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Méthodes Suites et séries de fonctions en MP, PC, PSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

Résumé de cours et méthodes – Suites et séries de fonctions

1. Comment démontrer qu’une suite de fonctions converge uniformément sur $I$ ?

Les fonctions $f_n$ sont définies sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ (resp. l’e.v.n. $F$ ).

a) On détermine, pour tout $x$ de $I$ , la limite $f(x)$ de la suite de scalaires (resp. vecteurs) $(f_n(x))_n$ , c’est-à-dire on étudie la limite simple de $(f_n)_n$ .

b) On vérifie que les fonctions $f_n - f$ sont bornées sur $I$ pour $n$ assez grand.

$\bullet$ M1. On peut chercher à déterminer $\Vert f_n - f \Vert_ {\infty}$ et ensuite on regarde si $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \Vert f_n - f \Vert_ {\infty} = 0$ .

$\ast$ Lorsque les fonctions $f_n$ et $f$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}$ , il suffit (lorsque les calculs sont simples) d’étudier les variations de $f_n - f$ sur $I$ , en faisant attention au signe de $(f_n - f)(x)$ et en utilisant le tableau de variation, on détermine $\Vert f_n - f \Vert_ {\infty}$ .

$\ast$ Lorsque les fonctions sont à valeurs dans $\mathbb{C}$ , il suffit d’étudier la fonction $x \mapsto \vert f_n(x) - f(x) \vert$ sur $I$ (fonction à valeurs dans $\mathbb{R}$ ) pour déterminer $\Vert f_n - f \Vert_ {\infty}\,$ .

$\ast$ Pour des fonctions à valeurs dans $F$ , il faudrait étudier la fonction $x \mapsto \Vert f_n (x)- f(x) \Vert_ {\infty}$ sur $I$ .
On peut choisir une base $b = (e_1 , \, \cdots \, , \, e_p)$ de $F$ et chercher à étudier la convergence uniforme sur $I$ des suites de coordonnées $(f_{n,\, i})_n$ pour $1 \leq i \leq p$ vers la $i$ -ème coordonnée $f _i$ de $f$ dans la base $b$ et choisir une norme sur $F$ utilisant cette base.

Exemple

On note si $x \in \mathbb{R}, \; n \in \mathbb{N}^*, \; \displaystyle f_n(x) =\frac {2 \, \sqrt{n} \, x } {n^2 + x^2}$ .

Convergence simple et uniforme de la suite de fonctions.

$\bullet$ M2. Pour $n \in \mathbb{N}$ , on peut chercher $\alpha_n \in \mathbb{R}^+$ tel que $\forall\, x \in I, \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \alpha_n$
(resp. $\forall\, x \in I, \Vert f_n(x) - f(x)\Vert_F \leq \alpha_n$ ), la suite $(\alpha_n)_n$ étant convergente vers 0.

Dans les deux cas, $\Vert f_n - f\Vert_{\infty} \leq \alpha_n$ , $\displaystyle \lim _{n\to\infty} \Vert f_n - f\Vert_{\infty} = 0$ .

Exemple

Soit si $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle f_n(x) = \frac{\cos(nx)} {n} + \frac{\sin(nx)} {n ^2}$ .

Convergence simple et uniforme.

$\bullet$ M3. Dans les problèmes théoriques, il peut être nécessaire de revenir à la définition utilisant des

$\varepsilon$ :

$\forall \, \varepsilon > 0, \; \exists \, n_0 \in \mathbb{N} , \; \forall \,n \in \mathbb{N},$

$\quad \quad \quad ( n \geq n_0 \Rightarrow \Vert f_n - f \Vert _{\infty} \leq \varepsilon )$ .
(soit selon le cas,

$\forall \, x \in I ,\; \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \varepsilon$ ou

$\forall \, x \in I , \Vert f_n(x) - f(x)\Vert_F \leq \varepsilon$ ).

Exemple

Soit

$f$ une fonction continue sur

$[0 ,\, 1]$ telle que

$f(1) = 0$ .

On note

$\forall\, n \in \mathbb{N}, \forall \, x \in [0, \, 1], \; f_n (x) = x^n f(x)$ .

Étude de la convergence simple et uniforme.

2. Comment prouver qu’une suite de fonctions ne converge pas uniformément sur $I$ ?

$\bullet$ M1. Si $f_n - f$ n’est pas bornée sur $I$ pour $n$ assez grand, la suite $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $I$ .

Dans la suite, on suppose que les fonctions $f_n - f$ sont bornées sur $I$ pour $n$ assez grand.

$\bullet$ M2. On démontre que la suite $\left ( \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \right ) _ n$ ne converge pas vers 0.

Dans le cas particulier où $f$ et $f_n$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}$ , il suffit d’étudier $f_n - f$ et de démontrer que la suite $\displaystyle \left ( \sup _ {x \in I} \vert f_n(x) - f(x) \vert \right ) _ n$ ne converge pas vers 0.

Exemple
Appliquer M2 à $f_n : \, [0 ,\, 1] \rightarrow \mathbb{R},\; x \mapsto x^n$ .

$\bullet$ M3. Il suffit de trouver une suite $(x_n)_n$ de points de $I$ telle que la suite $(f_n(x_n) - f(x_n))_n$ ne converge pas vers 0.

Exemple
Appliquer M3 à $f_n : \, [0 ,\, 1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^n$ .

$\bullet$ M4. Si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_n$ est continue sur $I$ et s’il existe $a \in I$ tel que $f$ est discontinue en $a$ , la suite $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément vers $f$ . (S’il y avait convergence uniforme, $f$ devrait aussi être continue.).

Exemple

Appliquer M4 à $f_n : \, [0 ,\, 1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^n$ .

$\bullet$ M5. Lorsque la suite de fonctions continues $(f_n)_n$ converge vers la fonction continue $f$ sur $I$ , s’il existe $(a ,\, b) \in I^2$ où $a < b$ et tel que $\displaystyle \lim_{n \to \infty } \int_a^b f_n(t) \textrm{d}t \neq \int_a^b f(t) \textrm{d}t$ , la suite $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $I$ .

Exemple

Appliquer M5 à $f_n(x) = n \, x^n(1 - x^n)$ sur $I = [0 ,\, 1]$ .

$\bullet$ M6. On démontre que le théorème de la double limite ne s’applique pas :

c’est à dire $a$ étant une borne de l’intervalle $I$ (resp. un point adhérent à $I),$ on démontre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_n$ a une limite $b_n$ finie (resp. dans $F$ ) en $a$ , et on démontre que la suite $(b_n)_n$ ne converge pas, ou que la limite simple $f$ de la suite $(f_n)_n$ n’admet pas $\displaystyle \lim _{n \to \infty} b_n$ pour limite en $a$ .

Exemple

Appliquer M6 à la suite de fonctions définies pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \, ]0 , \, + \infty[$ par $\displaystyle f_n(x) = \sin \left ( \frac {nx + 1} {x + n} \right )$ .

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3. Comment utiliser la convergence uniforme d’une suite de fonctions ?

$\bullet$ M1. Continuité : Si la suite de fonctions continues $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ , la fonction $f$ est continue sur $I$ .

$\bullet$ M1B. Pour démontrer que $f$ est continue sur $I$ , il suffit de montrer que $(f_n)_n$ est une suite de fonctions continues sur $I$ qui converge uniformément sur tout segment de $I$ (resp. au voisinage de tout point $a \in I$ ) vers $f$ .

$\bullet$ M2. On peut alors appliquer le théorème de la double limite : Si $a$ est une borne de l’intervalle $I$ (resp. un point adhérent à $I$ ), si la suite de fonctions $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ et si pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $\displaystyle \lim_{x \to a } f_n(x) = b_n$ où $b_n \in \mathbb{K}$ (resp dans $F$ ), alors $f$ admet une limite en $a$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} \left ( \lim_{n \to \infty} f_n(x)\right ) = \lim_{n \to \infty}\left ( \lim_{x \to a} f_n(x) \right )$

$\bullet$ M3. Intégrale sur un segment :

Si $(f_n)_n$ est une suite de fonctions continues sur l’intervalle $I$ qui converge uniformément sur tout segment de $I$ vers la fonction $f$ , lorsque $a$ et $b$ sont éléments de $I$ ,

$\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to \infty } \int_a^b f_n(t) \textrm{d}t = \int_a^b f(t) \textrm{d}t$ .

$\bullet$ M4. Dérivabilité :

On prouve que

$\ast$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $f_n$ est de classe $C^1$ sur l’intervalle $I$ ,

$\ast$ la suite $(f_n)_n$ converge simplement sur $I$ vers la fonction $f$ ,

$\ast$ la suite de fonctions $(f'_n)_n$ converge uniformément vers $g$ sur tout segment de $I$ .

Alors $f$ est de classe $C^1$ sur $I$ et $f ' = g$ .

$\bullet$ M5. Fonctions de classe $C^k$ où $k\in \mathbb{N }^*$

On prouve que

$\ast$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $f_n$ est de classe $C^k$ sur l’intervalle $I$ ,

$\ast$ pour tout $p \in \{0 , \, \cdots \, , \, k - 1\}$ , la suite de fonctions $(f_n^{(p)})_n$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $g_p$

$\ast$ la suite de fonctions $(f_n^{(k)})_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $g_k$ .

Alors $g_0$ est de classe $C^k$ sur I et pour tout $p \in \{1 , \, \cdots \, ,\, k\}$ , $g_p =g_0^{(p)}$ .

$\bullet$ M6. Le théorème de convergence dominée (chapitre intégration sur un intervalle quelconque) permet d’intervertir, sous certaines conditions, l’intégrale et la limite (sans avoir besoin de la convergence uniforme).

Il y a deux théorèmes écrivant une fonction $f$ comme limite uniforme.

$\bullet$ M7. Théorème de Weierstrass : Toute fonction $f$ continue sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb {K}$ est limite uniforme sur $[a , \, b]$ d’une suite de fonctions polynômes à coefficients dans $\mathbb {K}$ .

$\bullet$ M8. Toute fonction continue par morceaux sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb {K}$ est limite uniforme sur $[a , \,b]$ d’une suite de fonctions en escalier sur $[a ,\, b]$ .

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4. Comment étudier la convergence d’une série de fonctions ?

Les questions à se poser quand on demande d’étudier la convergence de la série de fonctions de terme général $f_n$ sur l’intervalle $I$ .
$\bullet$ Q1. La série est-elle simplement convergente sur $I$ ? Si ce n’est pas le cas, on se place sur un intervalle $J$ tel que $J \subset I$ sur lequel la série de fonctions de terme général $f_n$ converge simplement.

$\bullet$ Q2. La série est-elle normalement convergente sur $I$ ? Si oui, l’étude de la convergence est terminée, car la série est uniformément convergente sur $I$ .

$\bullet$ Q3. Si la série n’est pas normalement convergente sur $I$ , on cherche si $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Vert f_n\Vert _ {\infty} = 0$ .
$\ast$ Si la suite $\left ( \Vert f_n\Vert _ {\infty} \right)_n$ ne converge pas vers 0, il ne peut y avoir convergence uniforme.
$\ast$ Si la suite $\left ( \Vert f_n\Vert _ {\infty} \right)_n$ converge vers 0, on peut étudier la convergence uniforme : dans ce cas, on regarde si $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Vert R_n\Vert _ {\infty} = 0$ , où $R_n$ est le reste d’ordre $n$ de la série de terme général $f_n$ .

Méthode d’étude :
$\bullet$ ET1. Étudier la convergence simple de la série, c.a.d. étudier la série de terme général $f_n(x)$ : il s’agit d’un problème de convergence de série numérique (resp. de série vectorielle).
Il suffit de prouver que la série converge absolument (c’est à dire que $\sum \vert f_n(x)\vert$ ou $\sum \Vert f_n(x)\Vert$ selon la nature de l’ensemble d’arrivée, converge).

$\bullet$ ET2. Pour étudier la convergence normale (lorsque les fonctions $f_n$ sont bornées sur I) :
$\ast$ soit on calcule $\Vert f_n\Vert_{\infty}$ (en étudiant éventuellement la fonction $f_n$ si elle est à valeurs dans $\mathbb{R}$ , et $\vert f_n\vert$ si elle est à valeurs dans $\mathbb{C}$ ) et on démontre que $\sum \Vert f_n\Vert_{\infty}$ converge.
$\ast$ soit on trouve $\alpha_n$ tel que $\Vert f_n\Vert_{\infty}\leq \alpha_n$ et tel que $\sum \alpha_n$ converge (méthode à utiliser lorsque les variations de $f_n$ sont compliquées pour les fonctions à valeurs dans $\mathbb{K}$ ).

Il faudra peut-être restreindre l’intervalle et démontrer que la série converge normalement sur un intervalle (ou un ensemble) plus petit.

Pour des fonctions scalaires, il est inutile de vouloir étudier la convergence normale sur $I$ lorsqu’il existe $x \in I$ tel que la série de terme général $\vert f_n(x)\vert$ diverge, ou lorsque les fonctions $f_n$ ne sont pas bornées sur l’intervalle $I$ .

S’il existe $x_n \in I$ tel que $\sum \vert f_n(x_n)\vert$ diverge, en écrivant $\Vert f_n\Vert_{\infty} \geq \vert f_n(x_n)\vert$ , on démontre que $\sum f_n$ ne converge pas normalement sur $I$ .

Quelques méthodes de choix d’intervalle pour démontrer une convergence normale dans le cas de fonctions définies sur un intervalle réel
$\bullet$ l’intervalle de convergence simple noté $I$ est ouvert : il est souvent nécessaire de se restreindre à un segment inclus dans $I$ .
$\ast$ l’intervalle de convergence simple noté $I$ est un intervalle centré en 0 : il est plus simple de démontrer que la série converge normalement sur un segment du type $[- a ,\, a]$ où $a \in I$ .
$\ast$ en étudiant les variations de $f_n$ (à valeurs réelles) sur $I$ , on a trouvé $\alpha_n$ tel que $\vert f_n \vert$ admette un maximum en $\alpha_n$ et $\sum \vert f_n(\alpha_n) \vert$ diverge, la fonction $f_n$ changeant de sens de variation en $\alpha_n$ ,
… lorsque $\displaystyle \lim_{n \to\infty} \alpha_n = b\in \mathbb{R}$ ou $b = - \infty$ prendre $a > b$ et $a\in I$ , démontrer qu’il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que si $n > N,\, \alpha_n < a$ et utiliser la monotonie de $f_n$ sur $[a , +\infty[\,\cap \, I$ pour prouver la convergence normale sur $[a , +\infty[ \, \cap \, I$ .
… lorsque $\displaystyle \lim_{n \to\infty} \alpha_n = +\infty$ ,introduire $a \in I$ , démontrer qu’il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que si $n > N,\, a < \alpha_n$ et utiliser la monotonie de $f_n$ sur $]-\infty , a] \,\cap \, I$ pour prouver la convergence normale sur $]-\infty , a] \,\cap \, I$ .

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5. Comment utiliser la convergence uniforme d’une série de fonctions ?

Lorsque la série de fonctions de terme général $f_n$ est simplement convergente, on note $\displaystyle S = \sum_{n = 0} ^{+\infty} f_n$ .
$\bullet$ M1. Continuité : Si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_n$ est continue sur $I$ et si $\sum f_n$ converge uniformément sur tout segment inclus dans $I$ (resp. au voisinage de tout point $a \in I$ ), la somme $S$ est continue sur $I$ .

$\bullet$ M2. On peut alors appliquer le théorème de la double limite :
Si $a$ est une borne de l’intervalle $I$ (resp. $a$ est un point adhérent à $I$ ), si la série de fonctions de terme général $f_n$ converge uniformément sur $I$ et si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_n$ admet en $a$ une limite $b_n \in \mathbb{K}$ (resp. $b_n \in F$ ), alors $\displaystyle \lim _ {x \to a} \sum _{n = 0}^{+ \infty} f_n(x) = \sum _{n = 0}^{+ \infty} \lim _ {x \to a} f_n(x) = \sum_{n = 0} ^{\infty} b_n$ .

exemple
Si $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \geq 0$ , $\displaystyle f_n(x ) = \frac 1 {n ^2} ( \textrm {e}^{- n x} + 1)$ étude de la limite de $S$ en $+\infty$ .

$\bullet$ M3. Intégrale sur un segment : Si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_n$ est continue sur $[a ,\, b]$ et si la série de terme général $f_n$ converge uniformément sur $[a , \,b]$ , $\displaystyle \int_a^b \sum _{n = 0}^{+\infty} f_n(x) \textrm{d}x = \sum _{n = 0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \textrm{d}x$ .
On verra un autre théorème permettant d’intervertir somme et intégrale avec une hypothèse de convergence simple. (cf chapitre intégration sur un intervalle quelconque).

$\bullet$ M4. Dérivabilité : si l’on prouve que :
$\ast$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $f_n$ est de classe $C^1$ sur l’intervalle $I$ ,
$\ast$ $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ ,
$\ast$ $\sum f'_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$ ,
$\ast$ $\ast$ la somme $S$ est de classe $C^1$ sur $I$ et $\displaystyle \left ( \sum _{n = 0}^{\infty} f_n \right) ' = \sum _{n = 0}^{\infty} f'_n$ .

$\bullet$ M5. Fonctions de classe $C^k$ où $k \in \mathbb{N}^*$ : si l’on prouve que
$\ast$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $f_n$ est de classe $C^k$ sur l’intervalle $I$ ,
$\ast$ pour tout $p \in \{ 0 , \, \cdots \, , \, k - 1 \}$ , $\sum f_n^{(p)}$ converge simplement sur $I$ ,
$\ast$ $\sum f_n^{(k)}$ converge uniformément sur tout segment de $I$ ,
$\ast$ $\ast$ la somme $S$ est de classe $C^k$ sur $I$ et $\forall\, p \in \{ 1 , \, \cdots \, , \, k\} , \; \displaystyle \left ( \sum _{n = 0}^{\infty} f_n \right) ^{(p)} = \sum _{n = 0}^{\infty} f_n^{(p)}$ .

Application à l’exponentielle d’une matrice, d’un endomorphisme :
$\bullet$ A1 : Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p ( \mathbb{K} )$ .
a) On peut définir pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle \textrm{exp}(t A) = \sum _{n = 0}^{\infty} \frac {t^n} {n!} A ^n$ notée aussi $\textrm{e}^{ t A}$ .
La série converge normalement sur tout segment $[- \alpha , \, \alpha ]$ où $\alpha > 0$
b) La fonction $f : t \mapsto \textrm{exp}(t \, A)$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et pour tout $t \in \mathbb{R},$ $f '(t) = A \, \textrm{exp}(t \,A) = \textrm{exp}(t\, A)\, A$ .

$\bullet$ A2 : Soit $E$ un $\mathbb{K}$ –espace vectoriel de dimension finie et $a \in \mathcal{L}(E)$ .
a) On peut définir pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle \textrm{exp}(t \, a) = \sum _{n = 0}^{\infty} \frac {t^n} {n!} \, a^n$ noté aussi $\textrm{e} ^{t\, a}$ .
La série converge normalement sur tout segment $[- \alpha , \, \alpha ]$ où $\alpha > 0$
b) La fonction $f : t \mapsto \textrm{exp}(t \,a)$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et pour tout $t \in \mathbb{R}$ $f '(t) = a \circ \textrm{exp}(t \,a)= \textrm{exp}(t \,a) \circ a$ .

En plus de ce cours en ligne sur les suites et séries de fonctions, de nombreux autres cours peuvent être retravaillés. En voici quelques exemples :

Si vous souhaitez accéder à l’ensemble des méthodes et aux corrigés des exemples, n’hésitez pas à télécharger l’application PrepApp

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Résumé de cours et méthodes – Suites et séries de fonctions

1. Comment démontrer qu’une suite de fonctions converge uniformément sur $I$ ?

2. Comment prouver qu’une suite de fonctions ne converge pas uniformément sur $I$ ?

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