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Cours : Intégration sur un intervalle quelconque en Maths Spé
Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé de cours et méthodes – Intégration sur un intervalle quelconque
1. Comment prouver qu’une intégrale est convergente ?
⚠️ ⚠️ Toujours commencer par l’étude de la continuité de .
M1.Par utilisation des intégrales impropres au programme (en général par comparaison par inégalité ou par équivalence avec M3) :
l’intégrale converge ssi .
si , les intégrales et convergent ssi .
l’intégrale converge.
si , l’intégrale converge ssi .
M2. Par somme ou produit par un scalaire :
Si et sont continues par morceaux sur l’intervalle de bornes et et si est un scalaire, lorsque les intégrales et convergent, les intégrales et convergent.
M3. Dans le cas de fonctions à valeurs positives ou nulles par utilisation des relations de comparaison
Si et sont continues par morceaux sur à valeurs positives ou nulles,
a) si et si l’intégrale est convergente, alors l’intégrale est convergente.
b) si , l’intégrale est convergente ssi l’intégrale est convergente.
M4. En démontrant que l’intégrale est absolument convergente, c’est-à-dire en démontrant que l’intégrale est convergente.
M5. Lorsque est continue par morceaux et à valeurs positives sur (resp ), en démontrant que la fonction (resp. ) est majorée sur .
M6. Par évaluation d’une limite d’intégrale (méthode déconseillée sauf dans le cas d’intégrales du type M7) :
Si est continue par morceaux sur , en démontrant que la fonction a une limite finie à gauche en si est fini ou en si .
On peut aussi prendre et raisonner avec .
Si est continue par morceaux sur , en démontrant que la fonction a une limite finie à droite en si est fini ou en si . On peut aussi raisonner avec où .
Si est continue par morceaux sur , on introduit et on démontre que les intégrales et sont convergentes (cf a) et b)).
M7. En connaissant l’exemple classique : l’intégrale converge mais ne converge pas absolument.
De même, si , les intégrales et convergent.
(La démonstration utilise une intégration par parties).
M8. Par utilisation du théorème de changement de variable à partir d’une intégrale convergente :
Si est continue par morceaux sur et si est une bijection strictement monotone de sur et de classe ,
l’intégrale converge ssi l’intégrale converge. Et dans ce cas :
exemple : On sait que l’intégrale converge. Comme la fonction est une bijection strictement décroissante de classe , alors l’intégrale converge.
👍 Pour la rédaction d’un changement de variable :
On suppose que est la variable initiale et l’intervalle initial d’intégration et que vous voudriez remplacer en fonction de .
Suivre les étapes suivantes :
Définir ,
puis et remplacez le par ce par quoi vous voulez remplacer .
Et enfin terminez en remplaçant par l’intervalle de façon à avoir défini une bijection. (voir un exemple en M1 § 5.)
M9. Par utilisation du théorème d’intégration par parties.
Si l’on écrit la fonction sous la forme , les fonctions et étant de classe sur l’intervalle de bornes et , si la fonction admet une limite finie en et en , il suffit que l’intégrale converge pour que l’intégrale converge.
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2. Comment prouver qu’une fonction est intégrable ?
Important : Toujours commencer par vérifier que est continue par morceaux sur l’intervalle .
Quelques remarques pour simplifier :
Si l’intervalle est de la forme , prouver que est intégrable sur et sur où est un réel donné de .
Cas de simplification : si et s’il est possible de prolonger la fonction par continuité en , il suffira de prouver que est intégrable sur où puisque sera continue sur .
Dans le cas où et où est paire ou impaire, il suffit de prouver que est intégrable sur .
M1. Si , on vérifie que est continue par morceaux sur .
M2. Si n’est pas un segment, on vérifie que est une fonction continue par morceaux sur puis on prouve que l’intégrale de sur est absolument convergente (cf § I.)
M3. Les exemples fondamentaux au programme.
est intégrable sur ssi
est intégrable sur ssi
est intégrable sur ssi
est intégrable sur ssi
est intégrable sur ssi
est intégrable sur .
M4. Par majoration :
Si est continue par morceaux sur l’intervalle et s’il existe une fonction continue par morceaux, intégrable sur à valeurs dans telle que , est intégrable sur .
M5. En prouvant que est équivalente à une fonction intégrable :
N.B. : quand cette méthode est utilisable, elle est préférable à la méthode M6 car elle est plus simple et donne alors une CNS d’intégrabilité (utile si dépend d’un paramètre), ce que l’on n’obtient pas en utilisant M6.
M5.1. Cas : si et s’il existe et tels que :
est intégrable sur ssi .
M5.2. Cas où : si et s’il existe et tels que ,
est intégrable sur ssi .
M5.3. Cas où : si et s’il existe et tels que ,
est intégrable sur ssi .
M6. En prouvant que est dominée par une fonction intégrable :
M6.1. Cas : si , il suffit qu’il existe tel que .
Ce raisonnement s’applique en particulier lorsque avec .
Cas fréquents d’utilisation :
a) si ou avec et continue sur , il est souvent possible de conclure en prouvant que .
On pourra en particulier utiliser ce raisonnement lorsque est une fonction polynôme de degré .
b) si , où est continue sur (), il suffit de trouver tel que .
M6.2. Cas où : si et s’il existe tel que , on écrit que la fonction est intégrable sur , donc est intégrable sur .
M6.3. Cas où : si et s’il existe tel que , on écrit que la fonction est intégrable sur , donc est intégrable sur .
M7. En utilisant un DL :
Si et si l’on peut trouver un développement limité de en à l’ordre 2 de la forme ,
est intégrable sur ssi (justifier le résultat à chaque fois).
On peut aussi écrire que et justifier que est intégrable sur ssi .
M8. En utilisant le théorème de changement de variable :
On suppose que est continue par morceaux sur et qu’il existe une fonction de classe sur l’intervalle définissant une bijection strictement monotone de sur ,
alors est intégrable sur ssi est intégrable sur et dans ce cas
dém : On applique le théorème de changement de variable aux fonctions et pour prouver l’intégrabilité.
M9. Lorsqu’une primitive de est simple, on démontre que admet une limite finie en pour démontrer que est intégrable sur , etc….
M10. En utilisant des fonctions de carré intégrables : si les fonctions et sont continues par morceaux à valeurs dans sur l’intervalle et de carré intégrable, la fonction est intégrable sur .
On rappelle que la justification (parfois demandée) résulte de l’inégalité classique : .
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3. Les risques d’erreurs sur les intégrales sur un intervalle quelconque
3.1. intégrabilité sur et limite en
à savoir démontrer :
Si est intégrable sur et si a une limite en , cette limite est nulle.
⚠️ Mais démontrer que a une limite nulle en ne prouve pas que est intégrable sur (considérer ).
⚠️ Il existe des fonctions intégrables sur et sans limite en , elles peuvent même être non bornées. 🧡
3.2. faute sur l’intervalle
⚠️ On écrit que est intégrable sur lorsque , mais elle n’est pas intégrable sur !
On écrit que est intégrable sur lorsque , mais elle n’est pas intégrable sur !
⚠️ On suppose que . Si l’on a prouvé que est intégrable sur , il ne suffit pas que soit continue par morceaux sur pour que soit intégrable sur (prendre avec ).
Par contre, si est intégrable sur et si est continue sur , est intégrable sur , donc intégrable sur .
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4. Comment prouver que n’est pas intégrable sur
M1. En trouvant une fonction non intégrable sur telle que pour tout .
M2. Lorsque , en montrant que est équivalente au voisinage de à une fonction non intégrable sur .
M3. Si est à valeurs positives ou nulles et si a une primitive simple, en démontrant que n’admet pas de limite finie en , on démontre que n’est pas intégrable sur , etc….
Dans le cas où n’est pas à valeurs positives ou nulles, il faut raisonner avec .
M4. En utilisant l’exemple classique : la fonction n’est pas intégrable sur .
5. Intégrales de Bertrand.
⚠️ Très important : les intégrales de Bertrand ne sont pas au programme, vous ne pouvez pas utiliser le résultat sur la convergence. Vous ne devez pas dire triomphant » c’est une intégrale de Bertrand « . Gardez Mr Bertrand comme ami inavoué et utilisez la méthode adaptée suivant le cas rencontré en pratique.
Le compter ouvertement pour votre ami, c’est vous exposer à devoir faire une démonstration complète.
5.1 sur
But étude de la convergence de l’intégrale
Résultat : Intégrale convergente
Méthode si :
Chercher au brouillon tel que .
Vous prendrez tel que et justifierez sur votre copie que puis que etc …
Méthode si :
Calculer en distinguant et .
Suivant le cas, étudier la limite de en .
Méthode si :
Montrer que et montrer qu’il existe tel que sur et conclure par minoration à la divergence.
5.2 sur
But étude de la convergence de l’intégrale
Résultat : Intégrale convergente
Méthode si :
Chercher au brouillon tel que .
Vous prendrez tel que et justifierez sur votre copie que puis que etc …
Méthode si :
Calculer en distinguant et .
Suivant le cas, étudier la limite de en .
Méthode si :
Montrer que et montrer qu’il existe tel que sur et conclure par minoration à la divergence.
Le programme entier de Maths en Maths Spé est en ligne. Révisez une nouvelle fois en cours de maths particulier ou prenez quelques semaines d’avance en revoyant par exemple les notions suivantes :
- les séries entières
- le dénombrement
- les intégrales à paramètre
- les variables aléatoires
- les probabilités
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