Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Réduction des endomorphismes MP, MPI, PC, PSI et PT
Résumé de cours Exercices et corrigés
Exercices et corrigés – Réduction des endomorphismes
1. Des exemples pratiques de diagonalisation
Exercice 1
Soit .
Est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.
Corrigé de l’exercice 1 :
Si
,
par
par
Si
.
est diagonalisable.
avec
.
avec
.
avec
.
On peut écrire :
où
et
.
Exercice 2
Soit .
Est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.
Corrigé de l’exercice 2 :
On calcule le polynôme caractéristique
Si ,
par
par
Si
.
est diagonalisable ssi
.
On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 :
Il est de dimension 2, donc est diagonalisable.
avec et
.
On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 :
.
avec
On a déjà précisé que
est diagonalisable.
On peut écrire : où
et
.
Exercice 3
Soit et
avec
si
et
sinon.
Réduire la matrice .
Corrigé de l’exercice 3 :
La matrice est carrée d’ordre
, formée de 1 en dernière ligne et dernière colonne, les autres termes sont nuls.
On note l’endomorphisme canoniquement associé à A.
car les colonnes
et
de
forment une famille libre et pour tout
,
.
Donc 0 est valeur propre de et
.
Si .
La famille libre (car échelonnée) de
a un cardinal égal à
. C’est une base de
.
On résout ensuite
avec
et
,
.
et
,
et
,
et
.
Il est donc nécessaire que
sinon
et alors , donc
ce qui est absurde.
Les deux dernières valeurs propres sont et
.
Un vecteur propre de associé à la valeur propre
est
et à la valeur propre
est
.
Comme
,
est diagonalisable et
avec
et
.
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2. Des exemples pratiques de trigonalisation
Exercice 4
Trigonaliser .
Corrigé de l’exercice 4 :
Soit la base canonique de
et
l’endomorphisme canoniquement associé à
.
,
Si ,
On le développe suivant la première colonne :
.
Donc Sp.
On résout
Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1, donc nest pas diagonalisable et
vérifie
.
On résout
vérifie
On complète la famille libre
de façon à obtenir une base de
.
On pose ,
est une base de
car la matrice
de la famille
dans la base canonique
est inversible (son déterminant est égal à 2).
On décompose dans la base
en cherchant les réels
tels que
ce qui donne le système :
ce qui donne soit
La matrice de
dans la base
est
.
avec
.
Les matrices et
sont semblables.
Exercice 5
Trigonaliser la matrice .
Corrigé de l’exercice 5 :
Si
,
En développant suivant la première ligne,
.
On introduit la matrice
.
On calcule .
et
(cf. théorème de Cayley-Hamilton).
Si
est l’endomorphisme canoniquement associé à
et si
,
.
On démontre que est une base de
en introduisant la matrice
de la famille
dans la base canonique :
avec
.
La matrice de
dans cette base
est
et où
est définie ci-dessus.
donc
.
On a trigonalisé la matrice .
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3. Application des résultats sur la diagonalisation.
Exercice 6 (suite du 1)
On rappelle que vérifie
avec
et
.
Question 1
Résoudre l’équation où
.
Question 2
Trouver les sous-espaces -stables lorsque
est l’endomorphisme canoniquement associé à
.
Corrigé de l’exercice 6 :
1/ On note ,
l’endomorphisme canoniquement associé à
.
Analyse :
On suppose que est telle que
. L’endomorphisme
canoniquement associé à
vérifie
.
Alors .
Les sous espaces propres de sont
stables.
On écrit pour ,
Comme ,
est combinaison linéaire de
, donc il existe
tel que
.
Puis en écrivant que , on obtient
.
Synthèse :
Soit et
l’endomorphisme défini par
,
et
, alors
car les applications linéaires
et
sont égales sur la base de vecteurs propres.
En traduisant matriciellement ce résultat, l’équation admet 4 solutions
où
où
.
2/ Il est évident que
et
sont
-stables.
On sait que les droites
-stables sont les droites engendrées par un vecteur propre de
. Il y en a trois :
,
,
.
Soit
un plan
-stable. On peut introduire l’endomorphisme
induit par
sur
. Son polynôme caractéristique divise le polynôme caractéristique de
. Il est donc scindé à racines simples. Alors
est diagonalisable et
admet une base formée de deux vecteurs propres de
donc de
.
Réciproquement, si est un plan engendré par deux vecteurs propres non colinéaires de
, il est
-stable.
On note ,
et
, il y a trois plans
-stables :
,
et
.
Exercice 7 (suite du 4)
Déterminer les sous-espaces vectoriels -stables lorsque
est l’endomorphisme canoniquement associé à
où
.
Corrigé de l’exercice 7 :
On note la base canonique de
.
On a démontré dans l’exercice 4 que et que les sous espaces propres sont de dimension 1.
vérifie
vérifie
.
Il est évident que
et
sont
-stables.
On cherche les droites
– stables, elles sont engendrées par un vecteur propre de
.
Il y a deux droites -stables :
et
.
On cherche les plans
-stables. Ils ont une équation de la forme
où
est un vecteur propre de
. (justification à donner voir la démonstration dans le paragraphe 6 du chapitre méthodes).
et
ont même polynôme caractéristique. Les valeurs propres de
sont 1 et 2.
Un vecteur propre associé à la valeur propre 1 est
Un vecteur propre associé à la valeur propre 2 est
On obtient deux plans
-stables d’équations :
et
.
Le premier plan est engendré par les vecteurs et
.
Le deuxième plan est engendré par les vecteurs et
.
4. Diagonalisation ou trigonalisation de matrices non explicites
Exercice 8 (MinesPonts PSI 2016)
Trouver une CNS sur les complexes pour que
soit diagonalisable avec
.
Corrigé de l’exercice 8 :
Comme est triangulaire, il est évident que
.
est diagonalisable ssi
est un polynôme annulateur de
.
on obtient donc la CNS .
Exercice 9 TPE 2017 .
Soit . On considère une matrice
telle
,
et
.
Question 1
Le nombre de valeurs propres distinctes de est égal
Question 2
est diagonalisable.
Corrigé de l’exercice 9 :
1/ 0 est valeur propre d’ordre au moins égal à .
Le polynôme caractéristique de est divisible par
, il est scindé sur
et il existe
et
tels que
La somme des valeurs propres est égale à et aussi à
, donc
.
Si l’on avait = 0, on aurait
par le théorème de Cayley Hamilton, on aurait
ce qui est exclu.
Les valeurs propres de sont 0 (d’ordre
),
et
où
est un complexe non nul.
2/ Comme et
, la somme des dimensions des sous-espaces propres de
étant égale à
,
est diagonalisable.
5. Diagonalisation d’une matrice par blocs
Exercice 10
Question 1
Étudier la diagonalisation de
Question 2
Soit , montrer que
est diagonalisable.
Question 3
Soit telle que
soit diagonalisable. Montrer que
est diagonalisable.
Corrigé de l’exercice 10 :
1/ ;
est scindé à racines simples, donc
est diagonalisable.
,
.
On peut donc écrire avec
,
et
.
2/ étant diagonalisable, il existe
et
diagonale telles que
.
On note et
.
Comme ,
est inversible d’inverse
.
.
Puis on vérifie facilement que
avec
et
.
Donc avec
diagonale.
On a prouvé que est diagonalisable.
3/ En utilisant les résultats du début de la deuxième question, est semblable à
, donc
est diagonalisable.
Il existe un polynôme scindé à racines simples tel que
.
Un calcul simple de matrices par blocs donne ,
est diagonalisable.
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