Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Dénombrements en MP, PC, PSI et PT
Résumé de cours Exercices et corriges
Exercices et corrigés – Dénombrements
1. Ensembles dénombrables
Exercice 1 :
Soit une fonction croissante de dans . Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de est au plus dénombrable.
Corrigé de l’exercice 1 :
Soit l’ensemble des points de discontinuité de .
En tout point , admet une limite à gauche et une limite à droite telles que .
étant dense dans , il existe tel que .
On définit ainsi une application injective.
Comme est dénombrable, il existe une bijection de sur donc une injection de dans .
On en déduit que est finie ou dénombrable.
Exercice 2 :
Soit l’ensemble des suites d’éléments égaux à ou .
Question 1
est dénombrable ?
Question 2
On note l’ensemble des éléments de qui sont des à partir d’un certain rang.
est dénombrable ?
Question 3
L’ensemble des suites périodiques de est dénombrable ?
Corrigé de l’exercice 2 :
Question 1 :
On définit alors la suite par si et si .
On obtient un élément de et pour tout , donc la contradiction avec bijective.
Question 2
On note ,
et si l’ensemble des éléments de dont le terme d’indice est égal à 1, les termes d’indices supérieurs ou égaux à sont des .
L’application est bijective.
Comme est fini, est fini.
est la réunion dénombrable des ensembles finis et de l’ensemble , donc est fini ou dénombrable.
contient une famille infinie : où est la suite formée de suivis de .
Donc est dénombrable.
Question 3
On note l’ensemble des éléments de périodiques de période .
Si , à tout élément de on associe l’élément de égal à .
On définit ainsi une application bijective de dans car une suite périodique de période est entièrement définie par ses premiers éléments.
est une réunion dénombrable d’ensembles finis, donc est fini ou dénombrable.
contient une famille infinie à savoir la famille où est la suite périodique de période dont les premiers éléments sont
( éléments suivis de ).
Donc est dénombrable.
Exercice 3 :
Question 1
Montrer que l’ensemble des parties finies de est dénombrable.
Question 2
L’ensemble des parties de n’est pas dénombrable ?
Corrigé de l’exercice 3 :
Question 1 :
On note l’ensemble des parties finies non vides de .
On note l’ensemble des parties finies de de cardinal .
Première méthode
On considère (les étant rangés par ordre strictement croissant).
est une application injective. Donc est fini ou dénombrable.
n’est pas fini car il contient l’ensemble infini . donc est dénombrable.
Les ensembles forment une partition de et sont dénombrables, donc par réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, est un ensemble dénombrable.
Deuxième méthode
On note l’ensemble des parties finies de dont le plus grand élément est égal à .
Se donner un élément de revient à se donner une partie de et à lui ajouter l’élément .
Donc (car le nombre de parties de est égal à ).
Les ensembles forment une partition de et sont finis, donc par réunion dénombrable d’ensembles finis, est un ensemble dénombrable ou fini.
contient la famille infinie , donc est dénombrable.
Question 2
On suppose que l’ensemble des parties non vides de est dénombrable.
Il existe donc une application de dans bijective.
Pour tout , on note .
On note la partie de définie ainsi : .
est une partie de . Il existe donc tel que .
Or si et si , donc . On aboutit à une contradiction.
L’ensemble des parties non vides de est non dénombrable. Il en est de même de l’ensemble des parties de .
Exercice 4 :
Soit une famille d’intervalles ouverts non vides et 2 à 2 disjoints de .
est au plus dénombrable ?
Corrigé de l’exercice 4 :
En utilisant la densité de , pour tout , il existe .
Si , car .
On définit ainsi une injection .
Comme il existe une bijection , est une injection de dans , alors est fini ou dénombrable.
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2. Exercies sur les dénombrements en maths spé
Exercice 5 :
On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de mains contenant 2 as ?
Corrigé de l’exercice 5 :
On choisit 2 as parmi 4 de façons.
Puis on choisit 3 cartes parmi les cartes sans as de façons.
Le nombre de mains contenant deux as est égal à .
Exercice 6 :
Quel est le nombre de mains de 4 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 dames ?
Corrigé de l’exercice 6 :
On ne peut pas avoir deux rois et trois dames en même temps dans une main de 4 cartes.
On note l’ensemble des mains contenant 2 Rois et l’ensemble des mains contenant 3 dames.
car on choisit 2 rois parmi 4 de façons puis 2 cartes parmi les 28 qui restent de façons.
car on choisit 3 dames parmi 4 de façons puis 1 carte parmi les 28 qui restent de façons.
car .
Aviez-vous pensé à écrire que les deux ensembles sont disjoints ?
Exercice 7 :
Quel est le nombre de mains de 4 cartes contenant 2 rois ou 3 trèfles d’un jeu de 32 cartes ?
Corrigé de l’exercice 7 :
On peut obtenir une main contenant le roi de trèfle.
Soit l’ensemble des mains contenant rois et l’ensemble des mains de 4 cartes contenant trèfles.
car on choisit rois parmi de façons puis cartes parmi les qui restent de façons.
car on choisit trèfles parmi de façons puis carte parmi les qui restent de façons.
C’est l’ensemble des mains contenant le roi de trèfle, un autre roi et autres trèfles.
On choisit un roi qui n’est pas de trèfle ( choix), deux trèfles différents du roi de façons.
.
Exercice 8 :
Soit un ensemble de cardinal . Soit l’ensemble des parties de ayant un nombre pair d’éléments.
Déterminer .
Corrigé de l’exercice 8 :
On note (la partie entière de ).
Si , on note l’ensemble des parties de à éléments.
La famille forme une partition de .
Donc
(pour le calcul de la somme, voir l’exercice 3 du §2.4. dans la partie méthodes).
Exercice 9
Soient et trois entiers naturels non nuls avec .
En utilisant un raisonnement de dénombrement, démontrer la formule de Vandermonde :
.
Corrigé de l’exercice 9 :
Soient et .
et sont disjoints et ont respective- ment et éléments. .
On note l’ensemble des parties de ayant éléments. .
On note l’ensemble des parties de formées de éléments dans et dans .
L’ensemble est non vide
ssi et
ssi .
Les ensembles ( forment une partition de .
car on doit choisir éléments parmi et éléments parmi .
soit .
D’autres chapitres de mathématiques peuvent être révisés par les étudiants en CPGE, en se rendant sur les pages de cours en ligne de Maths en Maths Spé. Sont accessibles, les cours en ligne de Maths en PC, la page de cours en ligne de Maths en MP et la page de cours en ligne de Maths en PSI.
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2. Exercices sur les les surjections en maths spé
Exercice 10 :
Si , on note .
Soient et deux entiers naturels non nuls. On note le nombre de surjections de dans .
Question 1
Donner les valeurs de et de si .
Question 2
Calculer .
Question 3
Calculer .
Question 4
Calculer .
Question 5
Si ,
.
Question 6
Montrer que
Question 7
Si ,
est égal à
Corrigé de l’exercice 10 :
Question 1 :
Une application de dans lui-même est une surjection ssi elle est bijective, donc .
Il n’y a aucune surjection de dans lorsque car une application de dans a au plus images distinctes.
Question 2 :
Une application de dans est surjective ssi elle n’est pas constante. Il y a applications de dans et deux applications constantes, donc .
Question 3
On note l’ensemble des applications de dans . .
On forme une partition de de la façon suivante :
est l’ensemble des applications constantes : il y en a 3.
est l’ensemble des applications dont l’image est une partie à deux éléments.
Pour définir un élément de , on se donne une partie de à deux éléments (ce qui se fait de façons). Puis on définit une application surjective de dans cet ensemble. En utilisant la question 2, il y a applications de ce type.
Donc .
est l’ensemble des surjections.
Comme , on en déduit que .
Question 4 :
Pour définir une surjection de dans
on choisit l’élément de ayant deux antécédents : il y a choix pour .
on se donne les deux éléments de d’image égale à : il y a choix.
on définit une surjection (donc une bijection) de dans ce qui se fait de façons.
Donc .
Question 5 :
On note l’ensemble des surjections de dans .
On écrit que où
est l’ensemble des surjections de dans telles que la restriction de à soit une surjection de sur et est l’ensemble des surjections de dans telles que cette restriction ne soit pas surjective .
Se donner un élément de revient à se donner une surjection de dans et à donner quelconque dans ( choix pour ) donc .
Pour définir un élément de ,
on définit la restriction de à , un seul élément de n’est pas atteint par , on choisit cet élément ( choix), puis on définit qui est une surjection de sur ce qui se fait de façons
puis on définit .
Donc
Comme et sont incompatibles :
.
Question 6 :
Si , on note l’ensemble des applications de dans telles que .
On forme ainsi une partition de l’ensemble , ensemble des applications de dans .
Donc .
Se donner un élément de revient à se donner une partie de ayant éléments (de façons) puis à définir une application surjective de dans ce qui se fait de façons.
donc .
On obtient donc .
Question 7 :
Si ,
soit .
4. Exercices sur les mots de Dyck
On appelle » mot de Dyck » une chaîne de caractères, , formée de lettres et lettres , telle que, lorsque l’on dénombre les lettres de gauche à droite, en s’arrêtant à une lettre du mot, le nombre de soit toujours supérieur ou égal au nombre de . Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur est : . Les mots de Dyck de longueur 4 sont : et .
et sont des mots de Dyck, alors que et n’en sont pas.
Pour tout entier , on désigne par le nombre de mots de Dyck de lettres.
Question 1
Calculer .
Question 2
On pose : . Montrer que, pour tout entier
Question 3
Montrer que .
👍 est appelé le -ième nombre de Catalan.
Question 4 : Une application
Une particule se déplace sur une droite graduée en partant de l’origine et en se déplaçant à chaque minute d’une unité vers la droite ou vers la gauche.
Le nombre de façons de revenir pour la première fois à l’instant en est égal à
Si toutes les réponses à ces exercices sont correctes, il faut désormais passer aux entraînements sur les annales. Mais, si vous souhaitez vous entraîner sur d’autres exercices de cours en ligne, vous avez le choix. Quelques idées de chapitres au programme de Maths Spé :