Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Espaces vectoriels normés en MP, PC, PSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Exercices et corrigés sur les espaces vectoriels normés et topologie
1. Sur les normes
Exercice 1
Soit l’ensemble des suites réelles bornées.
On rappelle que définit une norme sur .
On définit .
Question 1
Montrer que est une norme sur .
Question 2
Montrer que et sont équivalentes et donner les valeurs optimales de et telles que .
Corrigé de l’exercice 1 :
Question 1 :
On sait que est une norme sur .
On remarquera l’utilisation de la norme et de ses propriétés qui évite les démonstrations « pénibles » sur les sup pour la norme .
est défini car l’ensemble est borné et , donc .
De plus, en utilisant ,
on en déduit que .
Séparation.
Si , comme , ; étant une norme, .
Homogénéité.
Soit et .
Soit où ,
.
Inégalité triangulaire. Soit .
On note où pour tout ,
et ,
où .
, alors
Donc soit
On a prouvé que est une norme.
Question 2 :
Dans la question 1, on a montré que .
Soiet et des réels strictement positifs tels que .
En prenant avec et si , et , donc .
En prenant avec et pour tout .
.
selon que est pair ou impair.
Donc , alors .
Les coefficients optimaux sont et .
Exercice 2
Soit et deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
On introduit des réels 2 à 2 distincts. Soit .
Trouver une CNS pour que , définisse une norme sur .
Corrigé de l’exercice 2 :
Si et , car et avec ; n’est pas une norme sur .
On suppose que .
On démontre que est une norme euclidienne.
On introduit .
Il est simple de prouver que pour tout , est linéaire.
Par commutativité de la multiplication des réels, .
Pour tout , .
Si vérifie , comme somme nulle de réels positifs ou nuls, pour tout , le polynôme de degré inférieur ou égal à admet racines distinctes, donc .
On a prouvé que est un produit scalaire et donc est une norme euclidienne.
Exercice 3
Soit une norme sur .
Montrer qu’il existe une constante telle que .
Corrigé de l’exercice 3 :
L’application , est bilinéaire donc continue puisque est de dimension finie.
L’application est continue par composée de fonctions continues.
est un compact de , donc est un compact de .
La fonction est bornée sur ce compact, il existe donc tel que si , .
Soient et deux éléments non nuls de , on note et .
et ont une norme égale à 1, l’inégalité s’écrit aussi par homogénéité de la norme : .
Cette inégalité reste vraie si ou est la matrice nulle.
COURS DE MATHS
Les meilleurs professeurs particuliers
Pour progresser et réussir
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
2. Limites de matrices
Exercice 4
Soit vérifiant la relation .
Montrer que la suite converge vers une matrice de projection.
Corrigé de l’exercice 4 :
Soit où et
et est scindé à racines simples, donc est diagonalisable.
Il existe une matrice diagonale où si , et une matrice inversible telles que .
Alors .
Comme , les suites convergent, donc la suite converge vers .
On note , espace vectoriel de dimension finie.
Par continuité de l’endomorphisme de , , la suite converge vers . La limite est une matrice de projection.
L’application bilinéaire définie par est continue, donc l’application est continue. La suite converge vers alors , donc est la matrice d’une projection.
⚠️ Il n’y a aucun théorème sur les limites de produit de suites de vecteurs, ces produits n’étant pas définis en général.
👍 Il faudra systématiquement faire la démonstration pour des limites de produits de matrices, en général en utilisant la continuité d’applications linéaires de la forme ou ou d’applications bilinéaires de la forme .
Exercice 5
Soit si , .
Question 1
Déterminer un réel et un réel tel que où
.
Question 2
En déduire la limite de la suite .
Corrigé de l’exercice 5 :
Question 1 :
On cherche un réel et un réel tels que et .
Il suffit de choisir et .
Car alors , donc car et .
Question 2 :
En utilisant , (propriétés des matrices de rotation vues en MPSI)
.
, donc alors , donc .
Alors .
On rappelle que pour déterminer la limite d’une suite de matrices, il suffit de chercher les limites de chacune des suites coordonnées.
3. Continuité des applications linéaires
Exercice 6
Soit .
Il existe tel que pour tout , .
Corrigé de l’exercice 6 :
a) On démontre que définit une norme sur .
est bien définie et à valeurs positives ou nulles.
On suppose que , alors pour tout comme somme nulle de réels positifs ou nuls.
Si était non nul, on pourrait noter son degré et son coefficient dominant, alors , on aboutit donc à une contradiction.
On en déduit que .
L’homogénéité résulte de la sommation des relations
Si , pour tout , , et par sommation, on obtient l’inégalité triangulaire .
b) L’application est linéaire et est de dimension finie, elle est lipschitzienne, donc il existe tel que , de plus car .
On a donc justifié l’inégalité demandée.
Exercice 7
Soient et deux espaces vectoriels normés et une application de dans telle que :
tel que
.
Question 1
Montrer que est lipschitzienne.
Question 2
En déduire que est linéaire.
Corrigé de l’exercice 7 :
Question 1 :
En prenant , on obtient , donc .
En prenant où , donc .
Soit et , on note , donc ,
soit donc .(*)
L’inégalité reste vraie si .
Puis si sont dans , .
En utilisant l’inégalité (*) en :
.
est -lipschitzienne.
Question 2 :
Par récurrence, on démontre que .
Comme est impaire, pour tout et , .
Soit , on note avec et , soit , .
donc soit .
Soit , il existe une suite de rationnels qui converge vers , pour tout , .
Comme est continue, par caractérisation séquentielle de la continuité, on obtient :
On a donc prouvé que est linéaire.
Exercice 8
Soit muni de la norme de la convergence en moyenne.
Soit , où est la primitive de nulle en .
Question 1
est continue de dans ?
Question 2
Déterminer : .
Corrigé de l’exercice 8 :
Question 1 :
Pour tout , , donc
puis par intégration, soit ou , alors si , ce qui prouve la continuité de l’application linéaire .
On vient de montrer que 1 est un majorant de donc .
est continue et positive, donc
.
est définie pour par
Comme , en passant à la limite, on obtient .
Par double inégalité, .
Des révisions régulières sont essentielles pour réussir en Maths Spé, et bien sûr réussir les concours post-prépa. Les cours en ligne de Maths en MP, les cours en ligne de Maths en PC et les cours en ligne de PSI en Maths sont réalisés spécialement pour aider et accompagner les étudiants dans leur réussite.
4. Ouverts et fermés
Exercice 9
Soit et l’ensemble des tels que prend au moins une fois une valeur strictement négative.
Montrer que est un ouvert de .
Corrigé de l’exercice 9 :
On remarque que .
Si est fixé dans , l’application , est une forme linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie, elle est donc continue.
est un ouvert comme image réciproque de l’ouvert par .
est un ouvert comme réunion d’ouverts.
Exercice 10
Soit une suite de réels strictement croissante.
On note .
Montrer que est un fermé de ssi .
Corrigé de l’exercice 10 :
Si la suite converge vers , comme la suite est strictement croissante, pour tout . Le vecteur est adhérent à , car la suite est une suite de qui converge vers et , donc n’est pas fermé.
On suppose que , est une réunion d’ouverts, donc est un ouvert, alors est un fermé.
Exercice 11
Soit un evn.
Question 1
Si est un ouvert non vide et une partie non vide de ,
est un ouvert de .
Question 2
Soit un fermé et un compact. Montrer que est fermé.
Question 3
Soit et .
et sont deux fermés de tels que n’est pas fermé ?
Question 4
Soit un compact de tel que .
Montrer que est fermé.
Corrigé de l’exercice 11 :
Question 1
Soit , comme est un ouvert contenant , il existe tel que .
Pour tout , alors donc et on a écrit
avec et ce qui prouve que .
On a donc montré que .
est un ouvert de .
Question 2 :
On introduit une suite de qui converge vers dans . On écrit pour tout , avec et .
est une suite du compact , il existe une suite extraite qui converge vers .
Alors et .
Comme est un fermé, , donc avec et , alors est un fermé par caractérisation séquentielle des fermés.
Question 3 :
Alors est un fermé. Soit une suite strictement décroissante de limite égale à ,
On démontre que est un fermé en écrivant puisque pour tout , il existe un et un seul tel que .
On applique ce résultat à la suite définie pour par qui diverge vers après avoir vérifié qu’elle est strictement décroissante :
il suffit de remarquer que où est strictement décroissante () sur .
Donc est un fermé. contient la suite qui converge vers .
On démontre que
Si et et , est impossible car et .
Donc n’est pas un fermé.
Question 4 :
Soit pour tout , où et .
On suppose que .
est une suite du compact , il existe une suite extraite qui converge vers , car .
et donc .
La suite est une suite de réels bornée, elle admet une suite extraite qui converge vers .
Alors
donne , comme , , donc .
On a établi que est un fermé.
COURS PARTICULIERS EN LIGNE
Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.
POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
5. Continuité et topologie.
Exercice 12
Soient et deux espaces vectoriels normés et une application de dans .
est continue de dans pour tout , .
Corrigé de l’exercice 12 :
On suppose que est continue de dans .
Soit une partie non vide de (sinon l’inclusion est évidente).
Si il existe tel que .
Soit une suite de telle que
Par continuité de , , donc est la limite de la suite de points de et .
On a prouvé que pour tout , .
On suppose que pour tout , .
Soit . Soit une suite de qui converge vers .
On raisonne par l’absurde et on suppose que la suite ne converge pas vers .
Il existe donc tel que pour tout , il existe tel que ; on construit ainsi une suite extraite telle que .
On note , est un point adhérent à .
implique .
Comme , pour le réel , rencontre ce qui contredit la construction de la suite .
On en déduit que la suite converge vers .
est donc continue en .
Exercice 13
Soit un espace vectoriel normé.
Question 1
Soient et deux parties compactes non vides de .
Montrer qu’il existe et tels que .
Question 2
On suppose que est un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que le résultat précédent est valable si l’on suppose seulement compact et fermé non vides.
Corrigé de l’exercice 13 :
Question 1 :
On considère l’application
On utilise la norme sur définie par : ; est une application linéaire de dans vérifiant : , .
En utilisant la linéarité de, on en déduit que est lipschitizienne donc continue.
On en déduit que est continue.
est une partie compacte de , donc admet un minimum sur , il existe donc tel que .
Question 2 :
Par caractérisation de la borne inférieure, pour tout , il existe et tels que .
La suite est une suite de la partie compacte , il existe une suite extraite qui converge vers .
La suite est une suite convergente donc bornée.
Soit tel que pour tout , .
Pour tout ,
La suite est une suite bornée d’un espace vectoriel de dimension finie, il existe une suite extraite qui converge vers . Comme c’est une suite convergente du fermé , elle converge vers .
On note .
La suite , extraite de la suite convergente , converge vers .
Puis en passant à la limite dans l’inégalité
, on obtient .