Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

Algèbre linéaire et matrices pour les MP, PC, PSI et PT

Résumé de cours et exercices corrigés

Résumé de cours et méthodes – algèbre linéaire et matrices

1. Sous espaces vectoriels d’un e.v. de dimension 3

Dans toute cette partie, $E$ est un $\mathbb{K}$ – espace vectoriel de dimension 3 de base $(e_1,\, e_2,\, e_3)$ .

Exercice 1.
Soit $F$ le sous espace vectoriel
$\{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\,/\, x+2y+3z= 0 \}$ .

1. Trouver une base de $F$

2. Trouver une base pour $F' = \{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\;/\;x = 2 y \}$

3. On rappelle que $F =$ $\{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\,/\, x+2y+3z= 0 \}$ et que $F' = \{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\;/\;x = 2 y \}$ .
Trouver une base de $F\;{\cap}\; F'$

4. Montrer que $F + F' = E$

2. S.e.v. et supplémentaire

Soit $E = {\mathbb{R}}^4$ dont la base canonique est notée $(e_1\, ,\,e_2\, ,\,e_3\, ,\,e_4)$ .
Soit $A$ l’ensemble
$\{ (x, y , z , t)\; {\in}\; {\mathbb{R}}^4\; /\; x + y- z - t = 0$
et $x + 2 z = 0\}$ .

Question 1
Quel est la dimension de l’espace vectoriel $A$ ?

Question 2
On rappelle que $A$ est égal à
$\{ (x, y , z , t)\; {\in}\; {\mathbb{R}}^4\; /\; x + y- z - t = 0$
et $x + 2 z = 0\}$
et que $(e_1\, ,\,e_2\, ,\,e_3\, ,\,e_4)$ est la base canonique.

Quel est le couple de vecteurs qui n’engendre pas un supplémentaire de $A\; ?$

AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS

C'est gagner en autonomie

3. Exemples d’espaces vectoriels d’applications

On se place dans l’espace vectoriel $E$ des applications dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ .

Premier exemple
On note $f_1$ : $x\mapsto \cos(x) \cos(2 x)$ ,
$f_2$ : $x\mapsto \sin(x) \sin(2 x)$
et $f_3$ : $x\mapsto cos(x)$ .

La famille $(f_1\, ,\,f_2\, ,\,f_3)$ est-elle une famille libre ?

Deuxième exemple
Soit $g_1$ : $x \mapsto \, \textrm e^x,$ $g_2$ : $x \mapsto \, \cos(x) \textrm e^{ - x},$ $g_2$ : $x \mapsto \, \sin(x) \textrm e^{ 2 x}$ .
La famille $(g_1,\,g_2,\,g_3)$ est-elle une famille libre ?

Pour encore plus de cours en ligne gratuits et accessibles directement depuis votre ordinateur ou smartphone, rendez-vous dès maintenant sur la page de cours en ligne de Maths en MP, la page des cours en ligne de Maths en PSI mais aussi sur la page de cours en ligne de Maths en PC et sur la page des cours en ligne de Maths en PT. Vous pouvez, de plus, retrouvez nos cours de soutien en maths pour réussir en prépa scientifique.

4. Recherche d’image et de noyau

Soit $u$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ canoniquement associé à
$\quad \quad \quad A\;=\;\left(\begin{matrix}1&1&2\\1&2&3\\1&3&4\end{matrix}\right)$ .

Question 1
Quel est le rang de $u$ ?

Question 2 : Image de $u$
Une base de $\textrm{Im} (u)$ est égale à

Question 3 : Noyau de $u$
Une base de $\textrm{Ker} (u)$ est $e_1 + \alpha e_2+ \beta e_3$ pour $(\alpha\, , \, \beta ) =$

Question 4
$\textrm{Im}(u)$ a pour équation dans la base canonique $x + b y + c z = 0$

5. Étude d’une matrice de projecteur

Question 1
L’ endomorphisme $p$ canoniquement associé à la matrice
$\quad \quad \quad A=\begin{pmatrix}2&-2&-2\\2&-3&-4\\-1&2&t\end{pmatrix}$
est un projecteur pour $t =$ ?

On suppose dans la suite que $A$ est la matrice d’un projecteur $p$ dans la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ .

Question 2
Pour déterminer $\textrm{Ker}(p)$ , on résout l’équation $A\, X = 0$ ?

Question 3
Pour déterminer une base de $\textrm{Im}(p)$ , on résout l’équation $A \, X = X$ ?

Question 4
$\textrm{Im}(p)$ est le plan d’équation $x + {\beta}y + {\gamma}z = 0$ où $(\beta, \, \gamma) =$ ?

Question 5 : (suite des questions 3 et 4)
$(a, \,b,\,c)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$ dans laquelle la matrice de $p$ est une matrice diagonale ?
Si l’affirmation est vraie, donner cette matrice diagonale.

Question 6
Montrer que la matrice de passage de la base canonique à la base ${\cal C}$ est
$\quad \quad \quad Q=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$
et $A = Q\, {\Delta}\, Q ^{-1}$ .

COURS DE MATHS A DOMICILE

Les meilleurs profs de maths pour
réussir sa scolarité

En ligne ou à domicile

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Corrigés des exercices sur les espaces vectoriels en maths spé

Exercice 1 :

1. Méthode :
$a x + b y + c z = 0$ est l’équation d’un plan $H$ dans un espace vectoriel de dimension 3 par rapport à une base donnée.
On tire l’une des inconnues en fonction des autres, on remplace dans le vecteur générique de $H$ que l’on ordonne en fonction des inconnues conservées ; les deux vecteurs ainsi obtenus en coefficients de ces inconnues forment une base du plan.

On généralise cette méthode dans le cas d’un hyperplan $H$ d’équation $a_1 x_1 + ... + a_n x_n = 0$ dans un espace vectoriel de dimension $n$ .

Calcul :
$F$ est un plan donné par son équation dans la base $(e_1,\, e_2,\, e_3)$ ,
donc $\dim F= 2.$
$F = \{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\,/\,x = - 2 y - 3 z \}$
$= \{ - (2 y + 3 z )e_1 + y e_2 + z e_ 3\, /\, (y , z)\, {\in}\, {\mathbb{K}}^2\}$
$= \{ -y(2 e_1 - e_2)- z(3e_1 - e_3)/(y , z){\in}{\mathbb{K}}^2\}$
$F = \textrm {Vect} (a , b)$
où $a =2 e_1 - e_2$ et $b = 3 e_1 - e_3\,$ .
$(a,b)$ est une famille génératrice formée de deux vecteurs non colinéaires, c’est une base de $F$ .

⚠️ On peut démontrer par contre que
Vect $(e_1+2e_2+3e_3)$ est un supplémentaire de $F$ .
Pour cela, puisque $F$ est un plan de $E$ , il suffit de prouver que $e_1+2e_2+3e_3\,{\not\in} \,F$

⚠️ On fera attention à ne pas confondre le vecteur $3e_1 - e_3$ et les coordonnées $(3 , 0 , - 1)$ .
Pour qu’il y ait égalité, il faut que $E$ soit égal à ${\mathbb{K}}^3$ et que $(e_1,\,e_2,\, e_3)$ soit la base canonique de ${\mathbb{K}}^3$ .

2. $F' = \{ 2y\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\;/\;(y , z)\; {\in}\; {\mathbb{K}}^2 \}$ $F'= \{ y(2 e_1+e_2)+z\,e_3\,/\,(y , z)\; {\in}\; {\mathbb{K}}^2 \}$ $F'= {\rm Vect}(a',\,b')$
où $a'=2 e_1+e_2$ et $b' = e_3 \,$ .
$(a',\, b')$ est une famille génératrice du plan $F'$ formée de deux vecteurs non colinéaires, c’est une base de $F'$ .

3. On cherche $u = x e_1 + y e_2+ z e_3$ vérifiant le système :
$\left\{\begin{matrix}x + 2 y + 3 z& =&0 \\x - 2 y &=& 0\end{matrix}\right.$ ${\Leftrightarrow} \left\{\begin{matrix}4 y + 3 z &=&0\\x&=&2 y \end{matrix}\right.$ ${\Leftrightarrow} \left\{\begin{matrix}z&=& - 4 y /3 \\x&=&2 y \end{matrix}\right.$
On obtient $u = y(2 e_1 + e_2 - 4/3 e_3)$ et on obtient une base en prenant $y = 3$ soit $6 e_1 + 3 e_2 - 4 e_3$ .

4.Par la formule de Grassmann,
$\textrm {dim} (F + F') =$
$\textrm {dim}\; F + \textrm {dim} \; F' -\; \textrm {dim}\; ( F\;{\cap}\; F') = 3 ,$
donc $F + F' = E$ .

La Maths Spé est la dernière ligne droite avant l’intégration des meilleures écoles d’ingénieurs françaises. Pour maximiser vos chances de réussite, continuez vos révisions avec les autres chapitres au programme de MP, PC et PSI, dont :

Algèbre linéaire et matrices pour les MP, PC, PSI et PT

Résumé de cours et méthodes – algèbre linéaire et matrices

1. Sous espaces vectoriels d’un e.v. de dimension 3

2. S.e.v. et supplémentaire

AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS

C'est gagner en autonomie

3. Exemples d’espaces vectoriels d’applications

4. Recherche d’image et de noyau

5. Étude d’une matrice de projecteur

COURS DE MATHS A DOMICILE

Les meilleurs profs de maths pour
réussir sa scolarité

En ligne ou à domicile

Corrigés des exercices sur les espaces vectoriels en maths spé

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales

Algèbre linéaire et matrices pour les MP, PC, PSI et PT

Résumé de cours et méthodes – algèbre linéaire et matrices

1. Sous espaces vectoriels d’un e.v. de dimension 3

2. S.e.v. et supplémentaire

AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS

C'est gagner en autonomie

3. Exemples d’espaces vectoriels d’applications

4. Recherche d’image et de noyau

5. Étude d’une matrice de projecteur

COURS DE MATHS A DOMICILE

Les meilleurs profs de maths pour réussir sa scolarité

En ligne ou à domicile

Corrigés des exercices sur les espaces vectoriels en maths spé

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales

Les meilleurs profs de maths pour
réussir sa scolarité