MinesPonts PSI 2017.
Soit une fonction de classe de dans .
Question 1
Montrer que pour tout
.
Question 2
On suppose que est intégrable sur .
Montrer que la série converge si, et seulement si, la série de terme général converge.
Question 3
Montrer que la série et l’intégrale sont de même nature.
Conclure.
Corrigé de l’exercice 8 :
Question 1 :
Par intégration par parties en utilisant les fonctions et qui sont de classe sur ,
soit
.
Question 2 :
La série de terme général vérifie donc est absolument convergente car pour tout , les sommes partielles de la série à termes positifs sont majorées par .
En écrivant que , on en déduit que converge ssi converge.
Question 3 :
donc est intégrable sur .
On peut donc utiliser la question a).
converge ssi la suite de terme général converge.On note et la partie entière de ,
.
On en déduit que a une limite finie en ssi la suite converge.Pour .
On note et , et , les suites et divergent vers et les suites constantes et convergent vers des limites différentes, donc n’a pas de limite en .
Comme l’intégrale diverge, la série est divergente.
4. Fonctions définies par une intégrale
Exercice 9 Mines Ponts 2017 MP
Soit .
Question 1
Justifier l’existence de pour tout réel , trouver sa limite en , sa dérivée, un équivalent en .
Question 2
Montrer que est intégrable sur et calculer son intégrale.
Corrigé de l’exercice 9 :
Question 1 :
La fonction est continue sur et vérifie ,
donc est intégrable sur , et alors est intégrable sur pour tout réel .
En écrivant , on obtient : est de classe sur et .
En utilisant cette relation, admet pour limite en .
On écrit si ,
Les fonctions et sont de classe sur , admet pour limite en et pour limite en , par le théorème d’intégration par parties,
.
Si ,
donc
puis
et .
Question 2 :
La fonction est continue et équivalente en à une fonction intégrable car .
Par intégration par parties, les fonctions et étant de classe , la fonction est intégrable sur , et , en utilisant l’ équivalent de obtenu en b),
.
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