Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Algèbre linéaire et matrices pour les MP, PC, PSI et PT
Résumé de cours et exercices corrigés
Résumé de cours et méthodes – algèbre linéaire et matrices
1. Sous espaces vectoriels d’un e.v. de dimension 3
Dans toute cette partie, est un – espace vectoriel de dimension 3 de base .
Exercice 1.
Soit le sous espace vectoriel
.
1. Trouver une base de
2. Trouver une base pour
3. On rappelle que et que .
Trouver une base de
4. Montrer que
2. S.e.v. et supplémentaire
Soit dont la base canonique est notée .
Soit l’ensemble
et .
Question 1
Quel est la dimension de l’espace vectoriel ?
Question 2
On rappelle que est égal à
et
et que est la base canonique.
Quel est le couple de vecteurs qui n’engendre pas un supplémentaire de
3. Exemples d’espaces vectoriels d’applications
On se place dans l’espace vectoriel des applications dérivables de dans .
Premier exemple
On note : ,
:
et : .
La famille est-elle une famille libre ?
Deuxième exemple
Soit : : : .
La famille est-elle une famille libre ?
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4. Recherche d’image et de noyau
Soit l’endomorphisme de canoniquement associé à
.
Question 1
Quel est le rang de ?
Question 2 : Image de
Une base de est égale à
Question 3 : Noyau de
Une base de est pour
Question 4
a pour équation dans la base canonique
5. Étude d’une matrice de projecteur
Question 1
L’ endomorphisme canoniquement associé à la matrice
est un projecteur pour ?
On suppose dans la suite que est la matrice d’un projecteur dans la base canonique de .
Question 2
Pour déterminer , on résout l’équation ?
Question 3
Pour déterminer une base de , on résout l’équation ?
Question 4
est le plan d’équation où ?
Question 5 : (suite des questions 3 et 4)
est une base de dans laquelle la matrice de est une matrice diagonale ?
Si l’affirmation est vraie, donner cette matrice diagonale.
Question 6
Montrer que la matrice de passage de la base canonique à la base est
et .
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Corrigés des exercices sur les espaces vectoriels en maths spé
Exercice 1 :
1. Méthode :
est l’équation d’un plan dans un espace vectoriel de dimension 3 par rapport à une base donnée.
On tire l’une des inconnues en fonction des autres, on remplace dans le vecteur générique de que l’on ordonne en fonction des inconnues conservées ; les deux vecteurs ainsi obtenus en coefficients de ces inconnues forment une base du plan.
On généralise cette méthode dans le cas d’un hyperplan d’équation dans un espace vectoriel de dimension .
Calcul :
est un plan donné par son équation dans la base ,
donc
où et .
est une famille génératrice formée de deux vecteurs non colinéaires, c’est une base de .
⚠️ On peut démontrer par contre que
Vect est un supplémentaire de .
Pour cela, puisque est un plan de , il suffit de prouver que
⚠️ On fera attention à ne pas confondre le vecteur et les coordonnées .
Pour qu’il y ait égalité, il faut que soit égal à et que soit la base canonique de .
2.
où et .
est une famille génératrice du plan formée de deux vecteurs non colinéaires, c’est une base de .
3. On cherche vérifiant le système :
On obtient et on obtient une base en prenant soit .
4.Par la formule de Grassmann,
donc .
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