Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

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Espaces vectoriels normés en MP, PC, PSI

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés sur les espaces vectoriels normés et topologie

1. Sur les normes

Exercice 1
Soit $E$ l’ensemble des suites réelles bornées.
On rappelle que $E \rightarrow \mathbb{R} , u = (u_n)_n \mapsto \displaystyle N(u) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \vert u_n\vert$ définit une norme sur $E$ .
On définit $\displaystyle N'(u) = \sup_{n \in \mathbb{N}} (\vert u_n\vert + \vert u_{2n} \vert)$ .

Question 1
Montrer que $N'$ est une norme sur $E$ .

Question 2
Montrer que $N$ et $N'$ sont équivalentes et donner les valeurs optimales de $\alpha$ et $\beta$ telles que $\alpha \, N \leq N' \leq \beta \, N$ .

Corrigé de l’exercice 1 :

Question 1 :

On sait que $N$ est une norme sur $E$ .
On remarquera l’utilisation de la norme $N$ et de ses propriétés qui évite les démonstrations « pénibles » sur les sup pour la norme $N'$ .

$\ast$ $N'(u)$ est défini car l’ensemble $\{\vert u_n \vert + \vert u_{2n} \vert \, /\, n \in \mathbb{N }\}$ est borné et $\forall \, n \in \mathbb{N }, \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert \leq 2 N(u)$ , donc $N'(u) \leq 2 N(u)$ .
De plus, en utilisant $\quad \forall \, n \in \mathbb{N }, \vert u_n \vert \leq \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert \leq N'(u)$ ,
on en déduit que $N(u) \leq N'(u)$ .

$\ast$ Séparation.
Si $N'(u) = 0$ , comme $0 \leq N(u) \leq N'(u)$ , $N(u) = 0$ ; $N$ étant une norme, $u = 0$ .

$\ast$ Homogénéité.
Soit $u \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ .
Soit $u' \in E$ où $\forall \, n \in \mathbb{N }, \; u'_n = \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert$ ,
$N'(\lambda \, u) = N(\lambda u') = \vert \lambda \vert N(u') = \vert \lambda \vert N'(u)$ .

$\ast$ Inégalité triangulaire. Soit $u , v \in E$ .
On note $u' , v' \in E$ où pour tout $n \in \mathbb{N }$ ,
$u'_n = \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert$ et $v'_n = \vert v_n \vert + \vert v_{2n}\vert$ ,
$N'(u + v) = N(w)$ où $\forall \, n \in \mathbb{N}, \; w_n = \vert u_n + v_n\vert + \vert u_{2 n} + v_{2n} \vert$ .
$\vert w_n \vert \leq u'_n + v'_n \Rightarrow \vert w_n\vert \leq N(u') + N(v')$ , alors $N'(w)\leq N(u') + N(v')$
Donc $N'(u + v) \leq N(u') + N(v')$ soit $N'(u + v) \leq N'(u) + N'(v)$

On a prouvé que $N'$ est une norme.

Question 2 :

Dans la question 1, on a montré que $\quad \forall \, u \in E, \; N(u) \leq N'(u) \leq 2\, N(u)$ .

Soiet $\alpha$ et $\beta$ des réels strictement positifs tels que $\alpha\, N \leq N' \leq \beta\, N$ .
$\ast$ En prenant $u = (u_n)_n$ avec $u_0 = 1$ et si $n \geq 1, \; u_n = 0$ , $N(u) = 1$ et $N'(u) = 2$ , donc $N'(u)\leq \beta \, N(u) \Rightarrow 2 \leq \beta$ .

$\ast$ En prenant $u = (u_n)_n$ avec $u_{2n}= 0$ et $u_{2n +1} = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
$N(u) = 1$ .
$\forall \,n \in \mathbb{N}, \, \vert u_n \vert + \vert u_{2n} \vert \ = 0 \textrm{ ou } 1$ selon que $n$ est pair ou impair.
Donc $N'(u) = 1$ , alors $\alpha \leq 1$ .

Les coefficients optimaux sont $\alpha = 1$ et $\beta = 2$ .

Exercice 2
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
On introduit $x_1 ,\, \cdots \, ,\, x_p$ des réels 2 à 2 distincts. Soit $E = \mathbb{R}_n[\textrm X]$ .
Trouver une CNS pour que $N : E \rightarrow \mathbb{R}$ , $Q \mapsto \displaystyle \sqrt {\sum _{k = 1}^p Q(x_k)^2}$ définisse une norme sur $E$ .

Corrigé de l’exercice 2 :

$\bullet$ Si $p \leq n$ et $\displaystyle Q = \prod_{k = 1}^p (\textrm X - x_k)$ , $Q \in E$ car $\textrm{deg}(Q) = p \leq n$ et $N(Q) = 0$ avec $Q \neq 0$ ; $N$ n’est pas une norme sur $E$ .

$\bullet$ On suppose que $p > n$ .
On démontre que $N$ est une norme euclidienne.
On introduit $\varphi : E^2 \rightarrow \mathbb{R} , \; (P , \,Q) \mapsto \displaystyle \sum _{k = 1} ^p P(x_k) \, Q(x_k)$ .

$\ast$ Il est simple de prouver que pour tout $Q \in E$ , $P \mapsto \varphi (P , \,Q)$ est linéaire.
$\ast$ Par commutativité de la multiplication des réels, $\quad \textrm{si } P ,\, Q \in E,\; \varphi(P , \,Q) = \varphi(Q , \,P)$ .
$\ast$ Pour tout $P \in E$ , $\varphi (P ,\, P) \geq 0$ .
$\ast$ Si $P \in E$ vérifie $\varphi (P , \,P) = 0$ , comme somme nulle de réels positifs ou nuls, pour tout $k \in \{1 , \, \cdots\, , \, p\}, \, P(x_k) ^2 = 0$ , le polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ admet $p > n$ racines distinctes, donc $P = 0$ .

On a prouvé que $\varphi$ est un produit scalaire et donc $N$ est une norme euclidienne.

Exercice 3
Soit $N$ une norme sur $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .
Montrer qu’il existe une constante $c > 0$ telle que $\forall \, (A , B) \in E^2,\; N(A\, B) \leq c\, N(A) \,N(B)$ .

Corrigé de l’exercice 3 :

L’application $E^2 \rightarrow E$ , $(X ,\, Y) \mapsto X \,Y$ est bilinéaire donc continue puisque $E$ est de dimension finie.

L’application $\varphi : E^2 \rightarrow \mathbb{R} , \;(X , \,Y) \mapsto N(X \, Y)$ est continue par composée de fonctions continues.
$B_f(0 ,\, 1)$ est un compact de $E$ , donc $B_f(0 , 1)^2$ est un compact de $E^2$ .
La fonction $\varphi$ est bornée sur ce compact, il existe donc $c > 0$ tel que si $(X ,\, Y) \in B_f(0 , \,1)^2$ , $N(X \,Y) \leq c$ .

Soient $A$ et $B$ deux éléments non nuls de $E$ , on note $X =\frac 1 {N(A)} A$ et $Y=\frac 1 {N(B)} B$ .
$X$ et $Y$ ont une norme égale à 1, l’inégalité $N(X \,Y) \leq c\,$ s’écrit aussi par homogénéité de la norme : $\quad \quad N(A \,B) \leq\, c \, N(A) \, N(B)$ .
Cette inégalité reste vraie si $A$ ou $B$ est la matrice nulle.

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2. Limites de matrices

Exercice 4
Soit $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ vérifiant la relation $3 A^3 = A^2 + A + \textrm{I}_n$ .
Montrer que la suite $(A^n)_n$ converge vers une matrice de projection.

Corrigé de l’exercice 4 :

$\bullet$

$A$ est diagonalisable
Soit

$Q = 3 \, \textrm{X}^3 - \textrm{X} ^2 - \textrm{X} - 1$

$Q = (\textrm{X} - 1)(3\, \textrm{X}^2 + 2 \, \textrm{X} + 1)$

$Q = 3(\textrm{X} - 1)(\textrm{X} - \alpha)(\textrm{X} - \beta)$ où

$\alpha = \frac 1 3 (- 1 + \textrm{i }\sqrt{2})$ et

$\beta = \frac 1 3 (- 1 - \textrm{i }\sqrt{2})$

$Q(A) = 0$ et

$Q$ est scindé à racines simples, donc

$Q$ est diagonalisable.
Il existe une matrice

$D$ diagonale

$D = \textrm{diag}(\lambda _1 , \, \cdots \, ,\lambda _p)$ où si

$1 \leq k \leq p$ ,

$\lambda _k \in \{ 1 , \alpha \, , \,\beta\}$ et une matrice

$P$ inversible telles que

$A = P D P^{-1}$ .

$\bullet$ La suite

$(A^n)_n$ converge.
Alors

$A^n = P D^n P^{- 1}$ .
Comme

$\vert \alpha \vert = \vert \beta \vert < 1$ , les

$p$ suites

$(\lambda_k ^n)_n$ convergent, donc la suite

$(D^n)_n$ converge vers

$\Delta$ .
On note

$E = \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ , espace vectoriel de dimension finie.
Par continuité de l’endomorphisme de

$E$ ,

$M \mapsto P \, M \, P^{- 1}$ , la suite

$(A^n)_n$ converge vers

$B = P\, \Delta \, P^{-1}$ .

$\bullet$ La limite est une matrice de projection.
L’application bilinéaire définie par

$E^2 \mapsto E , \; (X , Y) \mapsto X \, Y$ est continue, donc l’application

$\psi : X \mapsto X^2$ est continue. La suite

$(A^{2n}) _n = (\psi(A^n))_n$ converge vers

$\psi(B) = B^2$ alors

$B = B^2$ , donc

$B$ est la matrice d’une projection.

Il n’y a aucun théorème sur les limites de produit de suites de vecteurs, ces produits n’étant pas définis en général.

Il faudra systématiquement faire la démonstration pour des limites de produits de matrices, en général en utilisant la continuité d’applications linéaires de la forme $M\mapsto M X$ ou $M \mapsto P M P ^{- 1}$ ou d’applications bilinéaires de la forme $(X , Y) \mapsto X\, Y$ .

Exercice 5
Soit si $n\, {\in}\, \mathbb{N}^ *$ , $M_n=\begin{pmatrix}1&-t/n\\t/n&1\end{pmatrix}$ .
Question 1
Déterminer un réel $\lambda_n$ et un réel $\theta_n$ tel que $M_n =\lambda _n\, R(\theta_n)$ où
$R(\theta )=\begin{pmatrix}\cos (\theta )&-\sin(\theta )\\ \sin (\theta )&\cos (\theta )\end{pmatrix}$ .

Question 2
En déduire la limite de la suite $\left(M_n^n\right)_{n{\geq}1}$ .

Corrigé de l’exercice 5 :

Question 1 :

On cherche un réel $\lambda _n$ et un réel $\theta_n$ tels que $1 = \lambda_n \, \cos(\theta_n)$ et $t/n =\lambda_n\, \sin(\theta_n)$ .

Il suffit de choisir $\displaystyle \lambda _n=\sqrt{1+\frac{t^2}{n^2}}$ et $\displaystyle \theta _n=\textrm {Arctan}\left(\frac t n\right)$ .
Car alors $\displaystyle \cos ^2(\theta _n)=\frac 1{1+(t/n)^2}=\frac 1{\lambda _n^2}$ , donc $\displaystyle \cos (\theta _n)=\frac 1{\lambda _n}$ car $\displaystyle \cos (\theta _n)\;>\;0$ et $\displaystyle \sin (\theta _n)= \cos (\theta _n).\tan (\theta _n)=\frac t {n \lambda _n}$ .

Question 2 :

En utilisant $(R(\theta))^n = R( n\, \theta )$ , (propriétés des matrices de rotation vues en MPSI)
$M_n^n= \lambda _n^n\;R(n\, \theta _n)$ .

$\displaystyle \ln (\lambda _n^n)\;=\;\frac n 2\ln \left(1\;+\;\frac{t^2}{n^2}\right)\underset{n\to +\infty }{\sim}\frac n 2.\frac{t^2}{n^2}$
$\displaystyle \ln(\lambda_n^n) \underset{n\to +\infty }{\sim}\frac t{2n}$ , donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\ln (\lambda _n^n)\;=\;0$ alors $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _n^n=1.$ $\displaystyle n\, \theta _n=n \textrm{Arctan}\left(\frac t n\right)\underset{n\to +\infty }{\sim }n.\frac t n\underset{n\to +\infty }{\sim }t$ , donc $\displaystyle\lim _{n\to +\infty }n\, \theta _n=t$ .
Alors $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }M_n^n\;=\begin{pmatrix}\cos (t)&-\sin (t)\\ \sin(t)&\cos (t)\end{pmatrix}$ .

On rappelle que pour déterminer la limite d’une suite de matrices, il suffit de chercher les limites de chacune des suites coordonnées.

3. Continuité des applications linéaires

Exercice 6
Soit $E = \mathbb{R}_n[\textrm{X}]$ .
Il existe $M > 0$ tel que pour tout $P \in E$ , $\quad \quad \displaystyle \left \vert \int_0^1 \textrm{e}^t \, P(t)_, \textrm{d} t \right \vert \leq M \sum _{k = 0}^n \vert P^{(k)}(k) \vert$ .

Corrigé de l’exercice 6 :

a) On démontre que $\displaystyle N : P \mapsto \sum _{k = 0}^n \vert P^{(k)}(k) \vert$ définit une norme sur $E$ .

$\ast$ $N$ est bien définie et à valeurs positives ou nulles.
$\ast$ On suppose que $N(P) = 0$ , alors pour tout $k , \;0 \leq k \leq n ,\; \vert P^{(k)}(k) \vert = 0$ comme somme nulle de réels positifs ou nuls.
Si $P$ était non nul, on pourrait noter $d$ son degré et $a_d$ son coefficient dominant, alors $P^{(d)}(d) = a_d \, d\,! \neq 0$ , on aboutit donc à une contradiction.
On en déduit que $P = 0$ .
$\ast$ L’homogénéité résulte de la sommation des relations $\quad \quad \vert (\lambda \, P)^{(k)} (k)\vert = \vert \lambda \vert \, \vert P^{(k)} (k)\vert$
$\ast$ Si $P , \, Q \in E$ , pour tout $k$ , $\quad \vert (P + Q) ^{(k)} (k)\vert \leq \, \vert P^{(k)} (k)\vert + \vert Q^{(k)} (k)\vert$ , et par sommation, on obtient l’inégalité triangulaire $N(P + Q) \leq N(P)+ N(Q)$ .

b) L’application $\varphi : E \rightarrow \mathbb{R}, \; P \mapsto \int_0^1 \textrm{e}^t \, P(t)\, \textrm{d} t$ est linéaire et $E$ est de dimension finie, elle est lipschitzienne, donc il existe $M \geq 0$ tel que $\forall \, P \, \in E , \; \vert \varphi(P) \vert \leq M \, N(P)$ , de plus $M \neq 0$ car $\varphi \neq 0$ .
On a donc justifié l’inégalité demandée.

Exercice 7
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application de $E$ dans $F$ telle que :
$\bullet$ ${\forall} \,( x, \,y )\, \in \, E ^2 , \; f(x + y) = f(x) + f(y)$
$\bullet$ $\exists \, M \, {\in} \mathbb{R}^+$ tel que
$\quad \forall \, x\, {\in}\, E, \;\Vert x\Vert \, {\leq} \, 1$ $\Rightarrow$ $\Vert f(x) \Vert_F \, {\leq}\, M$ .

Question 1
Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Question 2
En déduire que $f$ est linéaire.

Corrigé de l’exercice 7 :

Question 1 :

$\ast$ En prenant $x = y= 0$ , on obtient $f(0) = 2 f(0)$ , donc $f(0) = 0$ .
$\ast$ En prenant $y = - x$ où $x \in E$ , $0 =f(x - x) = f(x) + f(- x)$ donc $f(-x) = - f(x)$ .

$\ast$ Soit $t \, {\in}\, E$ et $t \, {\neq}\, 0$ , on note $\displaystyle u=\frac t{\Vert t \Vert_E}$ , donc $\Vert u \Vert _E= 1$ ,
$\Vert f(u) \Vert_F \, \leq \, M$ soit $\displaystyle \frac{\Vert f(t) \Vert_F}{\Vert t \Vert_E}\;\le \;M$ donc $\Vert f(t)\Vert _F\;\leq \;M\;\Vert t \Vert_E$ .(*)
L’inégalité reste vraie si $t = 0$ .

Puis si $x,\; y$ sont dans $E$ , $f(x - y) = f(x + (- y))= f(x) + f(-y)$ $f(x - y) = f(x) - f(y)$ .
En utilisant l’inégalité (*) en $x - y$ :
$\Vert f(x) - f(y) \Vert_F \;\leq \;M\;\Vert x - y \Vert_E\,$ .
$f$ est $M$ -lipschitzienne.

Question 2 :

$\ast$ Par récurrence, on démontre que $\forall \,x \, {\in}\, E, \; \forall \, n \, {\in}\, \mathbb{N} ,\; f(n x) = n f(x)$ .
$\ast$ Comme $f$ est impaire, pour tout $n \, {\in}\, \mathbb{Z}$ et $x \, \in \, E$ , $f(n x) = n f(x)$ .

$\ast$ Soit $r \, {\in}\, \mathbb{Q}$ , on note $r = n / p$ avec $n \, {\in}\, \mathbb{Z}$ et $p\, {\in}\, \mathbb{N}^*$ , soit $x\, {\in}\, E$ , $y = r x = n x / p$ .
$f(p \,y) = f(n\, x)$ donc $p\, f(y) = n\, f(x)$ soit $f(r\, x) = r\, f(x)$ .

$\ast$ Soit $\lambda\, {\in}\, \mathbb{R}$ , il existe une suite $(r_n)_n$ de rationnels qui converge vers $\lambda$ , pour tout $x \, {\in} \, E$ , $f(r _n \, x ) = r_n \, f(x)$ .
Comme $f$ est continue, par caractérisation séquentielle de la continuité, on obtient : $f (\lambda\, x) = \lambda\, f(x).$

On a donc prouvé que $f$ est linéaire.

Exercice 8
Soit $E = \mathcal{C}([0 , 1], \mathbb{R} )$ muni de la norme de la convergence en moyenne.
Soit $u : E \rightarrow \mathbb{R}$ , $f\mapsto g$ où $g$ est la primitive de $f$ nulle en $0$ .

Question 1
$u$ est continue de $(E , \Vert \textrm { . } \Vert _1)$ dans $(E , \Vert \textrm { . } \Vert _1)$ ?

Question 2
Déterminer : $\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_{\Vert f \Vert _1 \, \leq \, 1 } \Vert u (f) \Vert _1$ .

Corrigé de l’exercice 8 :

Question 1 :

Pour tout $x\, {\in}\, [0 , 1]$ , $g(x)=\int _0^xf(t)\textrm{d}\, t$ , donc $\left|g(x)\right|\;\le \;\int _0^x\left|f(t)\right|\textrm{d}\, t\;\le \;\int _0^1\left|f(t)\right|\textrm{d}\, t$

puis par intégration, $\Vert g\Vert_1\;\leq \;\int _0^1\Vert f \Vert_1\textrm{d}\, t$ soit $\Vert g\Vert_1 \;\le \;\Vert f\Vert_1$ ou $\Vert u(f)\Vert_1 \;\le \;\Vert f \Vert_1$ , alors si $f , \, h\, \in \, E$ , $\Vert u(f) - u(h) \Vert _ 1 \leq \Vert f - h \Vert _1$ ce qui prouve la continuité de l’application linéaire $u$ .

$\ast$ On vient de montrer que 1 est un majorant de $\{ \Vert u (f) \Vert_1 \, / \, \Vert f \Vert_1 \, \leq 1 \}$ donc $\vert \vert \vert u\vert \vert \vert \, \leq \, 1$ .

$\ast$ $f_n : x \mapsto n \, \textrm{e} ^{-n\, x}$ est continue et positive, donc $\Vert f_n \Vert_1 = \int _0^1n\operatorname{e}^{-n\, t}\textrm{d}\, t = \left[-\operatorname{e}^{-n\, t}\right]_0^1$
$\Vert f_n\Vert _1 =1 - \operatorname{e}^{-n}\;\leq\;1$ .
$g_n=u(f_n)$ est définie pour $x \, \in \, [0 , 1]$ par $g_n(x)= 1-\operatorname{e}^{-n\, x}$
$\displaystyle \Vert g_n \Vert_1= \int _0^1\left(1-\operatorname{e}^{-n\, t}\right)\textrm{d} \, t=\left[t+\frac 1 n\operatorname{e}^{-n\, t}\right]_0^1$ $\displaystyle \Vert g_n \Vert _1 = 1-\frac{1-\operatorname{e}^{-n}} n$
Comme $\Vert g_n\Vert_1\;\leq \; \vert \vert \vert u \vert \vert \vert$ , en passant à la limite, on obtient $1\;\leq \; \vert \vert \vert u \vert \vert \vert$ .

Par double inégalité, $\vert \vert \vert u \vert \vert \vert = 1$ .

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4. Ouverts et fermés

Exercice 9
Soit $E = \mathbb{R}_n [\textrm {X}]$ et $\Omega$ l’ensemble des $P \in E$ tels que $P$ prend au moins une fois une valeur strictement négative.
Montrer que $\Omega$ est un ouvert de $E$ .

Corrigé de l’exercice 9 :

On remarque que $\quad \quad \Omega = \{P \in E\, /\, \exists \,a \in \mathbb{R}, \; P(a) < 0\}$ .
Si $a$ est fixé dans $\mathbb{R}$ , l’application $u_a : E \rightarrow \mathbb{R }$ , $P \mapsto P(a)$ est une forme linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie, elle est donc continue.
$\Omega_a = \{P \in E \, / \, u_a(P) < 0\}$ est un ouvert comme image réciproque de l’ouvert $]- \infty , 0[$ par $u_a\,$ .
$\displaystyle \Omega = \bigcup _{a \in \mathbb{R}} \Omega _a$ est un ouvert comme réunion d’ouverts.

Exercice 10
Soit $(u_n)_n$ une suite de réels strictement croissante.
On note $E = \{u_n \, / \, n \in \mathbb{N} \}$ .
Montrer que $E$ est un fermé de $\mathbb{R}$ ssi $\displaystyle\lim _ {n \to \infty} u_n = +\infty$ .

Corrigé de l’exercice 10 :

$\bullet$ Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $L$ , comme la suite est strictement croissante, pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n < L$ . Le vecteur $L$ est adhérent à $E$ , car la suite $(u_n)_n$ est une suite de $E$ qui converge vers $L$ et $L \notin E$ , donc $E$ n’est pas fermé.

$\bullet$ On suppose que $\displaystyle\lim _ {n \to \infty} u_n = +\infty$ , $\displaystyle \textrm{C} _{\mathbb{R}} E\, =\, ] - \infty , \, u_0[ \; \cup\; \left ( \bigcup_{n = 0}^ {+\infty}\; ] u_n , \, u_{n + 1}[ \right )$ est une réunion d’ouverts, donc est un ouvert, alors $E$ est un fermé.

Exercice 11
Soit $(E ,\, N)$ un evn.
Question 1
Si $A$ est un ouvert non vide et $B$ une partie non vide de $E$ ,
$A + B = \{ a + b \: / \; a\, {\in}A \textrm{ et } b\, {\in}\, B\}$ est un ouvert de $E$ .

Question 2
Soit $F$ un fermé et $K$ un compact. Montrer que $F + K = \{x + y\, /\, x\, {\in}F, \; z\, \in K\}$ est fermé.

Question 3
Soit $\displaystyle F =\left \{ - n + \frac 1 n \, / \, n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \right \}$ et $K = \mathbb{N}^*$ .
$F$ et $K$ sont deux fermés de $\mathbb{R}$ tels que $F + K$ n’est pas fermé ?

Question 4
Soit $K$ un compact de $E$ tel que $0 \, {\notin}\, K$ .
Montrer que $K' =\{\lambda \, x\, / \, \lambda \, {\in}\, \mathbb{R}^*, \; x \, {\in}\, K \}$ est fermé.

Corrigé de l’exercice 11 :

Question 1

Soit $z = a + b \, {\in}\, A + B$ , comme $A$ est un ouvert contenant $a$ , il existe $\varepsilon > 0$ tel que $B_{o}(a ,\, \varepsilon ) \, {\subset}\, A$ .
Pour tout $u \, {\in}\, B_{o}(z , \, \varepsilon )$ , alors $\quad \quad N ((u -b) - a) = N(u - z) < \varepsilon, \quad$ donc $a' = u -b \, {\in}\, A$ et on a écrit
$u = a' + b$ avec $a'\, \in \, A$ et $b\, {\in}\, B$ ce qui prouve que $u \, {\in}\, A + B$ .

On a donc montré que $B_{o}(z , \, \varepsilon ) \, {\subset}\, A + B$ .
$A + B$ est un ouvert de $E$ .

Question 2 :

On introduit une suite $(z_n)_n$ de $F + K$ qui converge vers $z$ dans $E$ . On écrit pour tout $n \, {\in}\, \mathbb{N}$ , $z_n = x_n + y_n$ avec $x_n \, {\in}\, F$ et $y_n \in K$ .
$(y_n)_n$ est une suite du compact $K$ , il existe une suite extraite $(y_{\varphi(n)})_n$ qui converge vers $y\, {\in}\, K$ .
Alors $x_{\varphi(n)} = z_{\varphi(n)} - y_{\varphi(n)} \, {\in}\, F$ et $\displaystyle\lim _{n\to +\infty }x_{\varphi(n)}= z - y$ .

Comme $F$ est un fermé, $z - y \, {\in}\, F$ , donc $z = (z - y) + y$ avec $z - y \, {\in}\, F$ et $y\, {\in}\, K$ , alors $F + K$ est un fermé par caractérisation séquentielle des fermés.

Question 3 :

$\bullet$

$\displaystyle \textrm{C} \, K \; =\; ]- \infty ,\, 1[\, \cup \, \bigcup_{n = 1}^{+\infty}\; ]n ,\, n + 1[$ est une réunion d’ouverts, donc est un ouvert.
Alors

$K$ est un fermé.

$\bullet$ Soit

$(u_n)_n$ une suite strictement décroissante de limite égale à

$-{\infty}$ ,
On démontre que

$A = \{ u_n \; /\, n \, {\in} \, \mathbb{N}\}$ est un fermé en écrivant

$\displaystyle \textrm{C} \, A= \left( \bigcup_{n = 1}^{+\infty}\; ]u_{n +1},\, u_{ n}[ \right ) \; \cup \; ] u_0 , \, + \infty[$ puisque pour tout

$x < u_0$ , il existe un et un seul

$n$ tel que

$x\, {\in}\, ]u_{n + 1} , \, u_n[$ .
On applique ce résultat à la suite définie pour

$n \, {\geq}\, 2$ par

$u_n = - n + 1/n$ qui diverge vers

$- \infty$ après avoir vérifié qu’elle est strictement décroissante :
il suffit de remarquer que

$u_n = f(n)$ où

$f : x \mapsto -x + 1/x$ est strictement décroissante (

$f'(x) < 0$ ) sur

$]1 , +\infty[$ .
Donc

$F$ est un fermé.

$\bullet$

$F + K$ contient la suite

$(1/n)_{n \geq 2}$ qui converge vers

$0$ .
On démontre que

$0\, {\notin}\, F + K.$
Si

$n \, {\in}\, \mathbb{N}$ et

$n \, {\geq}\, 2$ et

$p\, {\in} \, \mathbb{N}^*$ ,

$\displaystyle - n + \frac 1 n + p =0$

$\Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac 1 n=n-p$ est impossible car

$n -p\, {\in}\, \mathbb{Z}$ et

$1/n \, {\notin}\, \textrm{ Z}$ .
Donc

$F + K$ n’est pas un fermé.

Question 4 :

Soit pour tout $n\, {\in}\, \mathbb{N}$ , $z_n = \lambda _ n \, y_n$ où $\lambda_n \in \mathbb{R}^*$ et $y_n \, \in K$ .
On suppose que $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _n\, y_n = z$ .
$(y_n)_n$ est une suite du compact $K$ , il existe une suite extraite $(y_{\varphi(n)})_n$ qui converge vers $y \, \in \, K$ , $y \, {\neq} \, 0$ car $0 \notin K$ .
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left|\lambda _{\varphi (n)}\right| \; \Vert y_{\varphi (n)}\Vert = \Vert z \Vert$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\Vert y_{\varphi (n)}\Vert =\Vert y \Vert \;>\;0$ donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left|\lambda _{\varphi (n)}\right|\;=\;\frac{\Vert z\Vert}{\Vert y \Vert }$ .

La suite $(\lambda _{\varphi(n)})_n$ est une suite de réels bornée, elle admet une suite extraite $(\lambda_{\varphi(\psi (n) )})_n$ qui converge vers $\mu$ .
Alors $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _{\varphi(\psi (n)) }\;y_{\varphi(\psi (n) )} =z$
donne $\mu\, y = z$ , comme $z \, \neq \, 0$ , $\mu \, {\in} \, \mathbb{R}^*$ , donc $z\, \in \, K'$ .
On a établi que $K'$ est un fermé.

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5. Continuité et topologie.

Exercice 12
Soient $(E , N)$ et $(F , N')$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application de $E$ dans $F$ .
$f$ est continue de $E$ dans $F$ $\Leftrightarrow$ pour tout $A \, \subset \, E$ , $f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}$ .

Corrigé de l’exercice 12 :

$\bullet$ On suppose que $f$ est continue de $E$ dans $F$ .
Soit $A$ une partie non vide de $E$ (sinon l’inclusion est évidente).
Si $b\,\in \,f\left(\overline A\right),$ il existe $a\;\in \;\overline A$ tel que $f(a) = b$ .
Soit $(u_n)_n$ une suite de $A$ telle que $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_n = a.$
Par continuité de $f$ , $\displaystyle f(a)\;=\;\lim _{n\to +\infty }f(u_n)$ , donc $b$ est la limite de la suite $(f(u_n))_n$ de points de $f(A)$ et $b\,\in \,\overline{f(A)}$ .
On a prouvé que pour tout $A \, {\subset}\, E$ , $f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}$ .

$\bullet$ On suppose que pour tout $A \, {\subset}\, E$ , $f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}$ .
Soit $a\, {\in}\, E$ . Soit $(u_n)_n$ une suite de $E$ qui converge vers $a$ .
On raisonne par l’absurde et on suppose que la suite $(f(u_n))_n$ ne converge pas vers $f(a)$ .
Il existe donc $\varepsilon _0 > 0$ tel que pour tout $k \in \mathbb{N}$ , il existe $n_k > k$ tel que $N(f(u_{n_k}) - f(a)) > \varepsilon_0$ ; on construit ainsi une suite extraite $(f(u_{\varphi(n)})_n$ telle que $N( f(u_{\varphi (n)} - f(a)) > \varepsilon_0$ .
On note $A = \{ u_{\varphi (n)} \, / \, n\, \in \mathbb{N} \}$ , $a$ est un point adhérent à $A$ .
$f(a)\;\in \;f\left(\overline A\right)$ implique $f(a)\;\in \;\overline{f(A)}$ .
Comme $f(A )= \{ f(u_{\varphi (n)}) \, / \, n\, \in \mathbb{N} \}$ , pour le réel $\varepsilon_0\,$ , $B_o(f(a) , \varepsilon_0 )$ rencontre $f(A)$ ce qui contredit la construction de la suite $(f(u_{\varphi (n)}))_n$ .
On en déduit que la suite $(f(u_n))_n$ converge vers $f(a)$ .
$f$ est donc continue en $a$ .

Exercice 13
Soit $(E , N)$ un espace vectoriel normé.
Question 1
Soient $A$ et $B$ deux parties compactes non vides de $E$ .
Montrer qu’il existe $a \, {\in}\, A$ et $b\, {\in}\, B$ tels que $\displaystyle N(a - b) = \min_{x\in A , \, y \in B} N(x - y)$ .

Question 2
On suppose que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que le résultat précédent est valable si l’on suppose seulement $A$ compact et $B$ fermé non vides.

Corrigé de l’exercice 13 :

Question 1 :

On considère l’application $\quad \quad f : E \times E \rightarrow E , \; (x ,\, y) \mapsto x - y$

On utilise la norme $N'$ sur $E^2$ définie par : $N'(x, \,y ) = \max \{ N(x) ,\, N(y)\}$ ; $f$ est une application linéaire de $(E^2, \, N')$ dans $(E ,\, N)$ vérifiant : $\forall\, (x, \,y) \in E^2$ , $N( f(x , \,y)) \, {\leq}\, N(x) + N(y) \, {\leq}\, 2 \,N'(x, \,y)$ .
En utilisant la linéarité de $f$ , on en déduit que $f$ est lipschitizienne donc continue.

On en déduit que $\quad \quad g : E ^2 \rightarrow \mathbb{R} , \; (x, \,y) \mapsto N(x - y)\quad \quad$ est continue.
$A \times B$ est une partie compacte de $(E^2, \,N')$ , donc $g$ admet un minimum sur $A \times B$ , il existe donc $(a,\, b) \in \ A \times B$ tel que $\displaystyle N(a - b) = \min_{x\in A ,\, y \in B} N(x - y)$ .

Question 2 :

$\bullet$

$\{ N(x - y ) \, /\, x \in A , \,y \in B \}$ est une partie non vide de

$\mathbb{R}$ , minorée par 0, elle admet donc une borne inférieure

$m$ .

$\bullet$ Par caractérisation de la borne inférieure, pour tout

$n \, \in\, \mathbb{N}^*$ , il existe

$a_n \in A$ et

$b_n \in B$ tels que

$\quad \quad m \leq N(a_n - b_n )\leq m + 1/n$ .
La suite

$(a_n)_n$ est une suite de la partie compacte

$A$ , il existe une suite extraite

$(a _{\varphi(n)})_n$ qui converge vers

$a\, \in\, A$ .

$\bullet$ La suite

$(a_ {\varphi(n) } - a )_n$ est une suite convergente donc bornée.
Soit

$M > 0$ tel que pour tout

$n \in \mathbb{N}^*$ ,

$N(a_{\varphi(n) } - a) \leq M$ .
Pour tout

$n \in \mathbb{N}^*$ ,

$N(b_{\varphi(n) } - a) \leq N(b_{\varphi(n) } - a_{\varphi(n) })$

$+ N(a_{\varphi(n) } - a) \leq m + 1 + M$
La suite

$(b_{\varphi(n) })_n$ est une suite bornée d’un espace vectoriel de dimension finie, il existe une suite extraite

$(b_{\varphi(\psi (n) )})_n$ qui converge vers

$b$ . Comme c’est une suite convergente du fermé

$B$ , elle converge vers

$b \in B$ .
On note

$\theta = \varphi \circ \psi$ .
La suite

$(a_{\theta(n) })_n$ , extraite de la suite convergente

$(a_ {\varphi(n) } )_n\,$ , converge vers

$a$ .

$\bullet$ Puis en passant à la limite dans l’inégalité

$\quad\displaystyle m\; \le \; N(a_{\theta(n) }-b_{\theta (n)})\, \; \leq\; \frac 1{\theta (n)}+m$ , on obtient

$m \leq N(a - b) \leq m$ .

Donc

$m$ est un minimum.

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