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Réduction des endomorphismes MP, MPI, PC, PSI et PT

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.8 (1000 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés – Réduction des endomorphismes

1. Des exemples pratiques de diagonalisation

Exercice 1

Soit $A=\begin{pmatrix}4&-4&4\\3&-3&4\\3&-3&4\end{pmatrix} \, {\in}\, \mathcal{M}_ 3(\mathbb{R})$ .

Est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

Corrigé de l’exercice 1 :

$\ast$ Si $x \in \mathbb{R}$ , $\mathrm{\chi }_A(x)=\left|\begin{matrix}x-4&4&-4\\-3&x+3&-4 \\-3&3&x-4\end{matrix}\right|$

$\mathrm{\chi}_A(x)=\left|\begin{matrix}x-4&4&0\\-3&x+3&x-1\\-3&3&x-1\end{matrix}\right|$
par $C_3 \leftarrow C_2 + C_3$

$\mathrm{\chi}_A(x)=\left|\begin{matrix}x-4&4&0\\0&x&0\\-3&3&x-1\end{matrix}\right|$

par $L_2 \leftarrow L_2 - L_3\,.$

Si $x \in \mathbb{R}, \;\mathrm{\chi}_A(x)= x(x - 1) (x - 4).$

$\textrm{Sp}(A) = \{0 , 1 , 4\}$ . $A$ est diagonalisable.

$\ast$ $A X = 0$ $\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} x -y + z&=&0 \\ 3x -3 y + 4z &=&0 \\ 3x - 3y +4 z &=&0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x &=&y \\ z &=&0 \end{matrix} \right.$

$\textrm{E}_0(A) = \textrm{Vect} (V_0 )$ avec $V_0 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}$ .

$\ast$ $A X = X$

$\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} 3 x - 4 y + 4 z&=&0 \\ 3 x - 4 y + 4 z &=&0 \\ x - y + z &=&0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} z&=& y \\ x &=&0 \end{matrix} \right.$

$\textrm{E}_1(A) = \textrm{Vect} (V_1)$ avec $V_1 = \begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$ .

$\ast$ $A X = 4 X$

$\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix}- 4 y + 4 z&=&0 \\ 3 x - 7 y + 4 z &=&0 \\ 3 x - 3y &=&0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} y &=&z \\ x &=&y \end{matrix} \right.$

$\textrm{E}_4(A) = \textrm{Vect} (V_4 )$ avec $V_4 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$ .

$\ast$ On peut écrire : $A = P \, D \, P ^{-1}$ où

$D=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ .

Exercice 2

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&3&1\\1&-1&1\end{pmatrix} \, {\in}\, \mathcal{M}_ 3(\mathbb{R})$ .

Est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

Corrigé de l’exercice 2 :

$\ast$ On calcule le polynôme caractéristique

Si $x \in \mathbb{R}$ , $\mathrm{\chi }_A(x)=\left|\begin{matrix}x-1&-1&-1\\1&x-3&-1 \\-1&1&x-1\end{matrix}\right|$

$\mathrm{\chi}_A(x)=\left|\begin{matrix}x-1&-1&-1\\0&x-2&x-2\\-1&1&x-1\end{matrix}\right|$

par $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$

$\mathrm{\chi}_A(x)=\left|\begin{matrix}x-1&0&-1\\0&0&x-2\\-1&2-x&x-1\end{matrix}\right|$

par $C_2 \leftarrow C_2 - C_3.$

Si $x \in \mathbb{R}, \; \mathrm{\chi}_A(x)= (x - 2) ^2 (x - 1).$

$\textrm{Sp}(A) = \{ 1 , 2\}$ .

$A$ est diagonalisable ssi $\dim \textrm{E}_2(A) = 2$ .

$\ast$ On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 :

$A X = 2 X$ $\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} - x +y + z&=&0 \\ - x + y + z &=&0 \\ x - y - z &=&0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow x - y - z =0$

Il est de dimension 2, donc $A$ est diagonalisable.

$\textrm{E}_2(A) = \textrm{Vect} (V_2 , V_3)$

avec $V_2 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $V_3 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}$ .

$\ast$ On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 :

$A X = X$ $\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} y + z&=&0 \\ - x + 2 y + z &=&0 \\ x - y &=&0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} z&=&- y \\ x &=&y \end{matrix} \right.$ .

$\textrm{E}_1(A) = \textrm{Vect} (V_1)$ avec $V_1 = \begin{pmatrix} 1\\1\\- 1\end{pmatrix}$

$\ast$ On a déjà précisé que $A$ est diagonalisable.

On peut écrire : $A = P \, D \, P ^{-1}$ où

$D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$ .

Exercice 3

Soit $n \geq4$ et $A = (a_{i ,\, j})_{1 \leq i , j \leq n} \in \mathcal {M} _ n ( \mathbb{R} )$ avec $a_{i , n} = a_{n , i} = 1$ si $1 \leq i \leq n$ et $a_{i, \, j} = 0$ sinon.

Réduire la matrice $A$ .

Corrigé de l’exercice 3 :

La matrice $A$ est carrée d’ordre $n$ , formée de 1 en dernière ligne et dernière colonne, les autres termes sont nuls.

On note $u$ l’endomorphisme canoniquement associé à A.

$\bullet$ $\textrm{rg}(A) = 2$ car les colonnes $C_1$ et $C_n$ de $A$ forment une famille libre et pour tout $i \leq n - 1$ , $C_i = C_1$ .

Donc 0 est valeur propre de $A$ et $\dim \textrm{E}_0(A) = \dim \textrm{Ker } u = n - 2$ .

Si $k \in \{2 ,\, \cdots \, ,\, n - 1\}, u(e_1 - e_k) = 0$ .

La famille libre (car échelonnée) $(e_1-e_k)_{2\leq k\leq n}$ de $\textrm{Ker }u$ a un cardinal égal à $\dim \,\textrm{Ker }u$ . C’est une base de $\textrm{Ker }u$ .

$\bullet$ On résout ensuite $A\, X = \lambda X$ avec $\lambda \; {\neq}\; 0$ et $X\, {\in} \, \mathcal {M} _{ n, 1} ( \mathbb{R} )$ , $X \neq 0$ .

$A X = \lambda X$

$\Leftrightarrow$ ${\forall} \, i \in \{1 ,\, {\dots}\, , \ n - 1\},$ $\lambda \, x_i = x_n$ et $x_1 + x_2 + \, \cdots \, + x_{n - 1} + x_n = \lambda \, x_n$

$\Leftrightarrow$ ${\forall} \, i \in \{1 ,\, {\dots}\, , \ n - 1\}$ , $\displaystyle x _ i = \frac 1 \lambda x_ n$ et $\displaystyle \frac {n - 1} \lambda x _ n = (\lambda - 1) x _ n$

$\Leftrightarrow$ ${\forall}\, i \, \in \{1 ,\, {\dots}\, , \ n - 1\}$ , $\displaystyle x _ i = \frac 1 \lambda x_ n$ et $x_n ( \lambda^2 - \lambda + 1 - n) = 0$ .

Il est donc nécessaire que

$\mathrm{\lambda }^2-\mathrm{\lambda }+1-n=0$ sinon $x_n = 0$

et alors ${\forall}\, i\, {\in}\, \{1 ,\, {\dots}\, , \ n - 1\}, x_i = 0$ , donc $X = 0$ ce qui est absurde.

Les deux dernières valeurs propres sont $\mathrm{\mu } = \displaystyle \frac{1+\sqrt{4n-3}} 2$ et $\mathrm{\mu}'=\displaystyle \frac{1-\sqrt{4n-3}} 2$ .

Un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\mu$ est $(1 , 1 , \, {\dots}\, ,\, 1 , \,\mu )$ et à la valeur propre $\mu'$ est $(1 , 1 , \, {\dots}\, , \, 1 , \, \mu' )$ .

$\bullet$ Comme $\dim \textrm{Ker }u + \dim \textrm{Ker }(u - \mu\, \textrm{Id}_E)$

$+ \dim \textrm{Ker } (u - \mu' \, \textrm{Id}_E ) = n$ ,

$u$ est diagonalisable et $A = P D P^{-1}$ avec $D = \textrm{diag }(0 , \, {\dots}\, , 0 , \, {\mu} \, , {\mu}')$ et

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & \cdots &1&1&1 \\ - 1 &0 & \cdots & \cdots &0&1&1\\ 0 & \ddots & \ddots & \textrm { } & \vdots &\vdots &\vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \textrm{ } & \ddots & \ddots & 0 &1 &1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & - 1 &1 &1 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 &\mu & \mu' \end{pmatrix}$ .

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2. Des exemples pratiques de trigonalisation

Exercice 4
Trigonaliser $A=\begin{pmatrix} 2 & -4 & -4 \\ -2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -1 \\ \end{pmatrix}$ .

Corrigé de l’exercice 4 :

Soit $\mathcal{B} = (e_1 ,\, e_2 ,\, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $u$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ .

$\ast$ $\forall x \in \mathbb{R}^3$ , $\chi_A(x) =\textrm {det}(x \, \textrm I_3 - A)$
Si $x \in \mathbb{R}$ , $\mathrm{\chi }_A(x)=\left|\begin{matrix}x-2&4&4\\2&x-3&-4 \\0&3&x+1\end{matrix}\right|$
On le développe suivant la première colonne :
$\chi_A(x) = (x - 2)(x^2 - 2 x + 9) - 8(x - 2)$
$\chi_A(x) = (x - 2)(x ^2 - 2 x + 1)$
$\chi_A(x) = (x - 2)(x - 1)^2$ .

Donc Sp $(A) = \{1 ,\, 2\}$ .

$\ast$ On résout $A \,X = X$
$A X = X$ $\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} x-4y-4z&=&0\\ -2x + 2y + 4z &=&0\\ -3y-2z&=&0 \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} x+2y&=&0\\ 3 y + 2 z &=&0 \end{matrix} \right.$
Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1, donc $A$ nest pas diagonalisable et $f_1 = 4\, e_1- 2\, e_2 + 3\, e_3$ vérifie $u(f_1) = f_1$ .

$\ast$ On résout $A \,X = 2 X$
$A X = 2 X$ $\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} y+z&=&0\\ -2 x + y + 4 z &=&0\\ -3y-3z&=&0 \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} -2 x + 3 z &=&0\\ y&=&-z \end{matrix} \right.$
$f_2 = 3 \, e_1 - 2 \, e_2 + 2 \, e_3$ vérifie $u(f_2) = 2\, f_2$

$\ast$ On complète la famille libre $(f_1 , f_2)$ de façon à obtenir une base de $\mathbb{R}^3$ .
On pose $f_3 = e_1\,$ , $\mathcal{C} = (f_1 ,\, f_2 ,\, f_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ car la matrice $P$ de la famille $\mathcal{C}$ dans la base canonique $P = \begin{pmatrix} 4&3&1\\-2&-2&0\\3&2&0 \end{pmatrix}$ est inversible (son déterminant est égal à 2).
On décompose $u(f_3) = 2 \, e_1 - 2 \, e_2$ dans la base $\mathcal{C}$ en cherchant les réels $\alpha , \beta , \gamma$ tels que $2 \, e_1 - 2 \, e_2 = \alpha \,f_1 +\beta \,f_2 + \gamma\, f_3\,$
ce qui donne le système :
$\left \{ \begin{matrix} 4\alpha + 3 \beta + \gamma &=&2\\ -2 \alpha - 2\beta &=&-2\\ 3 \alpha + 2 \beta &=&0 \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} -8 + 3 \beta + \gamma &=&2\\ \alpha &=&-2 \\ 3 \alpha + 2 \beta &=&0 \end{matrix} \right.$
ce qui donne $\alpha = - 2 , \beta = 3 , \gamma = 1$ soit $2 e_1 - 2 \, e_3 = - 2 \, f_1 + 3 \, f_2 + f_3\,.$

$\ast$ La matrice de $u$ dans la base $\mathcal{C}$ est
$T= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .
$A = P\, T\, P^{- 1}$ avec $P = \begin{pmatrix} 4&3&1\\-2&-2&0\\3&2&0 \end{pmatrix}$ .
Les matrices $A$ et $T$ sont semblables.

Exercice 5
Trigonaliser la matrice $A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ \end{pmatrix}$ .

Corrigé de l’exercice 5 :

$\ast$ Si $x \in \mathbb{R}$ , $\mathrm{\chi }_A(x)=\left|\begin{matrix}x&0&-2\\-4&x-4&1 \\3&2&x-2\end{matrix}\right|$
En développant suivant la première ligne,
$\chi_A(x)=x^3 - 6 x^2 + 12 x - 8 = (x-2)^3$ .

$\ast$ On introduit la matrice $B = A-2\, \textrm I_3$
$B= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \\ -3 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}$ .
On calcule $B^2= \begin{pmatrix} -2 & -4 & -4 \\ 3 & 6 & 6 \\ -2 & -4 & -4 \\ \end{pmatrix}$ .
$B^2 \neq 0$ et $B^3=0$ (cf. théorème de Cayley-Hamilton).

$\ast$ Si $v$ est l’endomorphisme canoniquement associé à $B$ et si $t = e_1$ , $v^2(t) = - 2\, e_1 + 3\, e_2-2 \, e_3 \neq 0$ .
On démontre que $\mathcal{C} = (v^2(t) , v(t) , t)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ en introduisant la matrice $P$ de la famille $\mathcal{C}$ dans la base canonique :
$P = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix}$ avec $\textrm{det}(P) = - 1$ .

La matrice $B'$ de $v$ dans cette base $\mathcal{C}$ est $B'= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
et $B = P \, B' \, P^{- 1}$ où $P$ est définie ci-dessus.

$\ast$ donc $A = P \, (B' + 2 \, \textrm {I}_3) \, P^{-1}$ .
On a trigonalisé la matrice $A$ .

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3. Application des résultats sur la diagonalisation.

Exercice 6 (suite du 1)
On rappelle que $A=\begin{pmatrix}4&-4&4\\3&-3&4\\3&-3&4\end{pmatrix} \, {\in}\, \mathcal{M}_ 3(\mathbb{R})$ vérifie $A = P \, D \,P ^{- 1}$ avec
$D=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ .

Question 1
Résoudre l’équation $B^2 = A$ où $B \, \in \, \mathcal{M}_ 3(\mathbb{R})$ .

Question 2
Trouver les sous-espaces $u$ -stables lorsque $u$ est l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ .

Corrigé de l’exercice 6 :

1/ On note $E = \mathbb{R}^3$ , $u$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ .
Analyse :
On suppose que $B$ est telle que $B^2 = A$ . L’endomorphisme $v$ canoniquement associé à $B$ vérifie $v^2 = u$ .
Alors $v \circ u = v ^3 = u \circ v$ .

Les sous espaces propres de $u$ sont $v$ stables.
On écrit pour $i \in \{0 , 1 , 4 \}$ , $\textrm{E}_i = \textrm{Ker} (u - i \, \textrm {Id}_E) = \textrm{Vect}(f_i).$

Comme $v(E_i) \subset E_i\,$ , $v(f_i)$ est combinaison linéaire de $f_i\,$ , donc il existe $\mu_i \in \mathbb{R}$ tel que $v(f_i) = µ_i \, f_i\,$ .
Puis en écrivant que $i \, f_i = u(f_i) = v^2(f_i) = \mu_i^2 f_i\,$ , on obtient $\mu_i^2 = i$ .

Synthèse :
Soit $\varepsilon _ 1 , \varepsilon _4 \in \{ \pm 1 \}$ et $v$ l’endomorphisme défini par
$v(f_0) = 0$ , $v(f_1) = \varepsilon_1 \, f_1$ et $v(f_4) = 2 \, \varepsilon _4 \ f_4\,$ , alors $v^2 = u$ car les applications linéaires $v^2$ et $u$ sont égales sur la base de vecteurs propres.

En traduisant matriciellement ce résultat, l’équation $B^2 = A$ admet 4 solutions $P \, \textrm{diag} (0 ,\, \varepsilon_1 , \, 2\, \varepsilon _4)\, P ^{- 1}$ où $P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ où $\varepsilon_1 \, , \; \varepsilon_4 = \pm 1$ .

2/ $\ast$ Il est évident que $\{0 \}$ et $E = \mathbb{R}^3$ sont $u$ -stables.
$\ast$ On sait que les droites $u$ -stables sont les droites engendrées par un vecteur propre de $u$ . Il y en a trois : $D_1 = \textrm{Vect} ( e_1 + e_2)$ , $D_2 = \textrm{Vect} ( e_2 + e_3)$ , $D_3 = \textrm{Vect} ( e_1 + e_2+ e_3)$ .

$\ast$ Soit $F$ un plan $u$ -stable. On peut introduire l’endomorphisme $v$ induit par $u$ sur $F$ . Son polynôme caractéristique divise le polynôme caractéristique de $u$ . Il est donc scindé à racines simples. Alors $v$ est diagonalisable et $F$ admet une base formée de deux vecteurs propres de $v$ donc de $u$ .
Réciproquement, si $F$ est un plan engendré par deux vecteurs propres non colinéaires de $u$ , il est $u$ -stable.
On note $a = e_ 1+ e_1\,$ , $b = e_1 + e_3\,$ et $c = e_1 + e_2 + e_3\,$ , il y a trois plans $u$ -stables : $F_1 = \textrm {Vect} (a , b)$ , $F_2 = \textrm {Vect} (b , c)$ et $F_3 = \textrm {Vect} (a , c)$ .

Exercice 7 (suite du 4)
Déterminer les sous-espaces vectoriels $u$ -stables lorsque $u$ est l’endomorphisme canoniquement associé à $A \, {\in}\, \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ où $A=\begin{pmatrix} 2 & -4 & -4 \\ -2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -1 \\ \end{pmatrix}$ .

Corrigé de l’exercice 7 :

On note $\mathcal{B} = (e_1 ,\, e_2 ,\, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .
On a démontré dans l’exercice 4 que $\textrm{Sp}(u) = \{1 ,\, 2\}$ et que les sous espaces propres sont de dimension 1.
$a = 4\, e_1- 2\, e_2 + 3\, e_3$ vérifie $u(a) = a$
$b = 3 \, e_1 - 2 \, e_2 + 2 \, e_3$ vérifie $u(b) = 2\,b$ .

$\bullet$ Il est évident que $\{0\}$ et $E = \mathbb{R}^3$ sont $u$ -stables.

$\bullet$ On cherche les droites $u$ – stables, elles sont engendrées par un vecteur propre de $u$ .
Il y a deux droites $u$ -stables : $\textrm{Vect}(a)$ et $\textrm{Vect}(b)$ .

$\bullet$ On cherche les plans $u$ -stables. Ils ont une équation de la forme $V^{\textrm{T}}\, X = 0$ où $V$ est un vecteur propre de $A^{\textrm{T}}$ . (justification à donner voir la démonstration dans le paragraphe 6 du chapitre méthodes).
$A$ et $A^{\textrm{T}}$ ont même polynôme caractéristique. Les valeurs propres de $A^{\textrm{T}}$ sont 1 et 2.

$\ast$ $A^{\textrm{T}} X = X$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x - 2 y &=&0\\-4 x+2y-3z&=&0\\-2x+2y-z =0\end{matrix}\right.$
${\Leftrightarrow}$ $\left\{\begin{matrix}x& =&2y\\-6 y - 3 z&=&0\\- 2 y - z &=& 0 \end{matrix}\right.$
Un vecteur propre associé à la valeur propre 1 est $W_1\;=\;\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$

$\ast$ $A^{\textrm{T}} X = 2 X$ $\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} -2y&=&0\\ -4x+y-3z&=&0\\-4x +4 y -3 z &=& 0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix}y&=&0\\4x&=&-3z\end{matrix}\right.$
Un vecteur propre associé à la valeur propre 2 est $W_2\;=\;\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}$

$\ast$ On obtient deux plans $u$ -stables d’équations : $2x +y -2z = 0$ et $3x -4z = 0$ .
Le premier plan est engendré par les vecteurs $a$ et $b$ .
Le deuxième plan est engendré par les vecteurs $a$ et $e_2$ .

4. Diagonalisation ou trigonalisation de matrices non explicites

Exercice 8 (MinesPonts PSI 2016)
Trouver une CNS sur les complexes $a, b, c , d, e , f$ pour que $A$ soit diagonalisable avec $A = \begin{pmatrix}1&a&b&c\\0&1&d&e\\0&0&2&f\\0&0&0&2\end{pmatrix}$ .

Corrigé de l’exercice 8 :

Comme $A$ est triangulaire, il est évident que $\textrm{Sp} (A) = \{1 , 2\}$ .
$A$ est diagonalisable ssi $(\textrm{X} - 1)(\textrm{X} - 2)$ est un polynôme annulateur de $A$ .
$(A - \textrm{I}_4) (A - 2 \textrm{I}_4)$
$= \begin{pmatrix}0&a&b&c\\0&0&d&e\\0&0&1&f\\0&0&0&1\end{pmatrix}\;\begin{pmatrix}-1&a&b&c\\0&-1&d&e\\0&0&0&f\\0&0&0&0\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}0&-a&\mathit{ad}&\mathit{ae}\;+\;\mathit{bf}\\0&0&0&\mathit{df}\\0&0&0&-f\\0&0&0&0\end{pmatrix}$
on obtient donc la CNS $a = f = 0$ .

Exercice 9 TPE 2017 .
Soit $n {\geq}3$ . On considère une matrice $A \, {\in} \, \mathcal{M}_4(\mathbb{C})$ telle $\textrm{rg}(A) = 2$ , $\textrm{Tr}(A) = 0$ et $A^n\, {\neq}\, 0$ .
Question 1
Le nombre de valeurs propres distinctes de $A$ est égal

Question 2
$A$ est diagonalisable.

Corrigé de l’exercice 9 :

1/ 0 est valeur propre d’ordre au moins égal à $\dim \textrm{E}_0(A) =n - \textrm{rg}(A) = n - 2$ .
Le polynôme caractéristique de $A$ est divisible par $\textrm{X} ^{n - 2}$ , il est scindé sur $\mathbb{C}$ et il existe $\lambda$ et $\mu$ $\, {\in}\, \mathbb{C}$ tels que $\chi_A = \textrm{X} ^{n - 2}(\textrm{X} -\lambda) ( \textrm{X} - \mu)$
La somme des valeurs propres est égale à $\lambda + \mu$ et aussi à $\textrm{Tr}(A)$ , donc $\lambda + \mu = 0$ .
Si l’on avait $\lambda$ = 0, on aurait $\chi_A = \textrm{X}^n$ par le théorème de Cayley Hamilton, on aurait $A^n = 0$ ce qui est exclu.
Les valeurs propres de $A$ sont 0 (d’ordre $n - 2$ ), $\lambda$ et $- \lambda$ où $\lambda$ est un complexe non nul.

2/ Comme $\dim \textrm{E}_0(A) = n - \textrm{rg}(A) = n - 2$ et $\dim \textrm{E}_{\lambda} (A) = \dim \textrm{E} _{- \lambda }(A) = 1$ , la somme des dimensions des sous-espaces propres de $A$ étant égale à $n$ , $A$ est diagonalisable.

5. Diagonalisation d’une matrice par blocs

Exercice 10
Question 1
Étudier la diagonalisation de $M = \begin{pmatrix} 0&2\\-1&3 \end{pmatrix}.$

Question 2
Soit $A\, \in \, \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , montrer que $B = \begin{pmatrix} 0&2A\\-A&3A \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

Question 3
Soit $A\, \in \, \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $B = \begin{pmatrix} 0&2A\\-A&3A \end{pmatrix}$ soit diagonalisable. Montrer que $A$ est diagonalisable.

Corrigé de l’exercice 10 :

1/ $\chi_M(x) = x^2 - 3 x + 2 =(x - 1)(x - 2)$ ; $\chi_M$ est scindé à racines simples, donc $M$ est diagonalisable.
$M X = X \Leftrightarrow 2 y = x$ ,
$M X = 2 X \Leftrightarrow x = y$ .
On peut donc écrire $M = P\, D \,P^{- 1}$ avec $P = \begin{pmatrix} 2&1\\1&1 \end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} 1&0\\0&2 \end{pmatrix}$ et $P^{- 1} = \begin{pmatrix} 1&-1\\-1&2 \end{pmatrix}$ .

2/ $A$ étant diagonalisable, il existe $Q \, \in \, \textrm{GL}_n(\mathbb{R})$ et $\Delta$ diagonale telles que $A = P \, \Delta \ P^{- 1 }$ .
On note $\textrm{I} = \textrm{I}_n$ et $R = \begin{pmatrix} 2\textrm{I} &\textrm{I}\\ \textrm{I}&\textrm{I} \end{pmatrix}$ .
Comme $\begin{pmatrix}2\textrm{I} &\textrm{I}\\\textrm{I}&\textrm{I} \end{pmatrix} . \begin{pmatrix}\textrm{I} &- \textrm{I}\\- \textrm{I}&2 \textrm{I} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textrm{I}& 0\\0 &\textrm{I} \end{pmatrix}$ ,
$R$ est inversible d’inverse $R^{- 1} = \begin{pmatrix}\textrm{I} &- \textrm{I}\\- \textrm{I}&2 \textrm{I} \end{pmatrix}$ .

$R^{-1}\, B \, R = \begin{pmatrix}\textrm{I} &- \textrm{I}\\- \textrm{I}&2 \textrm{I} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&2A\\-A&3A \end{pmatrix} \, R$
$R^{-1} \, B \, R = \begin{pmatrix} A&-A\\-2A&4A \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2\textrm{I} &\textrm{I}\\ \textrm{I}&\textrm{I} \end{pmatrix}$
$R^{-1}\, B \, R = \begin{pmatrix} A &0\\0 & 2 A \end{pmatrix}$ .
Puis on vérifie facilement que
$\begin{pmatrix} A &0\\0 & 2 A \end{pmatrix} = S . \begin{pmatrix} \Delta &0\\0 & 2 \Delta \end{pmatrix} . S^{- 1}$ avec $S = \begin{pmatrix} P &0\\0 & P \end{pmatrix}$ et $S ^{-1}= \begin{pmatrix} P^{-1} &0\\0 & P ^{-1}\end{pmatrix}$ .
Donc $B = R\, S \, \Delta' \, (R \, S) ^{- 1}$ avec $\Delta ' = \begin{pmatrix} \Delta &0\\0 & 2 \Delta \end{pmatrix}$ diagonale.
On a prouvé que $B$ est diagonalisable.

3/ En utilisant les résultats du début de la deuxième question, $B$ est semblable à $B' = \begin{pmatrix} A &0\\0 & 2 A \end{pmatrix}$ , donc $B'$ est diagonalisable.
Il existe un polynôme $R$ scindé à racines simples tel que $R(B') = 0$ .
Un calcul simple de matrices par blocs donne $R(A) = 0$ , $A$ est diagonalisable.

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