Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

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Espaces vectoriels normés en MP, PC, PSI

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés sur les espaces vectoriels normés et topologie

1. Sur les normes

Exercice 1
Soit $E$ l’ensemble des suites réelles bornées.
On rappelle que $E \rightarrow \mathbb{R} , u = (u_n)_n \mapsto \displaystyle N(u) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \vert u_n\vert$ définit une norme sur $E$ .
On définit $\displaystyle N'(u) = \sup_{n \in \mathbb{N}} (\vert u_n\vert + \vert u_{2n} \vert)$ .

Question 1
Montrer que $N'$ est une norme sur $E$ .

Question 2
Montrer que $N$ et $N'$ sont équivalentes et donner les valeurs optimales de $\alpha$ et $\beta$ telles que $\alpha \, N \leq N' \leq \beta \, N$ .

Corrigé de l’exercice 1 :

Question 1 :

On sait que $N$ est une norme sur $E$ .
On remarquera l’utilisation de la norme $N$ et de ses propriétés qui évite les démonstrations « pénibles » sur les sup pour la norme $N'$ .

$\ast$ $N'(u)$ est défini car l’ensemble $\{\vert u_n \vert + \vert u_{2n} \vert \, /\, n \in \mathbb{N }\}$ est borné et $\forall \, n \in \mathbb{N }, \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert \leq 2 N(u)$ , donc $N'(u) \leq 2 N(u)$ .
De plus, en utilisant $\quad \forall \, n \in \mathbb{N }, \vert u_n \vert \leq \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert \leq N'(u)$ ,
on en déduit que $N(u) \leq N'(u)$ .

$\ast$ Séparation.
Si $N'(u) = 0$ , comme $0 \leq N(u) \leq N'(u)$ , $N(u) = 0$ ; $N$ étant une norme, $u = 0$ .

$\ast$ Homogénéité.
Soit $u \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ .
Soit $u' \in E$ où $\forall \, n \in \mathbb{N }, \; u'_n = \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert$ ,
$N'(\lambda \, u) = N(\lambda u') = \vert \lambda \vert N(u') = \vert \lambda \vert N'(u)$ .

$\ast$ Inégalité triangulaire. Soit $u , v \in E$ .
On note $u' , v' \in E$ où pour tout $n \in \mathbb{N }$ ,
$u'_n = \vert u_n \vert + \vert u_{2n}\vert$ et $v'_n = \vert v_n \vert + \vert v_{2n}\vert$ ,
$N'(u + v) = N(w)$ où $\forall \, n \in \mathbb{N}, \; w_n = \vert u_n + v_n\vert + \vert u_{2 n} + v_{2n} \vert$ .
$\vert w_n \vert \leq u'_n + v'_n \Rightarrow \vert w_n\vert \leq N(u') + N(v')$ , alors $N'(w)\leq N(u') + N(v')$
Donc $N'(u + v) \leq N(u') + N(v')$ soit $N'(u + v) \leq N'(u) + N'(v)$

On a prouvé que $N'$ est une norme.

Question 2 :

Dans la question 1, on a montré que $\quad \forall \, u \in E, \; N(u) \leq N'(u) \leq 2\, N(u)$ .

Soiet $\alpha$ et $\beta$ des réels strictement positifs tels que $\alpha\, N \leq N' \leq \beta\, N$ .
$\ast$ En prenant $u = (u_n)_n$ avec $u_0 = 1$ et si $n \geq 1, \; u_n = 0$ , $N(u) = 1$ et $N'(u) = 2$ , donc $N'(u)\leq \beta \, N(u) \Rightarrow 2 \leq \beta$ .

$\ast$ En prenant $u = (u_n)_n$ avec $u_{2n}= 0$ et $u_{2n +1} = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
$N(u) = 1$ .
$\forall \,n \in \mathbb{N}, \, \vert u_n \vert + \vert u_{2n} \vert \ = 0 \textrm{ ou } 1$ selon que $n$ est pair ou impair.
Donc $N'(u) = 1$ , alors $\alpha \leq 1$ .

Les coefficients optimaux sont $\alpha = 1$ et $\beta = 2$ .

Exercice 2
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
On introduit $x_1 ,\, \cdots \, ,\, x_p$ des réels 2 à 2 distincts. Soit $E = \mathbb{R}_n[\textrm X]$ .
Trouver une CNS pour que $N : E \rightarrow \mathbb{R}$ , $Q \mapsto \displaystyle \sqrt {\sum _{k = 1}^p Q(x_k)^2}$ définisse une norme sur $E$ .

Corrigé de l’exercice 2 :

$\bullet$ Si $p \leq n$ et $\displaystyle Q = \prod_{k = 1}^p (\textrm X - x_k)$ , $Q \in E$ car $\textrm{deg}(Q) = p \leq n$ et $N(Q) = 0$ avec $Q \neq 0$ ; $N$ n’est pas une norme sur $E$ .

$\bullet$ On suppose que $p > n$ .
On démontre que $N$ est une norme euclidienne.
On introduit $\varphi : E^2 \rightarrow \mathbb{R} , \; (P , \,Q) \mapsto \displaystyle \sum _{k = 1} ^p P(x_k) \, Q(x_k)$ .

$\ast$ Il est simple de prouver que pour tout $Q \in E$ , $P \mapsto \varphi (P , \,Q)$ est linéaire.
$\ast$ Par commutativité de la multiplication des réels, $\quad \textrm{si } P ,\, Q \in E,\; \varphi(P , \,Q) = \varphi(Q , \,P)$ .
$\ast$ Pour tout $P \in E$ , $\varphi (P ,\, P) \geq 0$ .
$\ast$ Si $P \in E$ vérifie $\varphi (P , \,P) = 0$ , comme somme nulle de réels positifs ou nuls, pour tout $k \in \{1 , \, \cdots\, , \, p\}, \, P(x_k) ^2 = 0$ , le polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ admet $p > n$ racines distinctes, donc $P = 0$ .

On a prouvé que $\varphi$ est un produit scalaire et donc $N$ est une norme euclidienne.

Exercice 3
Soit $N$ une norme sur $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .
Montrer qu’il existe une constante $c > 0$ telle que $\forall \, (A , B) \in E^2,\; N(A\, B) \leq c\, N(A) \,N(B)$ .

Corrigé de l’exercice 3 :

L’application $E^2 \rightarrow E$ , $(X ,\, Y) \mapsto X \,Y$ est bilinéaire donc continue puisque $E$ est de dimension finie.

L’application $\varphi : E^2 \rightarrow \mathbb{R} , \;(X , \,Y) \mapsto N(X \, Y)$ est continue par composée de fonctions continues.
$B_f(0 ,\, 1)$ est un compact de $E$ , donc $B_f(0 , 1)^2$ est un compact de $E^2$ .
La fonction $\varphi$ est bornée sur ce compact, il existe donc $c > 0$ tel que si $(X ,\, Y) \in B_f(0 , \,1)^2$ , $N(X \,Y) \leq c$ .

Soient $A$ et $B$ deux éléments non nuls de $E$ , on note $X =\frac 1 {N(A)} A$ et $Y=\frac 1 {N(B)} B$ .
$X$ et $Y$ ont une norme égale à 1, l’inégalité $N(X \,Y) \leq c\,$ s’écrit aussi par homogénéité de la norme : $\quad \quad N(A \,B) \leq\, c \, N(A) \, N(B)$ .
Cette inégalité reste vraie si $A$ ou $B$ est la matrice nulle.

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2. Limites de matrices

Exercice 4
Soit $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ vérifiant la relation $3 A^3 = A^2 + A + \textrm{I}_n$ .
Montrer que la suite $(A^n)_n$ converge vers une matrice de projection.

Corrigé de l’exercice 4 :

$\bullet$

$A$ est diagonalisable
Soit

$Q = 3 \, \textrm{X}^3 - \textrm{X} ^2 - \textrm{X} - 1$

$Q = (\textrm{X} - 1)(3\, \textrm{X}^2 + 2 \, \textrm{X} + 1)$

$Q = 3(\textrm{X} - 1)(\textrm{X} - \alpha)(\textrm{X} - \beta)$ où

$\alpha = \frac 1 3 (- 1 + \textrm{i }\sqrt{2})$ et

$\beta = \frac 1 3 (- 1 - \textrm{i }\sqrt{2})$

$Q(A) = 0$ et

$Q$ est scindé à racines simples, donc

$Q$ est diagonalisable.
Il existe une matrice

$D$ diagonale

$D = \textrm{diag}(\lambda _1 , \, \cdots \, ,\lambda _p)$ où si

$1 \leq k \leq p$ ,

$\lambda _k \in \{ 1 , \alpha \, , \,\beta\}$ et une matrice

$P$ inversible telles que

$A = P D P^{-1}$ .

$\bullet$ La suite

$(A^n)_n$ converge.
Alors

$A^n = P D^n P^{- 1}$ .
Comme

$\vert \alpha \vert = \vert \beta \vert < 1$ , les

$p$ suites

$(\lambda_k ^n)_n$ convergent, donc la suite

$(D^n)_n$ converge vers

$\Delta$ .
On note

$E = \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ , espace vectoriel de dimension finie.
Par continuité de l’endomorphisme de

$E$ ,

$M \mapsto P \, M \, P^{- 1}$ , la suite

$(A^n)_n$ converge vers

$B = P\, \Delta \, P^{-1}$ .

$\bullet$ La limite est une matrice de projection.
L’application bilinéaire définie par

$E^2 \mapsto E , \; (X , Y) \mapsto X \, Y$ est continue, donc l’application

$\psi : X \mapsto X^2$ est continue. La suite

$(A^{2n}) _n = (\psi(A^n))_n$ converge vers

$\psi(B) = B^2$ alors

$B = B^2$ , donc

$B$ est la matrice d’une projection.

⚠️ Il n’y a aucun théorème sur les limites de produit de suites de vecteurs, ces produits n’étant pas définis en général.

👍 Il faudra systématiquement faire la démonstration pour des limites de produits de matrices, en général en utilisant la continuité d’applications linéaires de la forme $M\mapsto M X$ ou $M \mapsto P M P ^{- 1}$ ou d’applications bilinéaires de la forme $(X , Y) \mapsto X\, Y$ .

Exercice 5
Soit si $n\, {\in}\, \mathbb{N}^ *$ , $M_n=\begin{pmatrix}1&-t/n\\t/n&1\end{pmatrix}$ .
Question 1
Déterminer un réel $\lambda_n$ et un réel $\theta_n$ tel que $M_n =\lambda _n\, R(\theta_n)$ où
$R(\theta )=\begin{pmatrix}\cos (\theta )&-\sin(\theta )\\ \sin (\theta )&\cos (\theta )\end{pmatrix}$ .

Question 2
En déduire la limite de la suite $\left(M_n^n\right)_{n{\geq}1}$ .

Corrigé de l’exercice 5 :

Question 1 :

On cherche un réel $\lambda _n$ et un réel $\theta_n$ tels que $1 = \lambda_n \, \cos(\theta_n)$ et $t/n =\lambda_n\, \sin(\theta_n)$ .

Il suffit de choisir $\displaystyle \lambda _n=\sqrt{1+\frac{t^2}{n^2}}$ et $\displaystyle \theta _n=\textrm {Arctan}\left(\frac t n\right)$ .
Car alors $\displaystyle \cos ^2(\theta _n)=\frac 1{1+(t/n)^2}=\frac 1{\lambda _n^2}$ , donc $\displaystyle \cos (\theta _n)=\frac 1{\lambda _n}$ car $\displaystyle \cos (\theta _n)\;>\;0$ et $\displaystyle \sin (\theta _n)= \cos (\theta _n).\tan (\theta _n)=\frac t {n \lambda _n}$ .

Question 2 :

En utilisant $(R(\theta))^n = R( n\, \theta )$ , (propriétés des matrices de rotation vues en MPSI)
$M_n^n= \lambda _n^n\;R(n\, \theta _n)$ .

$\displaystyle \ln (\lambda _n^n)\;=\;\frac n 2\ln \left(1\;+\;\frac{t^2}{n^2}\right)\underset{n\to +\infty }{\sim}\frac n 2.\frac{t^2}{n^2}$
$\displaystyle \ln(\lambda_n^n) \underset{n\to +\infty }{\sim}\frac t{2n}$ , donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\ln (\lambda _n^n)\;=\;0$ alors $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _n^n=1.$ $\displaystyle n\, \theta _n=n \textrm{Arctan}\left(\frac t n\right)\underset{n\to +\infty }{\sim }n.\frac t n\underset{n\to +\infty }{\sim }t$ , donc $\displaystyle\lim _{n\to +\infty }n\, \theta _n=t$ .
Alors $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }M_n^n\;=\begin{pmatrix}\cos (t)&-\sin (t)\\ \sin(t)&\cos (t)\end{pmatrix}$ .

On rappelle que pour déterminer la limite d’une suite de matrices, il suffit de chercher les limites de chacune des suites coordonnées.

3. Continuité des applications linéaires

Exercice 6
Soit $E = \mathbb{R}_n[\textrm{X}]$ .
Il existe $M > 0$ tel que pour tout $P \in E$ , $\quad \quad \displaystyle \left \vert \int_0^1 \textrm{e}^t \, P(t)_, \textrm{d} t \right \vert \leq M \sum _{k = 0}^n \vert P^{(k)}(k) \vert$ .

Corrigé de l’exercice 6 :

a) On démontre que $\displaystyle N : P \mapsto \sum _{k = 0}^n \vert P^{(k)}(k) \vert$ définit une norme sur $E$ .

$\ast$ $N$ est bien définie et à valeurs positives ou nulles.
$\ast$ On suppose que $N(P) = 0$ , alors pour tout $k , \;0 \leq k \leq n ,\; \vert P^{(k)}(k) \vert = 0$ comme somme nulle de réels positifs ou nuls.
Si $P$ était non nul, on pourrait noter $d$ son degré et $a_d$ son coefficient dominant, alors $P^{(d)}(d) = a_d \, d\,! \neq 0$ , on aboutit donc à une contradiction.
On en déduit que $P = 0$ .
$\ast$ L’homogénéité résulte de la sommation des relations $\quad \quad \vert (\lambda \, P)^{(k)} (k)\vert = \vert \lambda \vert \, \vert P^{(k)} (k)\vert$
$\ast$ Si $P , \, Q \in E$ , pour tout $k$ , $\quad \vert (P + Q) ^{(k)} (k)\vert \leq \, \vert P^{(k)} (k)\vert + \vert Q^{(k)} (k)\vert$ , et par sommation, on obtient l’inégalité triangulaire $N(P + Q) \leq N(P)+ N(Q)$ .

b) L’application $\varphi : E \rightarrow \mathbb{R}, \; P \mapsto \int_0^1 \textrm{e}^t \, P(t)\, \textrm{d} t$ est linéaire et $E$ est de dimension finie, elle est lipschitzienne, donc il existe $M \geq 0$ tel que $\forall \, P \, \in E , \; \vert \varphi(P) \vert \leq M \, N(P)$ , de plus $M \neq 0$ car $\varphi \neq 0$ .
On a donc justifié l’inégalité demandée.

Exercice 7
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application de $E$ dans $F$ telle que :
$\bullet$ ${\forall} \,( x, \,y )\, \in \, E ^2 , \; f(x + y) = f(x) + f(y)$
$\bullet$ $\exists \, M \, {\in} \mathbb{R}^+$ tel que
$\quad \forall \, x\, {\in}\, E, \;\Vert x\Vert \, {\leq} \, 1$ $\Rightarrow$ $\Vert f(x) \Vert_F \, {\leq}\, M$ .

Question 1
Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Question 2
En déduire que $f$ est linéaire.

Corrigé de l’exercice 7 :

Question 1 :

$\ast$ En prenant $x = y= 0$ , on obtient $f(0) = 2 f(0)$ , donc $f(0) = 0$ .
$\ast$ En prenant $y = - x$ où $x \in E$ , $0 =f(x - x) = f(x) + f(- x)$ donc $f(-x) = - f(x)$ .

$\ast$ Soit $t \, {\in}\, E$ et $t \, {\neq}\, 0$ , on note $\displaystyle u=\frac t{\Vert t \Vert_E}$ , donc $\Vert u \Vert _E= 1$ ,
$\Vert f(u) \Vert_F \, \leq \, M$ soit $\displaystyle \frac{\Vert f(t) \Vert_F}{\Vert t \Vert_E}\;\le \;M$ donc $\Vert f(t)\Vert _F\;\leq \;M\;\Vert t \Vert_E$ .(*)
L’inégalité reste vraie si $t = 0$ .

Puis si $x,\; y$ sont dans $E$ , $f(x - y) = f(x + (- y))= f(x) + f(-y)$ $f(x - y) = f(x) - f(y)$ .
En utilisant l’inégalité (*) en $x - y$ :
$\Vert f(x) - f(y) \Vert_F \;\leq \;M\;\Vert x - y \Vert_E\,$ .
$f$ est $M$ -lipschitzienne.

Question 2 :

$\ast$ Par récurrence, on démontre que $\forall \,x \, {\in}\, E, \; \forall \, n \, {\in}\, \mathbb{N} ,\; f(n x) = n f(x)$ .
$\ast$ Comme $f$ est impaire, pour tout $n \, {\in}\, \mathbb{Z}$ et $x \, \in \, E$ , $f(n x) = n f(x)$ .

$\ast$ Soit $r \, {\in}\, \mathbb{Q}$ , on note $r = n / p$ avec $n \, {\in}\, \mathbb{Z}$ et $p\, {\in}\, \mathbb{N}^*$ , soit $x\, {\in}\, E$ , $y = r x = n x / p$ .
$f(p \,y) = f(n\, x)$ donc $p\, f(y) = n\, f(x)$ soit $f(r\, x) = r\, f(x)$ .

$\ast$ Soit $\lambda\, {\in}\, \mathbb{R}$ , il existe une suite $(r_n)_n$ de rationnels qui converge vers $\lambda$ , pour tout $x \, {\in} \, E$ , $f(r _n \, x ) = r_n \, f(x)$ .
Comme $f$ est continue, par caractérisation séquentielle de la continuité, on obtient : $f (\lambda\, x) = \lambda\, f(x).$

On a donc prouvé que $f$ est linéaire.

Exercice 8
Soit $E = \mathcal{C}([0 , 1], \mathbb{R} )$ muni de la norme de la convergence en moyenne.
Soit $u : E \rightarrow \mathbb{R}$ , $f\mapsto g$ où $g$ est la primitive de $f$ nulle en $0$ .

Question 1
$u$ est continue de $(E , \Vert \textrm { . } \Vert _1)$ dans $(E , \Vert \textrm { . } \Vert _1)$ ?

Question 2
Déterminer : $\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_{\Vert f \Vert _1 \, \leq \, 1 } \Vert u (f) \Vert _1$ .

Corrigé de l’exercice 8 :

Question 1 :

Pour tout $x\, {\in}\, [0 , 1]$ , $g(x)=\int _0^xf(t)\textrm{d}\, t$ , donc $\left|g(x)\right|\;\le \;\int _0^x\left|f(t)\right|\textrm{d}\, t\;\le \;\int _0^1\left|f(t)\right|\textrm{d}\, t$

puis par intégration, $\Vert g\Vert_1\;\leq \;\int _0^1\Vert f \Vert_1\textrm{d}\, t$ soit $\Vert g\Vert_1 \;\le \;\Vert f\Vert_1$ ou $\Vert u(f)\Vert_1 \;\le \;\Vert f \Vert_1$ , alors si $f , \, h\, \in \, E$ , $\Vert u(f) - u(h) \Vert _ 1 \leq \Vert f - h \Vert _1$ ce qui prouve la continuité de l’application linéaire $u$ .

$\ast$ On vient de montrer que 1 est un majorant de $\{ \Vert u (f) \Vert_1 \, / \, \Vert f \Vert_1 \, \leq 1 \}$ donc $\vert \vert \vert u\vert \vert \vert \, \leq \, 1$ .

$\ast$ $f_n : x \mapsto n \, \textrm{e} ^{-n\, x}$ est continue et positive, donc $\Vert f_n \Vert_1 = \int _0^1n\operatorname{e}^{-n\, t}\textrm{d}\, t = \left[-\operatorname{e}^{-n\, t}\right]_0^1$
$\Vert f_n\Vert _1 =1 - \operatorname{e}^{-n}\;\leq\;1$ .
$g_n=u(f_n)$ est définie pour $x \, \in \, [0 , 1]$ par $g_n(x)= 1-\operatorname{e}^{-n\, x}$
$\displaystyle \Vert g_n \Vert_1= \int _0^1\left(1-\operatorname{e}^{-n\, t}\right)\textrm{d} \, t=\left[t+\frac 1 n\operatorname{e}^{-n\, t}\right]_0^1$ $\displaystyle \Vert g_n \Vert _1 = 1-\frac{1-\operatorname{e}^{-n}} n$
Comme $\Vert g_n\Vert_1\;\leq \; \vert \vert \vert u \vert \vert \vert$ , en passant à la limite, on obtient $1\;\leq \; \vert \vert \vert u \vert \vert \vert$ .

Par double inégalité, $\vert \vert \vert u \vert \vert \vert = 1$ .

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4. Ouverts et fermés

Exercice 9
Soit $E = \mathbb{R}_n [\textrm {X}]$ et $\Omega$ l’ensemble des $P \in E$ tels que $P$ prend au moins une fois une valeur strictement négative.
Montrer que $\Omega$ est un ouvert de $E$ .

Corrigé de l’exercice 9 :

On remarque que $\quad \quad \Omega = \{P \in E\, /\, \exists \,a \in \mathbb{R}, \; P(a) < 0\}$ .
Si $a$ est fixé dans $\mathbb{R}$ , l’application $u_a : E \rightarrow \mathbb{R }$ , $P \mapsto P(a)$ est une forme linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie, elle est donc continue.
$\Omega_a = \{P \in E \, / \, u_a(P) < 0\}$ est un ouvert comme image réciproque de l’ouvert $]- \infty , 0[$ par $u_a\,$ .
$\displaystyle \Omega = \bigcup _{a \in \mathbb{R}} \Omega _a$ est un ouvert comme réunion d’ouverts.

Exercice 10
Soit $(u_n)_n$ une suite de réels strictement croissante.
On note $E = \{u_n \, / \, n \in \mathbb{N} \}$ .
Montrer que $E$ est un fermé de $\mathbb{R}$ ssi $\displaystyle\lim _ {n \to \infty} u_n = +\infty$ .

Corrigé de l’exercice 10 :

$\bullet$ Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $L$ , comme la suite est strictement croissante, pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n < L$ . Le vecteur $L$ est adhérent à $E$ , car la suite $(u_n)_n$ est une suite de $E$ qui converge vers $L$ et $L \notin E$ , donc $E$ n’est pas fermé.

$\bullet$ On suppose que $\displaystyle\lim _ {n \to \infty} u_n = +\infty$ , $\displaystyle \textrm{C} _{\mathbb{R}} E\, =\, ] - \infty , \, u_0[ \; \cup\; \left ( \bigcup_{n = 0}^ {+\infty}\; ] u_n , \, u_{n + 1}[ \right )$ est une réunion d’ouverts, donc est un ouvert, alors $E$ est un fermé.

Exercice 11
Soit $(E ,\, N)$ un evn.
Question 1
Si $A$ est un ouvert non vide et $B$ une partie non vide de $E$ ,
$A + B = \{ a + b \: / \; a\, {\in}A \textrm{ et } b\, {\in}\, B\}$ est un ouvert de $E$ .

Question 2
Soit $F$ un fermé et $K$ un compact. Montrer que $F + K = \{x + y\, /\, x\, {\in}F, \; z\, \in K\}$ est fermé.

Question 3
Soit $\displaystyle F =\left \{ - n + \frac 1 n \, / \, n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \right \}$ et $K = \mathbb{N}^*$ .
$F$ et $K$ sont deux fermés de $\mathbb{R}$ tels que $F + K$ n’est pas fermé ?

Question 4
Soit $K$ un compact de $E$ tel que $0 \, {\notin}\, K$ .
Montrer que $K' =\{\lambda \, x\, / \, \lambda \, {\in}\, \mathbb{R}^*, \; x \, {\in}\, K \}$ est fermé.

Corrigé de l’exercice 11 :

Question 1

Soit $z = a + b \, {\in}\, A + B$ , comme $A$ est un ouvert contenant $a$ , il existe $\varepsilon > 0$ tel que $B_{o}(a ,\, \varepsilon ) \, {\subset}\, A$ .
Pour tout $u \, {\in}\, B_{o}(z , \, \varepsilon )$ , alors $\quad \quad N ((u -b) - a) = N(u - z) < \varepsilon, \quad$ donc $a' = u -b \, {\in}\, A$ et on a écrit
$u = a' + b$ avec $a'\, \in \, A$ et $b\, {\in}\, B$ ce qui prouve que $u \, {\in}\, A + B$ .

On a donc montré que $B_{o}(z , \, \varepsilon ) \, {\subset}\, A + B$ .
$A + B$ est un ouvert de $E$ .

Question 2 :

On introduit une suite $(z_n)_n$ de $F + K$ qui converge vers $z$ dans $E$ . On écrit pour tout $n \, {\in}\, \mathbb{N}$ , $z_n = x_n + y_n$ avec $x_n \, {\in}\, F$ et $y_n \in K$ .
$(y_n)_n$ est une suite du compact $K$ , il existe une suite extraite $(y_{\varphi(n)})_n$ qui converge vers $y\, {\in}\, K$ .
Alors $x_{\varphi(n)} = z_{\varphi(n)} - y_{\varphi(n)} \, {\in}\, F$ et $\displaystyle\lim _{n\to +\infty }x_{\varphi(n)}= z - y$ .

Comme $F$ est un fermé, $z - y \, {\in}\, F$ , donc $z = (z - y) + y$ avec $z - y \, {\in}\, F$ et $y\, {\in}\, K$ , alors $F + K$ est un fermé par caractérisation séquentielle des fermés.

Question 3 :

$\bullet$

$\displaystyle \textrm{C} \, K \; =\; ]- \infty ,\, 1[\, \cup \, \bigcup_{n = 1}^{+\infty}\; ]n ,\, n + 1[$ est une réunion d’ouverts, donc est un ouvert.
Alors

$K$ est un fermé.

$\bullet$ Soit

$(u_n)_n$ une suite strictement décroissante de limite égale à

$-{\infty}$ ,
On démontre que

$A = \{ u_n \; /\, n \, {\in} \, \mathbb{N}\}$ est un fermé en écrivant

$\displaystyle \textrm{C} \, A= \left( \bigcup_{n = 1}^{+\infty}\; ]u_{n +1},\, u_{ n}[ \right ) \; \cup \; ] u_0 , \, + \infty[$ puisque pour tout

$x < u_0$ , il existe un et un seul

$n$ tel que

$x\, {\in}\, ]u_{n + 1} , \, u_n[$ .
On applique ce résultat à la suite définie pour

$n \, {\geq}\, 2$ par

$u_n = - n + 1/n$ qui diverge vers

$- \infty$ après avoir vérifié qu’elle est strictement décroissante :
il suffit de remarquer que

$u_n = f(n)$ où

$f : x \mapsto -x + 1/x$ est strictement décroissante (

$f'(x) < 0$ ) sur

$]1 , +\infty[$ .
Donc

$F$ est un fermé.

$\bullet$

$F + K$ contient la suite

$(1/n)_{n \geq 2}$ qui converge vers

$0$ .
On démontre que

$0\, {\notin}\, F + K.$
Si

$n \, {\in}\, \mathbb{N}$ et

$n \, {\geq}\, 2$ et

$p\, {\in} \, \mathbb{N}^*$ ,

$\displaystyle - n + \frac 1 n + p =0$

$\Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac 1 n=n-p$ est impossible car

$n -p\, {\in}\, \mathbb{Z}$ et

$1/n \, {\notin}\, \textrm{ Z}$ .
Donc

$F + K$ n’est pas un fermé.

Question 4 :

Soit pour tout $n\, {\in}\, \mathbb{N}$ , $z_n = \lambda _ n \, y_n$ où $\lambda_n \in \mathbb{R}^*$ et $y_n \, \in K$ .
On suppose que $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _n\, y_n = z$ .
$(y_n)_n$ est une suite du compact $K$ , il existe une suite extraite $(y_{\varphi(n)})_n$ qui converge vers $y \, \in \, K$ , $y \, {\neq} \, 0$ car $0 \notin K$ .
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left|\lambda _{\varphi (n)}\right| \; \Vert y_{\varphi (n)}\Vert = \Vert z \Vert$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\Vert y_{\varphi (n)}\Vert =\Vert y \Vert \;>\;0$ donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left|\lambda _{\varphi (n)}\right|\;=\;\frac{\Vert z\Vert}{\Vert y \Vert }$ .

La suite $(\lambda _{\varphi(n)})_n$ est une suite de réels bornée, elle admet une suite extraite $(\lambda_{\varphi(\psi (n) )})_n$ qui converge vers $\mu$ .
Alors $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _{\varphi(\psi (n)) }\;y_{\varphi(\psi (n) )} =z$
donne $\mu\, y = z$ , comme $z \, \neq \, 0$ , $\mu \, {\in} \, \mathbb{R}^*$ , donc $z\, \in \, K'$ .
On a établi que $K'$ est un fermé.

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5. Continuité et topologie.

Exercice 12
Soient $(E , N)$ et $(F , N')$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application de $E$ dans $F$ .
$f$ est continue de $E$ dans $F$ $\Leftrightarrow$ pour tout $A \, \subset \, E$ , $f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}$ .

Corrigé de l’exercice 12 :

$\bullet$ On suppose que $f$ est continue de $E$ dans $F$ .
Soit $A$ une partie non vide de $E$ (sinon l’inclusion est évidente).
Si $b\,\in \,f\left(\overline A\right),$ il existe $a\;\in \;\overline A$ tel que $f(a) = b$ .
Soit $(u_n)_n$ une suite de $A$ telle que $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_n = a.$
Par continuité de $f$ , $\displaystyle f(a)\;=\;\lim _{n\to +\infty }f(u_n)$ , donc $b$ est la limite de la suite $(f(u_n))_n$ de points de $f(A)$ et $b\,\in \,\overline{f(A)}$ .
On a prouvé que pour tout $A \, {\subset}\, E$ , $f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}$ .

$\bullet$ On suppose que pour tout $A \, {\subset}\, E$ , $f\left(\overline A\right)\;\subset \overline{f(A)}$ .
Soit $a\, {\in}\, E$ . Soit $(u_n)_n$ une suite de $E$ qui converge vers $a$ .
On raisonne par l’absurde et on suppose que la suite $(f(u_n))_n$ ne converge pas vers $f(a)$ .
Il existe donc $\varepsilon _0 > 0$ tel que pour tout $k \in \mathbb{N}$ , il existe $n_k > k$ tel que $N(f(u_{n_k}) - f(a)) > \varepsilon_0$ ; on construit ainsi une suite extraite $(f(u_{\varphi(n)})_n$ telle que $N( f(u_{\varphi (n)} - f(a)) > \varepsilon_0$ .
On note $A = \{ u_{\varphi (n)} \, / \, n\, \in \mathbb{N} \}$ , $a$ est un point adhérent à $A$ .
$f(a)\;\in \;f\left(\overline A\right)$ implique $f(a)\;\in \;\overline{f(A)}$ .
Comme $f(A )= \{ f(u_{\varphi (n)}) \, / \, n\, \in \mathbb{N} \}$ , pour le réel $\varepsilon_0\,$ , $B_o(f(a) , \varepsilon_0 )$ rencontre $f(A)$ ce qui contredit la construction de la suite $(f(u_{\varphi (n)}))_n$ .
On en déduit que la suite $(f(u_n))_n$ converge vers $f(a)$ .
$f$ est donc continue en $a$ .

Exercice 13
Soit $(E , N)$ un espace vectoriel normé.
Question 1
Soient $A$ et $B$ deux parties compactes non vides de $E$ .
Montrer qu’il existe $a \, {\in}\, A$ et $b\, {\in}\, B$ tels que $\displaystyle N(a - b) = \min_{x\in A , \, y \in B} N(x - y)$ .

Question 2
On suppose que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que le résultat précédent est valable si l’on suppose seulement $A$ compact et $B$ fermé non vides.

Corrigé de l’exercice 13 :

Question 1 :

On considère l’application $\quad \quad f : E \times E \rightarrow E , \; (x ,\, y) \mapsto x - y$

On utilise la norme $N'$ sur $E^2$ définie par : $N'(x, \,y ) = \max \{ N(x) ,\, N(y)\}$ ; $f$ est une application linéaire de $(E^2, \, N')$ dans $(E ,\, N)$ vérifiant : $\forall\, (x, \,y) \in E^2$ , $N( f(x , \,y)) \, {\leq}\, N(x) + N(y) \, {\leq}\, 2 \,N'(x, \,y)$ .
En utilisant la linéarité de $f$ , on en déduit que $f$ est lipschitizienne donc continue.

On en déduit que $\quad \quad g : E ^2 \rightarrow \mathbb{R} , \; (x, \,y) \mapsto N(x - y)\quad \quad$ est continue.
$A \times B$ est une partie compacte de $(E^2, \,N')$ , donc $g$ admet un minimum sur $A \times B$ , il existe donc $(a,\, b) \in \ A \times B$ tel que $\displaystyle N(a - b) = \min_{x\in A ,\, y \in B} N(x - y)$ .

Question 2 :

$\bullet$

$\{ N(x - y ) \, /\, x \in A , \,y \in B \}$ est une partie non vide de

$\mathbb{R}$ , minorée par 0, elle admet donc une borne inférieure

$m$ .

$\bullet$ Par caractérisation de la borne inférieure, pour tout

$n \, \in\, \mathbb{N}^*$ , il existe

$a_n \in A$ et

$b_n \in B$ tels que

$\quad \quad m \leq N(a_n - b_n )\leq m + 1/n$ .
La suite

$(a_n)_n$ est une suite de la partie compacte

$A$ , il existe une suite extraite

$(a _{\varphi(n)})_n$ qui converge vers

$a\, \in\, A$ .

$\bullet$ La suite

$(a_ {\varphi(n) } - a )_n$ est une suite convergente donc bornée.
Soit

$M > 0$ tel que pour tout

$n \in \mathbb{N}^*$ ,

$N(a_{\varphi(n) } - a) \leq M$ .
Pour tout

$n \in \mathbb{N}^*$ ,

$N(b_{\varphi(n) } - a) \leq N(b_{\varphi(n) } - a_{\varphi(n) })$

$+ N(a_{\varphi(n) } - a) \leq m + 1 + M$
La suite

$(b_{\varphi(n) })_n$ est une suite bornée d’un espace vectoriel de dimension finie, il existe une suite extraite

$(b_{\varphi(\psi (n) )})_n$ qui converge vers

$b$ . Comme c’est une suite convergente du fermé

$B$ , elle converge vers

$b \in B$ .
On note

$\theta = \varphi \circ \psi$ .
La suite

$(a_{\theta(n) })_n$ , extraite de la suite convergente

$(a_ {\varphi(n) } )_n\,$ , converge vers

$a$ .

$\bullet$ Puis en passant à la limite dans l’inégalité

$\quad\displaystyle m\; \le \; N(a_{\theta(n) }-b_{\theta (n)})\, \; \leq\; \frac 1{\theta (n)}+m$ , on obtient

$m \leq N(a - b) \leq m$ .

Donc

$m$ est un minimum.

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