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Intégrales à paramètre en MP, PC, PSI, PT

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.8 (1000 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés – Intégrales à paramètre

1. Calcul de l’intégrale de Dirichlet

Mines-Ponts PSI 2018
Soit $\displaystyle F : x \mapsto \int_{0} ^{+\infty} \textrm {e} ^{ - x\, t} \, \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t$ .
Question 1
Montrer que $F$ est continue sur $\mathbb{R} ^{+}$ .

Question 2
Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R} ^{+*}.$

Question 3
Trouver les limites de $F$ et $F'$ en $+\infty$ .

Question 4
Déterminer $F(x)$ pour $x > 0$ .

Question 5
En déduire la valeur de $\quad \quad \quad \quad \displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \, \frac {\sin(t)} {t} \, \textrm{d} \, t \,$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

Deux résultats utiles dans la suite :
$\bullet$ Soit $\varphi : t \mapsto \displaystyle \frac {1 - \cos(t)} {t ^2}$ .
En utilisant $\displaystyle 1 - \cos(t) \underset {t \to 0} \sim \frac {t ^2} 2$ , on prolonge $\varphi$ par continuité en $0$ en posant $\varphi(0) = 1/2$ .
Puis en utilisant si $t \geq 1$ , $\displaystyle 0 \leq \varphi (t) \leq \frac 2 {t ^2}$ , par domination, $\varphi$ est intégrable sur $[1 , \, + \infty[$ donc $\varphi$ est intégrable sur $\mathbb{R} ^+$ .

$\bullet$ On utilisant $\vert \sin u \vert \leq \vert u \vert$ , on obtient $\displaystyle 0 \leq 1 - \cos(t) = 2 \sin^2 \left ( \frac t 2 \right ) \leq 2 \frac {t ^2} 4 \leq\frac {t ^2} 2$ .

Continuité de $F$ .
On note $\displaystyle f : (x , \, t) \mapsto \textrm {e} ^{ - x\, t} \, \frac {1 - \cos(t)} {t ^2}$ .
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R}^+, \; t \mapsto f(x ,\, t)$ , $\displaystyle 0 \mapsto \frac 1 2$ est continue sur $[0 , \, +\infty[$ .
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R} ^+,\;\vert f(x ,\, t) \vert \leq \varphi (t)$ et on a prouvé que $\varphi$ est continue et intégrable sur $\mathbb{R}^+$ .
Par le théorème de continuité des intégrales à paramètre, la fonction $F$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 2 :

On rappelle que l’on a prouvé que $\displaystyle 0 \leq 1 - \cos(t) \leq\frac {t ^2} 2$ . (*)

$\bullet$ Pour tout $x > 0$ , $t \mapsto f(x, \,t)$ est continue et intégrable sur $I = \mathbb{R}^{+*}$ .
$\bullet$ Pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x , \,t)$ est de classe $C^2$ sur $I$ .
$\ast$ $\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto - \frac {1 - \cos(t)} {t} \, \textrm{e} ^{ - x\, t}$
$\ast$ $\displaystyle \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 } : (x ,\, t) \mapsto (1 - \cos(t)) \, \textrm{e} ^{ - x\, t}$
$\bullet$ Soit $a > 0$ , si $(x ,\, t) \in [a , \, + \infty[ \times I$ ,
$\ast$ $\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x} (x , \, t) \right \vert \leq \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }$ (par (*))
$\ast$ $\displaystyle \left \vert \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 } (x ,\, t) \right \vert \leq 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }$
Les fonctions $\displaystyle \varphi_1 : t \mapsto \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - a\, t }$ et $\displaystyle \varphi_2 : t \mapsto 2\, \textrm{e} ^{ - a\, t }$ sont continues et intégrables sur $\mathbb{R}$ (il n’y a pas de problème pour $\varphi_2$ ; pour $\varphi_1\,$ , on utilise $\displaystyle \varphi_1(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )$ ).

$\bullet$ $\bullet$ Par le théorème de dérivation des intégrales à paramètre, la fonction $F$ est de classe $C^2$ sur $I$ et
$\ast$ $\forall \, x \in I, \; F'(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {\partial f } {\partial x }(x ,\, t) \, \textrm{d} \,t$ .
$F'(x) = \displaystyle - \int_0^{+\infty} \frac {1 - \cos(t) } t \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm{d}\, t$ .

$\ast$ $\forall \, x \in I, \; F''(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {\partial^2 f } {\partial x^2 }(x , \, t) \, \textrm{d} \,t$ .
$F''(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} (1 - \cos(t) ) \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm{d} \, t$ .

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Question 3 :

En utilisant $0 \leq 1 - \cos(t) \leq t ^2 / 2$ , pour tout $x > 0$ ,
$\displaystyle 0 \leq F(x) \leq \int_0^{+\infty} \frac 1 2 \, \textrm{e} ^{ - x \, t} \, \textrm {d} \, t\leq \frac 1 {2\, x}$ , donc par encadrement, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 0$ .

De même, $\displaystyle \vert F'(x)\vert \leq \int_0^{+\infty} \frac t 2 \, \textrm{e} ^{ - x \, t} \, \textrm {d} \, t$ .
On démontre facilement que $\displaystyle \int_0^{+\infty} t \, \textrm{e} ^{ - x\, t} \, \textrm {d} \, t = \left [ - \left ( \frac {t} {x} + \frac 1 {x^2} \right ) \textrm{e} ^{ - x\, t}\right ] _0 ^{+\infty}$
$\displaystyle \vert F'(x)\vert \leq \frac 1 {2\, x^2}$ .
Donc par encadrement, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\, F'(x) = 0$ .

Question 4 :

$\bullet$ On commence par calculer $F''$ .
On calcule $G(x) = \displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(t) \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm {d}\, t$ $\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left (\int_0^{+\infty} \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} \, \textrm{e} ^{ - x\, t } \, \textrm {d}\, t \right )$ .
$\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left [\frac 1 {-x + \textrm{i} } \textrm{e} ^ {(\textrm{i} - x) t } \right ]_0 ^{+\infty}$ .
$\displaystyle G(x) = \textrm{Re} \left ( \frac 1 {x - \textrm{i} } \right ) = \textrm{Re} \left ( \frac {x + \textrm{i} }{x^2 + 1} \right )$ .
$\displaystyle G(x) = \frac x {x ^2 + 1}$ .
Donc $\forall \, x > 0, \; \displaystyle F''(x) = \frac 1 x - \frac x {x ^2 + 1}$ .

$\bullet$ Calcul de $F'$ .
On en déduit qu’il existe $a \in \mathbb{R},$ pour tout $\ x \in I,$ $F'(x) = \ln(x) - \frac 1 2 \ln(x ^2 + 1 ) + \lambda$ $f'(x) = \displaystyle \frac 1 2 \ln \left ( \frac {x^2} {x^2 + 1} \right ) + \lambda$
En passant à la limite, on obtient $\lambda = 0$ .

$\bullet$ Calcul de $F$ .
On cherche une primitive $H$ de $\displaystyle x \mapsto \frac {\ln(x ^2 + 1)} 2$ en intégrant par parties :
$\displaystyle H(x) = \int_0^x \frac {\ln(t ^2 + 1)} 2 \, \textrm{d} \, t$ $\displaystyle H(x) = \left [ \frac 1 2 t \ln(t ^2 + 1) \right]_0^x - \int_0 ^x \frac {t ^2} {t ^ 2 + 1} \, \textrm{d} \, t$
et comme $t ^2 = t ^2 + 1 - 1$ ,
$\displaystyle H(x) = \left [ \frac 1 2 t \ln(t ^2 + 1) \right]_0^x - \int_0 ^x \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle + \int_0 ^x \frac {1} {t ^ 2 + 1} \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle H(x) = \left [ \frac t 2 \ln(t ^2 + 1) - t + \textrm{Arctan} (t) \right]_1^x$
Il existe un réel $\mu$ tel que pour tout $x \in I$
$F(x) =\displaystyle x \ln(x) - \frac x 2 \ln(x ^2 + 1)$
$- \textrm{Arctan} (x) +\mu$

Comme $\displaystyle \ln \left (\frac{x ^2 + 1} {x^2} \right )\underset {x \to + \infty} \sim \frac 1 {x^2}$ , $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac x 2 . \ln \left (\frac{x ^2 + 1} {x^2} \right ) = \lim_{x\to + \infty} \frac x 2 \frac 1 {x^2} = 0$
En passant à la limite ( $x \to + \infty$ ) , on obtient $\displaystyle \mu = \frac \pi 2$ .
Alors pour tout $x > 0$ , $\displaystyle F(x) = x \ln(x) - \frac x 2 \ln(x ^2 + 1)$
$\displaystyle - \textrm{Arctan} (x) + \frac {\pi} 2$ .

Question 5 :

Comme $F$ est continue en $0$ , $F(0) =\frac \pi 2$ .
c’est à dire $\displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t = \frac \pi 2$

Puis les fonctions $u: t \mapsto 1 - \cos(t)$ et $v : t \mapsto - 1/t$ sont de classe $C^1$ sur $I$ , $u\, v'$ est intégrable sur $I$ , $u\, v$ admet $0$ pour limite en $0$ et en $+\infty$ , par le théorème d’intégration par parties,
$\displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \frac {1 - \cos(t)} {t ^2} \, \textrm{d} \, t = \int_{0} ^{+\infty} \frac {\sin(t)} {t } \, \textrm{d} \, t$
On a donc prouvé que $\quad \quad \displaystyle \int_{0} ^{+\infty} \, \frac {\sin(t)} {t} \, \textrm{d} \, t= \frac \pi 2$ .

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2. Valeur d’une intégrale à paramètre par utilisation d’une équation différentielle

On pose $F(x) =\displaystyle \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t\,}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t$ .
Question 1
Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb {R}$ .

Question 2
À l’aide d’une équation différentielle vérifiée par $F$ , calculer sa valeur.

Corrigé de l’exercice

Question 1 :

$\bullet$ Résultat préliminaire.
La fonction $g : t \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t\,}}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+*}$ .
$\ast$ $\displaystyle g(t) \underset {t \to + \infty} \sim \frac 1 {\sqrt{t\,}}$ , donc $g$ est intégrable sur $]0 , \, 1]$ .
$\ast$ Si $t \geq 1, \; 0 \leq g(t) \leq \textrm{e} ^{ - t }$ , donc $g$ est intégrable sur $[1 , \, + \infty[$ .
Alors $g$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+*}$ .

$\bullet$ Domaine de définition de $F$ .
Soit $x \in \mathbb{R}$ . La fonction $g_x : t \mapsto g(t) \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+*}$ et $\vert g_x(t) \vert = g(t)$ , donc $g_x$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+*}$ , ce qui justifie l’existence de $F$ sur $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ On démontre que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f : (x , \, t) \mapsto g(t) \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t}$ .
On note $I = \mathbb{R}^{+*}$ .
$\ast$ Pour tout réel $x$ , $t \mapsto f(x, \, t)$ est continue et intégrable sur $I$ .
$\ast$ Pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et $\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x , \, t) \mapsto \textrm{i} \, t f(x , \, t)$
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R}, \; \displaystyle t \mapsto \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t)$ est continue sur $I$ .
$\ast$ On note $\varphi: t \mapsto \sqrt{t\,} \, \textrm{e} ^{- t}$ .
$\forall\, (x , \, t) \in \mathbb{R} \times I,$ $\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi(t)$ .
$\varphi$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ et vérifie $\displaystyle \varphi(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t^2} \right )$ , donc $\varphi$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ .

Par le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et $F'(x) = \displaystyle \int_0 ^{+\infty} {\sqrt{t\,}}\, {\textrm{e} ^{- t}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t.$

Question 2 :

$\bullet$ Recherche de l’équation différentielle.
On note $u : \displaystyle \frac {- \textrm{i}\, \textrm{e} ^{- t(1 - \textrm{i} \, x)}} {1 - \textrm{i} \, x}$ et $v : t \mapsto \sqrt{t}$
$u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $\mathbb{R} ^{+*}$ , $u' \, v$ est intégrable sur $\mathbb{R} ^{+*}$ , $u \, v$ admet 0 pour limite en 0 et en $+\infty$ , donc par le théorème d’intégration par parties,
$F'(x) = \displaystyle \frac {\textrm{i}} {2(1 - \textrm{i} \, x)} \, \int_0 ^{+\infty} \frac{\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t}} \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, x\, t} \, \textrm{d}\, t$ .
$F'(x) = \displaystyle \frac {\textrm{i}} {2(1 - \textrm{i} \, x)} F(x) =\frac {\textrm{i}(1 + \textrm{i} \, x)} {2(1 + x^2)} F(x)$ .

$\bullet$ Résolution de l’équation différentielle.
$a :\displaystyle x \mapsto \frac {\textrm{i} - x} {2(1 + x^2)}$ admet comme primitive $A : \displaystyle x \mapsto \frac {\textrm{i}} {2} \textrm{Arctan} (x) - \frac {\ln(x^2 + 1)} {2}$ .
On en déduit qu’il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ , $\forall \, x \in \mathbb{R}, \; \displaystyle F(x) = \lambda \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i Arctan}(x)/ 2} }{\sqrt{x ^2 + 1}}$ .

$\bullet$ Calcul de $F(0)$ .
La fonction $\varphi : \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}^{+*},\, u \mapsto u ^2$ est une bijection de classe $C^1$ strictement croissante, par le théorème de changement de variable,
$F(0)= \displaystyle \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt{t}} \, \, \textrm{d}\, t = \int_0 ^{+\infty} \frac {\textrm{e} ^{- u ^2 }} {u} \, 2 \, u \, \textrm{d}\, u$ .
En utilisant l’intégrale de Gauss, $F(0) = \sqrt{\pi}$ .

On en déduit que $\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \,\displaystyle F(x) = \sqrt{\pi}\, \frac {\textrm {e} ^{\textrm {i Arctan}(x)/2} }{\sqrt{x ^2 + 1}}$ .

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3. Étude d’une intégrale à paramètre

$F : x \mapsto \displaystyle \int_0 ^1 \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t} \, \textrm{d} \, t$ .
Question 1.
Trouver le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $F$ .

Question 2
Démontrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathcal{D}$ et que $F$ est strictement monotone. Trouver une équation différentielle vérifiée par $F$ .

Question 3
Etudier les limites et les branches infinies du graphe de $F$ . Tracer le graphe de $F$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1:

La fonction $f : (x , t) \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}$ est continue sur $\mathbb{R} \times [0 ,\, 1]$ , donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $t \mapsto f(x , \,t)$ est continue sur $[0 ,\, 1]$ donc $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ .

Question 2 :

$\bullet$ $F$ est de classe $C^1$ .
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $t \mapsto f(x ,\, t)$ est continue et intégrable sur $[0 , \,1]$ .
$\ast$ Pour tout $t \in [0 ,\, 1]$ , $x \mapsto f(x ,\, t)$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et $\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto \frac { - t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}$
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f } {\partial x}(x ,\, t)$ est continue sur $[0 ,\, 1]$ .
$\ast$ Soit $a \in \mathbb{R}^{+*}$ , si $(x , \,t) \in [-a ,\, a] \times [0 ,\, 1]$ , $\displaystyle \left \vert \frac {\partial f } {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi (t)$ où $\varphi : t \mapsto \textrm{e} ^{ a \, t}$ .
La fonction $\varphi$ est continue et intégrable sur $[0 , \, 1]$ .
$\ast$ $\ast$ La fonction $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et $\forall\, x \in \mathbb{R},\; F'(x) = - \displaystyle \int_0 ^1 \frac {t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t} \, \textrm{d} \, t$ .

$\bullet$ Stricte monotonie de $F$ .
Comme $\displaystyle t \mapsto \frac { - t \, \textrm{e} ^{- x\, t}}{1 + t}$ est continue sur $[0 ,\, 1]$ , à valeurs négatives ou nulles et différente de la fonction nulle, $F'(x) < 0$ .
$F$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ Équation différentielle.
$\displaystyle F'(x) - F(x) = - \int_0 ^1 \textrm{e} ^{ - x \, t } \textrm{d} \, t = \frac {\textrm{e}^{-x} - 1} x$ si $x \neq 0$ et $F'(0) - F(0) = - 1$ .

Question 3 :

$\bullet$ Limite en $-\infty$ .
Si $x < 0$ , $F(x) \geq \displaystyle \int_0 ^1 \frac {\textrm{e} ^{- x\, t}}{2} \, \textrm{d} \, t$ , donc $F(x) \geq \displaystyle \frac {1 - \textrm{e}^{-x} } {2 \,x}$ , donc par minoration $\displaystyle \lim_{x\to - \infty} F(x) = +\infty$ .
Puis par division par $x < 0$ , $\displaystyle \frac {F(x)} x \leq \frac {1 - \textrm{e}^{-x} }{ 2 \,x^2}$ $\Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to - \infty} \frac {F(x)} x = - \infty$ .
Le graphe de $F$ admet une branche parabolique de direction Oy.

$\bullet$ Limite en $+\infty$
Si $x > 0,\; 0 \displaystyle \leq F(x) \leq \int_0 ^1 \textrm{e} ^{ - x\, t} \textrm{d} \, t \leq \frac 1 x$ . Par encadrement, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x) = 0$ .
Le graphe admet une asymptote d’équation $y = 0$ en $+ \infty$ .

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Avant de s’entraîner en conditions réelles de concours, il est important pour les étudiants de Maths Spé, de s’assurer d’être à jour dans les cours et de ne souffrir d’aucune difficulté. Une petite relecture des cours en ligne de Maths en PC, des cours en ligne de Maths en PSI ou des cours en ligne de Maths en MP est fortement recommandée.

4. Généralisation de la formule de Stirling

Question 1 : deux inégalités.
a) Montrer que pour tout $s \in \;]- 1 , \,0] ,$ $\displaystyle \ln(1 + s) - s \leq -\frac { s^2} 2$ .
b) Soit $x \geq 1$ , pour tout $t \geq 0$ , montrer que
$\displaystyle x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t \, \sqrt{x} \leq \ln(1 + t) - t$ .

Question 2 : convergence d’une intégrale.
On note si $x \geq 1$ et $t \geq - \sqrt{x}$ , $\quad \quad \displaystyle f(x , t) = \left ( 1 + \frac {t} {\sqrt{x} } \right ) ^x \textrm{e} ^{ - t \sqrt{x} }$ .
Justifier l’existence de $\quad \quad \displaystyle G(x) = \int_{-\sqrt{x} } ^{+\infty} f(x , t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 3 : limite de l’intégrale de la question 2.
Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_{-\sqrt{x} } ^{+\infty} f(x , t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 4 : Équivalent de $\Gamma(x + 1)$ en $+\infty$ .
En justifiant soigneusement le changement de variable $u = x + t \sqrt{x}$ , trouver un équivalent de $\Gamma(x + 1)$ en $+\infty$ .
On utilisera $\int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t = \sqrt{2 \, \pi\, }$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

a) On note si $s \in \; ]- 1 ,\, 0] ,$ $\displaystyle u(s) = -\frac {s^2} 2 + s - \ln(1 + s)$ .
$\displaystyle u'(s) = - s + 1 - \frac 1 {1 + s} = \frac { - s^2 } {1 + s}\leq 0$ .
$u$ est décroissante sur $]- 1 , \, 0]$ et $u(0) = 0,$ donc pour tout $s \in\; ]- 1 , \, 0],$ $\; u(s) \geq 0$ .

b) On note si $t \geq 0,$ $v(t) = \displaystyle \ln(1 + t) - t - x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right )$
$+\, t\, \sqrt{x}$
$\displaystyle v'(t) = \frac 1 {1 + t} - 1 - \frac{x} {\sqrt{x} + t} + \sqrt{x}$
$\displaystyle v'(t) = \frac {-t} {1 + t} + \frac{\sqrt{x} \, t} {\sqrt{x} + t}$
$\displaystyle v'(t) = \frac {t^2 (\sqrt{x} - 1)} {(1 + t) (\sqrt{x} + t)} \geq 0$
$v$ est croissante sur $\mathbb{R} ^{+}$ et $v(0) = 0$ , donc pour tout $t \geq 0, \; v(t) \geq 0$ , ce que l’on voulait démontrer.

Question 2 :

Soit $x \geq 1$ fixé ; $h : t \mapsto f(x , t)$ est continue sur $I = \; ] - \sqrt{x} , \, +\infty[$ .
Comme $\displaystyle \lim_{t \to - \sqrt{x}} h(t) = 0$ car $x \geq 1$ , on prolonge $h$ par continuité en $- \sqrt{x}$ en posant $h( - \sqrt{x}) = 0$ .
Puis $\displaystyle \ln(t ^2 \, h(t)) = 2 \ln(t) + x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t\sqrt{x}$
En utilisant $\ln(t) \underset {t \to + \infty} = o(t)$ , on obtient $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \ln(t ^2 \, h(t)) = -\infty$ , ce qui donne $\displaystyle h(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )$ , donc $h$ est intégrable sur $[1 , +\infty[$ par domination par une fonction intégrable.

Question 3 :

On note $G(x) = \displaystyle \int_{- \infty} ^{+\infty} h(x , \,t) \, \textrm{d} \, t$ , où $h(x ,\, t) = f(x , \,t)$ si $t > - \sqrt{x}$ et $h(x ,\, t) = 0$ si $t \leq - \sqrt{x}$ .
$\ast$ Pour tout $x \geq 1$ , $t \mapsto h(x ,\, t)$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$\ast$ Pour tout $t \in \mathbb{R}$ , pour $x$ assez grand, $t > - \sqrt{x}$ et $h(x ,\, t) = f(x , \,t) > 0$ .
$\displaystyle \ln(h(x , \,t)) = x \ln \left ( 1 + \frac {t} {\sqrt{x}} \right ) - \frac {t} {\sqrt{x} }$
$\displaystyle \ln(h(x ,\, t)) \underset {x \to +\infty} = x \left ( \frac {t} {\sqrt{x}} - \frac {t^2 } {2 x} + \textrm{o} \left ( \frac 1 x \right ) \right )$
$\displaystyle - \frac {t} {\sqrt{x} }$
$\displaystyle \ln(h(x ,\, t)) \underset {x \to +\infty} = \frac {- t ^2} 2 + \textrm{o} (1)$
donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x ,\, t) = \textrm {e} ^{ - t ^2/2}$ .
La fonction $t \mapsto \textrm {e} ^{ - t ^2/2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$\ast$ Domination : en utilisant l’inégalité $\forall\, s \in\; ]- 1 ,\, 0] , \; \ln(1 + s) - s \leq - s^2 / 2$
lorsque $t \in \; ]- \sqrt{x} ,\, 0]$ , $\quad \quad \displaystyle \ln \left (1 + \frac t {\sqrt{x} }\right ) - \frac t {\sqrt{x}} \leq - \frac {t^2} {2 \, x}$
par multiplication par $x > 0$ et croissance de l’exponentielle, on obtient $\quad \quad 0 \leq h(x ,\, t) \leq \textrm{e} ^{ - t^2/2}$ .

En utilisant pour tout $t \geq 0$ , $\displaystyle x \ln \left ( 1 + \frac t {\sqrt{x}} \right ) - t \, \sqrt{x} \leq \ln(1 + t) - t$ ,
et par croissance de l’exponentielle, on obtient $0 \leq h(x , \, t) \leq \textrm{e} ^{\ln(1 + t) - t }$ soit $\displaystyle 0 \leq h(x , \, t) \leq (1 + t) \, {\textrm{e}^{ - t} }$ .

On note $\varphi(t) = \textrm{e} ^{ - t^2/2}$ si $t < 0$ et $\varphi(t) = (1 + t)\, {e^{ - t} }$ si $t \geq 0$ .
On a montré que si $\quad \quad t > - \sqrt{x} , \; 0 \leq h(x,\, t) \leq \varphi(t)$
ce qui reste vrai si $t \leq - \sqrt{x}$ .
La fonction $\varphi$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$ , elle est intégrable sur $] - \infty , \, - 1]$ et sur $[1 , \, +\infty[$ car c’est un $o(1/t^2)$ au voisinage de $\pm \infty$ .

On peut donc appliquer la généralisation du théorème de convergence dominée
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} G(x) = \int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t$ .

Question 4 :

La fonction $\varphi :\; ]0 , +\infty| \to ] - \sqrt{x} , + \infty[,$ $\displaystyle u \mapsto - \sqrt{x} + \frac u {\sqrt{x}}$ définit une bijection strictement croissante de classe $C^1$ , le théorème de changement de variable dans $G(x)$ donne :
$G(x) = \displaystyle \int_0 ^{+\infty} \left ( \frac u x \right ) ^x \, \textrm {e} ^{ - u + x} \frac 1 {\sqrt{x} } \, \textrm{d} \, u$
$G(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} } \int_0 ^{+\infty} u ^x\, \textrm{e} ^{ - u} \, \textrm{d} \, u$
$G(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} } \, \Gamma(x + 1)$ .

En utilisant $\int_ {- \infty} ^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2 / 2} \textrm{d} \, t = \sqrt{2 \, \pi\, }$
on a prouvé que $\quad \quad \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x }} {x ^x \, \sqrt{x} }\Gamma(x + 1) \underset {x\to + \infty} \sim \sqrt{2 \, \pi}$
soit $\displaystyle \Gamma(x + 1) \underset {x\to + \infty} \sim {\textrm{e} ^{- x }}\, x ^x \, \sqrt{2 \, \pi\, x }$ .

On rappelle que si $n \in \mathbb{N},\; \Gamma(n + 1) = n!$ , on retrouve donc la formule de Stirling.

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5. Une expression de $\Gamma'(1)$

On rappelle que l’on a prouvé que $\Gamma'(1) = \int_0^{+\infty} \ln(t) \, \textrm {e} ^{ - t} \, \textrm{d} \, t$ .

Question 1
Soit $n \in \mathbb{N}$ . Montrer que l’intégrale $\displaystyle I_n = \int_0 ^1 (1 - t) ^n \, \ln(t)\, \textrm{d} \, t$ est convergente et la calculer.

Question 2
Déterminer $\displaystyle \lim _ {n \to +\infty} \int_0 ^n \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 3 : Calcul de $\Gamma'(1)$ .
En utilisant $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} H_n - \ln(n) = \gamma$ , montrer que $\Gamma '(1) = - \gamma$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

$\ast$ Convergence de l’intégrale.
La fonction $f _n : t \mapsto (1 - t) ^n \, \ln(t)$ est continue sur $]0 , \,1]$ et équivalente en $0$ à $t \mapsto \ln(t)$ qui est intégrable sur $]0 , \, 1]$ , donc $f_n$ est intégrable sur $]0, \, 1]$ .

$\ast$ Calcul par intégration par parties.
Les fonctions $u : t \mapsto \displaystyle \frac {1 - (1 - t)^{n + 1} } {n + 1}$ et $v = \ln$ sont de classe $C^1$ sur $]0 , \, 1]$ et vérifient $\displaystyle \lim_ {t \to 0} u(t) \, v(t) = 0$ car $u(t) \underset {t \to 0} \sim t$
et $\displaystyle \lim_ {t \to 1} u(t) \, v(t) = 0$ .
La fonction $u' \, v : t \mapsto (1 - t)^n \, \ln(t)$ est intégrable sur $]0 , \, 1]$ .
Par le théorème d’intégration par parties,
$\displaystyle I_n = -\int_0 ^1 \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } {(n + 1)\, t} \, \textrm{d} \, t$ .
Si $t > 0$ , $\displaystyle \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } t = \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } {1 - (1 - t)}$
$\displaystyle - \frac {1 - (1 - t) ^{n + 1} } t = - \sum _ {k = 0}^{n} (1 - t) ^k$
donc $\displaystyle I_n = \left [ \sum _{k = 0} ^{n } \frac {(1 - t) ^{k + 1} } {(k + 1)(n+1)} \right ] _ 0 ^1$ $\displaystyle I_n = - \frac 1 {n + 1} \sum_{k = 0} ^{n } \frac 1 {k + 1}$ .

$\ast$ $\ast$ On a démontré que $\displaystyle I_n = - \frac {H_{n+1}} {n + 1}$ où $H_n = \displaystyle \sum_{k = 1} ^{n} \frac 1 k$ .

Question 2 :

On définit $\displaystyle f_n(t) = \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t)$ si $t \in \; ]0 , \, n]$ et $f_n(t) = 0$ si $t > n$ .
Pour tout $t > 0$ , il existe $N \in \mathbb{N}^*$ tel que si $n > N,\; t > n$ donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n(t) = \textrm{e} ^{ - t} \ln(t)$ , où $t \mapsto \textrm{e} ^{ - t} \, \ln(t)$ est continue sur $]0 , \, +\infty[$

En utilisant si $t \geq 0, \, \; 1 - t \leq \textrm{ e}^{- t}$ (il suffit d’étudier la fonction) alors si $t \in\; ]0 , \, n]$ , $0 \leq 1 - t/n \leq \textrm{e} ^{ - t/n}$ puis $\displaystyle 0 \leq \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \leq \textrm{e} ^{ - t}$ donc $\displaystyle 0 \leq \vert f_n(t) \vert \leq \varphi(t)$ où $\varphi : t \mapsto \vert \ln(t)\vert \, \textrm{e} ^{ - t}$
$\varphi$ est continue sur $]0 , \, +\infty[$ et vérifie $\varphi (t) \leq \vert \ln(t) \vert$ , $\varphi$ est intégrable par domination sur $]0 , \, 1]$ .
Comme $\varphi(t) \underset {t \to +\infty} = \textrm{o} (1/t^2)$ , $\varphi$ est intégrable sur $[1,\, + \infty[$ .

Par le théorème de convergence dominée, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{- \infty} ^{+\infty} g_n(t) \, \textrm{d} \, t = \int_0 ^{+\infty} \ln(t)\, \textrm {e} ^{ - t } \, \textrm {d} \, t$

Question 3 :

La fonction $\varphi :\; ]0 ,\, 1] \to \; ]0 ,\, n],\; u \mapsto n \, u$ est une bijection de classe $C^1$ strictement croissante, par changement de variable dans l’intégrale $\displaystyle J_n = \int_0 ^n \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, \ln(t) \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle J_n = \int_0 ^1 \left ( 1 - u \right ) ^n \, \ln(n\, u )\, n \, \textrm{d} \, u$ , on obtient $\displaystyle J_n = n\, I_n + n\, \ln(n) \int_0 ^1 \left ( 1 - u \right ) ^n \, \, \textrm{d} \, u$
$\displaystyle J_n = n\, I_n + n\, \ln(n) \left [ -\frac {(1 - u) ^{n + 1} } {n + 1} \right ] _0 ^1$
$\displaystyle J_n = n \, I_n + \frac {n\, \ln(n) } {n + 1}$
$\displaystyle J_n = - \frac {n } {n + 1} \left ( H_n - \ln(n) \right ) - \frac {n} {(n +1)^2}$ .
En utilisant $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} H_n - \ln(n) = \gamma\,$ , on obtient $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} J_n = -\gamma$ soit $\int_0 ^{+\infty} \ln(t) \, \textrm {e} ^{ - t }\, \textrm {d} \, t \, = -\gamma$ donc $\Gamma '(1) = - \gamma$ .

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6. La fonction Béta.

On désigne par $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs et l’on considère l’intégrale $B(\alpha ,\beta)$ définie par
$\quad B(\alpha ,\beta)= \displaystyle \int_0^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1} \, \textrm{d} \, x$ .

Question 1.
Justifier l’existence de $B(\alpha ,\beta)$ .

Question 2
$B(\alpha ,\beta)$ et $B(\beta , \, \alpha)$ sont égales pour tout $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ ?

Question 3
Montrer que si $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , $\quad \quad \displaystyle B(\alpha + 1, \beta) = \frac {\alpha} {\alpha + \beta} B(\alpha ,\beta)$ .

Question 4.
Montrer que la fonction $x \mapsto B(x ,\, y)$ est de classe $C^1$ sur $]- 1 , \, +\infty[$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

$\ast$ La fonction $f : x \mapsto x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1}$ est continue sur $]0 , \,1[$ à valeurs positives.
$\ast$ $f(x)\underset {x \to 0} \sim x^{\alpha - 1}$ , donc $f$ est intégrable sur $]0 ,\, 1/2 ]\Leftrightarrow1 - \alpha < 1 \Leftrightarrow \alpha > 0$ .
$\ast$ $f(x)\underset {x \to 1} \sim (1 - x) ^{\beta - 1}$ , donc $f$ est intégrable sur $[1/2 , \,1[$ ssi $1 - \beta < 1$ ssi $\beta > 0$ .

On a donc justifié l’existence de $B(\alpha ,\beta)$ pour tout $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ .

Question 2 :

La fonction $\varphi : \;]0 , \,1[ \to ]0 ,\, 1[,\; u \mapsto 1 - u$ est une bijection de classe $C^1$ et la fonction $f : x \mapsto x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{ \beta - 1}$ est intégrable sur $]0 , \, 1[$ .
Par le théorème de changement de variable,
$B(\alpha ,\beta) =\int_0^1 (1 - u) ^{\alpha - 1} \, u ^{1 - \beta} \, \textrm{d} \, u = B(\beta ,\, \alpha)$ .

Question 3 :

Soient $u : x \mapsto x ^{\alpha}$ et $\displaystyle v : x \mapsto \frac {-1} {\beta} (1 - x) ^{\beta}$ .
$u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $]0 ,\, 1[$ , $u \, v'$ est intégrable sur $]0 , \, 1[$ , $u \, v$ admet $0$ pour limite en $0$ et en $1$ . Par le théorème d’intégration par parties,
$B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \displaystyle \frac {\alpha} {\beta} \int_0 ^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta} \, \textrm{d} \, x$ .
Puis comme $\quad (1 - x) ^{\beta} = (1 - x ) ^{\beta - 1 } - x \, (1 - x )^{\beta - 1}$ ,
les intégrales introduites ensuite étant convergentes,
$\beta \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \displaystyle {\alpha} \int_0 ^1 x^{\alpha - 1} \, (1 - x) ^{\beta - 1 } \, \textrm{d} \, x$
$\displaystyle - \,{\alpha} \int_0 ^1 x^{\alpha} \, (1 - x) ^{\beta - 1 } \, \textrm{d} \, x$ .
soit $\beta \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \alpha \,B(\alpha ,\, \beta) - \alpha\, B(\alpha + 1 ,\, \beta)$ ce qui démontre que
$\quad \quad (\alpha + \beta) \, B(\alpha + 1 ,\, \beta) = \beta \,B(\alpha ,\, \beta)$
soit la relation demandée.

Question 4 :

On fixe $y \in \mathbb{R}^{+*}$ .
On considère l’application $\quad \quad h : (x , \, t) \mapsto t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{y - 1}$ .
On note $J = \mathbb{R}^{+*}$ et $I =\; ]0 , \, 1 [$ .

$\ast$ Si $x\in \, J,\; t \mapsto h(x ,\, t)$ est continue sur $I$ et intégrable sur $I$ .
$\ast$ Si $t \in I, \; x \mapsto h(x ,\, t)$ est de classe $C^1$ et $\displaystyle \frac {\partial h} {\partial x} : (x ,\, t) \mapsto \ln(t) \, h(x , \,t)$ .
$\ast$ Si $x \in J, \; \displaystyle t \mapsto \frac {\partial h} {\partial x} (x ,\, t)$ est continue sur $I$ .

$\ast$ Soit $[a ,\, b]$ un segment quelconque inclus dans $J$ .
On note $\varphi : t \mapsto \vert \ln(t) \vert \, t ^{a - 1} \, (1 - t) ^{y - 1}$ .
… $\displaystyle \forall\, (x , \, t) \in [a, \, b]\times I, \; \left \vert \frac {\partial h} {\partial x} (x ,\, t) \right \vert \leq \varphi(t)$ ,
… $\varphi$ est continue sur $I$ .
… en choisissant $\gamma = 1 - a/2$ , $\displaystyle \lim_{t \to 0} \,t^\gamma \varphi(t) = \lim_{t \to 0} t ^{a/2} \ln(t) = 0$ et $\gamma < 1$ , donc $\varphi$ est intégrable sur $]0 , 1/2]$ .
… en écrivant $\varphi (t) \underset {t \to 1} \sim (1 - t) ^y$ car $- \ln(t) \underset {t \to 1} \sim 1 - t$ , on peut alors prolonger $\varphi$ par continuité en $1$ en posant $\varphi(1) = 0$ car $y > 0$ .
La fonction $\varphi$ est intégrable sur $]0 , 1[$ .

Par le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre, la fonction $B$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable sur $J$ et
$\displaystyle \frac {\partial B} {\partial x} (x ,\, y) = \int_0 ^1 \ln(t) \, t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{y - 1} \, \textrm{d} \, t$ .

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7. Généralisation des intégrales de Wallis

Question 1.
Soit $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ . Montrer que $\displaystyle B(\alpha , \beta) = 2 \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{2 \alpha - 1} (t) \, \cos ^{2 \beta - 1} (t) \, \textrm{d} \, t$ .

Question 2
Montrer que l’on peut définir pour $x > - 1$ , $\displaystyle W(x) = \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{x} (t) \, \textrm{d} \, t$ .
Montrer que $W$ est de classe $C^1$ sur $] - 1 , \, +\infty[$ . Quel est son sens de variation ?

Question 3
Si $x > 1$ , trouver une relation entre $W(x)$ et $W(x - 2)$ .

Question 4
Montrer que $P : x \mapsto x \, W(x) \, W(x - 1)$ est 1-périodique sur $]- 1 , +\infty[$ .
Quelle est la valeur de $P(n)$ si $n \in \mathbb {N}^*$ ?

Question 5
a) Justifier l’équivalence de $W(x)$ et $W(x - 1)$ en $+\infty$ .
b) Montrer que $W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor )$ .

Question 6
a) Trouver un équivalent de $W(n)$ lorsque l’entier $n$ tend vers $+\infty$ .
b) En déduire un équivalent de $W(x)$ lorsque $x \to + \infty$ .

Corrigé de l’exercice :

Question 1 :

La fonction $\varphi : t \mapsto \sin^2 (t)$ définit une bijection strictement croissante de $]0 ,\, \pi/2[$ sur $]0 ,\, 1[$ de classe $C^1$ .
Par le théorème de changement de variable dans l’intégrale $B(\alpha , \beta)$ :
$\displaystyle B(\alpha , \beta) = \int_ 0 ^{\pi/2} (\sin ^2 t) ^{\alpha - 1} \, (\cos^2 t) ^{2 \beta - 1} \, 2 \sin t \, \cos t \, \textrm{d} \, t$ .
soit $\displaystyle B(\alpha , \beta) = 2 \int _ 0 ^{\pi/2} \sin ^{2 \alpha - 1} (t) \, \cos ^{2 \beta - 1} (t) \, \textrm{d} \, t$ .

(Faites glisser vers la gauche pour la première valeur de $B(\alpha ,\, \beta)$ . )

Question 2 :

a) On remarque que $x > - 1 \Rightarrow \displaystyle \frac {x + 1} 2 > 0$ On peut donc définir $\displaystyle B \left ( \frac {x + 1} 2 , \frac 1 2 \right ) = 2 \,W(x)$ car $2 \alpha - 1 = x$ et $2 \beta - 1 = 0$ .
On retiendra que $\quad \quad W(x) = \displaystyle \frac 1 2 B \left ( \frac {x + 1} 2 , \frac 1 2 \right )$ .

b) On a prouvé que $B_1 : x \mapsto B(x , \,1/2)$ est une fonction de classe $C^1$ et $B_1 '(x) = \int_0 ^1 \ln(t) \, t ^{x - 1} \, (1 - t) ^{ - 1/2} \, \textrm{d} \, t< 0$ car on intègre une fonction continue sur $]0 , \,1[$ à valeurs strictement négatives sur $]0 ,\, 1[$ .
En utilisant $\displaystyle W(x) = \frac 1 2 B_1 \left ( \frac {x + 1} 2 \right )$ ,
$W$ est de classe $C ^1$ sur $J_0 =\; ] - 1, \, + \infty[$ de dérivée à valeurs strictement négatives donc $W$ est strictement décroissante sur $J_0$ .

Question 3 :

Soit $x > 1$ et $J_1 = \; ]0 , \, \pi/2[$ . On note $u : t \mapsto - \cos(t)$ et $v : t \mapsto \sin^{x - 1}(t)$ .
$u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $J_1$ , la fonction $u'\, v$ est intégrable sur $J_1\,$ , $u \, v$ admet 0 pour limite en $0$ et $\pi/2$ car $x - 1 > 0$ , donc par le théorème d’intégration par parties :
$\displaystyle W(x) = (x - 1) \int_{0} ^{\pi/2} \cos^2(t) \, \sin ^{x - 2} (t) \, \textrm{d} \, t$ .
Puis comme $\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)$ , on obtient :
$W(x) = (x - 1) \left ( W(x - 2) - W(x) \right )$ soit $x \, W(x) = (x - 1) \, W(x - 2)$ .

Question 4 :

Soit $x > - 1$ , alors $x + 1 > - 1$
et $P(x + 1) = (x + 1) \, W(x + 1) \, W(x)$ $P(x + 1) = x \, W(x - 1) \, W(x)$ en utilisant la relation de la question précédente, donc $P(x + 1) = P(x)$ .
Alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $\quad \quad \displaystyle P(n) = P(1) = W(1) \, W(0) = \frac { \pi} 2$ .

Question 5 :

a) On a établi que

$W$ est strictement décroissante sur

$] - 1 , \,+ \infty[$ et à valeurs strictement positives car on intègre une fonction continue et à valeurs strictement positives sur

$]0 ,\, \pi/2[$ .
Si

$x > 0$ ,

$W(x + 1) < W(x) < W(x - 1)$ , en divisant par

$W(x - 1) > 0$ ,

$\quad \quad \displaystyle \frac {W(x + 1)} {W(x - 1)} < \frac {W(x)} {W(x - 1)} < 1$
soit

$\displaystyle \frac {x} {x + 1} < \frac {W(x)} {W(x - 1)} < 1$ .
Par encadrement,

$\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac {W(x)} {W(x - 1)} = 1$ soit

$W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(x - 1)$ .

b) On note $n =\lfloor x \rfloor$ .
En utilisant l’encadrement $n \leq x \leq n + 1$ et la décroissance de $W$ , $\quad \quad W(n + 1) \leq W(x) \leq W(n)$ .
Si $x\to + \infty$ , $n \to +\infty$ et $\quad \quad \displaystyle \frac {W(n + 1)} {W(n)} \leq \frac {W(x)} {W(n)} \leq 1$ ,
par encadrement par deux suites qui convergent vers $1$ , $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \frac {W(x)} {W(\lfloor x \rfloor) } = 1$ soit $W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor )$ .

Question 6 :

a) On utilise $n \, W(n) \, W(n - 1) = \pi/2$ et $W(n) \underset {n \to + \infty} \sim W(n - 1)$ , donc $\quad \quad n \, W(n)^2 \underset {n \to + \infty} \sim \pi/2$ .
Puis, $\displaystyle W(n)^2 \underset {n \to + \infty} \sim \frac {\pi} {2 n}$ et comme $W(n) > 0$ , $\displaystyle W(n) \underset {n \to + \infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 n}}$ .

b) En divisant l’encadrement $\quad \quad \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$ par $\lfloor x \rfloor > 0$ ,
par encadrement par deux fonctions de limite égale à 1, on obtient : $\quad \quad \quad \quad x \underset {x \to +\infty}\sim \lfloor x \rfloor$ .
Puis on termine avec la question 5.b) :
$\displaystyle W(x) \underset {x \to + \infty} \sim W(\lfloor x \rfloor ) \underset {x \to +\infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 \lfloor x \rfloor }}$ donc $\displaystyle W(x) \underset {x \to +\infty} \sim \sqrt{\frac {\pi} {2 \, x} }$

Si vous vous sentez parfaitement à l’aise sur ce chapitre des intégrales à paramètre en Maths Spé, prenez le temps de revoir tranquillement d’autres cours de maths qui vous paraissent un peu plus difficiles, comme par exemple :

Intégrales à paramètre en MP, PC, PSI, PT

Exercices et corrigés – Intégrales à paramètre

1. Calcul de l’intégrale de Dirichlet

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2. Valeur d’une intégrale à paramètre par utilisation d’une équation différentielle

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3. Étude d’une intégrale à paramètre

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4. Généralisation de la formule de Stirling

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5. Une expression de $\Gamma'(1)$

6. La fonction Béta.

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7. Généralisation des intégrales de Wallis

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