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Exercices & corrigés sur les équivalents en MP, PC, PSI et PT

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.8 (1000 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

1. Équivalents usuels fonction ln

Exercice 1 : Justifier les résultats suivants

1) $\displaystyle \ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim} \frac {x^2} 2$

2) $\ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to +\infty }{\sim}x$

3) $\ln (\sin (x))\underset{x\to 0}{\sim}\ln (x)$

Corrigé de l’exercice 1 :

1/ On sait que $\ln (u)\underset{u\to 1}{\sim}u-1$ et ch admet 1 pour limite en 0, donc $\displaystyle \ln (\textrm {ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim}\text{ ch}(x)-1$
et enfin $\displaystyle \ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim} \frac {x^2} 2$ par un équivalent usuel ou le DL de ch à l’ordre 2 en 0.

2/ en utilisant $\displaystyle \ln (\textrm{ ch}(x))=\ln \left(\operatorname{e}^x\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right)$
$\displaystyle \ln (\textrm {ch}(x)) =\ln (\operatorname{e}^x)+\ln \left(\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right)$ .
Comme $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln \left(\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right) = \ln\left(\frac1 2\right)$ ,
$\ln (\textrm {ch}(x)) \underset{x\to +\infty }{ = }\;x+o(x)$

3/ $\sin(x) \underset {x \to 0} \sim x$ donc $\sin(x) \underset {x \to 0} { = } x + o(x)$
En utilisant $\ln (\sin (x))\underset{x\to 0}{ =}\ln (x+o(x))$ ,
$\ln(\sin(x)) \underset {x \to 0} {= } \ln(x) + \ln(1 + o(1))$
$\displaystyle \ln (\sin (x))\underset{x\to 0}{=}\ln (x) \left(1+\frac{\ln (1+o(1))} {\ln (x)} \right)$
et $\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{\ln (1+o(1))}{\ln (x)}=0.$
Donc $\ln (\sin (x))\underset{x\to 0}{\sim}\ln (x)$ .

Exercice 2 :

1) Donner un équivalent au voisinage de $x_0$ de

$\ln(x) - 1$ pour $x_0 = \textrm{e}$

2) $\sin(x)$ pour $x_0 = n \pi$ où $n$ est entier.

3) $\tan(x) - 1$ pour $x_0 = \pi/4$

4) $x_0 = a$ où $a \, {\neq}\, 0$ et $n \, {\in} \, \mathbb{N}^*$ , $x^n - a^n$

5) $x_0 = + {\infty}$ , $\displaystyle \ln \left( x + \sqrt{ x^2 + 1}\right)$

6) $x_0 =1 ^{ -}$ , $\displaystyle \ln \left(x + \sqrt{ 1 - x^2 }\right)$

7) $x_0 = 0^{+}$ et $\alpha \, < \, 0$ , $\ln(1 + x^{{\alpha }})$

8) $x_0 = 0$ , $\sqrt{\cos (x)}-1$

9) $x_0 =+ {\infty}$ , $\displaystyle x\ln \left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}\right)$

10) $x_0 = 0$ , $\displaystyle \frac{\ln \left(x+\sqrt{ 2x^2+1}\right)}{\tan (x^2)}$

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Corrigé de l’exercice 2 :

1/ En effet en notant $f(x) = \ln(x)$ , on cherche un équivalent de $\quad \quad \quad f(x) - f(\textrm{e})= \ln(x) - 1$ ,
la fonction $f$ est dérivable en e et de dérivée non nulle égale à 1/e , $\quad \quad f(x) - f(\textrm e) \underset {x \to \textrm e } \sim f'(\textrm{e} ) (x - \textrm{e})$
$\quad \quad \ln (x) - 1 \underset {x \to \textrm e } \sim \displaystyle \frac 1 {\textrm{e}} \, (x - \textrm{e})$ .
(Méthodes M2 du paragraphe 4)

2/ attention, on ne suppose pas $n = 0$ , $\quad \sin (x)\underset{x\to n\pi}{\sim}(-1)^n(x-n\pi )$
car $\sin(x) = (- 1) ^{ n} \sin(x- n \pi)$ et $x - n \pi$ tend vers 0.
Il faut savoir que si $n \in \mathbb{Z}$ , $\quad \quad \quad \sin(t + n \pi) = ( - 1) ^n \sin(t)$
(considérer les cas $n$ pair puis $n$ impair).

3/ $\tan (x)-1\underset{x\to \pi /4}{\sim}2(x-\pi /4)$
car $\tan({\pi}/4) = 1$ et tangente est dérivable en $\pi /4$ de dérivée égale à 2 (Méthodes M2 du $\S 4$ )

4/ $x^n-a^n\underset{x\to a}{\sim}n\;a^{n-1}\;(x-a)$
car $x$ $\mapsto x ^n$ est dérivable en $a$ de dérivée
$n \, a ^{n - 1}$ non nulle
(on avait à trouver un équivalent de $f(x) - f(a)$ voir Méthodes M2 du paragraphe 4).

5/ $\ln \left( x + \sqrt{ x^2 + 1}\right)\underset{x\to +\infty }{\sim}\ln (x)$

$f(x) = \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$f(x) =\ln (x)+\ln \left(1+\sqrt{1+1/x^2}\right)$
$\displaystyle f(x) =\ln (x)\left(1+\frac{\ln \left(1\;+\;\sqrt{1+1/x^2}\right)}{\ln (x)}\right)$
et $\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\frac{\ln \left(1+\sqrt{1+1/x^2}\right)}{\ln (x)}=0$ . (Méthodes M3 du §4).

⚠️ Si vous avez répondu $\ln(2 \, x)$ , êtes vous sûr de ne pas avoir fait une somme d’équivalents puis une composition par la fonction $\ln$ ?

On peut néanmoins démontrer que $\ln(2\, x)$ est équivalent à $\ln(x)$ en $+ \infty$ .

6/ $\displaystyle \ln \left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\underset{x\to 1^{- }}{\sim}\sqrt{2}\sqrt{1-x}$ .

Soit $f(x) = \ln \left(x+\sqrt{1-x^2}\right)$ .
Comme $\displaystyle \lim _{x\to 1}\left(x + \sqrt{1-x^2}\right) = 1$ , et $\ln(u) \underset{u\to 1}{\sim} u - 1$ , $f(x) \underset{x\to 1^{-}}{\sim}x-1 + \sqrt{1-x^2}$
$f(x) \underset{x\to 1^{- }}{\sim} \sqrt{1-x}\left(-\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)$
avec $\displaystyle \lim _{x\to 1}\left(-\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)=\sqrt 2$ (Méthodes M1 du §4)

7/ $\ln (1+x^{\alpha })\underset{x\to 0^{ +}}{\sim}\alpha \ln (x)$

car si $\alpha \, < \, 0$ , $x^{\alpha} \to + {\infty}$ donc $x^{-\alpha} \to 0$
et $\ln (1+ x^{\alpha })=\ln (x^{\alpha })+ \ln (1 + x^{-\alpha })$
$\displaystyle \ln (1+ x^{\alpha }) = \alpha \ln (x)\left(1 + \frac{\ln (1 + x^{-\alpha })}{\alpha \ln (x)}\right)$
et $\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{\ln (1+x^{-\alpha })}{\alpha \ln (x)}=0$ .

8/ $\displaystyle \sqrt{\cos (x)}-1\underset{x\to 0}{\sim}\frac{-x^2} 4$

car $\displaystyle \sqrt{\cos (x)}-1 = \frac{\cos (x)-1}{\sqrt{\cos (x)}+1} \underset{x \to 0} {\sim} \frac{-x^2/2}{1+1}$

9/ $\displaystyle x\ln \left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}\right)\underset{x\to +\infty }{\sim}\frac 2 x$ .

Soit $\displaystyle f(x) =x\ln \left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}\right)$
$\displaystyle \frac{x^2+x+3}{x^2+x+1} \to 1$ , et $\ln(u) \underset {u \to 1} \sim u - 1$ ,
$\displaystyle f(x)\underset{x\to +\infty }{\sim}x\left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}-1\right)$
$\displaystyle f(x) \underset{x\to +\infty }{\sim }x\left(\frac 2{x^2+x+1}\right)$
$\displaystyle f(x) \underset{x\to +\infty }{\sim}\frac{2x}{x^2}$ .

10/ $\displaystyle \frac{\ln \left(x\;+\;\sqrt{\;2x^2\;+\;1}\right)}{\tan (x^2)}\underset{x\to 0}{\sim}\frac 1 x$ .
car $x+\sqrt{2x^2+1}\underset{x\to 0}{ = }1+x+o(x)$ ,
donc $\ln \left(x+\sqrt{2x^2+1}\right)\underset{x\to 0}{\sim}x$
et $\tan (x^2)\underset{x\to 0}{\sim}x^2$

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2. Les équivalents et la fonction $\ln$

Exercice 3 :
On suppose que $u$ et $v$ sont à valeurs strictement positives et que $\quad \quad \quad u(x) \underset{x\to a}{\sim} v(x)$ .

1/ Si $\displaystyle \lim _{x\to a}u(x)\;=\;0$ , montrer que $\ln (u(x))\underset{x\to a}{\sim}\ln (v(x))$ .

2/ Si $\displaystyle\lim _{x\to a}u(x)\;=\;+\infty$ , montrer que $\ln (u(x))\underset{x\to a}{\sim}\ln(v(x))$ .

Corrigé de l’exercice 3 :

1) On écrit $u(x) = v(x)\varphi(x)$ où $\varphi$ admet 1 pour limite en $a$ .
$u$ et $v$ étant à valeurs strictement positives, $\varphi$ l’est aussi. $\ln (u(x))=\ln (v(x))\;+\;\ln (\varphi (x))$ $\displaystyle \ln(u(x))=\ln (v(x))\left(1+\frac{\ln (\varphi(x))}{\ln (v(x))}\right)$
avec $\displaystyle \lim _{x\to a}\frac{\ln (\varphi (x))}{\ln (v(x))} =0$ .

2) Appliquer la première question avec $1/u$ et $1/v$ qui admettent 0 pour limite et sont équivalentes

Il est recommandé de compléter ces révisions avec des révisions sur d’autres chapitres au programme de Maths en Maths Spé, par exemple avec les cours en ligne suivants :

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