Cours en ligne Maths en Maths Spé

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Cours Intégrales à paramètre MP, PC, PSI, PT

Résumé de cours Exercices et corrigés

Résumé de cours et méthodes – Intégrales à paramètres

I- Continuité des intégrales à paramètres en maths spé

1.1. Continuité

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $A$ une partie non vide d’un espace vectoriel de dimension finie.
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
$\ast$ (a) si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$
$\ast$ (b) si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est continue sur $A$
$\ast$ (c) s’il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ telle que $\quad \forall \, (x , t) \in A \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)$ ,

Conclusion
$\ast$ $\ast$ la fonction $g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ est définie sur $\mathcal{V}$ et continue en $a$ .

Pour la continuité en un point :
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $A$ une partie non vide d’un espace vectoriel de dimension finie et $a \in A$ .
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
$\ast$ (a)si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$ .
$\ast$ (b) si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est continue en $a$
$\ast$ (c) s’il existe un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ et une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ telle que $\quad \forall \, (x , t) \in \mathcal{V} \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)$ ,

Conclusion
$\ast$ $\ast$ la fonction $g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ est définie sur $\mathcal{V}$ et continue en $a$ .

Dans la plupart des exercices, $A$ est un intervalle et on peut utiliser la forme énoncée dans le sous-paragraphe suivant.

1.2. Cas général

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $A$ un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
$\ast$ (a) si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$
$\ast$ (b) si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est continue sur $A$
$\ast$ (c) hypothèse de domination globale
s’il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux et intégrable sur $I$ , telle que $\forall \, (x , t) \in A \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)$ ,
ou
$\ast$ (c’) hypothèse de domination locale
si pour tout segment $S$ inclus dans $A$ , il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ , telle que $\forall \, (x , t) \in S \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)$ ,

Conclusion :
$\ast$ $\ast$ la fonction $g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ est définie et continue sur $A$ .

Lorsque l’intervalle $A$ est ouvert ou non borné, il est courant de raisonner par domination locale.

Important : si $f$ est continue sur $A \times I$ , les hypothèses de continuité contenues dans (a) et (b) sont vérifiées.

1.3. Cas particulier

Soit $I = [a ,\, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et soit $A$ un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soit $f : A\times I \to \mathbb{K}$ continue.
La fonction $\quad \quad g : A \to \mathbb{K}, \; x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$
est continue sur $A$ .

1.4. Exemple : la fonction $\Gamma$

$\Gamma : x \mapsto \int_0^{+\infty} t^ {x - 1} \textrm{ e} ^ {- t}\, \textrm{d} \, t$ .
Retrouver le domaine de définition de la fonction $\Gamma$ .
Démontrer qu’elle est continue.

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2. Dérivabilité des intégrales à paramètres

2.1. Cas général

Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ .
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
Hypothèses :
$\ast$ (a) si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x , \, t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ ,
$\ast$ (b) si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est de classe $C^1$ sur $A$ ,
$\ast$ (c) si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto \displaystyle \frac {\partial f} {\partial x} (x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ,
$\ast$ (d) hypothèse de domination globale
s’il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ , telle que $\displaystyle \forall \, (x , t) \in A \times I, \;\left \vert \frac {\partial f} {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi (t)$
ou
$\ast$ (d’) hypothèse de domination locale
si pour tout segment $S$ inclus dans $A$ , il existe une fonction $\varphi$ , continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$ telle que $\displaystyle \forall \, (x , t) \in S \times I, \;\left \vert \frac {\partial f} {\partial x}(x , \, t)\right \vert \leq \varphi (t)$

Conclusion :
$\ast$ $\ast$ pour tout $x \in A$ , la fonction $\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f} {\partial x}(x ,\, t)$ est intégrable sur $I$
$\ast$ $\ast$ la fonction $g$ , définie sur $A$ par $\forall \, x \in A, \; g(x) = \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ , est de classe $C^1$ sur $A$ ,
et $\displaystyle \forall \, x \in A, \; g'(x) = \int_I \frac {\partial f} {\partial x}(x,\, t) \, \textrm{d} \, t$ .

Si $f$ est de classe $C^1$ sur $A \times I$ , les hypothèses de continuité contenues dans (a), (b) et (c) sont vérifiées. (nécessite le cours sur les fonctions de plusieurs variables).

2.2. Cas particulier

Soit $I = [a ,\, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et soit $A$ un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soit $f : A \times I \to \mathbb{K}$ continue telle que la fonction $\displaystyle \frac {\partial f} {\partial x}$ est définie et continue sur $A \times I$ .
$g : A \to \mathbb{R}, \; x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ est de classe $C^1$ sur $A$ et $\quad \displaystyle \forall \, x \in A, \; g'(x) = \int_I \frac {\partial f} {\partial x}(x,\, t) \, \textrm{d} \, t$ .

3. Généralisation aux fonctions de classe $C^k$ – intégrales à paramètres

3.1. Théorème

Présentation avec une domination locale :
Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ .
Soit $k \in \mathbb{N}, \; k\geq 2$ .
On considère $f : A \times I \to \mathbb{K}$ .
Hypothèses
$\ast$ si pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est de classe $C^k$ sur $A$ ,
$\ast$ si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x ,\, t)$ et les fonctions $t \mapsto \displaystyle \frac {\partial^i f} {\partial x^i } (x , \, t)$ où $1 \leq i \leq k - 1$ sont continues par morceaux et intégrables sur $I$ ,
$\ast$ si pour tout $x \in A$ , $t \mapsto \displaystyle \frac {\partial^k f} {\partial x^k } (x , \, t)$ est continue par morceaux sur $I$ et si pour tout segment $S$ inclus dans $A$ , il existe une fonction $\varphi$ continue par morceaux et intégrable sur $I$ telle que
$\quad \forall (x , \, t) \in S \times I,\; \displaystyle \left \vert \frac {\partial^k f} {\partial x^k } (x , \, t \right \vert \leq \varphi(t)$ ,

conclusion
$\ast$ $\ast$ pour tout $x \in A$ , la fonction $\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f^k } {\partial x^k }(x ,\, t)$ est intégrable sur $I$
$\ast$ $\ast$ la fonction $g$ , définie sur $A$ par $\forall \, x \in A, \; g(x) = \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ , est de classe $C^k$ sur $A$ et $\displaystyle \forall\, i \in [\![1 , \, k]\!]$ ,
$\displaystyle \forall \, x \in A, \; g^{(i)} (x) = \int_I \frac {\partial f^i } {\partial x^i }(x,\, t) \, \textrm{d} \, t$ .

3.2. Application à la fonction $\Gamma$ .

Montrer que la fonction $\Gamma$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ .

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4. Étude d’une intégrale à paramètre

On se place dans le cas où $\quad \quad \quad F(x) = \int_a ^b f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t$ .

$\bullet$ M1. Comment donner le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $F$ ?
Il s’agit de déterminer l’ensemble $\mathcal{D}$ des $x$ tels que la fonction $t \mapsto f(x ,\, t)$ soit intégrable sur $I$ . Attention $t$ est la variable d’intégration et $x$ est un paramètre.

$\bullet$ M2. On étudie la continuité de $F$ sur $\mathcal{D}$ , en utilisant le paragraphe I.

$\bullet$ M3. Si l’on demande d’étudier la monotonie de $F$ en demandant seulement dans une question située plus loin de prouver que $F$ est dérivable : on prend $x < y$ dans $\mathcal{D}$ et on étudie le signe de $F(y) - F(x)$ en étudiant le signe sur $I$ de la fonction $t \mapsto f(y , t) - f(x , t)$ .

Exercice

Soit $\displaystyle F(x) = \int_{ 1} ^{ +\infty} \frac 1 {1 + t ^x} \, \textrm{d} \, t$ .
Domaine de définition et sens de variation de $F$ .

$\bullet$ M4. On démontre que la fonction $F$ est de classe $C^1$ en utilisant le § 2, de classe $C^n$ en utilisant le § 3.
Dans certains cas, il est possible de calculer l’intégrale définissant $F'(x)$ et d’en déduire par intégration la fonction $F$ , en déterminant la constante d’intégration.

$\bullet$ M5. Pour déterminer la limite de la fonction $F$ en une des bornes $c$ de $\mathcal{D}$ :
$\ast$ M5.1. Il est parfois possible d’encadrer $F(x)$ par deux fonctions admettant même limite en $c$ , ou de minorer $F(x)$ par une fonction qui tend vers $+\infty$ en $c$ , ou de la majorer par une fonction qui tend vers $- \infty$ en $c$ .

$\ast$ M5.2. On applique la généralisation du théorème de convergence dominée.
On se place sur un intervalle $A \subset \mathcal {D}$ de borne $c$ . On vérifie que :
… pour tout $x \in A, \; t \mapsto f(x , t)$ est continue par morceaux sur $I$ ,
… pour tout $t \in I, \; x \mapsto f(x , t)$ admet une limite en $c$ notée $g(t)$ et que la fonction $g$ est continue par morceaux sur $I$ .
… On cherche une fonction $\varphi$ continue par morceaux et intégrable sur $I$ telle que $\forall \, (x, t) \in A \times I, \; \vert f(x , \, t) \vert \leq \varphi(t)$ .
Alors $F$ admet une limite en $c$ et $\quad \displaystyle \lim_{x \to c} F(x) = \int_a ^b \lim_{x \to c} f(x , t) \, \textrm{d} \, t$ .

Exercice

Si $x > 1$ , $\displaystyle F(x) = \int_{ 1} ^{ +\infty} \frac 1 {1 + t ^x} \, \textrm{d} \, t$ . Déterminer les limites aux bornes de la fonction $F$ .

$\bullet$ M6. Dans quelques cas particuliers, on peut ramener l’étude de $x \mapsto \int_a ^b f(x ,\, t) \, \textrm {d} \, t$ à l’étude d’une fonction de la forme $x \mapsto \int_{u(x)} ^{v(x)} g(t) \, \textrm {d} \, t$ .

Exemple 1
Si $x \in [0 , \, 1],$ $\quad \quad g(x) = \int_ 0 ^1 \min(x , \, t) f(t) \, \textrm {d} \, t$
où $f$ est continue sur $[0 , \, 1]$ .
Dérivée de $g$ .

Exemple 2
$g(x)= \int_{ 0}^ {1}\cos(t) f(x + t) \, \textrm {d} \, t$ où $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Dérivabilité de $g$ .

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5. Fin de l’étude de la fonction $\Gamma$

On a déjà prouvé que $\Gamma$ est de classe $C^2$ sur $]0 , +\infty[$ (on pourrait démontrer qu’elle est $C ^{\infty}$ ).
Dans le chapitre Intégration sur un intervalle quelconque, on a prouvé que
pour tout $x > 0, \; \Gamma(x + 1) = x\, \Gamma(x)$ .
pour tout $n \in \mathbb{N}^*, \, \Gamma (n) = (n - 1)!$ .

$\bullet$ Signe de $\Gamma'$ .
Comme tout $x > 0, \, \Gamma''(x) > 0$ (car on intègre une fonction continue positive ou nulle est différente de la fonction nulle), $\Gamma'$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+*}$ .
Comme $\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1$ , le théorème de Rolle assure l’existence de $a \in \; ]1 , \, 2[$ tel que $\Gamma'(a) = 0$ .
La stricte croissance de $\Gamma'$ assure que $\Gamma'(x) < 0$ si $x < a$ et $\Gamma'(x) > 0$ si $x > a$ .
La fonction $\Gamma'$ est strictement croissante et s’annule en $a\in \; ]1 , \, 2[$ .
$\Gamma$ est strictement décroissante sur $]0 , \, a]$ et strictement croissante sur $[a, \, +\infty[$ .
On peut démontrer que $a \approx 1.45$ et $\Gamma(a) \approx 0.866$ .

$\bullet$ Étude aux bornes :
$\ast$ En utilisant la continuité de $\Gamma$ en 1, $\Gamma(1) = 1$ et la relation $\quad \quad \quad \displaystyle \Gamma(x) = \frac {\Gamma(x + 1) } x$ ,
$\quad \quad \quad \Gamma(x) \underset {x \to 0} \sim \displaystyle \frac 1 x$ ,
ce qui donne $\displaystyle \lim_{x\to 0} \Gamma(x) = +\infty$ .
La courbe admet une asymptote d’équation $x = 0$ .

$\ast$ Soit $x \geq 2$ et $p$ la partie entière de $x$ .
Par croissance de $\Gamma$ sur $[2 , +\infty[$ , $\Gamma(x) \geq \Gamma(p)$ donc
$\quad \Gamma(x) \geq (p - 1)! \geq (x - 2)(x - 3)$ .
Cette minoration donne :
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \Gamma(x) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac {\Gamma(x)} x = +\infty$ .
La courbe représentative de $\Gamma$ admet une branche parabolique de direction $Oy$ .

$\bullet$ La fonction $\ln \circ \, \Gamma$ est convexe.

6. Autres types de fonctions définies avec une intégrale

On se place dans le cas où $F$ est définie par $F(x) = \displaystyle \int _{u(x)}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t$ , $f$ étant continue.

6.1. Domaine de définition.

$\ast$ On cherche le domaine de définition $\Delta$ de $f$ . On suppose dans la suite que $f$ est continue sur $\Delta$ .
$\ast$ Puis on détermine l’ensemble des $x$ tels que $u(x)$ et $v(x)$ soient définis et tels que le segment d’extrémités $u(x)$ et $v(x)$ soit inclus dans un intervalle $I$ sur lequel $f$ est continue.

On note $\mathcal{D}$ le domaine de définition de $F$ .

: les domaines $\Delta$ et $\mathcal{D}$ peuvent être distincts.

exemple $f : t \mapsto t \sqrt{ \vert \ln (t)\vert }$ , $0 \mapsto 0$ est continue sur $\mathcal{D} = \mathbb{R}^+$ .
Trouver le domaine de définition de $\displaystyle F : x \mapsto \int_{1 - x } ^{x^2} f(t) \, \textrm{d}\,t$ .

6.2. Comment trouver la limite de $F$ lorsque $u$ et $v$ ont même limite $L$ et où $\displaystyle \lim_{t \to L} \vert f(t) \vert = +\infty$ ?

Hypothèses :
$L \in \mathbb{R}\,$ , $\displaystyle \lim_{x\to a} u(x) = \lim_{x\to a} v(x) = L$ et $\displaystyle \lim_{t \to L} \vert f(t) \vert = + \infty.$

$\bullet$ M1. On cherche un équivalent simple noté $g(t)$ de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $L$ . On note $h(t) = f(t) - g(t)$ .
On démontre que $h$ est prolongeable par continuité en $L$ . On détermine un intervalle $I$ contenant $L$ sur lequel $h$ est continue et on introduit une primitive $H$ de $h$ sur $I$ . On vérifie que $(u(x) , \, v(x)) \in I^ 2$ lorsque $x$ tend vers $a$ et en écrivant $\displaystyle \int_{u(x)} ^{v(x)} h(t) \, \textrm{d} \,t = H(v(x) ) - H(u(x))$ ,
on obtient
$\displaystyle \lim_{x \to a} \int_{u(x)} ^{v(x)} h(t) \, \textrm{d} \,t = H(L) - H(L) = 0$
Il reste à trouver $\displaystyle \lim_{x \to a} \int_{u(x)} ^{v(x)} g(t) \, \textrm{d} \,t$ pour trouver la limite de $F$ en $a$ .

exemple :
Limite en $0$ de $x \mapsto \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t$ .

$\bullet$ M2. On peut aussi chercher à encadrer $f(t)$ et en déduire un encadrement de $F(x)$ par deux fonctions ayant même limite.

Exemple :
Appliquer une méthode d’encadrement à $F(x) = \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t$ pour en retrouver la limite en $0$ .

$\bullet$ M3. Si $f$ est intégrable sur $[\alpha ,\, L[$ ou sur $]L ,\, \alpha]$ où $\alpha \in \Delta$ ( $\Delta$ est le domaine de continuité de $f$ ), on note $K = \int_{\alpha} ^L f(t) \, \textrm{d} \, t$ et on écrit $F(x) = \displaystyle \int _{\alpha}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t - \int _{\alpha}^{u(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t$ .
Quand $x$ tend vers $a$ , comme $u(x)$ et $v(x)$ admettent $L$ pour limite, $F(x)$ admet $K - K = 0$ pour limite lorsque $x$ tend vers $a$ .

exemple : $F : x \mapsto \displaystyle \int_{x^2} ^{x} \frac 1 {\sqrt{1 - t ^3}} \, \textrm{d}\,t$
Trouver le domaine de définition et étudier la limite de $F$ aux bornes.

6.3. Calcul de la dérivée.

Introduire une primitive $\Phi$ de $f$ sur un intervalle $I$ à préciser et écrire $F(x) = \Phi (v(x)) - \Phi(u(x))$ ; dériver alors les fonctions composées ainsi obtenues.

exemple :
Dérivée de la fonction définie par $F(x) = \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t$ si $x \neq 0$ et $F(0) = \ln(3)$ .

6.4. Comment trouver la limite de $F$ en $a$ lorsque $u$ et $v$ tendent vers $\infty$ ?

Hypothèses : $\displaystyle \lim_{x \to a} u(x) = \lim_{x \to a} v(x) = \varepsilon \; \infty$ où $\varepsilon = \pm 1$

$\bullet$ M1. Lorsque la fonction $f$ est monotone, on encadre $f(t)$ entre $f(u(x))$ et $f(v(x))$ (il faut faire attention à la position relative des réels $u(x$ ) et $v(x)$ ), puis on intègre entre $u(x$ ) et $v(x)$ (toujours en faisant attention à la position relative de $u(x)$ et $v(x)$ ), de façon à obtenir un encadrement de $F(x)$ .
On saura trouver la limite de $F(x)$
$\ast$ lorsque les deux fonctions encadrant $F$ ont même limite,
$\ast$ ou lorsqu’on a minoré $F$ par une fonction admettant $+\infty$ pour limite en $a$
$\ast$ ou lorsqu’on a majoré $F$ par une fonction admettant $- \infty$ pour limite en $a$

exemple : Soit $\displaystyle F : x \mapsto \int _x ^{2 x} \frac {\textrm{exp}(t)} t \, \textrm{d} \, t$ et $F(0) = \ln(2)$ .
Déterminer les limites de $F$ en $\pm \infty$ .

$\bullet$ M2. S’il existe $\alpha$ tel que $f$ soit intégrable sur $I = [\alpha , \, +\infty[$ (resp. sur $I = ]- \infty , \, \alpha]$ ), on note $\quad \quad K = \int _{\alpha}^{+\infty } f(t) \, \textrm{d}\,t$ $\quad \quad (\textrm{resp.} \; K' = \int _{- \infty}^{\alpha} f(t) \, \textrm{d}\,t$ ).
On écrit que $\displaystyle F(x) = \int _{\alpha}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t - \int _{\alpha}^{u(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t$ ; $F(x$ ) admet $K - K = 0$ pour limite si $v(x)$ et $u(x)$ tendent vers $+\infty$
(resp. $- K' + K' = 0$ si $u(x)$ et $v(x)$ tendent vers $- \infty$ ).

exemple : $\displaystyle F : x \mapsto \int _x ^{2 x} \frac {\textrm{exp}(t)} t \, \textrm{d} \, t$ . Étude de la limite en $- \, \infty$ .

6.5. Lorsqu’une seule des bornes tend vers $\infty$

Par exemple sous les hypothèses :
$\displaystyle \lim_{x \to a} u(x) = L$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} v(x) = \infty$ ,
cela revient à chercher si l’intégrale $\int_{L} ^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t$ ou $\int_{-\infty} ^{L} f(t) \, \textrm{d} \, t$ converge.

exemple : Étude des limites de $F$ où $F(x) = \displaystyle \int_{1/x} ^x \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt {\vert t \vert }} \, \textrm{d} \, t$ en $0$ et $\infty$ .

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