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Suites et séries de fonctions en MP, PC, PSI

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés – Suites et séries de fonctions

1. Études de convergence de suites

Exercice 1
Soit la suite de fonctions définies pour $n \in \mathbb{N}^*$ par $f_n(x) = x \sqrt{n}$ sur $\displaystyle \left [ 0 , \, \frac 1 n \right [$ et $\displaystyle f_n(x) = \frac {n\, x - 1} { n \sqrt {n} \, x + 1 }$ si $\displaystyle x\in \left [ \frac 1 n , 1 \right ]$ .
Étudier de la convergence simple puis uniforme.

Corrigé de l’exercice 1 :

$\bullet$ Étude de la convergence simple
$f_n(0) = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n \to+\infty} f_n(0) = 0$ .
Si $x \in\, ]0 , \, 1]$ , il existe $N \in \mathbb{N}^ *$ tel que $\displaystyle x \geq \frac 1 N$ , alors si $n > N$ , $\displaystyle x \in \left ] \frac 1 n , \, 1\right ]$ , $\displaystyle f_n(x) = \frac {n\, x - 1 } {n \sqrt {n} \, x + 1} \underset {n \to \infty } \sim \frac {n} {n \sqrt{n} }$ $\Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ .
La suite $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle.
On remarquera la discontinuité de $f_n$ en $1/n$ .

$\bullet$ Étude de la convergence uniforme
Sur $\displaystyle \left [ 0 , \, \frac 1 n \right [$ , $f_n$ est croissante et varie de 0 à $\displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}}$ .
Sur $\displaystyle \left [ \frac 1 n , 1 \right ]$ , $f_n$ est décroissante (calculer la dérivée sur l’intervalle ouvert) et varie de 0 à $\displaystyle \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1 }$ .
alors $\displaystyle \vert f_n(x) \vert \leq \max \left ( \frac 1 {\sqrt{n}} , \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1} \right )$
$\vert f_n(x) \vert \leq \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}} + \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1}$ ,
$\Vert f_n \Vert \leq \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}} + \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1}$ . alors la suite converge uniformément sur $[0 , 1]$ vers la fonction nulle.

: il est absurde de donner une réponse du type si $x > 1/n, \; (f_n(x))_n$ converge vers …

Exercice 2
$\forall\, n \in \mathbb{N},\; \forall \, x \geq 0, \; f_n(x) = x( 1 - \textrm {e} ^{ - n x} )$ .
Question 1
Étude de la convergence simple et uniforme de la suite $(f_n)_n$ .

Question 2
Montrer que la limite $f$ est dérivable mais que la suite $(f'_n)_n$ ne converge pas vers $f'$ sur $\mathbb{R}^+$ .

Corrigé de l’exercice 2 :

Question 1 :

$\bullet$ Étude de la convergence simple
$\ast$ $f_n(0) = 0$ tend vers 0.
$\ast$ Si $x > 0, \displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(x) = 0$ .
La suite $(f_n)_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ vers la fonction $f : x \mapsto x$ .

$\bullet$ Étude de la convergence uniforme
Soit pour $x \in \mathbb{R}^+$ , $g_n(x) = f(x) - f_n(x) = x \, \textrm{e}^{- n \, x}$
$g'_n(x) = (1 - n \, x) \, \textrm{e}^{- n x}$ .
$g_n$ est croissante sur $[0 ,\, 1/n]$ et décroissante sur $[1/n, \, + \infty[$ , $g_n(0)= 0$ , $g_n(n) = n \, \textrm{e}^{ - n ^2}$ , $g_n$ admet 0 pour limite en $+\infty$ .
Donc $\Vert g_n \Vert _{\infty} = g_n(n) = n\, \textrm{e}^{ - n ^2}$ .
Donc la suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 2 :

Il est évident que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et $f ' : x \mapsto 1$ .
$f'_n(x) = 1 - \textrm{e} ^{- n x} + n x \, \textrm{e} ^{- n x}$ .
$f'_n(0) = 0$ , cette suite ne converge pas vers $f'(0)$ . La suite $(f'_n)_n$ ne converge pas simplement vers $f'$ .

Exercice 3
Pour $n \in \mathbb{N}$ , $f_n(x) = n (1 - x) \sin(x^n)$ sur $[0 , 1]$ .
Question 1
Étude de la convergence simple puis uniforme de la suite.

Question 2
Déterminer $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \int_0^1 f_n(t) \textrm{d} t$ .

Corrigé de l’exercice 3 :

Question 1 :

$\bullet$ Étude de la convergence simple
$f_n(1) = 0$ , la suite $(f_n(1)_n$ converge vers 0.
Si $0 \leq x < 1$ , la suite $(x^n)_n$ converge vers 0, donc $f_n(x) \underset { x\to 0 } \sim n \, x^n$ , puis par croissance comparée, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ , la suite $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0 , \,1]$ .

$\bullet$ Étude de la convergence uniforme
$\displaystyle f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right ) = \sin \left ( 1 - \frac 1 n \right ) ^n$
On utilise $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 1 - \frac 1 n \right ) ^n = \textrm{e}^{ - 1}$ , donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right ) = \sin(\textrm{e} ^{ - 1} )$ .
Comme $\Vert f_n \Vert _ {\infty} \geq f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right )$ , $(\Vert f_n \Vert _ {\infty})_n$ ne converge pas vers 0, car elle est supérieure à une suite de limite égale à $\sin(\textrm{e} ^{-1})$ . Il n’y a pas de convergence uniforme.

Question 2 :

En utilisant si $0 \leq t \leq 1 , 0 \leq \sin(t) \leq t$ et $0 \leq \int_0^1 f_n(t) \textrm{d}\, t \leq \int_0^1 n (1 - t) t^ n \textrm{d} \, t$
$\displaystyle I_n = \int_0^1 n (1 - t) t^ n \, \textrm{d}\, t$
$\displaystyle I_n = \left [ \frac n {n + 1} t^{n + 1} - \frac {n } {n + 2} t ^{n + 2} \right ]_0^1$
$\displaystyle I_n =\frac n {n + 1} - \frac {n } {n + 2}$ .
Donc $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n(t) \, \textrm{d}\, t = 0$ .

2. Exercices théoriques sur les suites et séries de fonctions

Exercice 4
Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions définies sur $[0 , \,1]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
Question 1
Si la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 , \, 1[$ et si la suite $(f_n(1))_n$ converge, la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 ,\, 1]$

Question 2
Si la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 , \, 1[$ et si toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $[0 , \,1]$ , la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 ,\, 1]$ ?

Question 3
Si la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur tout segment de $[0 , \,1[$ , si toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $[0 , \,1]$ et si la suite $(f_n(1))_n$ converge, la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 , \,1]$

Corrigé de l’exercice 4 :

Question 1 :

Comme la suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0 , \, 1[$ :
$\forall \, \varepsilon > 0, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \,\mathbb{N}, \;n \geq N,$ $\forall \, x \in [0 , \, 1[, \; \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \varepsilon$ .
et comme la suite $(f_n(1))_n$ converge vers $a$ : $\exists \, N'\in \, \mathbb{N }, \forall \,n \in \mathbb{N}, n\geq N' ,\; \vert f_n(1) - a\vert \leq \varepsilon$ .
On note $a = f(1)$ et on en déduit que si $N'' = \max(N , N')$ , si $n \geq N''$ , $\forall \, x \in [0 ,\, 1],\; \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \varepsilon$ , donc $\Vert f - f_n \Vert _{\infty} \leq \varepsilon$ .
On en déduit que $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0 , \,1]$ .

Question 2 :

La suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0 ,\, 1[$ .
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , par continuité de $f_n$ sur $[0 , \,1]$ , $f_n$ admet une limite finie en $1$ .
Par application du théorème de la double limite ,
$\displaystyle \lim_{x\to 1 ^{-} } \lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} \lim_{x\to 1 ^{-} } f_n(x)$ soit $\displaystyle \lim_{x\to 1 ^{-} } f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(1)$ .
On peut donc appliquer la question 1, puisque la suite $(f_n(1))_n$ converge, donc la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 , \,1]$ .

Question 3 :

Si l’on note $f_n : x \mapsto x^n$ ,
Si $a \in \, [0 , \, 1[,\; \Vert f_n \Vert _{\infty ,\, [0 , a]} = a^n$ , donc la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur tout segment de [0 ,\, 1[,
La suite $(f_n(1))_n$ est une suite constante égale à $1$ , elle converge.
Mais la suite $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément sur $[0 , \,1]$ , car sa limite est une fonction discontinue, alors que chaque fonction $f_n$ est continue sur $[0 , \,1]$ .

Exercice 5
Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions définies sur $I$ à valeurs dans $[a , \, b]$ .
On suppose que la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $I$ .
Soit $g$ une fonction continue sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
La suite $(g \circ f_n)_n$ converge uniformément sur $I$ .

Corrigé de l’exercice 5 :

On note $f$ la limite uniforme de $(f_n)_n$ sur $I$ .
Pour tout $x \in I$ , $f_n(x) \in [a ,\, b]$ , par passage à la limite dans l’encadrement pour tout $x \in I$ , $f(x) \in [a ,\, b]$ .
$g$ est continue sur $[a ,\, b]$ donc uniformément continue.
$\forall\, \varepsilon > 0, \; \exists \alpha > 0,$ tel que si $(x , \, y) \in [a ,\, b]^2$ et $\vert x - y\vert \leq \alpha$ , $\vert g(x) - g(y)\vert \leq \varepsilon$ .
Comme $\displaystyle \lim _{n\to\infty} \Vert f - f_n \Vert _{\infty} = 0$ , il existe $N \in \mathbb{N}, \; n \geq N,\; \Vert f_n - f \Vert _{\infty}\leq \alpha$ .
Pour tout $t \in I,\; \vert f_n(t) - f(t) \vert \leq \alpha$ , donc $\vert g(f_n (t)) -g(f(t)) \vert \leq \varepsilon$ , soit $\Vert g\circ f_n - g\circ f \Vert \leq \varepsilon$ .
On a donc prouvé que $(g \circ f_n)_n$ converge uniformément vers $g \circ f$ sur $[a ,\, b]$ .

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3. Théorème de Weierstrass

Exercice 6
Soit $f$ une fonction continue sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que $\forall \, n \in \mathbb{N},\; \int_a^b t^n f(t)\, \textrm{d} \, t = 0$ . Alors la fonction $f$ est nulle sur $[a ,\, b]$ .

Corrigé de l’exercice 6 :

Par combinaison linéaire, pour tout polynôme $P$ : $\int_a^b P(t)\,f(t)\, \textrm{d} \, t = 0$ .
Par le théorème de Weirstrass, il existe une suite $(P_n)_n$ de fonctions polynomiales telle que $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Vert P_n - f\Vert_{\infty} = 0$ .
$\forall \, t \in \, [a , \, b],$ $\vert f(t) P(t) - f^2(t) \vert \leq \Vert f \Vert _ {\infty} \, . \, \Vert P_n - f\Vert_{\infty}$
donc $\Vert f P_n - f^2 \Vert_{\infty} \leq \Vert f\Vert_{\infty} \, . \, \Vert P_n - f\Vert_{\infty}$
La suite $(f P_n)_n$ converge uniformément vers $f^2$ sur $[a ,\, b]$ . On en déduit que
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_a^b P_n(t)\,f(t) \, \textrm{d} t = \int_a^b f^2(t) \, \textrm{d} t$ .

Par unicité de la limite, $\int_a^b f^2(t) \, \textrm{d} \,t = 0$ .
La fonction $f ^2$ étant continue sur $[a ,\, b]$ , à valeurs positives ou nulles et d’intégrale nulle sur $[a , \,b]$ ,
$\forall \, t\in [a ,\, b], \; f ^2(t) = 0 \Rightarrow f(t) = 0$ .

Exercice 7 Mines Ponts 2013.
Soit $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ . Soit $(P_k)_k$ une suite d’éléments de $\mathbb{R}[\textrm{X}]$ convergeant uniformément vers une fonction $f$ . Démontrer que $f$ est polynomiale.

Corrigé de l’exercice 7 :

On suppose que $(P_k)_k$ est une suite d’éléments de $\mathbb{R}[\textrm{X}]$ convergeant uniformément vers une fonction $f$ .
Soit $\varepsilon > 0$ . Il existe $N \in \mathbb{N}$ , tel que si $n \geq N$ , $\Vert P - f_n\Vert_{\infty} \leq \varepsilon$ .
$\Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty} \leq \Vert P_n - f \Vert _ {\infty} + \Vert f - P_N \Vert _ {\infty}$
$\Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty} \leq 2 \varepsilon$
$P_n - P_N$ est une fonction polynôme bornée sur $\mathbb{R}$ , donc elle est constante.
Il existe $\alpha_n \in \mathbb{R}$ tel que
$\forall \, x \in \mathbb{R}$ , $P_n(x) = P_N(x) + \alpha_n$ .

Puis $\vert \alpha_n \vert = \Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty}\leq 2 \varepsilon$ ,
donc $\displaystyle \lim_ {n \to \infty} \alpha_n = 0$ ; si $n$ tend vers $+\infty$ , $f(x) = P_N(x)$ .
$f$ est une fonction polynomiale.

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4. Convergence simple, normale, uniforme

Exercice 8 :

Soit $u_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto n\, x \textrm{ e}^{ - n ^2 \, x}$ où $n \in \mathbb{N}^*$ .

Question 1.
La série converge simplement sur quel domaine ?

Question 2
La série converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}^+$ ?

Question 3
Pour tout $a > 0$ , $\sum u_n$ converge normalement sur $[a , \, + \infty[$ .

Question 4
La série ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 5
La somme $S$ est continue sur $]0 ,\, +\infty[$ et admet une limite finie en $+\infty$

Question 6
La fonction $S$ n’est pas continue en $0$ .

Question 7
Montrer que $S(x) \underset {x \to + \infty} \sim u_1(x)$ .

Question 8 (plus compliquée)
a) Soit $x > 0$ , on note $\displaystyle N = \left \lfloor \frac 1 {\sqrt{2\, x} } \right \rfloor$ .
Montrer que $\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2 \, x}}$ .

Dans les questions b) et c), on fixe $x > 0$ .
Soit pour $t \geq 0, \; g(t) = t\, x \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ et $\displaystyle G : t \mapsto - \frac 1 2 \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ .
b) Montrer que $\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq G(N) - G(0) \leq \sum _{k = 1} ^{N} g(k)$ .

c) Montrer que $\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{+\infty} g(k) \leq - G(N + 1 ) \leq \sum _{k = N + 1 } ^{+\infty} g(k)$ .

d) En déduire un encadrement de $S(x)$ puis la limite de $S(x)$ à droite en $0$ .

Corrigé de l’exercice 8 :

Question 1:

$\ast$ Si $x < 0, \;\displaystyle \lim_{n\to\infty} u_n(x) = - \infty$ , donc $\sum u_n$ diverge grossièrement
$\ast$ Si $x = 0, \; u_n(0) = 0$ , la série converge.
$\ast$ Si $x > 0$ , $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n ^2 \,u_n(x) =0$ , donc $\displaystyle u_n(x) \underset {n\to\infty} { = } o \left ( \frac 1 {n^2} \right )$ , la série de terme général $u_n(x)$ converge par domination par une série de Riemann divergente.
Donc la série de terme général $u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 2 :

Si $x \in \mathbb{R}^+$ , $u'_n(x) = n\,(1 - n^2 x) \textrm{ e}^{ - n^2\, x}$ .
$u_n$ est croissante sur $\displaystyle \left [0 , \frac 1 {n^2} \right ]$ , décroissante sur $\displaystyle \left [ \frac 1 {n^2} , +\infty \right [$ , $u_n$ admet un maximum en $\displaystyle \frac 1 {n^2}$ et $\displaystyle u_n \left (\frac 1 {n^2} \right ) = \frac {\textrm{e} ^{-1}} {n}$
et $\displaystyle \Vert u_n \Vert_{\infty} = u_n \left (\frac 1 {n^2} \right ) = \frac {\textrm{e} ^{-1}} {n}$ puisque $u_n$ est à valeurs positives ou nulles sur $\mathbb{R}^+$ .
La série ne converge pas normalement sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 3 :

Soit

$a > 0$ ; il existe

$N \in \mathbb{N}$ tel que si

$n > N$ ,

$\displaystyle \frac 1 { n^2 } < a$ ,

$\displaystyle \Vert u_n \Vert _{\infty, [a , +\infty[} = \; \sup _{x \geq a} {\vert u_n(x)\vert } = u_n(a)$
donc

$\sum u_n$ converge normalement sur

$[a , +\infty[$ .

Question 4 :

Si $x \in \mathbb{R}^+$ . $\displaystyle R_n(x) =\sum_{k = n + 1}^{\infty} u_k(x).$
Comme les fonctions sont à valeurs positives ou nulles, $\displaystyle R_n(x) \geq \sum_{k = n + 1}^{2n} u_k(x).$

Comme on somme $n$ termes tous supérieurs ou égaux à $n x \textrm{ e} ^{- 4 n^2 x}$ ,
$R_n(x) \geq n^2 x \textrm{ e} ^{- 4 n^2 x}$ $\Rightarrow \displaystyle R_n \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \textrm{ e} ^{- 4}$
donc $\mid \mid R_n \mid \mid_{\infty} \geq \textrm{ e} ^{- 4}$ . La suite de terme général $R_n$ ne converge pas uniformément vers 0.
On en déduit que la série ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 5 :

$\bullet$ La série $\sum u_n$ converge normalement donc uniformément sur $[a , \, +\infty[$ pour tout $a > 0$ donc converge uniformément sur tout segment inclus dans $]0 , \, +\infty[$ , les fonctions $u_n$ sont continues, par le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la somme $S$ de la série est continue sur $]0 , \, +\infty[$ .

$\bullet$ Étude de la limite en $+\infty$
$\ast$ La série $\sum u_n$ converge normalement donc uniformément sur $[1 , \, +\infty[$ .
$\ast$ Pour tout $n \geq 1$ , $\displaystyle \lim_{x \to \infty } u_n(x) = 0$ .
Par le théorème de la double limite, $\displaystyle \lim_{x \to \infty } S(x) = 0$ .

Question 6 :

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle S(x)\geq \sum_{k = 1}^{n} u_k(x)$ .
Donc $\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2 } \right ) \geq \sum_{k = 1} ^{n} \frac k {n^2 } \textrm { e}^{ - k^2 / n^2 }$

Comme $\forall \, k \in \{ 1 , \, \cdots \,, \, n \},\; \displaystyle \frac {k ^2} {n^2 } \leq 1 \,$
$\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \sum_{k = 1} ^{n} \frac k {n^2 } \textrm { e}^{ - 1}$
soit $\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \frac {n + 1} {2 n } \textrm { e}^{ - 1 }$

La suite $\displaystyle \left ( S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \right )_n$ est supérieure à une suite de limite strictement positive, donc elle ne converge pas vers $0 = S(0)$ , donc $S$ n’est pas continue en $0$ .

Question 7 :

$\bullet$ La série de terme général $u_n$ converge normalement sur $[1 , +\infty[$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $u_n$ admet 0 pour limite en $+\infty$ .
Par le théorème de la double limite, $S$ admet $0$ pour limite en $+\infty$ .

$\bullet$ . On écrit $S(x) = u_1(x)( 1 + T(x))$ avec $\displaystyle T(x) = \sum _{n = 2} ^{+\infty} v_n(x)$ où $v_n(x) = \displaystyle \frac {u_n(x)} {u_1(x)} = \textrm {e} ^{ - (n ^2 - 1) x}$ .

$\ast$ Pour tout $n \geq 2, \; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} v_n(x) = 0$ .

$\ast$ La fonction $v_n$ est décroissante sur $[1 ,\, +\infty[$ , à valeurs positives,
$\displaystyle \Vert v_n \Vert _ {\infty , [1 , + \infty[} = \textrm{e} ^{- (n ^2 - 1) }$ .
Comme $n ^2 > n$ si $n > 1$ , $\displaystyle \Vert v_n\Vert _ {\infty , [1 , + \infty[} \leq \textrm{e}\; \textrm{e} ^{- n}$ qui est le terme général d’une série géométrique convergente.
Donc $\sum v_n$ converge normalement sur $[1 , + \infty[$ .

$\bullet$ Par le théorème de la double limite, $\displaystyle \lim_{x \to + _\infty} T(x) = 0$ et on a prouvé que $S(x) \underset {x \to + \infty} \sim u_1(x)$ .

Question 8 :

a/ On utilise $\displaystyle N \leq \frac 1 {\sqrt{2 \,x} } \leq N + 1$ donc $\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 \, x} } - 1 \leq N \leq \frac 1 {\sqrt{2\, x} }$ et alors $1 - {\sqrt{2\, x} } \leq {\sqrt{2 \,x} }\, .\, N \leq 1$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sqrt{2 \,x} } \, .\, N = 1$ .
On peut aussi écrire que $\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2 \,x}}$ .

On remarque que $\displaystyle G : t \mapsto - \frac 1 2 \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ est une primitive de $g$ .

$\ast$ Si $t \geq 0, \; g(t) = t\, x \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ , $f_n(x) = g(n)$ .
$g'(t) = x( 1 - 2 \, t ^2 \, x) \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ .
Soit $\displaystyle a = \frac 1 {\sqrt{2 \,x} }$ , $g$ est croissante sur $[0 , \,a]$ et décroissante sur $[a , \, +\infty[$ .

$\ast$ Si $k \leq N - 1,\; k + 1 \leq a, \; \forall\, t \in [k , \, k + 1],$ $g(k) \leq g(t) \leq g(k)$ .
En intégrant sur $[k , \, k + 1]$ , $\quad \quad g(k ) \leq \int_k ^{k + 1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq g(k + 1)$ .

$\ast$ Puis en sommant pour $k \leq N - 1$ , par la relation de Chasles,
$\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq \int_0 ^{N} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq \sum _{k = 0} ^{N - 1} g(k + 1)$
soit
$\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq G(N) - G(0) \leq \sum _{k = 1} ^{N} g(k)$ .

c/ $\ast$ Si $k \geq N + 1,\; k > a, \;\forall\, t \in [k , \, k + 1],$ $g(k + 1 ) \leq g(t) \leq g(k)$ .
En intégrant sur $[k , \, k + 1]$ , $\quad \quad g(k + 1 ) \leq \int_k ^{k + 1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq g(k)$ .

$\ast$ Puis en sommant pour $N + 1\leq k \leq n$ , par la relation de Chasles,
$\displaystyle \sum_{k = N+1} ^{n} g(k + 1 ) \leq \int_{N + 1} ^{n+1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq \sum _{k = N + 1 } ^{n} g(k)$
soit $\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{n + 1 } g(k) \leq \left [ G(t) \right] _{N + 1}^{n + 1} \leq \sum _{k = N + 1 } ^{n} g(k)$ .

$\ast$ Puis si $n$ tend vers $+ \infty$ , comme $G$ admet 0 pour limite en $+\infty$ ,
$\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{+\infty} g(k) \leq - G(N + 1 ) \leq \sum _{k = N + 1 } ^{+\infty} g(k)$ .

d/ En sommant les inégalités des questions b) et c), sachant que $\displaystyle \sum _ {n = 0} ^{+\infty} g(k) = S(x)$ ,
$S(x) -g(N) - g(N + 1)$
$\leq G(N) - G(N + 1) - G(0) \leq S(x)$
Ce qui donne un encadrement $a_N \leq S(x) \leq b_N$ avec $a_N = - G(0) + G(N) - G(N + 1)$ et $b_N = a_N + g(N) + g(N + 1)$

$\ast$ $\displaystyle G(N) = - \frac 1 2 \textrm {e} ^ {- N^2 \, x}$
Sachant que $\displaystyle \lim_{x \to 0} N^2 x = \frac 1 2$ , $\displaystyle \lim_{x\to 0} G(N) = - \frac 1 2 \textrm {e} ^ {- 1/2}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0} G(N) - G(N + 1) = 0$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0} a_N = - G(0) = \frac 1 2$ .

$\ast$ Puis comme $\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2\, x}}$ , $\displaystyle g(N) \underset {x \to 0} \sim \frac x {\sqrt{2\, x } } \textrm {e} ^{- 1/2}$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to 0} g(N) = 0$ .
Il en est de même de $(g(N + 1))_N$ .
Alors $\displaystyle \lim_{x\to 0} b_N = - G(0) = \frac 1 2$ .

$\ast$ Par encadrement par deux expressions ayant même limite $1/2$ lorsque $x \to 0$ , on a donc prouvé $\displaystyle \lim _{x \to 0} S(x) = \frac 1 2$ .

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5. Série de fonctions définie à l’aide d’intégrales

Exercice 9 :

(Mines Ponts PSI 2017)
Soit $f_0$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . On définit la suite $(f_n)_{n \geq 0}$ par : $\forall\, n \in \mathbb{N },\; \forall \,x \in \mathbb{R},\; f_{n+1} (x) = \int_0^x f_n(t) \, \textrm{d} \, t$ .
Question 1
Étudier la convergence uniforme sur tout segment de $\sum f_n$ .
On note $\displaystyle S = \sum _{n = 0} ^{+\infty} f_n$ .

Question 2
Déterminer $S$ à l’aide d’une équation différentielle.

Corrigé de l’exercice 9 :

Question 1 :

$\bullet$ Par récurrence immédiate, pour tout $n \in \mathbb{N},\; f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ Soit $a > 0$ . On note $M = \Vert f_0 \Vert _{\infty,\, [-a ,\, a]}$ .
On note $\displaystyle \forall \, n \in \mathbb {N}, \; \textrm{H}_n : \vert f_n (x) \vert \leq \frac {M \vert x \vert ^n} {n \, !}$ .
$\ast$ $\textrm{H}_0$ est vraie par définition de $M$ .
$\ast$ On suppose que $\textrm{H}_n$ est vraie.
Si $x \in \, [- a , \, a],\; \displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \left \vert \int_ 0 ^x \vert f_{n} (t) \vert \textrm{d} \,t \right \vert$
$\displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \left \vert \int_ 0 ^x \frac {M \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t \right \vert$
… Si $x \in [0 , \, a]$ , $\displaystyle \int_ 0 ^x \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \int_ 0 ^x \frac {M\, t ^n} {n \, !} \textrm{d} \, t = \frac {M \, x^{n + 1} }{(n + 1)\, !}$ .
… Si $x \in [-a , 0]$ , $\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \int_ x ^0 \frac {M \, (-1)^n t ^n} {n \, !} \textrm{d} \, t$
$\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \left [ \frac { ( - 1) ^{n}\, t ^{n + 1} } {(n + 1) \, ! } \right ] _x^0$
$\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \frac { - M \, (-x) ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}$
$\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \frac { - M \, \vert x \vert ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}$ .
On a obtenu dans les deux cas : $\quad \quad \displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \frac {M\, \vert x \vert ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}$ .
La propriété $\textrm{H} _ {n + 1}$ est vérifiée.

$\bullet$ Alors $\displaystyle \Vert f_n \Vert_ {\infty ,\, [- a, a]} \leq \frac {M\, \vert a \vert ^n} {n \, !}$ .
Par domination par une série convergente (de somme exponentielle) la série de terme général $\Vert f_n \Vert_ {\infty ,\, [- a,\, a]}$ converge donc $\sum f_n$ converge normalement donc uniformément sur $[- a ,\, a]$ .

Question 2 :

$\bullet$ On note $S$ la somme de la série. La fonction $S$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ comme limite uniforme sur tout segment d’une série de fonctions continues.

$\bullet$ Soit $x \in [ - a , a]$ , $\displaystyle S(x) =\sum_ {n = 0}^{+\infty}f_n ( x)$ .
$\displaystyle S(x) = f_0(x) + \sum _ {n = 1}^{+\infty} \int_0 ^x f_{n -1} (t) \textrm {d} \, t$ .
La série converge normalement sur tout segment, on peut donc intervertir le signe $\sum$ et l’intégrale :
$\displaystyle S(x) = f_0(x) + \int_0 ^x \sum _ {n = 1}^{+\infty} f_{n -1} (t) \textrm {d} \, t$ .
$\displaystyle S(x) = f_0(x) + \int_0 ^x S(t) \textrm {d} \, t$ .

Par le théorème fondamental de l’intégration, la fonction $G : x \mapsto S(x) - f_0(x)$ est une fonction de classe $C^1$ telle que $\forall \, x \in \mathbb{R} , \; G'x) = S(x) = G(x) + f_0(x)$ .
De plus, $G(0) = S(0) - f_0(0) = 0$ .

$\bullet$ On résout l’équation différentielle $y' = y + f_0$ .
$\ast$ La solution générale de l’équation sans second membre est $x \mapsto \lambda \, \textrm {e} ^x$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ .

$\ast$ Par la méthode de variation de la constante, la fonction $x \mapsto \lambda(x) \, \textrm {e} ^x$ est solution de l’équation différentielle ssi
$\forall \, x \in \mathbb{R}, \; \lambda '(x) \, \textrm {e} ^x = f_0(x)$
$\Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R},\; \lambda '(x) = f_0(x) \, \textrm {e} ^{-x}$ $\Leftrightarrow \exists \, \mu \in \mathbb{R} ,\forall \, x \in \mathbb{R},$ $\quad \quad \quad \; \lambda(x) = \int_ 0 ^x f_0(t) \,\textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t + \mu$
Soit $H(x) = \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t) \, \textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t$ , $H$ est une solution particulière de l’équation différentielle.

$\ast$ La solution générale de l’équation $y' = y + f_0$ est donnée par $x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^x + H(x)$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ .
Et comme on cherche la solution $G$ telle que $G(0) = 0$ , on obtient $\lambda = 0$ et $\forall \, x \in \mathbb{R}, \; G(x) = \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t) \, \textrm {e} ^{- t } \textrm{d} \, t$ .
Donc $\forall \, x \in \mathbb{R},\; S(x) = f_0(x) + \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t)\, \textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t$

6. Recherche d’un équivalent en une borne de l’intervalle

Exercice 10 (Zeta)
Soit si $x > 1,\; \zeta(x) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}$ .
Montrer que $\displaystyle \zeta(x) - 1 \underset {x \to +\infty} \sim \frac 1 {2 ^x}$ .

Corrigé de l’exercice 10 :

$\displaystyle \zeta(x) - 1 = \sum_{ n = 2} ^{+\infty} \frac 1 {n ^x} = \frac 1 {2 ^x} \sum_{ n = 2} ^{+\infty} v_n(x)$ où $\displaystyle v_n(x) = \frac {2 ^x} {n ^x}$
On note $\displaystyle T(x) = \sum_{ n = 2} ^{+\infty} v_n(x)$

$\ast$ $\displaystyle \lim _{n \to +\infty} v_2(x) = 1$ et $\displaystyle \forall n > 2, \lim _{n \to +\infty} v_n(x) = 0$ .
$\ast$ Si $n \geq 2$ et $x \geq 2$ , $0 \leq v_n(x) \leq v_n(2)$ car la fonction $v_n$ est décroissante sur $[2 , + \infty[$ .
donc $\displaystyle \Vert v_n \Vert _{\infty , \, [2 , + \infty[} \leq v_n(2)$ qui est le terme général d’une série convergente.

$\ast$ Par le théorème de la double limite, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} T(x) = 1$ , on a donc prouvé que $\zeta(x) - 1 \underset {x \to +\infty} \sim \displaystyle \frac 1 {2 ^x}$ .

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