Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

Cours en ligne Maths en Maths Spé

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT

Suites et séries de fonctions en MP, PC, PSI

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.8 (1000 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Exercices et corrigés – Suites et séries de fonctions

1. Études de convergence de suites

Exercice 1
Soit la suite de fonctions définies pour $n \in \mathbb{N}^*$ par $f_n(x) = x \sqrt{n}$ sur $\displaystyle \left [ 0 , \, \frac 1 n \right [$ et $\displaystyle f_n(x) = \frac {n\, x - 1} { n \sqrt {n} \, x + 1 }$ si $\displaystyle x\in \left [ \frac 1 n , 1 \right ]$ .
Étudier de la convergence simple puis uniforme.

Corrigé de l’exercice 1 :

$\bullet$ Étude de la convergence simple
$f_n(0) = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n \to+\infty} f_n(0) = 0$ .
Si $x \in\, ]0 , \, 1]$ , il existe $N \in \mathbb{N}^ *$ tel que $\displaystyle x \geq \frac 1 N$ , alors si $n > N$ , $\displaystyle x \in \left ] \frac 1 n , \, 1\right ]$ , $\displaystyle f_n(x) = \frac {n\, x - 1 } {n \sqrt {n} \, x + 1} \underset {n \to \infty } \sim \frac {n} {n \sqrt{n} }$ $\Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ .
La suite $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle.
On remarquera la discontinuité de $f_n$ en $1/n$ .

$\bullet$ Étude de la convergence uniforme
Sur $\displaystyle \left [ 0 , \, \frac 1 n \right [$ , $f_n$ est croissante et varie de 0 à $\displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}}$ .
Sur $\displaystyle \left [ \frac 1 n , 1 \right ]$ , $f_n$ est décroissante (calculer la dérivée sur l’intervalle ouvert) et varie de 0 à $\displaystyle \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1 }$ .
alors $\displaystyle \vert f_n(x) \vert \leq \max \left ( \frac 1 {\sqrt{n}} , \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1} \right )$
$\vert f_n(x) \vert \leq \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}} + \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1}$ ,
$\Vert f_n \Vert \leq \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n}} + \frac {n - 1} {n \sqrt{n} - 1}$ . alors la suite converge uniformément sur $[0 , 1]$ vers la fonction nulle.

⚠️ : il est absurde de donner une réponse du type si $x > 1/n, \; (f_n(x))_n$ converge vers …

Exercice 2
$\forall\, n \in \mathbb{N},\; \forall \, x \geq 0, \; f_n(x) = x( 1 - \textrm {e} ^{ - n x} )$ .
Question 1
Étude de la convergence simple et uniforme de la suite $(f_n)_n$ .

Question 2
Montrer que la limite $f$ est dérivable mais que la suite $(f'_n)_n$ ne converge pas vers $f'$ sur $\mathbb{R}^+$ .

Corrigé de l’exercice 2 :

Question 1 :

$\bullet$ Étude de la convergence simple
$\ast$ $f_n(0) = 0$ tend vers 0.
$\ast$ Si $x > 0, \displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(x) = 0$ .
La suite $(f_n)_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ vers la fonction $f : x \mapsto x$ .

$\bullet$ Étude de la convergence uniforme
Soit pour $x \in \mathbb{R}^+$ , $g_n(x) = f(x) - f_n(x) = x \, \textrm{e}^{- n \, x}$
$g'_n(x) = (1 - n \, x) \, \textrm{e}^{- n x}$ .
$g_n$ est croissante sur $[0 ,\, 1/n]$ et décroissante sur $[1/n, \, + \infty[$ , $g_n(0)= 0$ , $g_n(n) = n \, \textrm{e}^{ - n ^2}$ , $g_n$ admet 0 pour limite en $+\infty$ .
Donc $\Vert g_n \Vert _{\infty} = g_n(n) = n\, \textrm{e}^{ - n ^2}$ .
Donc la suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 2 :

Il est évident que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et $f ' : x \mapsto 1$ .
$f'_n(x) = 1 - \textrm{e} ^{- n x} + n x \, \textrm{e} ^{- n x}$ .
$f'_n(0) = 0$ , cette suite ne converge pas vers $f'(0)$ . La suite $(f'_n)_n$ ne converge pas simplement vers $f'$ .

Exercice 3
Pour $n \in \mathbb{N}$ , $f_n(x) = n (1 - x) \sin(x^n)$ sur $[0 , 1]$ .
Question 1
Étude de la convergence simple puis uniforme de la suite.

Question 2
Déterminer $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \int_0^1 f_n(t) \textrm{d} t$ .

Corrigé de l’exercice 3 :

Question 1 :

$\bullet$ Étude de la convergence simple
$f_n(1) = 0$ , la suite $(f_n(1)_n$ converge vers 0.
Si $0 \leq x < 1$ , la suite $(x^n)_n$ converge vers 0, donc $f_n(x) \underset { x\to 0 } \sim n \, x^n$ , puis par croissance comparée, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ , la suite $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0 , \,1]$ .

$\bullet$ Étude de la convergence uniforme
$\displaystyle f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right ) = \sin \left ( 1 - \frac 1 n \right ) ^n$
On utilise $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 1 - \frac 1 n \right ) ^n = \textrm{e}^{ - 1}$ , donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right ) = \sin(\textrm{e} ^{ - 1} )$ .
Comme $\Vert f_n \Vert _ {\infty} \geq f_n \left ( 1 - \frac 1 n \right )$ , $(\Vert f_n \Vert _ {\infty})_n$ ne converge pas vers 0, car elle est supérieure à une suite de limite égale à $\sin(\textrm{e} ^{-1})$ . Il n’y a pas de convergence uniforme.

Question 2 :

En utilisant si $0 \leq t \leq 1 , 0 \leq \sin(t) \leq t$ et $0 \leq \int_0^1 f_n(t) \textrm{d}\, t \leq \int_0^1 n (1 - t) t^ n \textrm{d} \, t$
$\displaystyle I_n = \int_0^1 n (1 - t) t^ n \, \textrm{d}\, t$
$\displaystyle I_n = \left [ \frac n {n + 1} t^{n + 1} - \frac {n } {n + 2} t ^{n + 2} \right ]_0^1$
$\displaystyle I_n =\frac n {n + 1} - \frac {n } {n + 2}$ .
Donc $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n(t) \, \textrm{d}\, t = 0$ .

2. Exercices théoriques sur les suites et séries de fonctions

Exercice 4
Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions définies sur $[0 , \,1]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
Question 1
Si la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 , \, 1[$ et si la suite $(f_n(1))_n$ converge, la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 ,\, 1]$

Question 2
Si la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 , \, 1[$ et si toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $[0 , \,1]$ , la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 ,\, 1]$ ?

Question 3
Si la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur tout segment de $[0 , \,1[$ , si toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $[0 , \,1]$ et si la suite $(f_n(1))_n$ converge, la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 , \,1]$

Corrigé de l’exercice 4 :

Question 1 :

Comme la suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0 , \, 1[$ :
$\forall \, \varepsilon > 0, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \,\mathbb{N}, \;n \geq N,$ $\forall \, x \in [0 , \, 1[, \; \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \varepsilon$ .
et comme la suite $(f_n(1))_n$ converge vers $a$ : $\exists \, N'\in \, \mathbb{N }, \forall \,n \in \mathbb{N}, n\geq N' ,\; \vert f_n(1) - a\vert \leq \varepsilon$ .
On note $a = f(1)$ et on en déduit que si $N'' = \max(N , N')$ , si $n \geq N''$ , $\forall \, x \in [0 ,\, 1],\; \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \varepsilon$ , donc $\Vert f - f_n \Vert _{\infty} \leq \varepsilon$ .
On en déduit que $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0 , \,1]$ .

Question 2 :

La suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0 ,\, 1[$ .
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , par continuité de $f_n$ sur $[0 , \,1]$ , $f_n$ admet une limite finie en $1$ .
Par application du théorème de la double limite ,
$\displaystyle \lim_{x\to 1 ^{-} } \lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} \lim_{x\to 1 ^{-} } f_n(x)$ soit $\displaystyle \lim_{x\to 1 ^{-} } f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(1)$ .
On peut donc appliquer la question 1, puisque la suite $(f_n(1))_n$ converge, donc la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0 , \,1]$ .

Question 3 :

Si l’on note $f_n : x \mapsto x^n$ ,
Si $a \in \, [0 , \, 1[,\; \Vert f_n \Vert _{\infty ,\, [0 , a]} = a^n$ , donc la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur tout segment de [0 ,\, 1[,
La suite $(f_n(1))_n$ est une suite constante égale à $1$ , elle converge.
Mais la suite $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément sur $[0 , \,1]$ , car sa limite est une fonction discontinue, alors que chaque fonction $f_n$ est continue sur $[0 , \,1]$ .

Exercice 5
Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions définies sur $I$ à valeurs dans $[a , \, b]$ .
On suppose que la suite $(f_n)_n$ converge uniformément sur $I$ .
Soit $g$ une fonction continue sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
La suite $(g \circ f_n)_n$ converge uniformément sur $I$ .

Corrigé de l’exercice 5 :

On note $f$ la limite uniforme de $(f_n)_n$ sur $I$ .
Pour tout $x \in I$ , $f_n(x) \in [a ,\, b]$ , par passage à la limite dans l’encadrement pour tout $x \in I$ , $f(x) \in [a ,\, b]$ .
$g$ est continue sur $[a ,\, b]$ donc uniformément continue.
$\forall\, \varepsilon > 0, \; \exists \alpha > 0,$ tel que si $(x , \, y) \in [a ,\, b]^2$ et $\vert x - y\vert \leq \alpha$ , $\vert g(x) - g(y)\vert \leq \varepsilon$ .
Comme $\displaystyle \lim _{n\to\infty} \Vert f - f_n \Vert _{\infty} = 0$ , il existe $N \in \mathbb{N}, \; n \geq N,\; \Vert f_n - f \Vert _{\infty}\leq \alpha$ .
Pour tout $t \in I,\; \vert f_n(t) - f(t) \vert \leq \alpha$ , donc $\vert g(f_n (t)) -g(f(t)) \vert \leq \varepsilon$ , soit $\Vert g\circ f_n - g\circ f \Vert \leq \varepsilon$ .
On a donc prouvé que $(g \circ f_n)_n$ converge uniformément vers $g \circ f$ sur $[a ,\, b]$ .

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

3. Théorème de Weierstrass

Exercice 6 🧡
Soit $f$ une fonction continue sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que $\forall \, n \in \mathbb{N},\; \int_a^b t^n f(t)\, \textrm{d} \, t = 0$ . Alors la fonction $f$ est nulle sur $[a ,\, b]$ .

Corrigé de l’exercice 6 :

Par combinaison linéaire, pour tout polynôme $P$ : $\int_a^b P(t)\,f(t)\, \textrm{d} \, t = 0$ .
Par le théorème de Weirstrass, il existe une suite $(P_n)_n$ de fonctions polynomiales telle que $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Vert P_n - f\Vert_{\infty} = 0$ .
$\forall \, t \in \, [a , \, b],$ $\vert f(t) P(t) - f^2(t) \vert \leq \Vert f \Vert _ {\infty} \, . \, \Vert P_n - f\Vert_{\infty}$
donc $\Vert f P_n - f^2 \Vert_{\infty} \leq \Vert f\Vert_{\infty} \, . \, \Vert P_n - f\Vert_{\infty}$
La suite $(f P_n)_n$ converge uniformément vers $f^2$ sur $[a ,\, b]$ . On en déduit que
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_a^b P_n(t)\,f(t) \, \textrm{d} t = \int_a^b f^2(t) \, \textrm{d} t$ .

Par unicité de la limite, $\int_a^b f^2(t) \, \textrm{d} \,t = 0$ .
La fonction $f ^2$ étant continue sur $[a ,\, b]$ , à valeurs positives ou nulles et d’intégrale nulle sur $[a , \,b]$ ,
$\forall \, t\in [a ,\, b], \; f ^2(t) = 0 \Rightarrow f(t) = 0$ .

Exercice 7 Mines Ponts 2013.
Soit $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ . Soit $(P_k)_k$ une suite d’éléments de $\mathbb{R}[\textrm{X}]$ convergeant uniformément vers une fonction $f$ . Démontrer que $f$ est polynomiale.

Corrigé de l’exercice 7 :

On suppose que $(P_k)_k$ est une suite d’éléments de $\mathbb{R}[\textrm{X}]$ convergeant uniformément vers une fonction $f$ .
Soit $\varepsilon > 0$ . Il existe $N \in \mathbb{N}$ , tel que si $n \geq N$ , $\Vert P - f_n\Vert_{\infty} \leq \varepsilon$ .
$\Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty} \leq \Vert P_n - f \Vert _ {\infty} + \Vert f - P_N \Vert _ {\infty}$
$\Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty} \leq 2 \varepsilon$
$P_n - P_N$ est une fonction polynôme bornée sur $\mathbb{R}$ , donc elle est constante.
Il existe $\alpha_n \in \mathbb{R}$ tel que
$\forall \, x \in \mathbb{R}$ , $P_n(x) = P_N(x) + \alpha_n$ .

Puis $\vert \alpha_n \vert = \Vert P_n - P_N \Vert _ {\infty}\leq 2 \varepsilon$ ,
donc $\displaystyle \lim_ {n \to \infty} \alpha_n = 0$ ; si $n$ tend vers $+\infty$ , $f(x) = P_N(x)$ .
$f$ est une fonction polynomiale.

Tous nos cours en ligne ont pour unique objectif de faciliter l’apprentissage et d’améliorer le niveau de connaissances des étudiants de Maths Spé. Tous les chapitres du programme sont disponibles en cours en ligne de Maths en MP, en cours en ligne de Maths en PC et aussi en cours en ligne de Maths en PSI.

4. Convergence simple, normale, uniforme

Exercice 8 :

Soit $u_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto n\, x \textrm{ e}^{ - n ^2 \, x}$ où $n \in \mathbb{N}^*$ .

Question 1.
La série converge simplement sur quel domaine ?

Question 2
La série converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}^+$ ?

Question 3
Pour tout $a > 0$ , $\sum u_n$ converge normalement sur $[a , \, + \infty[$ .

Question 4
La série ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 5
La somme $S$ est continue sur $]0 ,\, +\infty[$ et admet une limite finie en $+\infty$

Question 6
La fonction $S$ n’est pas continue en $0$ .

Question 7
Montrer que $S(x) \underset {x \to + \infty} \sim u_1(x)$ .

Question 8 (plus compliquée)
a) Soit $x > 0$ , on note $\displaystyle N = \left \lfloor \frac 1 {\sqrt{2\, x} } \right \rfloor$ .
Montrer que $\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2 \, x}}$ .

Dans les questions b) et c), on fixe $x > 0$ .
Soit pour $t \geq 0, \; g(t) = t\, x \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ et $\displaystyle G : t \mapsto - \frac 1 2 \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ .
b) Montrer que $\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq G(N) - G(0) \leq \sum _{k = 1} ^{N} g(k)$ .

c) Montrer que $\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{+\infty} g(k) \leq - G(N + 1 ) \leq \sum _{k = N + 1 } ^{+\infty} g(k)$ .

d) En déduire un encadrement de $S(x)$ puis la limite de $S(x)$ à droite en $0$ .

Corrigé de l’exercice 8 :

Question 1:

$\ast$ Si $x < 0, \;\displaystyle \lim_{n\to\infty} u_n(x) = - \infty$ , donc $\sum u_n$ diverge grossièrement
$\ast$ Si $x = 0, \; u_n(0) = 0$ , la série converge.
$\ast$ Si $x > 0$ , $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n ^2 \,u_n(x) =0$ , donc $\displaystyle u_n(x) \underset {n\to\infty} { = } o \left ( \frac 1 {n^2} \right )$ , la série de terme général $u_n(x)$ converge par domination par une série de Riemann divergente.
Donc la série de terme général $u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 2 :

Si $x \in \mathbb{R}^+$ , $u'_n(x) = n\,(1 - n^2 x) \textrm{ e}^{ - n^2\, x}$ .
$u_n$ est croissante sur $\displaystyle \left [0 , \frac 1 {n^2} \right ]$ , décroissante sur $\displaystyle \left [ \frac 1 {n^2} , +\infty \right [$ , $u_n$ admet un maximum en $\displaystyle \frac 1 {n^2}$ et $\displaystyle u_n \left (\frac 1 {n^2} \right ) = \frac {\textrm{e} ^{-1}} {n}$
et $\displaystyle \Vert u_n \Vert_{\infty} = u_n \left (\frac 1 {n^2} \right ) = \frac {\textrm{e} ^{-1}} {n}$ puisque $u_n$ est à valeurs positives ou nulles sur $\mathbb{R}^+$ .
La série ne converge pas normalement sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 3 :

Soit

$a > 0$ ; il existe

$N \in \mathbb{N}$ tel que si

$n > N$ ,

$\displaystyle \frac 1 { n^2 } < a$ ,

$\displaystyle \Vert u_n \Vert _{\infty, [a , +\infty[} = \; \sup _{x \geq a} {\vert u_n(x)\vert } = u_n(a)$
donc

$\sum u_n$ converge normalement sur

$[a , +\infty[$ .

Question 4 :

Si $x \in \mathbb{R}^+$ . $\displaystyle R_n(x) =\sum_{k = n + 1}^{\infty} u_k(x).$
Comme les fonctions sont à valeurs positives ou nulles, $\displaystyle R_n(x) \geq \sum_{k = n + 1}^{2n} u_k(x).$

Comme on somme $n$ termes tous supérieurs ou égaux à $n x \textrm{ e} ^{- 4 n^2 x}$ ,
$R_n(x) \geq n^2 x \textrm{ e} ^{- 4 n^2 x}$ $\Rightarrow \displaystyle R_n \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \textrm{ e} ^{- 4}$
donc $\mid \mid R_n \mid \mid_{\infty} \geq \textrm{ e} ^{- 4}$ . La suite de terme général $R_n$ ne converge pas uniformément vers 0.
On en déduit que la série ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}^+$ .

Question 5 :

$\bullet$ La série $\sum u_n$ converge normalement donc uniformément sur $[a , \, +\infty[$ pour tout $a > 0$ donc converge uniformément sur tout segment inclus dans $]0 , \, +\infty[$ , les fonctions $u_n$ sont continues, par le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la somme $S$ de la série est continue sur $]0 , \, +\infty[$ .

$\bullet$ Étude de la limite en $+\infty$
$\ast$ La série $\sum u_n$ converge normalement donc uniformément sur $[1 , \, +\infty[$ .
$\ast$ Pour tout $n \geq 1$ , $\displaystyle \lim_{x \to \infty } u_n(x) = 0$ .
Par le théorème de la double limite, $\displaystyle \lim_{x \to \infty } S(x) = 0$ .

Question 6 :

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle S(x)\geq \sum_{k = 1}^{n} u_k(x)$ .
Donc $\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2 } \right ) \geq \sum_{k = 1} ^{n} \frac k {n^2 } \textrm { e}^{ - k^2 / n^2 }$

Comme $\forall \, k \in \{ 1 , \, \cdots \,, \, n \},\; \displaystyle \frac {k ^2} {n^2 } \leq 1 \,$
$\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \sum_{k = 1} ^{n} \frac k {n^2 } \textrm { e}^{ - 1}$
soit $\displaystyle S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \geq \frac {n + 1} {2 n } \textrm { e}^{ - 1 }$

La suite $\displaystyle \left ( S \left ( \frac 1 {n^2} \right ) \right )_n$ est supérieure à une suite de limite strictement positive, donc elle ne converge pas vers $0 = S(0)$ , donc $S$ n’est pas continue en $0$ .

Question 7 :

$\bullet$ La série de terme général $u_n$ converge normalement sur $[1 , +\infty[$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $u_n$ admet 0 pour limite en $+\infty$ .
Par le théorème de la double limite, $S$ admet $0$ pour limite en $+\infty$ .

$\bullet$ . On écrit $S(x) = u_1(x)( 1 + T(x))$ avec $\displaystyle T(x) = \sum _{n = 2} ^{+\infty} v_n(x)$ où $v_n(x) = \displaystyle \frac {u_n(x)} {u_1(x)} = \textrm {e} ^{ - (n ^2 - 1) x}$ .

$\ast$ Pour tout $n \geq 2, \; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} v_n(x) = 0$ .

$\ast$ La fonction $v_n$ est décroissante sur $[1 ,\, +\infty[$ , à valeurs positives,
$\displaystyle \Vert v_n \Vert _ {\infty , [1 , + \infty[} = \textrm{e} ^{- (n ^2 - 1) }$ .
Comme $n ^2 > n$ si $n > 1$ , $\displaystyle \Vert v_n\Vert _ {\infty , [1 , + \infty[} \leq \textrm{e}\; \textrm{e} ^{- n}$ qui est le terme général d’une série géométrique convergente.
Donc $\sum v_n$ converge normalement sur $[1 , + \infty[$ .

$\bullet$ Par le théorème de la double limite, $\displaystyle \lim_{x \to + _\infty} T(x) = 0$ et on a prouvé que $S(x) \underset {x \to + \infty} \sim u_1(x)$ .

Question 8 :

a/ On utilise $\displaystyle N \leq \frac 1 {\sqrt{2 \,x} } \leq N + 1$ donc $\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 \, x} } - 1 \leq N \leq \frac 1 {\sqrt{2\, x} }$ et alors $1 - {\sqrt{2\, x} } \leq {\sqrt{2 \,x} }\, .\, N \leq 1$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sqrt{2 \,x} } \, .\, N = 1$ .
On peut aussi écrire que $\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2 \,x}}$ .

On remarque que $\displaystyle G : t \mapsto - \frac 1 2 \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ est une primitive de $g$ .

$\ast$ Si $t \geq 0, \; g(t) = t\, x \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ , $f_n(x) = g(n)$ .
$g'(t) = x( 1 - 2 \, t ^2 \, x) \, \textrm{e} ^{ - t ^2\, x}$ .
Soit $\displaystyle a = \frac 1 {\sqrt{2 \,x} }$ , $g$ est croissante sur $[0 , \,a]$ et décroissante sur $[a , \, +\infty[$ .

$\ast$ Si $k \leq N - 1,\; k + 1 \leq a, \; \forall\, t \in [k , \, k + 1],$ $g(k) \leq g(t) \leq g(k)$ .
En intégrant sur $[k , \, k + 1]$ , $\quad \quad g(k ) \leq \int_k ^{k + 1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq g(k + 1)$ .

$\ast$ Puis en sommant pour $k \leq N - 1$ , par la relation de Chasles,
$\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq \int_0 ^{N} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq \sum _{k = 0} ^{N - 1} g(k + 1)$
soit
$\displaystyle \sum_{k = 0} ^{N - 1} g(k) \leq G(N) - G(0) \leq \sum _{k = 1} ^{N} g(k)$ .

c/ $\ast$ Si $k \geq N + 1,\; k > a, \;\forall\, t \in [k , \, k + 1],$ $g(k + 1 ) \leq g(t) \leq g(k)$ .
En intégrant sur $[k , \, k + 1]$ , $\quad \quad g(k + 1 ) \leq \int_k ^{k + 1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq g(k)$ .

$\ast$ Puis en sommant pour $N + 1\leq k \leq n$ , par la relation de Chasles,
$\displaystyle \sum_{k = N+1} ^{n} g(k + 1 ) \leq \int_{N + 1} ^{n+1} g(t) \, \textrm{d} \, t \leq \sum _{k = N + 1 } ^{n} g(k)$
soit $\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{n + 1 } g(k) \leq \left [ G(t) \right] _{N + 1}^{n + 1} \leq \sum _{k = N + 1 } ^{n} g(k)$ .

$\ast$ Puis si $n$ tend vers $+ \infty$ , comme $G$ admet 0 pour limite en $+\infty$ ,
$\displaystyle \sum_{k = N + 2 } ^{+\infty} g(k) \leq - G(N + 1 ) \leq \sum _{k = N + 1 } ^{+\infty} g(k)$ .

d/ En sommant les inégalités des questions b) et c), sachant que $\displaystyle \sum _ {n = 0} ^{+\infty} g(k) = S(x)$ ,
$S(x) -g(N) - g(N + 1)$
$\leq G(N) - G(N + 1) - G(0) \leq S(x)$
Ce qui donne un encadrement $a_N \leq S(x) \leq b_N$ avec $a_N = - G(0) + G(N) - G(N + 1)$ et $b_N = a_N + g(N) + g(N + 1)$

$\ast$ $\displaystyle G(N) = - \frac 1 2 \textrm {e} ^ {- N^2 \, x}$
Sachant que $\displaystyle \lim_{x \to 0} N^2 x = \frac 1 2$ , $\displaystyle \lim_{x\to 0} G(N) = - \frac 1 2 \textrm {e} ^ {- 1/2}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0} G(N) - G(N + 1) = 0$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0} a_N = - G(0) = \frac 1 2$ .

$\ast$ Puis comme $\displaystyle N \underset {x \to 0} \sim \frac 1 {\sqrt{2\, x}}$ , $\displaystyle g(N) \underset {x \to 0} \sim \frac x {\sqrt{2\, x } } \textrm {e} ^{- 1/2}$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to 0} g(N) = 0$ .
Il en est de même de $(g(N + 1))_N$ .
Alors $\displaystyle \lim_{x\to 0} b_N = - G(0) = \frac 1 2$ .

$\ast$ Par encadrement par deux expressions ayant même limite $1/2$ lorsque $x \to 0$ , on a donc prouvé $\displaystyle \lim _{x \to 0} S(x) = \frac 1 2$ .

COURS PARTICULIERS EN LIGNE

Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.

POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

5. Série de fonctions définie à l’aide d’intégrales

Exercice 9 :

(Mines Ponts PSI 2017)
Soit $f_0$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . On définit la suite $(f_n)_{n \geq 0}$ par : $\forall\, n \in \mathbb{N },\; \forall \,x \in \mathbb{R},\; f_{n+1} (x) = \int_0^x f_n(t) \, \textrm{d} \, t$ .
Question 1
Étudier la convergence uniforme sur tout segment de $\sum f_n$ .
On note $\displaystyle S = \sum _{n = 0} ^{+\infty} f_n$ .

Question 2
Déterminer $S$ à l’aide d’une équation différentielle.

Corrigé de l’exercice 9 :

Question 1 :

$\bullet$ Par récurrence immédiate, pour tout $n \in \mathbb{N},\; f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ Soit $a > 0$ . On note $M = \Vert f_0 \Vert _{\infty,\, [-a ,\, a]}$ .
On note $\displaystyle \forall \, n \in \mathbb {N}, \; \textrm{H}_n : \vert f_n (x) \vert \leq \frac {M \vert x \vert ^n} {n \, !}$ .
$\ast$ $\textrm{H}_0$ est vraie par définition de $M$ .
$\ast$ On suppose que $\textrm{H}_n$ est vraie.
Si $x \in \, [- a , \, a],\; \displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \left \vert \int_ 0 ^x \vert f_{n} (t) \vert \textrm{d} \,t \right \vert$
$\displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \left \vert \int_ 0 ^x \frac {M \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t \right \vert$
… Si $x \in [0 , \, a]$ , $\displaystyle \int_ 0 ^x \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \int_ 0 ^x \frac {M\, t ^n} {n \, !} \textrm{d} \, t = \frac {M \, x^{n + 1} }{(n + 1)\, !}$ .
… Si $x \in [-a , 0]$ , $\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \int_ x ^0 \frac {M \, (-1)^n t ^n} {n \, !} \textrm{d} \, t$
$\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \left [ \frac { ( - 1) ^{n}\, t ^{n + 1} } {(n + 1) \, ! } \right ] _x^0$
$\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \frac { - M \, (-x) ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}$
$\displaystyle \int_ x ^0 \frac {M \, \vert t \vert ^n} {n \, !} \textrm{d} \,t = \frac { - M \, \vert x \vert ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}$ .
On a obtenu dans les deux cas : $\quad \quad \displaystyle \left \vert f_{n + 1} (x) \right \vert \leq \frac {M\, \vert x \vert ^{n + 1} }{(n + 1)\, !}$ .
La propriété $\textrm{H} _ {n + 1}$ est vérifiée.

$\bullet$ Alors $\displaystyle \Vert f_n \Vert_ {\infty ,\, [- a, a]} \leq \frac {M\, \vert a \vert ^n} {n \, !}$ .
Par domination par une série convergente (de somme exponentielle) la série de terme général $\Vert f_n \Vert_ {\infty ,\, [- a,\, a]}$ converge donc $\sum f_n$ converge normalement donc uniformément sur $[- a ,\, a]$ .

Question 2 :

$\bullet$ On note $S$ la somme de la série. La fonction $S$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ comme limite uniforme sur tout segment d’une série de fonctions continues.

$\bullet$ Soit $x \in [ - a , a]$ , $\displaystyle S(x) =\sum_ {n = 0}^{+\infty}f_n ( x)$ .
$\displaystyle S(x) = f_0(x) + \sum _ {n = 1}^{+\infty} \int_0 ^x f_{n -1} (t) \textrm {d} \, t$ .
La série converge normalement sur tout segment, on peut donc intervertir le signe $\sum$ et l’intégrale :
$\displaystyle S(x) = f_0(x) + \int_0 ^x \sum _ {n = 1}^{+\infty} f_{n -1} (t) \textrm {d} \, t$ .
$\displaystyle S(x) = f_0(x) + \int_0 ^x S(t) \textrm {d} \, t$ .

Par le théorème fondamental de l’intégration, la fonction $G : x \mapsto S(x) - f_0(x)$ est une fonction de classe $C^1$ telle que $\forall \, x \in \mathbb{R} , \; G'x) = S(x) = G(x) + f_0(x)$ .
De plus, $G(0) = S(0) - f_0(0) = 0$ .

$\bullet$ On résout l’équation différentielle $y' = y + f_0$ .
$\ast$ La solution générale de l’équation sans second membre est $x \mapsto \lambda \, \textrm {e} ^x$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ .

$\ast$ Par la méthode de variation de la constante, la fonction $x \mapsto \lambda(x) \, \textrm {e} ^x$ est solution de l’équation différentielle ssi
$\forall \, x \in \mathbb{R}, \; \lambda '(x) \, \textrm {e} ^x = f_0(x)$
$\Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R},\; \lambda '(x) = f_0(x) \, \textrm {e} ^{-x}$ $\Leftrightarrow \exists \, \mu \in \mathbb{R} ,\forall \, x \in \mathbb{R},$ $\quad \quad \quad \; \lambda(x) = \int_ 0 ^x f_0(t) \,\textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t + \mu$
Soit $H(x) = \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t) \, \textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t$ , $H$ est une solution particulière de l’équation différentielle.

$\ast$ La solution générale de l’équation $y' = y + f_0$ est donnée par $x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^x + H(x)$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ .
Et comme on cherche la solution $G$ telle que $G(0) = 0$ , on obtient $\lambda = 0$ et $\forall \, x \in \mathbb{R}, \; G(x) = \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t) \, \textrm {e} ^{- t } \textrm{d} \, t$ .
Donc $\forall \, x \in \mathbb{R},\; S(x) = f_0(x) + \textrm{e} ^x\, \int_ 0 ^x f_0(t)\, \textrm {e} ^{- t } \, \textrm{d} \, t$

6. Recherche d’un équivalent en une borne de l’intervalle

Exercice 10 (Zeta) 🧡
Soit si $x > 1,\; \zeta(x) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}$ .
Montrer que $\displaystyle \zeta(x) - 1 \underset {x \to +\infty} \sim \frac 1 {2 ^x}$ .

Corrigé de l’exercice 10 :

$\displaystyle \zeta(x) - 1 = \sum_{ n = 2} ^{+\infty} \frac 1 {n ^x} = \frac 1 {2 ^x} \sum_{ n = 2} ^{+\infty} v_n(x)$ où $\displaystyle v_n(x) = \frac {2 ^x} {n ^x}$
On note $\displaystyle T(x) = \sum_{ n = 2} ^{+\infty} v_n(x)$

$\ast$ $\displaystyle \lim _{n \to +\infty} v_2(x) = 1$ et $\displaystyle \forall n > 2, \lim _{n \to +\infty} v_n(x) = 0$ .
$\ast$ Si $n \geq 2$ et $x \geq 2$ , $0 \leq v_n(x) \leq v_n(2)$ car la fonction $v_n$ est décroissante sur $[2 , + \infty[$ .
donc $\displaystyle \Vert v_n \Vert _{\infty , \, [2 , + \infty[} \leq v_n(2)$ qui est le terme général d’une série convergente.

$\ast$ Par le théorème de la double limite, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} T(x) = 1$ , on a donc prouvé que $\zeta(x) - 1 \underset {x \to +\infty} \sim \displaystyle \frac 1 {2 ^x}$ .

Un bon niveau en Maths s’acquiert par des révisions de cours mais aussi par des entraînements sur des exercices de cours. Testez-vous et vérifiez vos connaissances sur les cours en ligne et les exercices corrigés de Maths Spé suivants :

Pour avoir les corrigés de tous ces exercices et accéder à tous les exercices et annales corrigés, n’hésitez pas à télécharger l’application mobile PrepApp.

Suites et séries de fonctions en MP, PC, PSI

Exercices et corrigés – Suites et séries de fonctions

1. Études de convergence de suites

2. Exercices théoriques sur les suites et séries de fonctions

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

3. Théorème de Weierstrass

4. Convergence simple, normale, uniforme

COURS PARTICULIERS EN LIGNE

Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.

POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION

5. Série de fonctions définie à l’aide d’intégrales

6. Recherche d’un équivalent en une borne de l’intervalle

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales