Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

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Exercices Matrices en Maths Spé

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.8 (1000 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Ces exercices sur les matrices en prepa maths spé reprennent certaines notions déjà vues en maths sup. Ces exercices sont classiques et pour certains incontournables pour la réussite sur la partie algèbre linéaire aux concours. Pour travailler de manière plus ciblée, n’hésitez pas à demander une mise en contact pour un cours de maths à domicile avec un des professeurs de la plateforme Groupe Réussite.

Matrices en MP, PC, MPI, PSI et PT (inverse d’une matrice, noyau & image)

1. Calcul d’une matrice $A^n$ en prepa maths spé

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$ .

Exprimer $A^2$ en fonction de $A$ et ${\textrm I}_3$ .

En déduire la valeur de $A^n$ si $n\in \mathds{N}.$

Corrigé de l’exercice 1 :

$A^2 = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 5 \\ 5 & 6 & 5 \\ 5 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} =5A-4I_3$

Soit $P = {\textrm X}^2 - 5 {\textrm X} + 4 = ({\textrm X} - 1) ({\textrm X} - 4),$ $P(A) = 0.$

Par le théorème de division euclidienne, il existe $Q_n \in \mathbb{R}[{\textrm X}]$ et deux réels $a_n$ et $b_n$ tels que

${\textrm X}^n = P \,Q_n + a_n {\textrm X} + b_n$ .

En prenant la valeur en 1 et en 4, on obtient :

$1 = a_n + b_n$ et $4^n = 4 \,a_n + b_n$

$\Leftrightarrow 3\, a_n = 4^n - 1$ et $3 \,b_n = 4 - 4^n.$

Donc $A^n = R_n(A) = a_n \, A + b_n\, {\textrm I}_3$

$\displaystyle A^n = \frac{1}{3}(4^n- 1) A + \frac{1}{3}(4 - 4^n) {\textrm I}_3\,$ .

Exercice 2

$A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & -2 & 0 \\ -3 & -1 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}$

Vérifier que si $P=({\textrm X} - 2)^2({\textrm X} + 1),$ $P(A)=0.$

En déduire la valeur de $A^n$ si $n\in\mathbb{N}$ .

Corrigé de l’exercice 2 :

Vous avez vérifié par calcul que $P(A)=0$ et remarqué que

$P=({\textrm X} - 2)^2({\textrm X} + 1)$ .

Il existe $(Q_n , R_n) \in (\mathbb{R}[{\textrm X}])^2$ tel que ${\textrm X}^n = P \,Q_n + R_n$ où $R_n$ est de degré inférieur ou égal à 2.

Il existe $(a_n , \,b_n , \,c_n) \in \mathbb{R}^3$ tel que $R_n = a_n \,{\textrm X}^2 + b_n \,{\textrm X} + c_n\,$ .

On écrit que $U = {\textrm X}^n - R_n$ est divisible par $P$

$\Leftrightarrow U(2) = U'(2) = U(-1) = 0$

$\Leftrightarrow 2^n - R_n(2) = 0,$ $n 2^{n-1}- R'_n(2) = 0$

et $(-1)^n - R_n(-1) = 0.$

On obtient un système de trois équations à trois inconnues permettant de déterminer $a_n\,$ , $b_n\,$ , $c_n\,$ :

$\left \{ \begin{matrix} 2^n & = & 4a_n+2b_n+c_n \\ n2^{n-1} & = &4a_n+b_n \\ (-1)^n & = & a_n-b_n+c_n \\ \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow$
$\left \{ \begin{matrix} 9a_n & = & (-1)^n-2^n+3n2^{n-1} \\ 9b_n & = & -4(-1)^n+4\,2^n-3n\,2^{n-1} \\ 9c_n & = & 4(-1)^n+5\,2^n-6n\,2^{n-1} \\ \end{matrix} \right.$

Puis $A^n = R_n(A) = a_n A^2 + b_n A + c_n {\textrm I}_4 .$

Exercice 3

Si $A = \begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ 0 & 2 & b \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}$ , calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}.$

Corrigé de l’exercice 3 :

$A = \begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ 0 & 2 & b \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} =B+C$
avec $B=2\, {\textrm I}_3$ et $C = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ ,
$B\,C=C\,B$ , $C^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
et $C^3=0$ .

Par le binôme de Newton :

$A^n = (B + C)^n = (2 \,{\textrm I}_3 + C)^n$ ,

$\displaystyle A^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(2\, {\textrm I}_3)^{n-k}\,C^k$

$A^n=\displaystyle \binom{n}{0}2^nC^0+\binom{n}{1}2^{n-1}C^1$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \binom{n}{2}2^{n-2}C^2$

$=2^n\, {\textrm I}_3+n\,2^{n-1}\,C+n(n-1)2^{n-3\,}C^2$

(on vous laisse finir le calcul).

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2. Calcul de l’inverse d’une matrice maths spé

Exercice 1

Calculer l’inverse de la matrice

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

en introduisant une matrice nilpotente.

Corrigé de l’exercice 1 :

$A ={\textrm I}_3-B$ où
$B=\begin{pmatrix} 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ .
$B^2 =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\end{pmatrix}$ et $B^3=0$

Comme $A(\textrm I_3 + B + B^2 ) = \textrm I_3 - B^3 = \textrm I_3\,$ , $A^{-1}= {\textrm I}_3+B+B^2$ .

$A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

Exercice 2
On rappelle que si $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$ ,
$A^2 = 5 A - 4 {\textrm I}_3$ .
Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{- 1}$ .

Corrigé sur l’exercice 2 :

$A^2 = 5 A - 4 {\textrm I}_3$ donc

$\displaystyle A\left(-\frac{1}{4}A+\frac{5}{4}{\textrm I}_3 \right)= {\textrm I}_3\,$ .

$A$ est inversible et

$\displaystyle A^{-1}=-\frac{1}{4}A+\frac{5}{4}{\textrm I}_3$

$A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ .

Exercice 3

Montrer que $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

est une matrice inversible et calculer son inverse en l’interprétant comme une matrice de changement de bases.

Corrigé de l’exercice 3 :

$A$ est inversible puisque $\det(A) = 1.$

Si $A$ est la matrice de passage de la base $\mathcal{B} = (e_1\, , \,e_2\, ,\, e_3)$ à la base $\mathcal{C} = (f_1 \, , \, f_2 \, ,\, f_3),$

$f_1 = e_1$ , $f_2 = 2 e_1 + e_2$ et $f_3 = e_1 + 3 e_2 + e_3$ ,

donc $e_1 = f_1$ , $e_2 = f_2 - 2 e_1 = f_2 - 2 f_1$ et $e_3 = f_3 - e_1 - 3 e_2 = f_3 - f_1 - 3 f_2 + 6 f_1 .$

$A^{- 1}$ est la matrice de passage de la base $\mathcal{C}$ à la base $\mathcal{B}$ donc

$A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

3. Noyau et image de $u$ défini par sa matrice en MP, MPI, PC, PSI, PT

Exercice 1

Déterminer simultanément le rang de $u$ , une base de $\textrm {Im } u$ et de $\textrm {Ker} u$ si la matrice de $u$ dans les bases $(e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 ,\, e_4)$ de $E$ et $(f_1 , \, f_2 ,\, f_3)$ de $F$ est égale à $A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$ .

Corrigé de l’exercice 1 :

Soit $u$ de matrice $A$ dans les bases $(e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 , \, e_4)$ de $E$ et $(f_1 , \, f_2 ,\, f_3)$ de $F$ .

$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$ .

On effectue les opérations

$\begin{matrix} C_2 & \leftarrow & C_2-C_1 \\ C_3 & \leftarrow & C_3-C_1 \\ C_4 & \leftarrow & C_4-2C_1 \\ \end{matrix}.$

pour obtenir :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & -3 \\ 3 & 1 & -1 & -3 \\ \end{pmatrix}$

puis avec

puis $\begin{matrix} C_3 & \leftarrow & C_3+C_2 \\ C_4 & \leftarrow& C_4 +3C_2 \end{matrix}$ ,

on obtient :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

On a donc obtenu avec les opérations ci-dessus :

$\textrm{rg} (A) = \textrm{rg}(u(e_1), u(e_2), u(e_3), u(e_4))$

$\textrm{rg}(A = \textrm{rg}(u(e_1), u(e_2 - e_1),$

$u(e_3 - e_1), u(e_4 - 2 e_1))$

$\textrm{rg}(A) = \textrm{rg}(u(e_1), u(e_2 - e_1),$

$u(e_3 + e_2 - 2 e_1), u(e_4 + 3 e_2 - 5 e_1))$ .

où $u(e_3 + e_2 - 2 e_1) = u(e_4 + 3 e_2 - 5 e_1) = 0.$

$\textrm{rg} (A) = \textrm{rg}(u) = 2$ .

Les vecteurs $u(e_1) = f_1 + 2 f_2 + f_3$ et $u(e_2 - e_1) = f_2 + f_3$ forment une famille libre de $\textrm{Im } u$ espace vectoriel de dimension 2 , ils forment donc une base de $\textrm {Im } u$ .

Les vecteurs $e_3 + e_2 - 2 e_1$ , $e_4 + 3 e_2 - 5 e_1$ sont dans Ker $u$ et ne sont pas colinéaires.

Ils forment donc une base de Ker $u$ puisque, par le théorème du rang,
$\dim \textrm {Ker} u = \dim E - \dim \textrm {Im} u = 4 - 2 = 2.$

Exercice 2

Déterminer une base de Ker $u$ si la matrice de $u$ dans les bases $(e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 ,\, e_4)$ de $E$ et $(f_1 ,\, f_2 , \,f_3)$ de $F$ est égale à $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} .$

Corrigé de l’exercice 2 :

C’est la même matrice que dans l’exercice précédent mais on cherche seulement le noyau.

$AX=0$

$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+y+z+2t & = & 0 \\ 2x+3y+z+t & = & 0 \\ 3x+4y+2z+3t & = & 0 \\ \end{matrix}\right.$
$\begin{matrix} \textrm{par} \\ L_2\leftarrow L_2-2L_1 \\ L_3\leftarrow L_3-3L_1 \end{matrix}$
$\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} x+y+z+2t & = & 0 \\ y+z- 3 t & = & 0 \\ y+z- 3t & = & 0 \\ \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & -z -3t-z-2t \\ y & = & z+3t \\ \end{matrix} \right.$

Donc
$\textrm {Ker }u = \{ (- 2 z - 5 t) e_1 + (z + 3 t) e_2$
$+ z e_3 + t e_4\, /\, (z , t) \in \mathbb{K}^2 \}$
Soit $a = -2 e_1 + e_2 + e_3$ et $b = -5 e_1 + 3 e_2 + e_4$ .
$\textrm {Ker }u = \{ z a + t b\, /\, (z , t) \in \mathbb{K}^2 \}$ .
$a$ et $b$ ne sont pas colinéaires et $\textrm{Ker } u = \textrm{Vect}(a , \, b)$ , donc $(a , \, b)$ est une base de Ker $u$ .

Exercice 3
Déterminer une base de Im $u$ si la matrice de $u$ dans les bases $(e_1 ,\, e_2 ,\, e_3 ,\, e_4)$ de $E$ et $(f_1 ,\, f_2 , \,f_3)$ de $F$ est égale à $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} .$

Corrigé de l’exercice 3 :

On utilise toujours la matrice des deux exercices précédents mais on ne cherche que l’image dans cet exercice.
En effectuant les opérations
$\left\{ \begin{matrix} C_2&\leftarrow& C_2-C_1 \\ C_3&\leftarrow& C_3-C_1 \\ C_4&\leftarrow& C_4-2C_1 \end{matrix} \right.$ ,
$\textrm {rg }(A)= \textrm {rg } \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = \textrm {rg }(A')$ .

$\textrm {rg } (u) = \textrm {rg }(A)$
$\textrm {rg }(u)= \textrm {rg } (u(e_1) , u(e_2) , u(e_3) , u(e_4))$
$\textrm {rg }(u)=\textrm {rg } (u(e_1) , u(e_2) - u(e_1) ,$
$u(e_3) - u(e_1) , u(e_4) - 2 u(e_1))$
$\textrm {rg }(u)= \textrm {rg } (u(e_1) , u(e_2) - u(e_1)) = 2$
car les deux premières colonnes de $A'$ forment une famille libre et les deux dernières colonnes sont nulles.

Les vecteurs $u(e_1)$ et $u(e_2 - e_1)$ , soit $f_1 + 2 f_2 + f_3$ et $f_2 + f_3$ , forment une base de Im $u$ .

Les matrices sont un chapitre important en Maths Spé, un cours déjà vu en Maths Sup qui est davantage complexifié en Maths Spé. De nombreux cours de Maths Spé suivent cette même logique. C’est pourquoi des cours en ligne de Maths en MP, mais aussi des cours en ligne de Maths en PC et également des cours en ligne de Maths en PSI sont mis à disposition des étudiants pour les aider à réussir leur dernière année de prépa.

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4. Utilisation de la base canonique

Exercice 1
Déterminer l’ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que pour tout $X$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $A\, X = X\, A.$

Corrigé de l’exercice 1 :

On raisonne par analyse-synthèse.
Analyse : on suppose que $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est telle que pour tout $X$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $A X = X A.$
Si $A = (a_{i,\, j})_{1 \leqslant i , \,j \leqslant n}$ , en refaisant les calculs du §4 des méthodes , on démontre que pour tout $(p , q) \in [\![1 ,\, n]\!]^2$ ,
$A\, E_{p,\, q} =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i ,\, p} \, E_{i , \,q}$
et $E_{p,\, q}\ A =\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{q,\, j}\, E_{p, \,j}.$

On sait que $A \,E_{p , \,q} = E_{p , \,q}\, A$ .
Si $p \neq q,$ en comparant les coefficients de $E_{p ,\, q}\,$ , on obtient $a_{p ,\, p} = a_{q ,\, q}$ ,
et en comparant ceux de $E_{p,\, p}\,$ , on obtient $a_{q , \,p }= 0$ .

On a donc démontré qu’il existe $\lambda\in \mathbb{R}$ tel que $A = \lambda \,\textrm{I}_n$ .

Synthèse : S’il existe $\lambda\in \mathbb{R}$ tel que $A = \lambda \textrm{I}_n\,$ , il est évident que pour tout $X$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $A \,X = \lambda\, X = X \,A.$

Conclusion : L’ensemble des matrices $A$ qui permutent avec tout $X$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est égal à Vect ${(\textrm I}_n).$

Exercice 2
Démontrer que pour toute application linéaire $f$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathbb{K},$ il existe une unique matrice $A$ telle que
$\forall \,X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $f(X) = \textrm {Tr}(A \,X)$ .

Corrigé de l’exercice 2 :

On raisonne par analyse-synthèse.
Soit $f$ une application linéaire $f$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathbb{K}.$

Analyse : On suppose qu’il existe $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que
$\quad \forall\, X \, \in \, \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $f(X) = \textrm {Tr}(A \, X).$
On note $A = (a_{i , \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}$ . En refaisant les calculs du § 4 des méthodes, on démontre que pour tout $(p , \,q) \in [[1 ,\, n]]^2$ , $A\, E_{p, \,q} =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i , \,p}\, E_{i , \,q}\,$
donc $\textrm {Tr}(A\, E_{p ,\, q}) = a_{q ,\, p} = f(E_{p ,\, q}).$
Le problème a donc au plus une solution $A = (a_{i ,\,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}$ telle que
si $(i , j) \in [\![1 ,\, n]\!]^2$ , $\, a_{i , \,j} = f(E_{j , \,i}).$

Synthèse :
On définit la matrice $A$ par $A = (a_{i , \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}$
où $\forall \, (i , j) \in [[1 ,\, n]]^2, \; a_{i ,\, j} = f(E_{j ,\, i}).$
Grâce au calcul de la partie analyse,
$\,\forall(p , q) \in [[1 ,\, n]] ^2$ , $f(E_{p,\, q}) = \textrm {Tr}(A\, E_{p, q})$
On démontre facilement que l’application $g : X \mapsto \textrm{Tr}(A\, X)$ est linéaire.
Les applications linéaires $f$ et $g$ sont égales sur la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ elles sont donc égales.

Conclusion : pour toute application linéaire $f$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathbb{K}$ , il existe une unique matrice $A$ telle que
$\quad \forall \, X \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $f(X) = \textrm {Tr}(A \,X).$

5. Détermination de suites

Déterminer les suites $(u_n)_n$ , $(v_n)_n$ , $(w_n)_n$ définies par les termes initiaux $u_0,$ $v_0$ et $w_0$ et les relations
$\forall n \in \mathbb{N},$ $u_{n + 1} = 2 u_n + v_n + w_n$ , $v_{n + 1} = u_n + 2 v_n + w_n$
et $w_{n + 1} = u_n + v_n + 2 w_n$ .

Corrigé de l’exercice :

Si $u_{n + 1} = 2 u_n + v_n + w_n$ , $v_{n + 1} = u_n + 2 v_n + w_n$ et $w_{n + 1} = u_n + v_n + 2 w_n$ , en posant
$Y_n =\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \\ w_n \\ \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$ ,

$Y_{n + 1} = A \,Y_n \,$ , donc $Y_n = A^n \, Y_0\,$
avec $Y_0 = \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \\ w_0 \\ \end{pmatrix}$ .

On a vu dans l’exercice 1 du $\S 1$ que
$\displaystyle A^n =\frac{1}{3}(4^n-1)A+ \frac{1}{3}(4 - 4^n)\textrm{I}_3\,$ ,
donc $\displaystyle Y_n= \frac{1}{3}(4^n - 1) A Y_0 + \frac{1}{3}(4 - 4^n) Y_0\,$ .

En effectuant les calculs, on obtient pour tout $n \in \mathbb{N}$ ,
$\displaystyle u_n =\frac{4^n + 2} 3u_0 + \frac{4^n - 1} 3 v_0 + \frac{4^n - 1} 3 w_0$
$\displaystyle v_n = \frac{4^n - 1} 3 u_0 + \frac{4^n + 2} 3 v_0+ \frac{4^n - 1} 3 w_0$
$\displaystyle w_n = \frac{4^n - 1} 3 u_0 + \frac {4^n - 1} 3 v_0 + \frac{4^n + 2} 2 w_0$

6. Matrices semblables

Exercice 1
Que pouvez vous dire d’une matrice semblable à $\lambda \, {\textrm I}_n$ ?

Corrigé de l’exercice 1 :

Si $A$ est semblable à $\lambda \, {\textrm I}_n\,$ , il existe $P \in \textrm {GL}_n (\mathbb{K})$ telle que
$\quad A = P\, (\lambda \,{\textrm I}_n) \,P^{-1} = \lambda\, P \,{\textrm I}_n \,P^{- 1}$
donc $A = \lambda \,{\textrm I}_n\,$ .
La réciproque est évidente, car toute matrice est semblable à elle-même.

Exercice 2
Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n$ telles que $A^2 = A$ et $B^2 = B$ . Si $A$ et $B$ ont même trace ?

Corrigé de l’exercice 2 :

L’affirmation est vraie, mais doit être justifiée.
L’endomorphisme $p$ canoniquement associé à $A$ vérifie $p^2= p$ , donc est un projecteur.
En notant $r = \dim \textrm{Im } p$ et en utilisant une base adaptée à la somme directe $\mathbb{K}^n = \textrm{Im } p \bigoplus \textrm{Ker } p$ , la matrice $A$ est semblable à $J_r =\begin{pmatrix} {\textrm I}_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
et $r = \textrm {Tr } (J_r) = \textrm {Tr }(A).$

Comme $B$ vérifie les mêmes conditions que $A$ , $B$ est aussi semblable à $J_r$ et alors $A$ et $B$ sont semblables, puisque la relation « être semblable » est une relation d’équivalence sur l’ensemble $\mathcal{M}_n(\mathbb{K}).$

Exercice 4
Si $A$ est carrée d’ordre 3, non nulle et vérifie $A^2 = 0$ , comment démontrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ ?

Corrigé de l’exercice 3 :

On note $E = \mathbb{K}^n$ et $u$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ ,
$u$ vérifie $u^2 = 0$ et $u \neq 0.$
Pour tout $y \in \textrm {Im } u$ , il existe $x \in E$ tel que $y = u(x)$ , donc $u(y) = u^2(x) = 0$ soit $y \in \textrm{Ker } u$ , on a donc prouvé que $\textrm{Im } u \subset \textrm{Ker } u$ .
D’autre part $\textrm{Im } u \neq \{0\}$ car $u \neq 0$ .
On en déduit que
$\quad \quad 0 < \dim \textrm{Im } u \leqslant \dim \textrm{Ker } u$
et par le théorème du rang,
$\quad \quad \dim \textrm{Im } u + \dim \textrm{Ker } u = 3$ ,
donc $\dim \textrm{Im } u = 1$ et $\dim \textrm{Ker } u = 2.$

On cherche donc dans la suite une base $(e_1 , e_2 , e_3)$ de $E$ telle que
$\quad u(e_1) = u(e_2) = 0$ et $u(e_3) = e_1\,$ .

Soit $e_1$ une base de $\textrm{Im } u$ , il existe donc $e_3 \in E$ tel que $u(e_3) = e_1\,$ , puis $u(e_1) = u^2(e_3) = 0.$
$e_1$ est un vecteur non nul de Ker $u$ , espace vectoriel de dimension 2, il existe donc une base $(e_1 , e_2)$ de Ker $u$
$e_3 \notin \textrm {Vect }(e_1 ,\, e_2)$ , alors $(e_1 , \, e_2 ,\, e_3)$ est une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est la matrice $A' = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
$A$ et $A'$ sont semblables.

Les concours de Maths Spé sont réputés pour leur difficulté, notamment car, il est fondamental pour tous les étudiants de connaître parfaitement l’ensemble des cours au programme de Maths Spé. Alors, pour s’assurer d’avoir un bon niveau, voici quelques chapitres à réviser :

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Exercices Matrices en Maths Spé

Matrices en MP, PC, MPI, PSI et PT (inverse d’une matrice, noyau & image)

1. Calcul d’une matrice $A^n$ en prepa maths spé

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