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Les séries numériques en Maths Spé

Résumé de cours – séries numériques en MP, PC, MPI, PSI et PT

Ce chapitre débuté en classe de maths sup est très important pour les concours. Les notions travaillées dans ce chapitre vous serviront dans de nombreux chapitres en classe de MP, MPI, PSI, PT et PC. N’hésitez pas à faire appel à nos cours de maths à domicile si vous souhaitez maitriser complètement ces notions et viser les meilleures écoles d’ingénieurs aux concours.

1. Comment démontrer qu’une série à termes positifs converge ?

M1. Si $\displaystyle S_n =\sum_{k=0}^{n} u_k$ , montrer que la suite $(S_n)_n$ des sommes partielles est majorée

$(i.e\; \exists\, M\in\mathds{R}, \;\forall n\in\mathds{N},\;\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k\leqslant M).$

M2. Montrer qu’il existe une série de terme général $v_n$ positif ou nul convergente telle que

$\ast$ M2.1. $u_n\underset{n\rightarrow \infty}{\text{=}}O(v_n)$
ou $u_n\underset{n\rightarrow \infty}{\text{=}}o(v_n)$ .

$\ast$ M2.2. Montrer qu’il existe une suite $(v_n)_{n\geqslant0}$ telle que pour $n$ assez grand, $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$ et telle que la série de terme général $v_n$ converge.

$\ast$ M2.3. Montrer que $\quad \quad \displaystyle u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}} O\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)$ où $\alpha > 1$ .

Pour cela, il suffit que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n^{\alpha}u_n=A$ où $A \geq 0$ .

Cette méthode est souvent utilisable pour les séries de terme général de la forme $\textrm{e} ^{-\alpha (n)}$ (en prenant en général $\alpha = 2$ ), mais attention à ne pas passer à côté d’une série géométrique dans le cas $\textrm{e}^{-nz}=(\textrm{e}^{-z})^n$ .

M3. Trouver une suite $(v_n)_{n\geqslant0}$ à termes positifs telle que $u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}v_n\,$ , la série de terme général $v_n$ étant convergente.

$\ast$ M3.B. Montrer que $\displaystyle u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\frac{A}{n^\alpha}$ où $\alpha > 1$ .

$\bullet$ M4. Appliquer la règle d’Alembert.

Trouver $N \in \mathds{N}$ tel que pour tout $n\geqslant N$ , $u_n > 0$ et montrer que la suite $\displaystyle\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)_{n\geqslant N}$ converge vers $q$ vérifiant $q \in \left[\right. 0 , 1\left[\right.$

Astuce : Il sera plus simple d’utiliser la règle de d’Alembert si vous avez auparavant trouvé un équivalent simple de $u_n$ ne contenant que des produits ou quotients.

M5. Montrer que $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction continue sur $[0 , \, +\infty[$ où $n_0 \in \mathds{N}$ , décroissante, à valeurs positives ou nulles, et montrer que la suite de terme général $\displaystyle\int_{n_0}^{n} f (t )\textrm{d} t$ converge.

M6. Montrer que $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction continue sur $[ a , \, + \infty[$ (où $a \geqslant 0$ ), décroissante, à valeurs positives ou nulles et intégrable sur $[a , \, +\infty[$ . (dans le chapitre intégration sur un intervalle quelconque).

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2. Comment démontrer qu’une série à termes positifs diverge ?

M1. Montrer que la suite $(u_n)_n$ ne converge pas vers 0.

M2. Montrer que la suite des sommes partielles $(S_n)_n$ n’est pas majorée.

M3. Montrer qu’il existe une suite $(v_n)_{n\geqslant 0}$ à valeurs positives ou nulles telle que $v_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}}O(u_n)$ , la série de terme général $v_n$ étant divergente.

$\ast$ M3.B. Montrer qu’il existe une suite $(v_n)_{n \geqslant0}$ telle que pour $n$ assez grand, $0 \leqslant v_n \leqslant u_n$ , la série de terme général $v_n$ étant divergente.

$\ast$ M3.T. Montrer que $\displaystyle \frac{1}{n^\alpha}\underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}}O(u_n)$ où $\alpha \leqslant 1$ . Il suffit pour cela que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}n^\alpha u_n=A$ où $A > 0$ ou $A = +\infty.$

M4. Trouver une suite $(v_n)_{n \geqslant 0}$ à termes strictement positifs telle que $u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}v_n$ , la série de terme général $v_n$ étant divergente.

$\ast$ M4.B Montrer que $u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\displaystyle\frac{A}{n^\alpha}$ où $\alpha\leqslant1.$

M5. Appliquer la règle de d’Alembert trouver $N \in \mathds{N}$ tel que pour tout $n \geqslant N$ , $u_n > 0$ et montrer que la suite

$\displaystyle\left(\frac{u_{n+1}}{u_n} \right)_{n\geqslant N}$ admet une limite $q$ strictement supérieure à 1 (la série est alors grossièrement divergente).

M6. Montrer que $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction continue sur $[n_0 , +\infty[$ où $n_0 \in \mathds{N}$ , décroissante, à valeurs positives ou nulles, et montrer que la suite de terme général $\displaystyle\int_{n_0}^{n}f (t ) \textrm{d} t$ diverge. (exemple de cas d’application: série de terme général $\displaystyle\frac{1}{n\ln n}$ ).

M7. Montrer que $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction continue sur $\left[\right.a , +\infty\left[\right.$ (où $a \geqslant 0$ ), décroissante, à valeurs positives ou nulles et non intégrable sur $[a, \, +\infty[$ . (dans le chapitre intégration sur un intervalle quelconque).

3. Comment démontrer qu’une série à termes quelconques converge ?

M1. Montrer qu’elle est absolument convergente c’est-à-dire appliquer à la série de terme général $|u_n|$ l’un des critères du $\S 1$ .

M2. Trouver une suite $(a_n)_n$ convergente telle que $u_n = a_{n + 1} - a_n$ et appliquer le critère de comparaison suite-série.

M3. Effectuer le DL de $u_n$ à l’ordre deux en $\displaystyle \frac{1}{n}$ .

Lorsque l’on obtient $\quad \quad \displaystyle u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}}a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ , la série est convergente si, et seulement si, $a = b = 0$ (à justifier).

Lorsque l’on obtient $\quad \quad \displaystyle u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}}a+\frac{b}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ , la série est convergente si, et seulement si, $a = b = 0$ (à justifier).

M4. Montrer qu’elle vérifie le théorème spécial des séries alternées.

Lorsque $\forall n\in \mathds{N},$ $u_n=(-1)^na_n$ ou $\forall n\in \mathds{N},$ $u_n=(-1)^{n+1}a_n$ , avec $a_n\geqslant0$ , pour démontrer que la suite $(a_n)_n$ est décroissante, il suffit de trouver une fonction $f$ telle que $f(n)=a_n$ et de prouver que la fonction $f$ est décroissante sur $\mathds{R}^+$ ou sur $\left[\right.\alpha,+\infty\left[\right.$ pour $\alpha>0.$

M5. Lorsque $u_n$ est équivalent au terme général $(- 1)^n a_n$ d’une série alternée convergente, écrire
$u_n = (-1)^n a_n + b_n\,$ ,

Trouver la valeur de $b_n$ ou un équivalent simple de $b_n$ qui permette de dire si la série de terme général $b_n$ converge ou diverge.

L’équivalence $u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}(- 1)^n a_n$ et la convergence de $\sum (- 1)^na_n$ n’impliquent pas la convergence de $\sum u_n$ .

Exemple : $u_n=\displaystyle\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^a}$ vérifie $u_n\displaystyle\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ .

$\sum u_n$ converge si $a=2$ et diverge si $a=1$ .

M6. Utiliser un groupement par paquets .

On suppose que la suite $(u_n)_n$ converge vers 0.

$\ast$ Montrer que la série de terme général $v_n = u_{2n} + u_{2n + 1}$ converge.

Montrer enfin que les suites $(S_{2n})_{n\geqslant0}$ et $(S_{2n + 1})_{n \geqslant 0}$ convergent vers la même limite $S$ .
( $S_{2n + 1}$ est la somme partielle d’ordre $n$ de la série de terme général $v_n$ ).

$\ast$ Montrer que la série de terme général $v_n = u_{3n} + u_{3n + 1} + u_{3n + 2}$ converge.

Montrer enfin que les suites $(S_{3n})_{n\geqslant 0}$ , $(S_{3n + 1})_{n\geqslant 0}$ et $(S_{3n + 2})_{n\geqslant 0}$ convergent vers la même limite $S$ .

( $S_{3n + 2}$ est la somme partielle d’ordre $n$ de la série de terme général $v_n$ ).

Alors la série de terme général $u_n$ converge.

M7. Pour une série de terme général $u_n =\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} f (x)\sin(x) \textrm {d} x$ , après s’être assuré que la série n’est pas absolument convergente ou que l’intégrale n’est pas facilement calculable, on peut chercher à démontrer qu’elle vérifie le théorème spécial des séries alternées :

Ce qui sera vrai si $f$ est continue sur $\left[\right.0 , +\infty\left[\right.$ , décroissante et de limite nulle en $\infty$ , le changement de variable

$t = x - n \pi$ permet d’obtenir la forme

$u_n =(-1)^n\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t+n\pi)\sin(t)\,\textrm {d}t$

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4 – Comment démontrer la divergence d’une série à termes quelconques ?

Remarque : si $u_n$ garde un signe constant pour $n$ assez grand, on peut utiliser le paragraphe II- en raisonnant avec $u_n$ ou avec $- u_n$ .

M1. Si la suite $u_n$ ne converge pas vers 0, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement.

M2. Si pour tout $n$ , $u_n \neq 0$ et si la suite de terme général $\displaystyle\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|$ admet une limite $q>1$ , la série $\sum u_n$ diverge grossièrement.

M3. Si $u_n = a_{n + 1} - a_n$ où la suite de terme général $a_n$ diverge, la série de terme général $u_n$ diverge.

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5. Comment calculer la somme d’une série numérique ?

M1. Calcul par télescopage :

$\ast$ Si l’on peut écrire

$\quad \quad u_n =\varphi(n) - \varphi(n + 1)$ ,
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k=\varphi(0)-\varphi(n+1),$ il suffit de connaître $\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\varphi(n)$ pour calculer la somme de la série.

$\ast$ Si l’on peut écrire $\quad \quad u_n =\varphi(n) - \varphi(n + 2)$ ,

$\displaystyle S_n= \sum _{k = 0} ^n u_k$ est égal à $\varphi(0)+\varphi(1)-\varphi(n+1)-\varphi(n+2)$ ,

il suffit de connaître $\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\varphi(n)$ ou $\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}(\varphi(n)+\varphi(n+1))$ pour trouver la somme de la série.

M2. Pour calculer la somme d’une série de terme général $u_n = \displaystyle\frac{P(n)}{Q(n)}$ où $P$ est une fonction polynôme et où $Q(n)= \displaystyle\prod_{i=1}^n(n-x_i)$ avec $x_1\, \cdots \, , x_p\,$ deux à deux distincts.

Lorsque la série converge,
$\ast$ chercher des scalaires $a_1\, ,\,\cdots \, , \, a_p$ tels que $\displaystyle\frac{P(n)}{Q(n)}={\displaystyle\sum_{i=1}^{p}}\frac{a_i}{n-x_i}$
(cette décomposition en éléments simples est obtenue par expand avec une TI formelle ou par utilisation du cours de MPSI).

$\ast$ puis regarder s’il est possible par groupements de termes d’obtenir $u_n$ de la forme

$\varphi(n) - \varphi(n + 1)$ ou $\varphi(n) - \varphi(n + 2).$

$\ast$ Lorsque $S_n$ s’exprime en fonction de

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+1}$ ou même de $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ ,

on exprime ces sommes en fonction de la suite $(a_n)_{n \geqslant 1}$ telle que

$a_n =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln(n)$ et on utilise la convergence de $(a_n)_{n}$ vers la constante d’Euler $\gamma$ .

M3. Pour une série dont le terme général $u_n$ s’écrit $u_n = \displaystyle\frac{P(n)}{n!}$ , où $P$ est une fonction polynôme de degré $p$ ,
décomposer $P$ dans la base de polynômes étagés $(1,\; \textrm X,\; \textrm X(\textrm X - 1),\, ... ,$

$\textrm X(\textrm X - 1) ... (\textrm X - p + 1))$ et simplifier, pour $n \geqslant i$ ,

$\displaystyle \frac{n(n-1)...(n-i+1)}{n!}=\frac{1}{(n-i)!}$

M4. Utiliser les séries connues :

$\ast$ Si $|x|<1$ , $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$

$\ast$ si $x\in\mathds{C},$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$ ;

$\ast$ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

$\ast$ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln(2).$

M5.A. Pour une série dont le terme général est de la forme

$u_n =(- 1)^n \displaystyle\int_{0}^{1} x^n f ( x) \,\textrm{d} x$ ,

calculer la somme partielle $S_n$

$\displaystyle S_n=\int_{0}^{1}\left(f(x)\sum_{k=0}^{n}(-x)^k \right)\textrm {d} x$

$\displaystyle S_n =\int_{0}^{1}f(x)\frac{1-(-x)^{n+1}}{1-(-x)}\textrm{d}x$

$\displaystyle S_n =\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{1+x}\textrm{d} x-I_n$
avec $I_n=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\frac{(-x)^{n+1}}{1+x}\textrm{d}x$
et démontrer que $(I_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers 0 en utilisant $|I_n|\leqslant \displaystyle\int_{0}^{1}Mx^{n+1}\,dx$ si pour tout $x\in[0,1]$ , $|f(x)|\leqslant M$ .

M5.B. Pour une série dont le terme général est de la forme

$u_n =\displaystyle\int_{0}^{1} x^n f ( x) \textrm{d} x$ ,

$\ast$ montrer que la fonction $x\mapsto \displaystyle\frac{f(x)}{1-x}$ est continue sur $[0,1]$ ,

$\ast$ écrire la somme partielle $S_n$ d’ordre $n$ sous la forme :

$\displaystyle S_n=\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{1-x}\textrm{d}x-I_n$
où $\displaystyle I_n=\int_{0}^{1}f(x)\frac{x^{n+1}}{1-x}\textrm{d}x$

$\ast$ et démontrer que $(I_n)_{n\geqslant0}$ converge vers 0 en utilisant $|I_n|\leqslant \displaystyle\int_{0}^{1}M x^{n+1}\textrm{d}x$ si pour tout $x\in[0,1]$ , $\displaystyle\left|\frac{f(x)}{1-x}\right|\leqslant M.$

M6. Pour une série dont le terme général est de la forme $I_n =\int_{[a,b]}u_n$ , on pourra aussi

$\ast$ chercher à démontrer que la série de fonctions de terme général $u_n$ converge uniformément sur $[a ,\, b]$ , pour pouvoir intervertir la somme de la série et l’intégrale (chapitre suites et séries de fonctions en MP, PSI, MPI, PC et PT)

$\ast$ ou chercher à appliquer le théorème d’interversion du signe somme et de l’intégrale (chapitre intégration sur un intervalle quelconque).

M7. Reconnaître un produit de Cauchy.

Pour cela, il suffit de trouver deux séries absolument convergentes $\sum b_n$ et $\sum c_n$ et de vérifier que $a_n =\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_k\; c_{n-k}$ .

Par théorème, $\sum a_n$ converge absolument et

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n=\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_n \right)\left(\sum_{k=0}^{\infty} c_n\right)$ . Conseil : rappelez la formule du produit de Cauchy, précisez les deux suites $(b_n$ ) et $(c_n)$ et faites bien attention à la plage de sommation.

En particulier si $a_n =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k\; c_{n-k}$ , on peut se ramener à un produit de Cauchy en posant $b_0 = 0$ .

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