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Intégrales à paramètre en MP, PC, PSI, PT

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.9 (1012 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés – Intégrales à paramètre

1. Calcul de l’intégrale de Dirichlet

Mines-Ponts PSI 2018
Soit $\displaystyle F : x \mapsto \int_{0} ^{+\infty} \textrm {e} ^{ - x\, t} \, \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t$ .
Question 1
Montrer que $F$ est continue sur $\mathbb{R} ^{+}$ .

Question 2
Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R} ^{+*}.$

Question 3
Trouver les limites de $F$ et $F'$ en $+\infty$ .

Question 4
Déterminer $F(x)$ pour $x > 0$ .

Question 5
En déduire la valeur de $\quad \quad \quad \quad \displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \, \frac {\sin(t)} {t} \, \textrm{d} \, t \,$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

Deux résultats utiles dans la suite :
$\bullet$ Soit $\varphi : t \mapsto \displaystyle \frac {1 - \cos(t)} {t ^2}$ .
En utilisant $\displaystyle 1 - \cos(t) \underset {t \to 0} \sim \frac {t ^2} 2$ , on prolonge $\varphi$ par continuité en $0$ en posant $\varphi(0) = 1/2$ .
Puis en utilisant si $t \geq 1$ , $\displaystyle 0 \leq \varphi (t) \leq \frac 2 {t ^2}$ , par domination, $\varphi$ est intégrable sur $[1 , \, + \infty[$ donc $\varphi$ est intégrable sur $\mathbb{R} ^+$ .

$\bullet$ On utilisant $\vert \sin u \vert \leq \vert u \vert$ , on obtient $\displaystyle 0 \leq 1 - \cos(t) = 2 \sin^2 \left ( \frac t 2 \right ) \leq 2 \frac {t ^2} 4 \leq\frac {t ^2} 2$ .

Continuité de $F$ .
On note $\displaystyle f : (x , \, t) \mapsto \textrm {e} ^{ - x\, t} \, \frac {1 - \cos(t)} {t ^2}$ .
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R}^+, \; t \mapsto f(x ,\, t)$ , $\displaystyle 0 \mapsto \frac 1 2$ est continue sur $[0 , \, +\infty[$ .
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R} ^+,\;\vert f(x ,\, t) \vert \leq \varphi (t)$ et on a prouvé que $\varphi$ est continue et intégrable sur $\mathbb{R}^+$ .
Par le théorème de continuité des intégrales à paramètre, la fonction $F$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 2 :

On rappelle que l’on a prouvé que $\displaystyle 0 \leq 1 - \cos(t) \leq\frac {t ^2} 2$ . (*)

$\bullet$ Pour tout $x > 0$ , $t \mapsto f(x, \,t)$ est continue et intégrable sur $I = \mathbb{R}^{+*}$ .
$\bullet$ Pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x , \,t)$ est de classe $C^2$ sur $I$ .
$\ast$ $\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto - \frac {1 - \cos(t)} {t} \, \textrm{e} ^{ - x\, t}$
$\ast$ $\displaystyle \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 } : (x ,\, t) \mapsto (1 - \cos(t)) \, \textrm{e} ^{ - x\, t}$
$\bullet$ Soit $a > 0$ , si $(x ,\, t) \in [a , \, + \infty[ \times I$ ,
$\ast$ $\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x} (x , \, t) \right \vert \leq \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }$ (par (*))
$\ast$ $\displaystyle \left \vert \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 } (x ,\, t) \right \vert \leq 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }$
Les fonctions $\displaystyle \varphi_1 : t \mapsto \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }$ et $\displaystyle \varphi_2 : t \mapsto 2\, \textrm{e} ^{ - a\, t }$ sont continues et intégrables sur $\mathbb{R}$ (il n’y a pas de problème pour $\varphi_2$ ; pour $\varphi_1\,$ , on utilise $\displaystyle \varphi_1(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )$ ).

$\bullet$ $\bullet$ Par le théorème de dérivation des intégrales à paramètre, la fonction $F$ est de classe $C^2$ sur $I$ et
$\ast$ $\forall \, x \in I, \; F'(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {\partial f } {\partial x }(x ,\, t) \, \textrm{d} \,t$ .
$F'(x) = \displaystyle - \int_0^{+\infty} \frac {1 - \cos(t) } t \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm{d}\, t$ .

$\ast$ $\forall \, x \in I, \; F''(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 }(x , \, t) \, \textrm{d} \,t$ .
$F''(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} (1 - \cos(t) ) \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm{d} \, t$ .

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Question 3 :

En utilisant $0 \leq 1 - \cos(t) \leq t ^2 / 2$ , pour tout $x > 0$ ,
$\displaystyle 0 \leq F(x) \leq \int_0^{+\infty} \frac 1 2 \, \textrm{e} ^{ - x \, t} \, \textrm {d} \, t\leq \frac 1 {2\, x}$ , donc par encadrement, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 0$ .

De même, $\displaystyle \vert F'(x)\vert \leq \int_0^{+\infty} \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - x \, t} \, \textrm {d} \, t$ .
On démontre facilement que $\displaystyle \int_0^{+\infty} t \, \textrm{e} ^{ - x\, t} \, \textrm {d} \, t = \left [ - \left ( \frac {t} {x} + \frac 1 {x^2} \right ) \textrm{e} ^{ - x\, t}\right ] _0 ^{+\infty}$
$\displaystyle \vert F'(x)\vert \leq \frac 1 {2\, x^2}$ .
Donc par encadrement, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\, F'(x) = 0$ .

Question 4 :

$\bullet$ On commence par calculer $F''$ .
On calcule $G(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(t) \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm {d}\, t$ $\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left (\int_0^{+\infty} \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm {d}\, t \right )$ .
$\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left [\frac 1 {-x + \textrm{i} } \textrm{e} ^ {(\textrm{i} - x) t } \right ]_0 ^{+\infty}$ .
$\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left ( \frac 1 {x - \textrm{i} } \right ) = \textrm{Re} \left ( \frac {x + \textrm{i} }{x^2 + 1} \right )$ .
$\displaystyle G(x) = \frac x {x ^2 + 1}$ .
Donc $\forall \, x > 0, \; \displaystyle F''(x) = \frac 1 x - \frac x {x ^2 + 1}$ .

$\bullet$ Calcul de $F'$ .
On en déduit qu’il existe $a \in \mathbb{R},$ pour tout $\ x \in I,$ $F'(x) = \ln(x) - \frac 1 2 \ln(x ^2 + 1 ) + \lambda$ $f'(x) = \displaystyle \frac 1 2 \ln \left ( \frac {x^2} {x^2 + 1} \right ) + \lambda$
En passant à la limite, on obtient $\lambda = 0$ .

$\bullet$ Calcul de $F$ .
On cherche une primitive $H$ de $\displaystyle x \mapsto \frac {\ln(x ^2 + 1)} 2$ en intégrant par parties :
$\displaystyle H(x) = \int_0^x \frac {\ln(t ^2 + 1)} 2 \, \textrm{d} \, t$ $\displaystyle H(x) = \left [ \frac 1 2 t \ln(t ^2 + 1) \right]_0^x - \int_0 ^x \frac {t ^2} {t ^ 2 + 1} \, \textrm{d} \, t$
et comme $t ^2 = t ^2 + 1 - 1$ ,
$\displaystyle H(x) = \left [ \frac 1 2 t \ln(t ^2 + 1) \right]_0^x - \int_0 ^x \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle + \int_0 ^x \frac {1} {t ^ 2 + 1} \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle H(x) = \left [ \frac t 2 \ln(t ^2 + 1) - t + \textrm{Arctan} (t) \right]_1^x$
Il existe un réel $\mu$ tel que pour tout $x \in I$
$F(x) =\displaystyle x \ln(x) - \frac x 2 \ln(x ^2 + 1)$
$- \textrm{Arctan} (x) +\mu$

Comme $\displaystyle \ln \left (\frac{x ^2 + 1} {x^2} \right )\underset {x \to + \infty} \sim \frac 1 {x^2}$ , $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac x 2 . \ln \left (\frac{x ^2 + 1} {x^2} \right ) = \lim_{x\to + \infty} \frac x 2 \frac 1 {x^2} = 0$
En passant à la limite ( $x \to + \infty$ ) , on obtient $\displaystyle \mu = \frac \pi 2$ .
Alors pour tout $x > 0$ , $\displaystyle F(x) = x \ln(x) - \frac x 2 \ln(x ^2 + 1)$
$\displaystyle - \textrm{Arctan} (x) + \frac {\pi} 2$ .

Question 5 :

Comme $F$ est continue en $0$ , $F(0) =\frac \pi 2$ .
c’est à dire $\displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t = \frac \pi 2$

Puis les fonctions $u: t \mapsto 1 - \cos(t)$ et $v : t \mapsto - 1/t$ sont de classe $C^1$ sur $I$ , $u\, v'$ est intégrable sur $I$ , $u\, v$ admet $0$ pour limite en $0$ et en $+\infty$ , par le théorème d’intégration par parties,
$\displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t = \int_{0} ^{+\infty} \frac {\sin(t)} {t } \, \textrm{d} \, t$
On a donc prouvé que $\quad \quad \displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \, \frac {\sin(t)} {t} \, \textrm{d} \, t= \frac \pi 2$ .

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2. Valeur d’une intégrale à paramètre par utilisation d’une équation différentielle

On pose $F(x) =\displaystyle \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t\,}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t$ .
Question 1
Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb {R}$ .

Question 2
À l’aide d’une équation différentielle vérifiée par $F$ , calculer sa valeur.

Corrigé de l’exercice

Question 1 :

$\bullet$ Résultat préliminaire.
La fonction $g : t \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t\,}}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+*}$ .
$\ast$ $\displaystyle g(t) \underset {t \to + \infty} \sim \frac 1 {\sqrt{t\,}}$ , donc $g$ est intégrable sur $]0 , \, 1]$ .
$\ast$ Si $t \geq 1, \; 0 \leq g(t) \leq \textrm{e} ^{ - t }$ , donc $g$ est intégrable sur $[1 , \, + \infty[$ .
Alors $g$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+*}$ .

$\bullet$ Domaine de définition de $F$ .
Soit $x \in \mathbb{R}$ . La fonction $g_x : t \mapsto g(t) \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+*}$ et $\vert g_x(t) \vert = g(t)$ , donc $g_x$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+*}$ , ce qui justifie l’existence de $F$ sur $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ On démontre que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f : (x , \, t) \mapsto g(t) \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t}$ .
On note $I = \mathbb{R}^{+*}$ .
$\ast$ Pour tout réel $x$ , $t \mapsto f(x, \, t)$ est continue et intégrable sur $I$ .
$\ast$ Pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et $\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x , \, t) \mapsto \textrm{i} \, t f(x , \, t)$
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R}, \; \displaystyle t \mapsto \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t)$ est continue sur $I$ .
$\ast$ On note $\varphi: t \mapsto \sqrt{t\,} \, \textrm{e} ^{- t}$ .
$\forall\, (x , \, t) \in \mathbb{R} \times I,$ $\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi(t)$ .
$\varphi$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ et vérifie $\displaystyle \varphi(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t^2} \right )$ , donc $\varphi$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ .

Par le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et $F'(x) = \displaystyle \int_0 ^{+\infty} {\sqrt{t\,}}\, {\textrm{e} ^{- t}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t.$

Question 2 :

$\bullet$ Recherche de l’équation différentielle.
On note $u : \displaystyle \frac {- \textrm{i}\, \textrm{e} ^{- t(1 - \textrm{i} \, x)}} {1 - \textrm{i} \, x}$ et $v : t \mapsto \sqrt{t}$
$u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $\mathbb{R} ^{+*}$ , $u' \, v$ est intégrable sur $\mathbb{R} ^{+*}$ , $u \, v$ admet 0 pour limite en 0 et en $+\infty$ , donc par le théorème d’intégration par parties,
$F'(x) = \displaystyle \frac {\textrm{i}} {2(1 - \textrm{i} \, x)} \, \int_0 ^{+\infty} \frac{\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t$ .
$F'(x) = \displaystyle \frac {\textrm{i}} {2(1 - \textrm{i} \, x)} F(x) =\frac {\textrm{i}(1 + \textrm{i} \, x)} {2(1 + x^2)} F(x)$ .

$\bullet$ Résolution de l’équation différentielle.
$a :\displaystyle x \mapsto \frac {\textrm{i} - x} {2(1 + x^2)}$ admet comme primitive $A : \displaystyle x \mapsto \frac {\textrm{i}} {2} \textrm{Arctan} (x) - \frac {\ln(x^2 + 1)} {2}$ .
On en déduit qu’il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ , $\forall \, x \in \mathbb{R}, \; \displaystyle F(x) = \lambda \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i Arctan}(x)/ 2} }{\sqrt{x ^2 + 1}}$ .

$\bullet$ Calcul de $F(0)$ .
La fonction $\varphi : \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}^{+*},\, u \mapsto u ^2$ est une bijection de classe $C^1$ strictement croissante, par le théorème de changement de variable,
$F(0)= \displaystyle \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t}} \, \, \textrm{d}\, t = \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- u ^2 }} {u} \, 2 \, u \, \textrm{d}\, u$ .
En utilisant l’intégrale de Gauss, $F(0) = \sqrt{\pi}$ .

On en déduit que $\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \,\displaystyle F(x) = \sqrt{\pi}\, \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i Arctan}(x)/2} }{\sqrt{x ^2 + 1}}$ .

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3. Étude d’une intégrale à paramètre

$F : x \mapsto \displaystyle \int_0 ^1 \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t} \, \textrm{d} \, t$ .
Question 1.
Trouver le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $F$ .

Question 2
Démontrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathcal{D}$ et que $F$ est strictement monotone. Trouver une équation différentielle vérifiée par $F$ .

Question 3
Etudier les limites et les branches infinies du graphe de $F$ . Tracer le graphe de $F$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1:

La fonction $f : (x , t) \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}$ est continue sur $\mathbb{R} \times [0 ,\, 1]$ , donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $t \mapsto f(x , \,t)$ est continue sur $[0 ,\, 1]$ donc $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ .

Question 2 :

$\bullet$ $F$ est de classe $C^1$ .
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $t \mapsto f(x ,\, t)$ est continue et intégrable sur $[0 , \,1]$ .
$\ast$ Pour tout $t \in [0 ,\, 1]$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et $\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto \frac { - t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}$
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f } {\partial x}(x ,\, t)$ est continue sur $[0 ,\, 1]$ .
$\ast$ Soit $a \in \mathbb{R}^{+*}$ , si $(x , \,t) \in [-a ,\, a] \times [0 ,\, 1]$ , $\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi (t)$ où $\varphi : t \mapsto \textrm{e} ^{ a \, t}$ .
La fonction $\varphi$ est continue et intégrable sur $[0 , \, 1]$ .
$\ast$ $\ast$ La fonction $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et $\forall\, x \in \mathbb{R},\; F'(x) = - \displaystyle \int_0 ^1 \frac {t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t} \, \textrm{d} \, t$ .

$\bullet$ Stricte monotonie de $F$ .
Comme $\displaystyle t \mapsto \frac { - t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}$ est continue sur $[0 ,\, 1]$ , à valeurs négatives ou nulles et différente de la fonction nulle, $F'(x) < 0$ .
$F$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ Équation différentielle.
$\displaystyle F'(x) - F(x) = - \int_0 ^1 \textrm{e} ^{ - x \, t } \textrm{d} \, t = \frac {\textrm{e}^{-x} - 1} x$ si $x \neq 0$ et $F'(0) - F(0) = - 1$ .

Question 3 :

$\bullet$ Limite en $-\infty$ .
Si $x < 0$ , $F(x) \geq \displaystyle \int_0 ^1 \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{2} \, \textrm{d} \, t$ , donc $F(x) \geq \displaystyle \frac {1 - \textrm{e}^{-x} } {2 \,x}$ , donc par minoration $\displaystyle \lim_{x\to - \infty} F(x) = +\infty$ .
Puis par division par $x < 0$ , $\displaystyle \frac {F(x)} x \leq \frac {1 - \textrm{e}^{-x} }{ 2 \,x^2}$ $\Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to - \infty} \frac {F(x)} x = - \infty$ .
Le graphe de $F$ admet une branche parabolique de direction Oy.

$\bullet$ Limite en $+\infty$
Si $x > 0,\; 0 \displaystyle \leq F(x) \leq \int_0 ^1 \textrm{e} ^{ - x\, t} \textrm{d} \, t \leq \frac 1 x$ . Par encadrement, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x) = 0$ .
Le graphe admet une asymptote d’équation $y = 0$ en $+ \infty$ .

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4. Généralisation de la formule de Stirling

Question 1 : deux inégalités.
a) Montrer que pour tout $s \in \;]- 1 , \,0] ,$ $\displaystyle \ln(1 + s) - s \leq -\frac { s^2} 2$ .
b) Soit $x \geq 1$ , pour tout $t \geq 0$ , montrer que
$\displaystyle x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t \, \sqrt{x} \leq \ln(1 + t) - t$ .

Question 2 : convergence d’une intégrale.
On note si $x \geq 1$ et $t \geq - \sqrt{x}$ , $\quad \quad \displaystyle f(x , t) = \left ( 1 + \frac {t} {\sqrt{x} } \right ) ^x \textrm{e} ^{ - t \sqrt{x} }$ .
Justifier l’existence de $\quad \quad \displaystyle G(x) = \int_{-\sqrt{x} } ^{+\infty} f(x , t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 3 : limite de l’intégrale de la question 2.
Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_{-\sqrt{x} } ^{+\infty} f(x , t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 4 : Équivalent de $\Gamma(x + 1)$ en $+\infty$ .
En justifiant soigneusement le changement de variable $u = x + t \sqrt{x}$ , trouver un équivalent de $\Gamma(x + 1)$ en $+\infty$ .
On utilisera $\int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t = \sqrt{2 \, \pi\, }$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

a) On note si $s \in \; ]- 1 ,\, 0] ,$ $\displaystyle u(s) = -\frac {s^2} 2 + s - \ln(1 + s)$ .
$\displaystyle u'(s) = - s + 1 - \frac 1 {1 + s} = \frac { - s^2 } {1 + s}\leq 0$ .
$u$ est décroissante sur $]- 1 , \, 0]$ et $u(0) = 0,$ donc pour tout $s \in\; ]- 1 , \, 0],$ $\; u(s) \geq 0$ .

b) On note si $t \geq 0,$ $v(t) = \displaystyle \ln(1 + t) - t - x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right )$
$+\, t\, \sqrt{x}$
$\displaystyle v'(t) = \frac 1 {1 + t} - 1 - \frac{x} {\sqrt{x} + t} + \sqrt{x}$
$\displaystyle v'(t) = \frac {-t} {1 + t} + \frac{\sqrt{x} \, t} {\sqrt{x} + t}$
$\displaystyle v'(t) = \frac {t^2 (\sqrt{x} - 1)} {(1 + t) (\sqrt{x} + t)} \geq 0$
$v$ est croissante sur $\mathbb{R} ^{+}$ et $v(0) = 0$ , donc pour tout $t \geq 0, \; v(t) \geq 0$ , ce que l’on voulait démontrer.

Question 2 :

Soit $x \geq 1$ fixé ; $h : t \mapsto f(x , t)$ est continue sur $I = \; ] - \sqrt{x} , \, +\infty[$ .
Comme $\displaystyle \lim_{t \to - \sqrt{x}} h(t) = 0$ car $x \geq 1$ , on prolonge $h$ par continuité en $- \sqrt{x}$ en posant $h( - \sqrt{x}) = 0$ .
Puis $\displaystyle \ln(t ^2 \, h(t)) = 2 \ln(t) + x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t\sqrt{x}$
En utilisant $\ln(t) \underset {t \to + \infty} = o(t)$ , on obtient $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \ln(t ^2 \, h(t)) = -\infty$ , ce qui donne $\displaystyle h(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )$ , donc $h$ est intégrable sur $[1 , +\infty[$ par domination par une fonction intégrable.

Question 3 :

On note $G(x) = \displaystyle \int_{- \infty} ^{+\infty} h(x , \,t) \, \textrm{d} \, t$ , où $h(x ,\, t) = f(x , \,t)$ si $t > - \sqrt{x}$ et $h(x ,\, t) = 0$ si $t \leq - \sqrt{x}$ .
$\ast$ Pour tout $x \geq 1$ , $t \mapsto h(x ,\, t)$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$\ast$ Pour tout $t \in \mathbb{R}$ , pour $x$ assez grand, $t > - \sqrt{x}$ et $h(x ,\, t) = f(x , \,t) > 0$ .
$\displaystyle \ln(h(x , \,t)) = x \ln \left ( 1 + \frac {t} {\sqrt{x}} \right ) - \frac {t} {\sqrt{x} }$
$\displaystyle \ln(h(x ,\, t)) \underset {x \to +\infty} = x \left ( \frac {t} {\sqrt{x}} - \frac {t^2 } {2 x} + \textrm{o} \left ( \frac 1 x \right ) \right )$
$\displaystyle - \frac {t} {\sqrt{x} }$
$\displaystyle \ln(h(x ,\, t)) \underset {x \to +\infty} = \frac {- t ^2} 2 + \textrm{o} (1)$
donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x ,\, t) = \textrm {e} ^{ - t ^2/2}$ .
La fonction $t \mapsto \textrm {e} ^{ - t ^2/2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$\ast$ Domination : en utilisant l’inégalité $\forall\, s \in\; ]- 1 ,\, 0] , \; \ln(1 + s) - s \leq - s^2 / 2$
lorsque $t \in \; ]- \sqrt{x} ,\, 0]$ , $\quad \quad \displaystyle \ln \left (1 + \frac t {\sqrt{x} }\right ) - \frac t {\sqrt{x}} \leq - \frac {t^2} {2 \, x}$
par multiplication par $x > 0$ et croissance de l’exponentielle, on obtient $\quad \quad 0 \leq h(x ,\, t) \leq \textrm{e} ^{ - t^2/2}$ .

En utilisant pour tout $t \geq 0$ , $\displaystyle x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t \, \sqrt{x} \leq \ln(1 + t) - t$ ,
et par croissance de l’exponentielle, on obtient $0 \leq h(x , \, t) \leq \textrm{e} ^{\ln(1 + t) - t }$ soit $\displaystyle 0 \leq h(x , \, t) \leq (1 + t) \, {\textrm{e}^{ - t} }$ .

On note $\varphi(t) = \textrm{e} ^{ - t^2/2}$ si $t < 0$ et $\varphi(t) = (1 + t)\, {e^{ - t} }$ si $t \geq 0$ .
On a montré que si $\quad \quad t > - \sqrt{x} , \; 0 \leq h(x,\, t) \leq \varphi(t)$
ce qui reste vrai si $t \leq - \sqrt{x}$ .
La fonction $\varphi$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$ , elle est intégrable sur $] - \infty , \, - 1]$ et sur $[1 , \, +\infty[$ car c’est un $o(1/t^2)$ au voisinage de $\pm \infty$ .

On peut donc appliquer la généralisation du théorème de convergence dominée
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} G(x) = \int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t$ .

Question 4 :

La fonction $\varphi :\; ]0 , +\infty| \to ] - \sqrt{x} , + \infty[,$ $\displaystyle u \mapsto - \sqrt{x} + \frac u {\sqrt{x}}$ définit une bijection strictement croissante de classe $C^1$ , le théorème de changement de variable dans $G(x)$ donne :
$G(x) = \displaystyle \int_0 ^{+\infty} \left ( \frac u x \right ) ^x \, \textrm {e} ^{ - u + x} \frac 1 {\sqrt{x} } \, \textrm{d} \, u$
$G(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} } \int_0 ^{+\infty} u ^x\, \textrm{e} ^{ - u} \, \textrm{d} \, u$
$G(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} } \, \Gamma(x + 1)$ .

En utilisant $\int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t = \sqrt{2 \, \pi\, }$
on a prouvé que $\quad \quad \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} }\Gamma(x + 1) \underset {x\to + \infty} \sim \sqrt{2 \, \pi}$
soit $\displaystyle \Gamma(x + 1) \underset {x\to + \infty} \sim {\textrm{e} ^{- x }}\, x ^x \, \sqrt{2 \, \pi\, x }$ .

On rappelle que si $n \in \mathbb{N},\; \Gamma(n + 1) = n!$ , on retrouve donc la formule de Stirling.

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5. Une expression de $\Gamma'(1)$

On rappelle que l’on a prouvé que $\Gamma'(1) = \int_0^{+\infty} \ln(t) \, \textrm {e} ^{ - t} \, \textrm{d} \, t$ .

Question 1
Soit $n \in \mathbb{N}$ . Montrer que l’intégrale $\displaystyle I_n = \int_0 ^1 (1 - t) ^n \, \ln(t)\, \textrm{d} \, t$ est convergente et la calculer.

Question 2
Déterminer $\displaystyle \lim _ {n \to +\infty} \int_0 ^n \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 3 : Calcul de $\Gamma'(1)$ .
En utilisant $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} H_n - \ln(n) = \gamma$ , montrer que $\Gamma '(1) = - \gamma$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

$\ast$ Convergence de l’intégrale.
La fonction $f _n : t \mapsto (1 - t) ^n \, \ln(t)$ est continue sur $]0 , \,1]$ et équivalente en $0$ à $t \mapsto \ln(t)$ qui est intégrable sur $]0 , \, 1]$ , donc $f_n$ est intégrable sur $]0, \, 1]$ .

$\ast$ Calcul par intégration par parties.
Les fonctions $u : t \mapsto \displaystyle \frac {1 - (1 - t)^{n + 1} } {n + 1}$ et $v = \ln$ sont de classe $C^1$ sur $]0 , \, 1]$ et vérifient $\displaystyle \lim_ {t \to 0} u(t) \, v(t) = 0$ car $u(t) \underset {t \to 0} \sim t$
et $\displaystyle \lim_ {t \to 1} u(t) \, v(t) = 0$ .
La fonction $u' \, v : t \mapsto (1 - t)^n \, \ln(t)$ est intégrable sur $]0 , \, 1]$ .
Par le théorème d’intégration par parties,
$\displaystyle I_n = -\int_0 ^1 \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } {(n + 1)\, t} \, \textrm{d} \, t$ .
Si $t > 0$ , $\displaystyle \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } t = \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } {1 - (1 - t)}$
$\displaystyle - \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } t = - \sum _ {k = 0}^{n} (1 - t) ^k$
donc $\displaystyle I_n = \left [ \sum _{k = 0} ^{n } \frac {(1 - t) ^{k + 1} } {(k + 1)(n+1)} \right ] _ 0 ^1$ $\displaystyle I_n = - \frac 1 {n + 1} \sum_{k = 0} ^{n } \frac 1 {k + 1}$ .

$\ast$ $\ast$ On a démontré que $\displaystyle I_n = - \frac {H_{n+1}} {n + 1}$ où $H_n = \displaystyle \sum_{k = 1} ^{n} \frac 1 k$ .

Question 2 :

On définit $\displaystyle f_n(t) = \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t)$ si $t \in \; ]0 , \, n]$ et $f_n(t) = 0$ si $t > n$ .
Pour tout $t > 0$ , il existe $N \in \mathbb{N}^*$ tel que si $n > N,\; t > n$ donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n(t) = \textrm{e} ^{ - t} \ln(t)$ , où $t \mapsto \textrm{e} ^{ - t} \, \ln(t)$ est continue sur $]0 , \, +\infty[$

En utilisant si $t \geq 0, \, \; 1 - t \leq \textrm{ e}^{- t}$ (il suffit d’étudier la fonction) alors si $t \in\; ]0 , \, n]$ , $0 \leq 1 - t/n \leq \textrm{e} ^{ - t/n}$ puis $\displaystyle 0 \leq \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \leq \textrm{e} ^{ - t}$ donc $\displaystyle 0 \leq \vert f_n(t) \vert \leq \varphi(t)$ où $\varphi : t \mapsto \vert \ln(t)\vert \, \textrm{e} ^{ - t}$
$\varphi$ est continue sur $]0 , \, +\infty[$ et vérifie $\varphi (t) \leq \vert \ln(t) \vert$ , $\varphi$ est intégrable par domination sur $]0 , \, 1]$ .
Comme $\varphi(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} (1/t^2)$ , $\varphi$ est intégrable sur $[1,\, + \infty[$ .

Par le théorème de convergence dominée, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{- \infty} ^{+\infty} g_n(t) \, \textrm{d} \, t = \int_0 ^{+\infty} \ln(t)\, \textrm {e} ^{ - t } \, \textrm {d} \, t$

Question 3 :

La fonction $\varphi :\; ]0 ,\, 1] \to \; ]0 ,\, n],\; u \mapsto n \, u$ est une bijection de classe $C^1$ strictement croissante, par changement de variable dans l’intégrale $\displaystyle J_n = \int_0 ^n \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t) \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle J_n = \int_0 ^1 \left ( 1 - u \right ) ^n \, \ln(n\, u )\, n \, \textrm{d} \, u$ , on obtient $\displaystyle J_n = n\, I_n + n\, \ln(n) \int_0 ^1 \left ( 1 - u \right ) ^n \, \, \textrm{d} \, u$
$\displaystyle J_n = n\, I_n + n\, \ln(n) \left [ -\frac {(1 - u) ^{n + 1} } {n + 1} \right ] _0 ^1$
$\displaystyle J_n = n \, I_n + \frac {n\, \ln(n) } {n + 1}$
$\displaystyle J_n = - \frac {n } {n + 1} \left ( H_n - \ln(n) \right ) - \frac {n} {(n +1)^2}$ .
En utilisant $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} H_n - \ln(n) = \gamma\,$ , on obtient $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} J_n = -\gamma$ soit $\int_0 ^{+\infty} \ln(t) \, \textrm {e} ^{ - t }\, \textrm {d} \, t \, = -\gamma$ donc $\Gamma '(1) = - \gamma$ .

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6. La fonction Béta.

On désigne par $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs et l’on considère l’intégrale $B(\alpha ,\beta)$ définie par
$\quad B(\alpha ,\beta)= \displaystyle \int_0^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1} \, \textrm{d} \, x$ .

Question 1.
Justifier l’existence de $B(\alpha ,\beta)$ .

Question 2
$B(\alpha ,\beta)$ et $B(\beta , \, \alpha)$ sont égales pour tout $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ ?

Question 3
Montrer que si $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , $\quad \quad \displaystyle B(\alpha + 1, \beta) = \frac {\alpha} {\alpha + \beta} B(\alpha ,\beta)$ .

Question 4.
Montrer que la fonction $x \mapsto B(x ,\, y)$ est de classe $C^1$ sur $]- 1 , \, +\infty[$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

$\ast$ La fonction $f : x \mapsto x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1}$ est continue sur $]0 , \,1[$ à valeurs positives.
$\ast$ $f(x)\underset {x \to 0} \sim x^{\alpha - 1}$ , donc $f$ est intégrable sur $]0 ,\, 1/2 ]\Leftrightarrow1 - \alpha < 1 \Leftrightarrow \alpha > 0$ .
$\ast$ $f(x)\underset {x \to 1} \sim (1 - x) ^{\beta - 1}$ , donc $f$ est intégrable sur $[1/2 , \,1[$ ssi $1 - \beta < 1$ ssi $\beta > 0$ .

On a donc justifié l’existence de $B(\alpha ,\beta)$ pour tout $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ .

Question 2 :

La fonction $\varphi : \;]0 , \,1[ \to ]0 ,\, 1[,\; u \mapsto 1 - u$ est une bijection de classe $C^1$ et la fonction $f : x \mapsto x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{ \beta - 1}$ est intégrable sur $]0 , \, 1[$ .
Par le théorème de changement de variable,
$B(\alpha ,\beta) =\int_0^1 (1 - u) ^{\alpha - 1} \, u ^{1 - \beta} \, \textrm{d} \, u = B(\beta ,\, \alpha)$ .

Question 3 :

Soient $u : x \mapsto x ^{\alpha}$ et $\displaystyle v : x \mapsto \frac {-1} {\beta} (1 - x) ^{\beta}$ .
$u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $]0 ,\, 1[$ , $u \, v'$ est intégrable sur $]0 , \, 1[$ , $u \, v$ admet $0$ pour limite en $0$ et en $1$ . Par le théorème d’intégration par parties,
$B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \displaystyle \frac {\alpha} {\beta} \int_0 ^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta} \, \textrm{d} \, x$ .
Puis comme $\quad (1 - x) ^{\beta} = (1 - x ) ^{\beta - 1 } - x \, (1 - x )^{\beta - 1}$ ,
les intégrales introduites ensuite étant convergentes,
$\beta \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \displaystyle {\alpha} \int_0 ^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1 } \, \textrm{d} \, x$
$\displaystyle - \,{\alpha} \int_0 ^1 x^{\alpha} \, (1 - x) ^{\beta - 1 } \, \textrm{d} \, x$ .
soit $\beta \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \alpha \,B(\alpha ,\, \beta) - \alpha\, B(\alpha + 1 ,\, \beta)$ ce qui démontre que
$\quad \quad (\alpha + \beta) \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \beta \,B(\alpha ,\, \beta)$
soit la relation demandée.

Question 4 :

On fixe $y \in \mathbb{R}^{+*}$ .
On considère l’application $\quad \quad h : (x , \, t) \mapsto t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{y - 1}$ .
On note $J = \mathbb{R}^{+*}$ et $I =\; ]0 , \, 1 [$ .

$\ast$ Si $x\in \, J,\; t \mapsto h(x ,\, t)$ est continue sur $I$ et intégrable sur $I$ .
$\ast$ Si $t \in I, \; x \mapsto h(x ,\, t)$ est de classe $C^1$ et $\displaystyle \frac {\partial h} {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto \ln(t) \, h(x , \,t)$ .
$\ast$ Si $x \in J, \; \displaystyle t \mapsto \frac {\partial h} {\partial x} (x ,\, t)$ est continue sur $I$ .

$\ast$ Soit $[a ,\, b]$ un segment quelconque inclus dans $J$ .
On note $\varphi : t \mapsto \vert \ln(t) \vert \, t ^{a - 1} \, (1 - t) ^{y - 1}$ .
… $\displaystyle \forall\, (x , \, t) \in [a, \, b]\times I, \; \left \vert \frac {\partial h} {\partial x} (x ,\, t) \right \vert \leq \varphi(t)$ ,
… $\varphi$ est continue sur $I$ .
… en choisissant $\gamma = 1 - a/2$ , $\displaystyle \lim_{t \to 0} \,t^\gamma \varphi(t) = \lim_{t \to 0} t ^{a/2} \ln(t) = 0$ et $\gamma < 1$ , donc $\varphi$ est intégrable sur $]0 , 1/2]$ .
… en écrivant $\varphi (t) \underset {t \to 1} \sim (1 - t) ^y$ car $- \ln(t) \underset {t \to 1} \sim 1 - t$ , on peut alors prolonger $\varphi$ par continuité en $1$ en posant $\varphi(1) = 0$ car $y > 0$ .
La fonction $\varphi$ est intégrable sur $]0 , 1[$ .

Par le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre, la fonction $B$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable sur $J$ et
$\displaystyle \frac {\partial B} {\partial x} (x ,\, y) = \int_0 ^1 \ln(t) \, t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{y - 1} \, \textrm{d} \, t$ .

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7. Généralisation des intégrales de Wallis

Question 1.
Soit $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ . Montrer que $\displaystyle B(\alpha , \beta) = 2 \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{2 \alpha - 1} (t) \, \cos ^{2 \beta - 1} (t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 2
Montrer que l’on peut définir pour $x > - 1$ , $\displaystyle W(x) = \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{x} (t) \, \textrm{d} \, t$ .
Montrer que $W$ est de classe $C^1$ sur $] - 1 , \, +\infty[$ . Quel est son sens de variation ?

Question 3
Si $x > 1$ , trouver une relation entre $W(x)$ et $W(x - 2)$ .

Question 4
Montrer que $P : x \mapsto x \, W(x) \, W(x - 1)$ est 1-périodique sur $]- 1 , +\infty[$ .
Quelle est la valeur de $P(n)$ si $n \in \mathbb {N}^*$ ?

Question 5
a) Justifier l’équivalence de $W(x)$ et $W(x - 1)$ en $+\infty$ .
b) Montrer que $W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor )$ .

Question 6
a) Trouver un équivalent de $W(n)$ lorsque l’entier $n$ tend vers $+\infty$ .
b) En déduire un équivalent de $W(x)$ lorsque $x \to + \infty$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

La fonction $\varphi : t \mapsto \sin^2 (t)$ définit une bijection strictement croissante de $]0 ,\, \pi/2[$ sur $]0 ,\, 1[$ de classe $C^1$ .
Par le théorème de changement de variable dans l’intégrale $B(\alpha , \beta)$ :
$\displaystyle B(\alpha , \beta) = \int_ 0 ^{\pi/2} (\sin ^2 t) ^{\alpha - 1} \, (\cos^2 t) ^{2 \beta - 1} \, 2 \sin t \, \cos t \, \textrm{d} \, t$ .
soit $\displaystyle B(\alpha , \beta) = 2 \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{2 \alpha - 1} (t) \, \cos ^{2 \beta - 1} (t) \, \textrm{d} \, t$ .

(Faites glisser vers la gauche pour la première valeur de $B(\alpha ,\, \beta)$ . )

Question 2 :

a) On remarque que $x > - 1 \Rightarrow \displaystyle \frac {x + 1} 2 > 0$ On peut donc définir $\displaystyle B \left ( \frac {x + 1} 2 , \frac 1 2 \right ) = 2 \,W(x)$ car $2 \alpha - 1 = x$ et $2 \beta - 1 = 0$ .
On retiendra que $\quad \quad W(x) = \displaystyle \frac 1 2 B \left ( \frac {x + 1} 2 , \frac 1 2 \right )$ .

b) On a prouvé que $B_1 : x \mapsto B(x , \,1/2)$ est une fonction de classe $C^1$ et $B_1 '(x) = \int_0 ^1 \ln(t) \, t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{ - 1/2} \, \textrm{d} \, t< 0$ car on intègre une fonction continue sur $]0 , \,1[$ à valeurs strictement négatives sur $]0 ,\, 1[$ .
En utilisant $\displaystyle W(x) = \frac 1 2 B_1 \left ( \frac {x + 1} 2 \right )$ ,
$W$ est de classe $C ^1$ sur $J_0 =\; ] - 1, \, + \infty[$ de dérivée à valeurs strictement négatives donc $W$ est strictement décroissante sur $J_0$ .

Question 3 :

Soit $x > 1$ et $J_1 = \; ]0 , \, \pi/2[$ . On note $u : t \mapsto - \cos(t)$ et $v : t \mapsto \sin^{x - 1}(t)$ .
$u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $J_1$ , la fonction $u'\, v$ est intégrable sur $J_1\,$ , $u \, v$ admet 0 pour limite en $0$ et $\pi/2$ car $x - 1 > 0$ , donc par le théorème d’intégration par parties :
$\displaystyle W(x) = (x - 1) \int_{0} ^{\pi/2} \cos^2(t) \, \sin ^{x - 2} (t) \, \textrm{d} \, t$ .
Puis comme $\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)$ , on obtient :
$W(x) = (x - 1) \left ( W(x - 2) - W(x) \right )$ soit $x \, W(x) = (x - 1) \, W(x - 2)$ .

Question 4 :

Soit $x > - 1$ , alors $x + 1 > - 1$
et $P(x + 1) = (x + 1) \, W(x + 1) \, W(x)$ $P(x + 1) = x \, W(x - 1) \, W(x)$ en utilisant la relation de la question précédente, donc $P(x + 1) = P(x)$ .
Alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $\quad \quad \displaystyle P(n) = P(1) = W(1) \, W(0) = \frac { \pi} 2$ .

Question 5 :

a) On a établi que

$W$ est strictement décroissante sur

$] - 1 , \,+ \infty[$ et à valeurs strictement positives car on intègre une fonction continue et à valeurs strictement positives sur

$]0 ,\, \pi/2[$ .
Si

$x > 0$ ,

$W(x + 1) < W(x) < W(x - 1)$ , en divisant par

$W(x - 1) > 0$ ,

$\quad \quad \displaystyle \frac {W(x + 1)} {W(x - 1)} < \frac {W(x)} {W(x - 1)} < 1$
soit

$\displaystyle \frac {x} {x + 1} < \frac {W(x)} {W(x - 1)} < 1$ .
Par encadrement,

$\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac {W(x)} {W(x - 1)} = 1$ soit

$W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(x - 1)$ .

b) On note $n =\lfloor x \rfloor$ .
En utilisant l’encadrement $n \leq x \leq n + 1$ et la décroissance de $W$ , $\quad \quad W(n + 1) \leq W(x) \leq W(n)$ .
Si $x\to + \infty$ , $n \to +\infty$ et $\quad \quad \displaystyle \frac {W(n + 1)} {W(n)} \leq \frac {W(x)} {W(n)} \leq 1$ ,
par encadrement par deux suites qui convergent vers $1$ , $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac {W(x)} {W(\lfloor x \rfloor) } = 1$ soit $W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor )$ .

Question 6 :

a) On utilise $n \, W(n) \, W(n - 1) = \pi/2$ et $W(n) \underset {n \to + \infty} \sim W(n - 1)$ , donc $\quad \quad n \, W(n)^2 \underset {n \to + \infty} \sim \pi/2$ .
Puis, $\displaystyle W(n)^2 \underset {n \to + \infty} \sim \frac {\pi} {2 n}$ et comme $W(n) > 0$ , $\displaystyle W(n) \underset {n \to + \infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 n}}$ .

b) En divisant l’encadrement $\quad \quad \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$ par $\lfloor x \rfloor > 0$ ,
par encadrement par deux fonctions de limite égale à 1, on obtient : $\quad \quad \quad \quad x \underset {x \to +\infty}\sim \lfloor x \rfloor$ .
Puis on termine avec la question 5.b) :
$\displaystyle W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor ) \underset {x \to +\infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 \lfloor x \rfloor }}$ donc $\displaystyle W(x) \underset {x \to +\infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 \, x} }$

Si vous vous sentez parfaitement à l’aise sur ce chapitre des intégrales à paramètre en Maths Spé, prenez le temps de revoir tranquillement d’autres cours de maths qui vous paraissent un peu plus difficiles, comme par exemple :

Intégrales à paramètre en MP, PC, PSI, PT

Exercices et corrigés – Intégrales à paramètre

1. Calcul de l’intégrale de Dirichlet

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2. Valeur d’une intégrale à paramètre par utilisation d’une équation différentielle

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3. Étude d’une intégrale à paramètre

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4. Généralisation de la formule de Stirling

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5. Une expression de $\Gamma'(1)$

6. La fonction Béta.

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7. Généralisation des intégrales de Wallis

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