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Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés – séries numériques

1. Nature de quelques séries

Exercice 1 sur la nature des séries numériques

Nature de la série de terme général $\displaystyle u_n = \frac {n ^{\ln(n)}} {\ln^n (n)}$

Corrigé de l’exercice 1 :

On cherche la limite de $n ^2\, u_n$ pour cela on commence par étudier $a_n = \ln(n ^2 \, u_n)$
$a_n = 2 \ln(n) + \ln^2(n)- n \ln(\ln n)$
On a une somme de termes qui divergent vers $\infty$ , on factorise par celui qui tend le plus vite vers $\infty$ :
$\displaystyle a_n = - n \ln(\ln n) ( 1 - \varepsilon _n)$ où $\displaystyle \varepsilon_ n = \frac {2 \ln n} {n \ln(\ln n)}+ \frac{\ln^2 n } { n \ln(\ln n)}$
$\displaystyle \varepsilon_ n = \frac {2 \ln n } {n} . \frac 1 {\ln(\ln n)}+ \left ( \frac{\ln n }{\sqrt{n}} \right) ^2 \frac 1 {\ln(\ln n)}$

Par croissance comparée, $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \varepsilon _n = 0$ et donc $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a _n = - \infty$ .
On a prouvé que $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2 \, u _n = 0$ , donc $\displaystyle u_n \underset {n \to \infty} {=} o \left ( \frac 1 {n^2} \right )$ , par domination par une série de Riemann convergente, $\sum u_n$ converge.

Exercice 2 : somme d’une série numérique

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et $\displaystyle u_n = \frac {a^n} {n + b^n}$ .
Nature de $\sum u_n\,$ .

Corrigé de l’exercice 2 :

$\bullet$ Si $0 < b \leq 1$ , $n + b^n \underset {n \to\infty} \sim n$ car
$\displaystyle n + b^n = n \left ( 1 + \frac {b^n} {n} \right)$ où $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {b^n} {n} = 0$ ,
donc $\displaystyle u_n \underset {n \to \infty} \sim \frac{a^n} n.$

$\ast$ Si $a< 1$ , $\displaystyle 0 \leq \frac{a^n} n \leq a^n$
par domination par une série géométrique convergente, $\displaystyle \sum \frac{a^n} n$ converge et par équivalence de séries de réels positifs, $\sum u_n$ converge.

$\ast$ Si $a\geq 1$ , alors $\displaystyle \frac{a^n} n \geq \frac 1 n$ , donc par minoration par une série de Riemann divergente, $\displaystyle \sum \frac{a^n} n$ diverge et par équivalence de séries de réels positifs, $\sum u_n$ diverge.

$\bullet$ Si $b > 1$ , $n + b^n \underset {n \to\infty} \sim b^n$ car $\displaystyle n + b^n = b^n \left ( 1 + \frac {n} {b^n} \right)$ où $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {n} {b^n} = 0$ (croissance comparée), donc $\quad \quad \quad \quad \displaystyle u_n \underset {n \to \infty} \sim \frac{a^n} {b^n}\,$ .

Par équivalence à une série géométrique positive, $\sum u_n$ converge ssi $0 < a < b$ .

En résumé , $\sum u_n$ converge ssi
( $0 < a < 1$ et $b < 1$ )
ou ( $0 < a < b$ et $b \geq 1$ ).

Exercice 3 : étude d’une série numérique

Étudier la série de terme général $\displaystyle u_n = \frac {1! + 2 ! + \, \cdots \,+ n!} {(n +p)!}$ avec $p \in \mathbb{N}$ .

Corrigé de l’exercice 3 :

$\ast$ Si $p = 0$ , $u_n = 1$ , donc $\sum u_n$ diverge grossièrement.

$\ast$ Si $p = 1$ , $\displaystyle u_n \geq \frac{n!} {(n + 1)!}$ , donc $\displaystyle u_n \geq \frac 1 {n + 1}$ alors $\sum u_n$ diverge par minoration par une série divergente.

$\ast$ Si $p \geq 2$ , soit $\displaystyle a_n = \sum_{k = 1}^n \frac {k!} {n!}$ .
$\displaystyle a_n = 1 + \frac {(n - 1)!} {n!} + \sum_{k = 1}^{n - 2} \frac {k!} {n!}$
et $\displaystyle 0 \leq \sum_{k = 1}^{n - 2} \frac {k!} {n!} \leq \sum_{k = 1}^{n - 2} \frac {(n -2)!} {n!}$
donc $\quad \displaystyle 1 \leq a_n \leq 1 + \frac {1} {n} + (n - 2) \frac {1} {n(n - 1)}$ .
Par encadrement, la suite $(a_n)_n$ converge vers 1, alors
$\displaystyle u_n\underset {n \to \infty} {\sim} \frac {n!} {(n + p)!}$ $\Rightarrow \displaystyle u_n\underset {n \to \infty} {\sim} \frac {1} {n^ p}$ .
Donc $\sum u_n$ converge par équivalence à une série de Riemann convergente.

Exercice 4 : nature d’une série numérique

Nature de la série de terme général $u_n = \cos \left( \pi \sqrt{1 + n + n^2}\right )$ .

Corrigé de l’exercice 4 :

$\displaystyle a_n = \sqrt{1 + n + n^2} = n\sqrt {1 + \frac {1}{n} + \frac{1} {n ^2}}$ .
En utilisant le développement limité de $\sqrt{1 + x}$ à l’ordre 2 en 0, il est important que le terme complémentaire soit un O, pour ne pas devoir écrire le DL à l’ordre 3 :
$\displaystyle a_n \underset {n\to \infty} {=} n \left ( 1 + \frac {1}{2n} + \frac{1} {2n ^2} - \frac{1} {8n ^2} + O \left (\frac {1 } {n^3} \right) \right)$
$\displaystyle a_n \underset {n\to \infty} {=} n \left ( 1 + \frac {1}{2n} + \frac{3} {8n ^2} + O \left (\frac {1 } {n^3} \right) \right)$
$\displaystyle a_n \underset {n\to \infty} {=} n + \frac {1}{2} + \frac{3} {8 n} + O \left (\frac {1 } {n^2} \right)$
donc $\displaystyle u_n \underset {n\to \infty} {=} \cos \left ( n \pi + \frac {\pi}{2} + \frac{3 \pi} {8 n} + O \left (\frac {1 } {n^2} \right) \right )$
et comme $\cos(x + n\pi) = ( -1)^n \cos(x)$ et $\cos(x + \pi/2) = - \sin(x)$
$\displaystyle u_n \underset {n\to \infty} {=} (-1)^{n + 1} \sin \left ( \frac{3 \pi} {8 n} + O \left (\frac {1 } {n^2} \right) \right )$
$\displaystyle u_n \underset {n\to \infty} {=} \frac {3 (-1)^{n + 1}} {8 n} + O \left (\frac {1 } {n^2} \right)$

La série de terme général $\displaystyle \frac {3 (-1)^{n + 1}} {8 n}$ converge par le théorème spécial des séries alternées.
La série de terme général $\displaystyle O \left (\frac {1 } {n^2} \right)$ converge absolument par domination.
Donc par somme, $\sum u_n$ converge.

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2. Comparaison suite-série

Soit une suite $(a_n)_{n > 0}$ de réels strictement positifs. on définit la suite $(u_n)_{n>0}$ par
$u_1 > 0$ et si $n \in \mathbb{N}^*, \; u_{n+1} = \displaystyle u_n + \frac {a_n} {u_n}$ .
Donner une CNS sur $(a_n)_{n > 0}$ pour que la suite $(u_n)_{n > 0}$ converge.

Corrigé de l’exercice :

Par une récurrence simple, $\quad \quad \quad \forall \, n \in \mathbb{N}^* , \; u_n > 0$ ,
donc $\forall n \in \mathbb{N}^*, \; u_{n + 1} - u_n > 0$ .
La suite $(u_n)_{n > 0}$ est strictement croissante.

$\bullet$ Si la suite $(u_n)_{n>0}$ converge vers $L$ , comme $\displaystyle L = \sup _{n > 0} u_n> 0$ , on en déduit que $u_n \underset {n \to \infty} \sim L$ .
La série de terme général $u_{n + 1} - u_n$ converge, donc la série de terme général $\displaystyle \frac {a_n} {u_n}$ converge.
Puis $\displaystyle \frac {a_n} {u_n} \underset {n \to \infty} \sim \frac {a_n} L$ , la série de terme général $a_n$ converge.

$\bullet$ Si $\sum a_n$ converge, en écrivant puisque $a_n > 0$ et $u_n \geq u_1 > 0$ : $\displaystyle 0 \leq u_{n + 1} - u_n \leq \frac {a_n} {u_1}$ , la série de terme général $u_{n + 1} - u_n$ converge par domination, donc la suite $(u_n)_{n>0}$ converge.
Conclusion : la suite $(u_n)_{n>0}$ converge ssi $\sum a_n$ converge.

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3. Comparaison d’une série numérique avec une intégrale

Soit $\alpha > 1$ et si $n \, \in \, \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle u_n = {\frac 1 {n ^{\alpha}}}$ .
On note $\displaystyle R_n = \sum_{k = n + 1}^{\infty} u_k$ , montrer que $\displaystyle R_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac 1{(\alpha - 1) n ^{\alpha - 1}}$ .

Corrigé de l’exercice :

On note $f$ : [1 , $+\infty$ [ $\rightarrow \mathbb{R}$ , $t \mapsto \displaystyle \frac 1 {t ^\alpha}$ .
$f$ est décroissante.

Si $k\, \geq\, 1$ , pour tout $t \in [k , k + 1]$ , $\quad \quad \displaystyle f(k + 1) \, \leq \, f(t) \, \leq \, f(k)$ ,
en intégrant sur $[k , k + 1]$ , $\quad \quad f(k + 1) \, \leq \,\int _{k} ^{k + 1} f(t) \textrm {d} t \, \leq \,f(k).$
alors si $k\, \geq \, 2$ , $\int _{k} ^{k + 1} f(t) \textrm {d} t \, \leq \, f(k) \, \leq \,\int _{k - 1 } ^{k} f(t) \textrm {d} t .$

Soit $n \geq 1$ , si $N \geq n + 1$ , on somme pour $k = n + 1 , \,...\, , N$ , on obtient :
$\displaystyle \sum _{k = n + 1}^{N} \int _{k} ^{k + 1} f(t) \textrm {d} t \, \leq \, \sum _{k = n + 1}^{N}f(k)$
$\displaystyle \, \leq \,\sum _{k = n + 1}^{N}\int _{k - 1 } ^{k} f(t) \textrm {d} t$
puis par la relation de Chasles,
$\displaystyle \int _{n+ 1 } ^{N + 1} f(t) \textrm {d} t \, \leq \, \sum _{k = n + 1}^{N}f(k) \, \leq \,\int _{n } ^{N} f(t) \textrm {d} t$
avec $\displaystyle \int _{n } ^{N} f(t) \textrm {d} t = \left [ - \frac 1 {\alpha - 1} \frac 1 {t ^{\alpha - 1}} \right ] _{n} ^{N}$
$\displaystyle = \frac 1 {\alpha - 1}\left ( \frac 1 {n ^{\alpha - 1}} - \frac 1 {N ^{\alpha - 1}} \right )$
( $\alpha \neq 1$ ). Donc
$\displaystyle \frac 1 {\alpha - 1} \left ( \frac 1 {{(n + 1)} ^{\alpha - 1}} - \frac 1 {{(N + 1)} ^{\alpha - 1}} \right ) \,$
$\displaystyle \leq \, \sum _{k = n + 1}^{N}\frac 1 {k^\alpha} \, \leq \, \frac 1 {\alpha - 1}\left ( \frac 1 {n ^{\alpha - 1}} - \frac 1 {N ^{\alpha - 1}} \right )$

Lorsque $N$ tend vers $+\infty$ , on obtient
$\displaystyle \frac 1 {\alpha - 1} \frac 1 {{(n + 1)} ^{\alpha - 1}} \, \leq \, R_n\, \leq \, \frac 1 {\alpha - 1}\frac 1 {n ^{\alpha - 1}}$
Donc par multiplication par $n ^{\alpha - 1}$ :
$\displaystyle \frac 1 {\alpha - 1} \left (\frac n {n + 1} \right ) ^{\alpha - 1} \, \leq \, n ^{\alpha} R_n \, \leq \, \frac 1 {\alpha - 1}$
Par encadrement, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n ^{\alpha} R_n= \frac 1 {\alpha - 1}$
donc $\displaystyle R_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac 1 {(\alpha- 1) n ^{\alpha - 1}}\;$ .

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4 – Transformation d’ Abel

Question 1

Soient $(u_n)_{n \geq 0}$ et $(v_n)_{n \geq 0}$ deux suites telles que :
$\ast$ la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ est une suite de réels décroissante, convergente de limite nulle
$\ast$ la suite $(v_n)_{n \geq 0}$ est une suite de complexes telle que si l’on note, pour $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle V_n =\sum _{k = 0 }^{n} v_k$ , la suite $(V_n)_{n \geq 0}$ est bornée.

a) On note si $n \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle S_n = \sum _{k = 0 } ^{n} u_k v_k.$
Montrer que $(S_n)_{n \geq 1}$ vérifie :
$\displaystyle S_n = \sum _{k = 0} ^{n - 1} (u_k - u_ {k + 1}) V_k + u_n V_n .$

b) Montrer que $\sum u_n v_n$ converge.

Question 2

Utiliser la première question, pour montrer que si la suite $(u_n)_n$ est une suite de réels décroissante, convergente de limite nulle, $\sum (- 1) ^n u_n$ est convergente.

Question 3

a) Montrer que $\forall (t , a) \in \left ( \mathbb{R} \setminus (2 \pi \mathbb{Z} ) \right ) \times \, ]0 , +\infty [$ , la série de terme général $\displaystyle \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i} n t} } {n ^a}$ converge.

b) Montrer que pour tout $\forall t \in \mathbb{R} \setminus (2 \pi \mathbb{Z})$ et $a > 0$ , les séries de termes généraux $\displaystyle \frac {\cos(n t)} {n ^a}$ et $\displaystyle \frac {\sin(n t)} {n ^a}$ convergent.

c) Montrer que si $0 < a < 1$ et $t \in \mathbb{R} \setminus (\pi \mathbb{Z})$ , la série de terme général $\displaystyle \frac {\sin(n t)} {n ^a}$ ne converge pas absolument.
(on pourra comparer $|\sin(nt )|$ et $\sin^2(n t)$ ).

Corrigé de l’exercice sur la transformation d’Abel :

a) On peut aussi raisonner par récurrence ou démontrer comme ici entièrement la formule.
Si $n > 0$ , $\displaystyle S_n = \sum _{k = 0 } ^{n} u_k v_k$ $\displaystyle S_n = u_0\, V_0 +\sum _{k = 1 } ^{n} u_k \left (V_k - V_{k - 1} \right )$ .
On a utilisé si $n \geq 1 , v_k = V_k - V_{k - 1}$ et $v_0 = V_0\,$ . $\displaystyle S_n = u_0\, V_0 +\sum _{k = 1 } ^{n} u_k V_k - \sum_{k = 1} ^{n} u_k V_{k - 1} \,$ .
$\quad \displaystyle S_n = \sum _{k = 0 } ^{n} u_k V_k - \sum_{p = 0} ^{n - 1 } u_{p + 1} V_{p} \,$
(avec $p = k - 1$ ).
Soit $\displaystyle S_n = \sum _{k = 0} ^{n - 1} (u_k - u_ {k + 1}) V_k + u_n V_n \,.$

b) Soit $M \geq 0$ tel que pour tout $q \, \in \, \mathbb{N}$ , $|V_q| \leq M$ , donc $\displaystyle \lim _{n \to \infty} u_n V_n = 0$ (produit d’une suite bornée et d’une suite qui converge vers 0).
Soit $\displaystyle T_n = \sum _{k = 0} ^{n - 1} (u_k - u_ {k + 1}) V_k$ .
$T_n$ est la somme partielle d’ordre $n - 1$ de la série de terme général $(u_n - u_{n + 1}) V_n$ avec
$|u_n - u_{n + 1}| \; |V_n| \, \leq \ M |u_n - u_{n + 1}|$
$\Rightarrow | u_n - u_{n + 1}| \; |V_n| \leq \ M (u_n - u_{n + 1})$ .
Comme la suite de terme général $(u_n)_n$ converge, la série de terme général $u_n - u_{n + 1}$ converge, donc la série de terme général $(u_n - u_{n + 1}) V_n$ converge absolument, on en déduit que la suite $(T_n)_n$ converge.

Donc la suite

$(S_n)_n$ converge par somme de deux suites convergentes.

2/ Si la suite

$(u_n)_n$ est une suite de réels positifs ou nulle, décroissante qui converge vers 0 et si

$v_n = (- 1)^n$ ,

$V_{2n } = 1$ et

$V_{2n + 1 } = 0$ , donc la suite

$(V_n)_n$ est bornée. On peut donc appliquer la première question.La série de terme général

$( - 1)^n u_n$ est convergente.
On remarque que l’on retrouve une partie du théorème des séries alternées.3/

$\bullet$ Si

$a > 1$ ,

$\displaystyle w_n = \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i} n t} } {n ^a}$ vérifie

$\displaystyle |w_n| = \frac 1 {n ^a}$ avec

$a > 1$ , la série converge absolument.

$\bullet$ Si

$0 < a \leq 1$ , la suite

$(u_n)_n\,$ , où

$\displaystyle u_n = \frac 1 {n^a}$ est une suite décroissante, convergente vers 0.
On note

$v_n = {\textrm {e} ^{\textrm {i} n t} }$ , alors

$\displaystyle V_n = \sum_{k = 0}^n v_k = \sum_{k = 0}^n \left ( \textrm {e} ^{\textrm {i} t} \right ) ^n$ ; comme

$\textrm {e} ^{\textrm {i} t} \neq 1$ ,

$\displaystyle V_n = \frac {1 - \textrm {e} ^{\textrm {i} (n + 1) t} } {1 - \textrm {e} ^{\textrm {i} t}}$ .En utilisant

$1 - \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta} = \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta / 2 }\left ( \textrm {e} ^{ - \textrm {i} \, \theta / 2 } - \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta / 2 }\right )$

$1 - \textrm {e} ^{\textrm {i} \theta} = - 2 \, \textrm{i}\; \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta / 2 } \sin \left ( \textrm {e} ^{\textrm {i} \, \theta / 2 } \right )$
on obtient après quotient et simplification,

$\displaystyle V_ n = \textrm {e} ^{\textrm {i} nt / 2} \frac {\sin \left ( (n + 1) t /2 \right ) } {\sin \left (t/2 \right ) }$
donc

$\displaystyle | V_ n | \leq \frac {1 } {|\sin \left (t/2 \right ) |}$ .
La suite

$(|V_n|)_{n >0}$ est bornée si

$t \notin 2 \pi \mathbb{Z}$ .Par application de la transformation d’Abel, la série de terme général

$w_n$ est convergente.b) Les séries de termes généraux

$\displaystyle \frac {\cos(n t)} {n ^a}$ et

$\displaystyle \frac {\sin(n t)} {n ^a}$ convergent comme partie réelle et partie imaginaire d’une série convergente lorsque

$t \in \mathbb{R} \setminus (2 \pi \mathbb{Z})$ et

$a > 0$ .c) Pour tout

$n \in \, \mathbb{N}, \; \sin ^2(n t)\leq \,| \sin(n t)|$ , donc si,

$\displaystyle z_n = \frac {| \sin(n t)|} {n ^a}$ ,

$z_n \, \geq w_n \, \geq 0$
où

$\displaystyle w_n = \frac {1 - \cos(2nt )} {2 n ^a} = \frac 1 {2 n ^a} - \frac {\cos(2n t )} {2 n ^a}$

$\sum w_n$ est la somme d’une série de Riemann divergente (

$0 < a < 1$ ) et d’une série convergente (cf 3 b pour

$2 t \notin 2 \pi \mathbb{Z}$ ) donc

$\sum w_n$ diverge. Alors

$\sum z_n$ diverge.

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