Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Cours en ligne Maths en Maths Spé
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Probabilités en Maths Spé pour les MP, PC, PSI et PT
Résumé de cours Exercices Annales
Résumé de cours et méthodes – Probabilités
Plan
1. Définir une probabilité en SPE
2. Probabilité d’une réunion. (1h pour les 5 exercices)
3. Probabilité d’événements contenant l’expression « au moins » . (40 mn pour les 3 exercices)
4. Probabilité conditionnelle.(15 mn pour les 2 exercices)
5. Quelques méthodes de calcul de probabilité.(90 mn pour les 5 exercices).
6. Chaîne de Markov.
Pour les méthodes seules : 90 mn.
Toutes les probabilités obtenues doivent être éléments de .
Il faut s’apercevoir des erreurs flagrantes (probabilité strictement négative ou strictement supérieure à 1), reconnaître qu’il y a erreur, même si l’on ne sait pas la découvrir ou la corriger.
Les probabilités demandées seront données à en utilisant un « . » comme séparateur décimal.
1. Définir une probabilité en Maths spé
Rappel définition d’une tribu
Soit un ensemble et une partie de est une tribu sur lorsque
si .
est appelé espace probabilisable.
M1. Connaître la définition :
On suppose que est un espace probabilisable. est une application de dans telle que
Si vérifie , alors la série de terme général est convergente et .
est un espace probabilisé.
M2. Si est un espace probabilisé,
.
si .
si , si vérifie si ,
.
si , si ,
.
si et , .
propriété de continuité croissante
Si vérifie ,
.
propriété de continuité décroissante
Si vérifie ,
.
si ,
avec la convention lorsque la série diverge.
M3. Caractérisation d’une probabilité sur , lorsque est fini ou dénombrable.
Se donner une probabilité sur revient à se donner une application telle que la famille soit une famille sommable de somme égale à 1.
Dans ce cas, pour tout .
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2. Probabilité d’une réunion
2.1. Cas d’événements deux à deux incompatibles.
Avant d’écrire ,
vérifier que les événements sont deux à deux incompatibles.
Exercice 1 :
Soit une urne contenant une proportion de boules blanches et une proportion de boules noires avec .
A et B tirent alternativement chacun au plus boules avec remise et le joueur A commence. Le premier qui a tiré une boule blanche a gagné.
Quelle est la probabilité que A gagne ? que B gagne ?
Exercice 2 :
Quelle est la probabilité d’avoir au plus un carreau en tirant 5 cartes d’un jeu de 32 cartes ?
2.2. Cas d’événements non incompatibles.
Pour :
Pour , en utilisant deux fois la formule précédente, on obtient :
.
Exercice 3
On place boules numérotées dans 4 tiroirs numérotés de 1 à 4.
Calculer la probabilité que chacun des trois premiers tiroirs contienne au moins une boule.
Exercice 4
On place boules numérotées de à dans tiroirs numérotés de à , quelle est la probabilité qu’aucun tiroir ne soit vide ?
2.3. Probabilité d’une réunion dénombrable.
Calcul de .
On ne sait résoudre ce problème que dans deux situations :
a) Les événements sont deux à deux incompatibles, alors .
b) La suite est une suite croissante d’événements (), alors . (propriété de continuité croissante)
Exercice 5
Démontrer que si pour tout entier , est un événement négligeable (de probabilité nulle), leur réunion est négligeable.
3. Probabilité d’événements contenant l’expression « au moins »
3.1. Calcul de où est l’événement « avoir au moins un élément vérifiant une propriété «
M1 : on passe par le complémentaire est l’événement « n’avoir aucun élément vérifiant « .
M2 : on peut aussi poser où est l’événement « avoir exactement éléments vérifiant » en cherchant le nombre maximum d’éléments vérifiant que l’on peut obtenir ; les événements étant deux à deux disjoints, .
M3 : on peut aussi se ramener au calcul de où les ne sont pas deux à deux disjoints.
Exercice 1
En tirant 6 cartes dans un jeu de 32 cartes, probabilité d’avoir au moins une paire de coeurs.
3.2. Calcul de où : « avoir au moins un élément vérifiant une propriété » et : « avoir éléments vérifiant une propriété «
Si est l’univers, on utilise , alors
,
les événements étant incompatibles, .
Donc .
Exercice 2
En tirant 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité d’avoir deux valets et au moins un as ?
3.3. Calcul de où : « avoir au moins un élément vérifiant une propriété » et : « avoir au moins un élément vérifiant une propriété «
On passe par le complémentaire .
En général et ne sont pas incompatibles.
Exercice 3
En tirant 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité d’avoir au moins un as et au moins un cœur ?
4. Probabilité conditionnelle
4.1. Il faut distinguer les quantités et
a) Quand on calcule , on calcule la probabilité que et soient réalisés en même temps.
Dans ce cas, est un événement
b) Quand on calcule , on calcule un quotient de probabilités : .
n’est pas un événement.
On sait que est réalisé et on cherche la probabilité que soit réalisé lorsque l’est.
Cela nécessite une lecture attentive de l’énoncé.
Dans certains cas, il est évident que l’on demande une probabilité conditionnelle, car on demande la probabilité d’un événement sachant (ou lorsque) l’on a obtenu . On peut repérer cette situation en cherchant les mots « sachant », « si », « lorsque » dans l’énoncé.
Dans d’autres cas, on donne la réalisation de l’événement , dans une phrase du type « on a obtenu ? » et on demande ensuite de calculer la probabilité de , donc de calculer .
Par contre, si l’on demande le calcul de , il faut voir s’il vaut mieux calculer :
: événements de « mêmes rangs » ou de « même époque ».
c’est-à-dire si la réalisation de permet de savoir comment réaliser .
On rappelle que si vérifie , définit une probabilité sur .
4.2. Utilisation de la formule des probabilités composées
.
Ne pas oublier de vérifier que , pour justifier l’existence des probabilités conditionnelles.
On conditionne « en remontant le temps », c’est-à-dire par les événements antérieurs.
4.3. Probabilité d’une intersection dénombrable
On ne sait calculer que lorsque : par propriété de continuité décroissante,
.
Exercice 1
Si l’on effectue des tirages avec remise dans une urne contenant une proportion de boules rouges, calculer la probabilité de toujours obtenir une boule bouge.
Exercice 2
Soit une suite d’événements mutuellement indépendants.
On note .
.
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5. Quelques méthodes de calcul de probabilité
5.1. Utilisation de la formule des probabilités totales
Rappel de la formule
Soit un espace probabilisé.
Si est un système complet d’événements de probabilité non nulle, pour tout , .
Si est un système complet (ou quasi-complet) d’événements, pour tout ,
Ce que l’on peut écrire sous la forme
,
…. si pour tout ,
…. en ajoutant la convention si , .
M1 Lorsque l’on fait des tirages qui peuvent avoir lieu dans des urnes différentes ou dans des conditions différentes qui sont définies par les résultats d’une première épreuve, il faut introduire un système complet d’événements correspondant aux différents choix des urnes ou des différents résultats de la première épreuve.
Exercice 1
On lance un dé équilibré. Lorsque l’on obtient la face , on tire dans une urne contenant les jetons numérotés de 1 à . Quelle est la probabilité d’obtenir un jeton numéroté 1 ?
M2 Lorsque les résultats de l’épreuve dépendent des résultats de l’épreuve , introduire un système complet d’événements correspondant à toutes les éventualités du rang et utiliser la formule des probabilités totales.
Exercice 2
On a deux urnes contenant respectivement une proposition et de boules blanches. Le premier tirage a lieu dans la première urne.
Puis si l’on obtient une boule blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne 1 sinon il se fait dans l’urne 2.
Si est la probabilité d’obtenir une boule blanche au -ème tirage, trouver une relation de récurrence liant et .
M3 Lorsque les résultats de l’épreuve dépendent des résultats de toutes les épreuves précédentes, introduire un système complet d’événements correspondant à toutes les éventualités des premières épreuves permettant soit de terminer l’ensemble des épreuves soit de « remettre le compteur à zéro » et utiliser la formule des probabilités totales.
Si est un des événements du système complet précédent correspondant à épreuves, on sera donc amené à calculer des probabilités du type : il reste épreuves à effectuer pour passer d’une situation résultant de la réalisation de à une situation où l’on doit avoir .
Exercice 3
On joue à pile (probabilité ) ou face (probabilité ) en arrêtant dès que l’on obtient pour la première fois deux piles de suite.
On note la probabilité de s’arrêter au -ème lancer.
Trouver une relation de récurrence exprimant en fonction des si .
On peut calculer la probabilité que le jeu s’arrête au bout d’un nombre fini d’épreuves sans avoir calculé .
M4 Dans une suite infinie d’épreuves, lorsque l’on gagne en obtenant pour la première fois une suite donnée de résultats, pour calculer la probabilité de gagner, on peut introduire un système complet d’événements correspondant aux premières épreuves (on obtient la bonne figure, ou on revient après quelques épreuves « à une remise à zéro »).
Exercice 4
Dans une suite d’épreuves indépendantes de pile (probabilité ) et face (probabilité ), on gagne en obtenant la suite .
Quelle est la probabilité de gagner ?
5.2. Calcul de où est du type « il faut faire épreuves pour obtenir un -ème élément vérifiant « (avec et ).
On écrit avec
: « lors de la ème épreuve, on obtient un élément vérifiant »
: « lors des premières épreuves, on a obtenu éléments vérifiant et éléments ne vérifiant pas « .
puis on utilise .
Exercice 5
On lance une pièce donnant pile avec la probabilité jusqu’à obtenir le troisième pile.
Quelle est la probabilité de lancer la pièce fois (avec ) ?
5.3. Recherche de la probabilité de gain de dans une suite de jeux
a) On note l’événement « gagne la partie avec le -ième jeu » .
On cherche l’ensemble des numéros des jeux où peut gagner (attention peut être infini si l’on a une suite infinie de jeux).
Si est l’événement « gagne », et
b) Si l’unique adversaire de est , il est possible que la probabilité que gagne ne soit pas égale à : il existe des jeux où il n’y a pas de gagnant.
En reprenant l’exemple du paragraphe 1.1., la probabilité qu’il y ait un gagnant est .
6. Chaîne de Markov
On considère une suite d’épreuves identiques, chaque épreuve pouvant donner résultats différents.
On note les résultats à l’épreuve sous la forme .
Méthode habituelle dans les sujets :
On suppose que, pour tout et pour tout , la probabilité ne dépend pas de et on la note .
On introduit la matrice
On définit la matrice colonne de type par .
Par la formule des probabilités totales, ce qui se traduit matriciellement par .
On en déduit par la formule ou . Il suffit de savoir diagonaliser pour trouver .
Quelques remarques utiles :
R1 : La somme des termes de chaque colonne de est égale à 1.
R2 : La matrice est dite stochastique : les coefficients de sont positifs ou nuls et la somme des termes de chaque ligne de est égale à 1.
1 est valeur propre de (donc aussi de ), la matrice colonne dont tous les termes sont égaux à 1 est un vecteur propre de associé à la valeur propre 1.
et deux résultats que l’on trouve dans de nombreux sujets :
Théorème3 : On peut démontrer que les valeurs propres de (donc de ) sont de module inférieur ou égal à 1.
Théorème4 : Si les éléments de la matrice sont strictement positifs, 1 est la seule valeur propre de module 1 de et le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1.
Pour les exercices demandant de prouver que pour tout , la suite converge :
a) Étudier la réduction de .
Lorsque est diagonalisable dans , il existe telle que , où .
b) . On suppose dans la suite que est tel que
Dans ce cas, ( fois 1 et fois 0).
Par continuité de l’endomorphisme de , , .
La suite converge vers .
c) Par continuité de l’application linéaire , ,
que l’on note .
d) , par continuité de l’endomorphisme de , , on obtient : .
e) Si , .
avec pour tout
car pour tout ,
et .
f) Lorsque , le sous espace propre de associé à la valeur propre 1 est de dimension 1, est le vecteur propre de associé à la valeur propre 1 et dont la somme des coefficients est égale à 1.
Autre traduction :
Certains énoncés peuvent introduire la matrice ligne de type .
.
Dans ce cas, on note avec .
Alors, où est définie ci-dessus.
La relation s’écrit .
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Exercices sur les probabilités en maths spé
Plan
1. Ajout de boules après tirages (30 mn).
2. Balade sur un triangle (20 mn).
3. Des questions de parité (20 mn).
4. Un jeu de fléchette (20 mn).
5. Tirages de parties de (60 mn)
6. boules pour boîtes (30 mn)
1. Ajout de boules après tirage
Soit une urne contenant initialement boules blanches et boules rouges. On note .
À la suite de chaque tirage, on remet dans l’urne la boule tirée ainsi que boules de la même couleur ().
Question 1
Quelle est la probabilité en tirages de n’obtenir que des blanches ?
Question 2
La probabilité d’obtenir une boule blanche au deuxième tirage si l’on a obtenu blanc au premier et troisième tirage est égale à
a) b) c) .
Question 3
La probabilité de tirer blanc au -ième tirage ne dépend pas de .
2. Balade sur un triangle
CCP MP 2018
Une puce se déplace sur un triangle équilatéral .
Elle se situe initialement en .
Si elle est en à un instant donné, elle se déplace sur un des deux autres sommets à l’instant de manière équiprobable.
Si elle est en à un instant donné, elle se déplace sur un des deux autres sommets à l’instant de manière équiprobable.
Si elle est en à un instant, elle reste en à l’instant suivant.
On note (resp ) « La puce est en (resp ) à l’instant « .
On note (resp , ) (resp , ).
Question 1
a) Déterminer en fonction de .
b) Soit . Il existe une matrice telle que .
Question 2
Donner les expressions explicites de .
Question 3
Que se passe-t-il lorsque ? Expliquer.
3. Des questions de parité
TPE MP 2018
On dispose de pièces numérotées. La -ième pièce a une probabilité égale à de donner pile.
Question 1
On note la probabilité d’avoir un nombre pair de « pile » après avoir lancé les premières pièces. Exprimer en fonction de et .
Question 2
Quelle est la probabilité d’avoir un nombre pair de « pile » en lançant toutes les pièces ?
4. Un jeu de fléchettes
A, B et C jouent aux fléchettes.
La probabilité que A (resp. B, resp. C) touche la cible est égale à (resp. , resp ).
On choisit au hasard le premier joueur.
Question 1
Quelle est la probabilité que la cible soit atteinte ?
Question 2
Si la cible n’est pas atteinte, A rejoue. Quelle est la probabilité que A touche la cible ?
Question 3.
La cible a été touchée. Quelle est la probabilité que ce soit par A ?
5. Tirages de parties de
Soient et un ensemble de cardinal .
Partie 1
On se donne une partie de , de cardinal où .
On tire au hasard une partie de .
On suppose que toutes les parties de ont la même probabilité d’être tirées.
Question 1
Calculer la probabilité de tirer la partie .
Question 2
Calculer la probabilité de l’événement : « la partie tirée contient « .
Question 3
On note l’événement « la partie tirée est incluse dans « . Les événements et sont-ils indépendants ?
Question 4
Calculer la probabilité de tirer une partie disjointe de .
Deuxième partie
On tire maintenant avec remise deux parties de .
Question 1
Quelle est la probabilité qu’elles soient égales ?
Question 2
Quelle est la probabilité qu’elles soient disjointes ?
Question 3
Quelle est la probabilité que l’une des parties tirées soit incluse dans l’autre ?
Question 4
On se donne une partie de à éléments ().
Quelle est la probabilité que l’intersection des deux parties tirées soit égale à ?
Question 5 (plus simple en utilisant des variables aléatoires)
Quelle est la probabilité que les parties tirées aient même cardinal ?
6. boules pour boîtes
Un sac contient boules noires et boules blanches, discernables ().
On répartit au hasard ces boules dans boîtes, à raison de deux boules par boîte.
Question 1
Calculer la probabilité pour que chaque boîte contienne une boule de chaque couleur.
Question 2
Calculer la probabilité pour que chaque boîte contienne deux boules de la même couleur.
Question 3
Montrer que pour tout
Question 4
Déterminer et
Autres exercices
Plan
1. Une tribu et une probabilité (15 mn)
2. Probabilité sur (20 mn)
3. Un jeu de balle (30 mn).
4. Une inégalité (30 mn).
5. Remplir trois boîtes (45 mn).
6. Suite croissante de résultats (30 mn).
7. Lemme de Borel Cantelli (40 mn).
8. Probabilités et nombres premiers (40 mn).
9. Un jeu de pile ou face (60 mn).
10. Démonstration de la formule de Poincaré en utilisant des variables aléatoires. (30 mn).
1. Une tribu et une probabilité
Question 1
Soit un ensemble infini non dénombrable.
On note l’ensemble des parties de telles que ou est fini ou dénombrable.
est une tribu sur .
Question 2
On définit la fonction sur par si , si est fini ou dénombrable et si n’est pas fini ou dénombrable.
est une probabilité sur .
2. Une probabilité sur
Question 1
Déterminer le réel qu’il existe une probabilité sur telle que si
Question 2
Soit , on note l’événement : » l’entier tiré est un multiple de « . Calculer .
Question 3
Calculer .
Question 4
On note l’événement » l’entier tiré est un nombre premier ».
3. Un jeu de balle
Trois enfants A, B et C jouent avec une balle.
Lorsque A a la balle, la probabilité pour qu’il l’envoie à B est 0.75 et la probabilité pour qu’il l’envoie à C est 0.25.
Lorsque B a la balle, la probabilité pour qu’ il l’envoie à A est 0.75 et la probabilité pour qu’il l’envoie à C est 0.25.
C envoie toujours la balle à B.
On désigne respectivement par , et les probabilités pour qu’à l’issue du jeu ce soit A, resp B, resp. C qui ait la balle.
Question 1
Montrer qu’il existe une matrice carrée d’ordre 3 notée telle que.
Question 2
Exprimer la matrice sous forme de produit de matrices simples.
Question 3
Démontrer que les suites et convergent et en déterminer les limites.
On vérifiera que ces limites sont indépendantes de l’enfant qui avait la balle au début du jeu.
4. Une inégalité
CCP MP 2018
Soit un espace probabilisé.
Question 1
Si , l’inégalité est vérifiée.
Question 2
Soient deux éléments de , incompatibles.
.
Question 3
Soient deux éléments de .
a) Montrer que
b) Montrer que .
Question 4
L’inégalité précédente est une égalité si, et seulement si,
.
5. Remplir trois boîtes
Des boules indiscernables en nombre infini sont placées dans des boites numérotées de 1 à 3 à capacité illimitée.
On place les boules indépendamment les unes des autres.
On arrête quand les trois boîtes sont non vides.
Question 1
On note l’événement « on a placé boules lorsque pour la première fois deux boîtes des trois boîtes sont non vides ».
Calculer .
Question 2
est un système quasi-complet d’événements.
Question 3
On note l’événement « on a placé boules lorsque pour la première fois les trois boîtes sont non vides ».
Si , , est égal à
a) b) c)
Question 4
La probabilité d’arrêter la répartition au bout d’un nombre fini d’épreuves est égale à 1
Question 5
Quelle est la probabilité d’arrêter avec deux boîtes ne contenant qu’une seule boule ?
6. Suite croissante de résultats
Question 1
Soit et deux entiers naturels non nuls. On note .
En utilisant définie sur par où ,
déterminer .
Dans la suite, . On effectue des tirages avec remise dans un sac contenant jetons numérotés de à .
Question 2.
Si , on note l’événement : « les numéros tirés sont rangés par ordre croissant (au sens large) ».
Calculer .
On pose .
Question 3
En utilisant la série de terme général , déterminer la convergence de la suite et sa limite.
Question 4
On arrête les tirages lorsque l’on obtient pour la première fois un numéro strictement inférieur aux numéros déjà tirés.
La probabilité d’obtenir d’arrêter au bout d’un nombre fini de tirages est strictement inférieure à 1.
Question 5
Quelle est la probabilité d’arrêter au -ième tirage ?
7. Lemme de Borel-Cantelli
Soit une suite d’événements de l’espace probabilisé ,
Question 1
On note : « une infinité d’événements sont réalisés ».
Exprimer et justifier que est un événement.
Question 2
On suppose que est convergente. est un événement
Question 3
On suppose que les événements sont indépendants et que diverge. est un événement
Question 4 application :
Soit une épreuve ayant issues distinctes équiprobables.
Soit et l’événement « au cours des premières épreuves, on obtient chacun des résultats fois « . On dit alors qu’il y a compensation exacte.
a) Calculer .
b) En déduire un équivalent de .
c) Si , l’événement « il n’y a qu’un nombre fini de compensations exactes » est
8. Probabilités et nombres premiers
On note si .
Question 1
Déterminer le réel tel qu’il existe une probabilité sur telle que .
Question 2
Soit et l’ensemble des éléments de divisibles par . Calculer .
Question 3
On note l’ensemble des nombres premiers.
Si on note l’ensemble des éléments de divisibles par .
est une famille d’événements mutuellement indépendants.
Question 4
En déduire que .
9. Un jeu de pile ou face
On effectue une série de lancers d’une pièce donnant pile avec une probabilité et face avec la probabilité .
Le joueur A gagne si « PFP » sort avant « FFP » auquel cas B gagne.
On note : « face sort au -ième jeu » et : « pile sort au -ième jeu »,
: « A gagne » et : « B gagne ».
Question 1
La probabilité de n’obtenir que des faces à partir du rang 2 est nulle
Question 2
Calculer en fonction de . En déduire .
Question 3
Calculer et . En déduire .
Question 4
« Il y a un gagnant » est un événement presque certain
10. Démonstration de la formule de Poincaré ou du crible
Soit un espace probabilisé.
Si est une partie de , on appelle fonction caractéristique de la fonction définie sur à valeurs dans par
si et si .
Question 1
est une variable aléatoire sur ssi .
Question 2
Soient .
a) Déterminer , .
b) .
Question 3
Soit .
En utilisant le développement de où et les fonctions caractéristiques des événements , démontrer la formule du crible ou Poincaré :
.
Annales sur les probabilités en maths spé
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