Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Cours Variables aléatoires MP, PC, PSI, PT
Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé de cours et méthodes – Variables aléatoires
1. Variables aléatoires discrètes
1. Pour démontrer que
est une variable aléatoire discrète sur
Il suffit de démontrer que
… est une application de
dans un ensemble
.
… est une partie finie ou dénombrable de
.
… et ,
Il suffit de prouver que
est une combinaison linéaire ou un produit d’un nombre fini de variables aléatoires discrètes réelles sur
.
Il suffit de trouver une variable aléatoire discrète
sur
et une fonction
définie sur
telles que
.
Il suffit de trouver
variables aléatoires
sur
et une fonction
définie sur
telles que
.
2. Pour donner la loi d’une variable aléatoire discrète
, on détermine
et pour
.
Il est conseillé si la loi de doit servir et si les calculs sont assez simples de prendre le temps de vérifier que la famille
est une famille sommable de somme égale à 1.
3. Obtention d’un système complet d’événements
est un système complet d’événements.
4. Pour démontrer que les variables aléatoires
et
suivent la même loi, on démontre que
.
Dans ce cas, si elles existent, et
.
Cela ne veut pas dire que .
Voir aussi l’utilisation des fonctions génératrices lorsque et
sont à valeurs dans
.
5. Variables aléatoires suivant une loi binomiale
On peut justifier le fait que
suit une loi binomiale de paramètres
et
en montrant que
est le nombre de succès au cours de
épreuves identiques et indépendantes de Bernoulli de probabilité
de « succès ».
On peut aussi justifier la loi binomiale en écrivant
comme somme de
variables aléatoires indépendantes, de même loi de Bernoulli de paramètre
.
6. Variables aléatoires suivant une loi géométrique
Lorsque l’on effectue une suite d’épreuves indépendantes et identiques de probabilité de « succès », la variable aléatoire égale au rang du premier succès suit une loi géométrique de paramètre
.
7. Pour vérifier qu’une application
définit la loi d’une variable aléatoire discrète
Il suffit de se donner un ensemble fini ou dénombrable et une fonction
de
dans
telle que la famille
soit sommable de somme égale à 1.
Alors il existe une variable aléatoire sur sur
telle que
et
.
Remarque : il est possible que ne soit définie que presque-sûrement c’est à dire que
soit seulement un système quasi-complet d’événements.
C’est le cas pour de loi géométrique égale au temps d’arrêt pour obtenir pour la première fois un événement
de probabilité
, la probabilité de ne jamais obtenir l’événement
étant nulle.
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2. Couples de variables aléatoires
2.1. Loi d’un couple et lois marginales
1. Pour donner la loi d’un couple
de variables discrètes, il faut donner :
et pour tout
et
, la valeur de
.
On peut noter aussi :
Faire apparaître clairement les conditions sur
et
lorsque
dépend des positions relatives de
et
.
Lorsque
et
sont de cardinal peu élevé, on peut présenter les résultats en un tableau à double entrée.
La famille est sommable de somme égale à 1.
2. Ayant la loi du couple
, on en déduit les lois marginales par sommation.
.
.
La seule difficulté est de tenir compte des conditions liant et
s’il y en a.
3.
La donnée des lois marginales de
et
ne donne pas la loi du couple sauf si les variables
et
sont indépendantes.
Il est possible d’avoir des couples
et
ayant des lois conjointes différentes, alors que les lois marginales sont les mêmes.
Si
et
suivent des lois de Bernoulli de paramètres connus et si l’on connaît une des 4 probabilités
avec
et
dans
, on peut trouver la loi du couple
.
2.2. Indépendance de deux variables aléatoires
1. Pour étudier l’indépendance des variables
et
,
a) s’il existe et
tels que
alors que
, les variables
et
ne sont pas indépendantes.
b) s’il existe et
tels que
les variables
et
ne sont pas indépendantes.
c) si l’on ne trouve pas de telles valeurs, pour démontrer l’indépendance, on doit vérifier que
,
2. Si
et
sont des variables aléatoires indépendantes, pour tout
et
,
et
sont des événements indépendants.
Ce résultat est souvent utilisé sous la forme :
Si et
sont des variables aléatoires réelles indépendantes, pour tous intervalles
et
de
, les événements
et
sont indépendants.
3. Si
et
sont indépendantes et ont une espérance mathématique,
a une espérance et
donc la covariance de et
est nulle. La réciproque est fausse.
4. Si
et
sont indépendantes et si
(resp.
) est une application définie sur
(resp.
),
et
sont des variables indépendantes.
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3. Indépendance mutuelle de
variables aléatoires
1.
sont des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes lorsque
.
2. Si
sont des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes,
elles sont 2 à 2 indépendantes.
si
,
est une application définie sur
,
sont des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes.
si
et si
est une application définie sur
et
est définie sur
, les variables
et
sont indépendantes.
Dans la suite, on suppose de plus que les variables aléatoires sont réelles.
Si
,
est un intervalle de
les événements
sont mutuellement indépendants.
et
sont des variables aléatoires indépendantes.
(lemme des coalitions)
Les cours de mathématiques en Maths Spé doivent être appris rigoureusement, et les définitions de cours ainsi que les méthodes de cours doivent être apprises par cœur. Chaque cours comme les cours en ligne de Maths en PT, par exemple ou les cours en ligne de Maths en MP, les cours en ligne de Maths en PSI et les cours en ligne de Maths en PC comportent ces notions essentielles qui guideront les étudiants vers la réussite.
4. Recherche de lois particulières
4.1. Maximum et minimum de 2 variables aléatoires réelles
Si et
sont deux variables et
et
,
Lois de
et
.
,
.
Loi du couple
.
Si
,
et si
.
On peut aussi utiliser la méthode du paragraphe suivant.
Il est utile de se souvenir des relations :
et
.
4.2. Maximum et minimum de variables aléatoires réelles
Si sont
variables aléatoires réelles, on note
et
.
Loi de
On calcule
(On peut aussi utiliser ).
Lorsque les variables sont à valeurs dans
, on utilise si
donc
Loi de
On calcule .
Lorsque les variables sont à valeurs dans
, on utilise si
donc
et
.
Loi du couple
On détermine lorsque ,
4.3. Utilisation de relations matricielles
Soit .
une partie non vide de
formée d’éléments consécutifs (en général
ou
).
On suppose que l’on définit une famille (finie ou infinie) de variables aléatoires à valeurs dans
telles que
tel que
,
( est indépendant de
).
On introduit la matrice
Soit .
On vérifie que .
Dans le cas où , on obtient pour tout entier
,
, il faudra déterminer la matrice
(en la diagonalisant par exemple).
Propriétés de et de sa transposée.
a) La somme des termes de chaque colonne de
est égale à 1.
b)
admet 1 pour valeur propre et le vecteur de coordonnées égales à 1 est un vecteur propre de
associé à la valeur propre 1
c) 1 est toujours valeur propre de la matrice
(puisque 1 est valeur propre de
). On peut démontrer que les autres valeurs propres de
sont de module inférieur ou égal à 1.
Voir aussi le paragraphe 5 chaînes de Markov (méthodes probabilités), pour déterminer la limite de la suite lorsque
.
4.5. Loi de la différence de deux variables aléatoires à valeurs dans
Soient et
deux variables aléatoires à valeurs dans
.
On utilise si ,
et
Dans les deux cas, on a introduit une réunion dénombrable d’événements 2 à 2 incompatibles.
Il est conseillé de calculer si
plutôt que
pour
.
On raisonne comme dans le paragraphe précédent, avec les mêmes précautions dans les calculs pratiques.
Par contre, il est impossible d’utiliser la fonction génératrice de sauf si
.
Il est conseillé de calculer si
plutôt que
pour
.
On raisonne comme dans le paragraphe précédent, avec les mêmes précautions dans les calculs pratiques.
Par contre, il est impossible d’utiliser la fonction génératrice de sauf si
.
Délaisser les révisions de certains chapitres de maths est une mauvaise stratégie de révision. En effet, pour obtenir de bonnes notes lors des épreuves de concours, il est primordial de s’assurer d’avoir un niveau de connaissances homogène dans tous les chapitres du programme. Si ce n’est pas le cas, utilisez un cours particulier de maths en ligne pour améliorer votre niveau, et révisez :