Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Dénombrements en MP, PC, PSI et PT
Résumé de cours Exercices et corriges
Exercices et corrigés – Dénombrements
1. Ensembles dénombrables
Exercice 1 :
Soit une fonction croissante de
dans
. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de
est au plus dénombrable.
Corrigé de l’exercice 1 :
Soit l’ensemble des points de discontinuité de
.
En tout point ,
admet une limite à gauche
et une limite à droite
telles que
.
étant dense dans
, il existe
tel que
.
On définit ainsi une application injective.
Comme est dénombrable, il existe une bijection
de
sur
donc une injection
de
dans
.
On en déduit que est finie ou dénombrable.
Exercice 2 :
Soit l’ensemble des suites d’éléments égaux à
ou
.
Question 1
est dénombrable ?
Question 2
On note l’ensemble des éléments de
qui sont des
à partir d’un certain rang.
est dénombrable ?
Question 3
L’ensemble des suites périodiques de
est dénombrable ?
Corrigé de l’exercice 2 :
Question 1 :




On définit alors la suite





On obtient un élément




Question 2
On note ,
et si l’ensemble des éléments de
dont le terme d’indice
est égal à 1, les termes d’indices supérieurs ou égaux à
sont des
.
L’application
est bijective.
Comme est fini,
est fini.
est la réunion dénombrable des ensembles finis
et de l’ensemble
, donc
est fini ou dénombrable.
contient une famille infinie :
où
est la suite formée de
suivis de
.
Donc est dénombrable.
Question 3
On note l’ensemble des éléments de
périodiques de période
.
Si , à tout élément
de
on associe l’élément de
égal à
.
On définit ainsi une application bijective de dans
car une suite périodique de période
est entièrement définie par ses
premiers éléments.
est une réunion dénombrable d’ensembles finis, donc
est fini ou dénombrable.
contient une famille infinie à savoir la famille
où
est la suite périodique de période
dont les
premiers éléments sont
( éléments
suivis de
).
Donc est dénombrable.
Exercice 3 :
Question 1
Montrer que l’ensemble des parties finies de est dénombrable.
Question 2
L’ensemble des parties de n’est pas dénombrable ?
Corrigé de l’exercice 3 :
Question 1 :
On note l’ensemble des parties finies non vides de
.
On note l’ensemble des parties finies de
de cardinal
.
Première méthode
On considère (les
étant rangés par ordre strictement croissant).
est une application injective. Donc
est fini ou dénombrable.
n’est pas fini car il contient l’ensemble infini
. donc
est dénombrable.
Les ensembles forment une partition de
et sont dénombrables, donc par réunion dénombrable d’ensembles dénombrables,
est un ensemble dénombrable.
Deuxième méthode
On note l’ensemble des parties finies de
dont le plus grand élément est égal à
.
Se donner un élément de revient à se donner une partie de
et à lui ajouter l’élément
.
Donc (car le nombre de parties de
est égal à
).
Les ensembles forment une partition de
et sont finis, donc par réunion dénombrable d’ensembles finis,
est un ensemble dénombrable ou fini.
contient la famille infinie
, donc
est dénombrable.
Question 2
On suppose que l’ensemble des parties non vides de
est dénombrable.
Il existe donc une application de
dans
bijective.
Pour tout , on note
.
On note la partie de
définie ainsi :
.
est une partie de
. Il existe donc
tel que
.
Or si et si
, donc
. On aboutit à une contradiction.
L’ensemble des parties non vides de est non dénombrable. Il en est de même de l’ensemble des parties de
.
Exercice 4 :
Soit une famille d’intervalles ouverts non vides et 2 à 2 disjoints de
.
est au plus dénombrable ?
Corrigé de l’exercice 4 :
En utilisant la densité de , pour tout
, il existe
.
Si ,
car
.
On définit ainsi une injection .
Comme il existe une bijection ,
est une injection de
dans
, alors
est fini ou dénombrable.
COURS DE MATHS
Les meilleurs professeurs particuliers
Pour progresser et réussir
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
2. Exercies sur les dénombrements en maths spé
Exercice 5 :
On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de mains contenant 2 as ?
Corrigé de l’exercice 5 :
On choisit 2 as parmi 4 de façons.
Puis on choisit 3 cartes parmi les cartes sans as de
façons.
Le nombre de mains contenant deux as est égal à .
Exercice 6 :
Quel est le nombre de mains de 4 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 dames ?
Corrigé de l’exercice 6 :
On ne peut pas avoir deux rois et trois dames en même temps dans une main de 4 cartes.
On note l’ensemble des mains contenant 2 Rois et
l’ensemble des mains contenant 3 dames.
car on choisit 2 rois parmi 4 de façons puis 2 cartes parmi les 28 qui restent de
façons.
car on choisit 3 dames parmi 4 de façons puis 1 carte parmi les 28 qui restent de
façons.
car
.
Aviez-vous pensé à écrire que les deux ensembles sont disjoints ?
Exercice 7 :
Quel est le nombre de mains de 4 cartes contenant 2 rois ou 3 trèfles d’un jeu de 32 cartes ?
Corrigé de l’exercice 7 :
On peut obtenir une main contenant le roi de trèfle.
Soit l’ensemble des mains contenant
rois et
l’ensemble des mains de 4 cartes contenant
trèfles.
car on choisit rois parmi
de
façons puis
cartes parmi les
qui restent de
façons.
car on choisit trèfles parmi
de
façons puis
carte parmi les
qui restent de
façons.
C’est l’ensemble des mains contenant le roi de trèfle, un autre roi et autres trèfles.
On choisit un roi qui n’est pas de trèfle ( choix), deux trèfles différents du roi de
façons.
.
Exercice 8 :
Soit un ensemble de cardinal
. Soit
l’ensemble des parties de
ayant un nombre pair d’éléments.
Déterminer .
Corrigé de l’exercice 8 :
On note (la partie entière de
).
Si , on note
l’ensemble des parties de
à
éléments.
La famille forme une partition de
.
Donc
(pour le calcul de la somme, voir l’exercice 3 du §2.4. dans la partie méthodes).
Exercice 9
Soient et
trois entiers naturels non nuls avec
.
En utilisant un raisonnement de dénombrement, démontrer la formule de Vandermonde :
.
Corrigé de l’exercice 9 :
Soient et
.
et
sont disjoints et ont respective- ment
et
éléments.
.
On note
l’ensemble des parties de
ayant
éléments.
.
On note
l’ensemble des parties de
formées de
éléments dans
et
dans
.
L’ensemble est non vide
ssi et
ssi .
Les ensembles ( forment une partition de
.
car on doit choisir
éléments parmi
et
éléments parmi
.
soit .
D’autres chapitres de mathématiques peuvent être révisés par les étudiants en CPGE, en se rendant sur les pages de cours en ligne de Maths en Maths Spé. Sont accessibles, les cours en ligne de Maths en PC, la page de cours en ligne de Maths en MP et la page de cours en ligne de Maths en PSI.
COURS PARTICULIERS EN LIGNE
Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.
POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
2. Exercices sur les les surjections en maths spé
Exercice 10 :
Si , on note
.
Soient et
deux entiers naturels non nuls. On note
le nombre de surjections de
dans
.
Question 1
Donner les valeurs de et de
si
.
Question 2
Calculer .
Question 3
Calculer .
Question 4
Calculer .
Question 5
Si ,
.
Question 6
Montrer que
Question 7
Si ,
est égal à
Corrigé de l’exercice 10 :
Question 1 :
Une application de
dans lui-même est une surjection ssi elle est bijective, donc
.
Il n’y a aucune surjection de
dans
lorsque
car une application de
dans
a au plus
images distinctes.
Question 2 :
Une application de dans
est surjective ssi elle n’est pas constante. Il y a
applications de
dans
et deux applications constantes, donc
.
Question 3
On note l’ensemble des applications de
dans
.
.
On forme une partition de de la façon suivante :
est l’ensemble des applications constantes : il y en a 3.
est l’ensemble des applications dont l’image est une partie à deux éléments.
Pour définir un élément de , on se donne une partie de
à deux éléments (ce qui se fait de
façons). Puis on définit une application surjective de
dans cet ensemble. En utilisant la question 2, il y a
applications de ce type.
Donc .
est l’ensemble des surjections.
Comme , on en déduit que
.
Question 4 :
Pour définir une surjection de dans
on choisit l’élément
de
ayant deux antécédents : il y a
choix pour
.
on se donne les deux éléments
de
d’image égale à
: il y a
choix.
on définit une surjection (donc une bijection) de
dans
ce qui se fait de
façons.
Donc
.
Question 5 :
On note l’ensemble des surjections de
dans
.
On écrit que où
est l’ensemble des surjections
de
dans
telles que la restriction de
à
soit une surjection de
sur
et
est l’ensemble des surjections
de
dans
telles que cette restriction ne soit pas surjective .
Se donner un élément
de
revient à se donner une surjection
de
dans
et à donner
quelconque dans
(
choix pour
) donc
.
Pour définir un élément
de
,
on définit la restriction
de
à
, un seul élément
de
n’est pas atteint par
, on choisit cet élément (
choix), puis on définit
qui est une surjection de
sur
ce qui se fait de
façons
puis on définit
.
Donc
Comme
et
sont incompatibles :
.
Question 6 :
Si , on note
l’ensemble des applications
de
dans
telles que
.
On forme ainsi une partition de l’ensemble , ensemble des applications de
dans
.
Donc .
Se donner un élément de
revient à se donner une partie
de
ayant
éléments (de
façons) puis à définir une application surjective de
dans
ce qui se fait de
façons.
donc .
On obtient donc .
Question 7 :
Si ,
soit .
4. Exercices sur les mots de Dyck
On appelle » mot de Dyck » une chaîne de caractères,
, formée de
lettres
et
lettres
, telle que, lorsque l’on dénombre les lettres de gauche à droite, en s’arrêtant à une lettre du mot, le nombre de
soit toujours supérieur ou égal au nombre de
. Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur
est :
. Les mots de Dyck de longueur 4 sont :
et
.
et
sont des mots de Dyck, alors que
et
n’en sont pas.
Pour tout entier , on désigne par
le nombre de mots de Dyck de
lettres.
Question 1
Calculer .
Question 2
On pose : . Montrer que, pour tout entier
Question 3
Montrer que .
est appelé le
-ième nombre de Catalan.
Question 4 : Une application
Une particule se déplace sur une droite graduée en partant de l’origine et en se déplaçant à chaque minute d’une unité vers la droite ou vers la gauche.
Le nombre de façons de revenir pour la première fois à l’instant en
est égal à
Si toutes les réponses à ces exercices sont correctes, il faut désormais passer aux entraînements sur les annales. Mais, si vous souhaitez vous entraîner sur d’autres exercices de cours en ligne, vous avez le choix. Quelques idées de chapitres au programme de Maths Spé :