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Les Matrices en Maths Spé

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Noyau, Image, Base Canonique de matrices en MP, PC, PSI, PT

1. Méthodes de calcul de $A^n$ où $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ .

$\bullet$ M1. Par récurrence: on calcule $A^2$ , $A^3$ , … , etc, jusqu’à conjecturer une formule que l’on démontre par récurrence.

Par exemple,

$\ast$ Si $A^2 = \alpha A$ , montrer par récurrence que $\forall n \in \mathds{N}^*$ , $A^n = \alpha^{n- 1} A$ .

$\ast$ Si $A^3 = \alpha A$ , montrer par récurrence que $\forall n \in \mathds{N}^*$ , $A^{2n} = \alpha^{n- 1} A^2$ et $A^{2n + 1} = \alpha^n A.$

$\bullet$ M2.Utilisation d’un polynôme $P$ annulateur de $A.$

(de préférence choisir $P \in \mathds{K}[{\textrm X}]$ non nul de degré $d$ le plus faible possible tel que $P(A) = 0$ ).

$\blacktriangleright$ Le chapitre « réduction des endomorphismes » donne une méthode pour trouver un polynôme annulateur de $A.$

Quand c’est possible, on choisira le polynôme minimal de $A$ ( $\blacktriangleright$ ).

Le théorème de division euclidienne donne l’existence de ( $Q_n ,\, R_n)\in \mathbb{K}[{\textrm X}]^2$ tel que

${\textrm X}^n = P Q_n + R_n \textrm{ où } \deg(R_n) < \deg P = d.$

On détermine $R_n$ en utilisant les racines de $P$ (voir ci-dessous).

Il restera à calculer $A^2,\, ... \, ,\; A^{d - 1}$ et à écrire que $A^n = P(A) Q_n(A) + R_n(A)$ , donc $A^n = R_n(A).$

$\ast$ Cette méthode s’applique en particulier lorsque $A^2 = \alpha\, A + \beta \textrm\, I_p\,$ , on pose $P = {\textrm X}^2 - \alpha \, {\textrm X} -\beta$ .

$\ast$ Lorsque $P$ a $d$ racines distinctes $r_1,... , r_d$ , on obtient un système de $d$ équations à $d$ inconnues en écrivant que

$\forall i \in [\![1 , d]\!],\; r_i^n = P(r_i) Q_n(r_i) + R_n( r_i)$

$\forall i \in [\![1 , d]\!],\; r_i^n = R_n(r_i) .$
C’est un système qui permet de déterminer les $d$ coefficients du polynôme $R_n$ .

$\ast$ Lorsque $P$ a une racine multiple, par exemple si $P = ({\textrm X} - r)^\alpha P_1$ avec $P_1(r)\neq 0,$ on écrit que $U = {\textrm X}^n- R_n$ est divisible par $({\textrm X} - r)^\alpha$

$\Leftrightarrow U(r) = U'(r) =... = U^{(\alpha -1)}(r) = 0,$

Puis on écrit que les racines de $P_1$ sont racines de $U.$

$\bullet$ M3. Utilisation du binôme de Newton.

Si l’on peut écrire $A = B + C$ avec $B\, C = C\, B$ , pour $n \in \mathds{N}$

$\displaystyle A^n =(B + C)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}B^{n-k}C^k.$

Cette méthode est intéressante

$\ast$ lorsque $B$ est une matrice scalaire et $C$ une matrice triangulaire dont les éléments de la diagonale sont nuls (car alors $C^p = 0$ )

$\ast$ ou lorsque $C$ est la matrice formée uniquement de 1 (dans ce cas, l’expression $C^k = p^{k- 1}$ $C$ suppose $k \in \mathbb{N}^*$ . Il faudra, dans les calculs, mettre à part le terme pour $k = 0$ ).

$\bullet$ M4. Si l’on peut trouver une matrice $D$ diagonale et une matrice inversible $P$ telles que $A = P D P^{-1}$ , $A^n = P D^n P^{-1}$ .

On rappelle que si $D = \textrm {diag }(d_1,\, d_2 ,\, ...\, , \, d_p)$ , $D^n =\textrm{diag } (d_1^n ,\, d_2^n , \, ... \, , \, d_p^n )$ .

$\bullet$ M5. Si l’on peut trouver une matrice $T$ triangulaire et une matrice inversible $P$ telles que $A = P T P^{- 1}$ , $A^n = P T^n P^{- 1}$ .

On calcule $T^n$ en utilisant M1 ou M3.

L’utilisation de M2 ou M3 est plus simple que celle de M4 ou M5 car elle évite le calcul de $P^{- 1}$ .

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2. Méthodes de calcul de l’inverse de $A$ où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

$\bullet$ M1. Si $A = {\textrm I}_n - B$ où $B^p = 0$ , $A$ est inversible et $\quad \quad A^{- 1} = {\textrm I}_n + B + B^2 +... + B^{p- 1}$ .

En effet, en notant $C = {\textrm I}_n + B + B^2 +... + B^{p- 1}$ , on calcule

$A\, C = {\textrm I}_n + B + B^2 +... + B^{p - 1}$

$- (B + B^2 +... + B^p)$ .

$A \, C = {\textrm I}_n - B^p = {\textrm I}_n\,$ , donc la matrice $A$ est inversible d’inverse $C$ .

$\bullet$ M2. En utilisant un polynôme annulateur

Si l’on connaît $P =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\alpha_i {\textrm X}^i\in \mathbb{K}[{\textrm X}]$ tel que $P(A) = 0$ et $P(0) \neq 0$

(donc $\alpha_0 \neq 0$ ), en écrivant que

$\displaystyle {\textrm I}_n = A\left( -\sum_{i=1}^{n}\frac{\alpha_i}{\alpha_0}A^{i-1}\right)$

$A$ est inversible et $\displaystyle A^{-1}=-\sum_{i=1}^{n}\frac{\alpha_i}{\alpha_0}A^{i-1}$
ou $A^{-1}=-\left( \frac{\alpha_p}{\alpha_0}A^{p-1}+...+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}A+\frac{\alpha_1}{\alpha_0}{\textrm I}_n \right)$

Attention à ne pas oublier après $\displaystyle \frac{\alpha_1}{\alpha_0}$ la matrice $A^0 = {\textrm I}_n$ quand on n’utilise pas la notation $\sum$ !

$\bullet$ M3. Si $A$ est triangulaire, $A$ est inversible si, et seulement si, le produit des termes de la diagonale est non nul.

Dans ce cas, on considère que $A$ est la matrice de passage de la base $\mathcal{B} = (e_1 \,,\, e_2\, ,\,...\, ,\, e_n)$ à la base $\mathcal{C} = (f_1 ,\, f_2 ,\, ... \, , \,f_n).$

Pour trouver $A^{-1}$ , il suffit d’exprimer pour tout $k$ de $[\![1 , n]\!]$ , le vecteur $e_k$ dans la base $\mathcal{C}$ .

La $k$ -ième colonne de $A^{- 1}$ est formée des coordonnées de $e_k$ dans la base $\mathcal{C}$ .

$\bullet$ M4. Si $A$ est quelconque, on introduit une base $\mathcal{B} = (e_1 , e_2 ,... , e_n)$ de $\mathbb{K}^n$ et on note $f_j$ le vecteur de $\mathbb{K}^n$ dont les coordonnées par rapport à la base $\mathcal{B}$ forment la $j$ -ème colonne de $A.$

Si l’on peut, pour tout $k \in [\![1 , n]\!]$ , exprimer $e_k$ en fonction de $(f_1\, ,\, f_2\, ,\,... \,,\, f_n)$ , cela permet de démontrer que $\mathcal{C} = (f_1\, ,\, f_2 \,,\,... \,,\, f_n)$ est un système générateur de $\mathbb{K}^n$ donc une base de $\mathbb{K}^n.$

Alors $A$ est la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{C}$ et $A^{-1}$ est la matrice de passage de la base

$\mathcal{C}$ à la base $\mathcal{B}$ .

La $k$ -ième colonne de $A^{- 1}$ est formée des coordonnées de $e_k$ dans la base $(f_1\, ,\, f_2 \, ,\,...\, ,\, f_n).$

$\bullet$ M5. On peut aussi introduire $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ et $X \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ et résoudre le système

$Y = A \, X$ (c’est-à-dire calculer $X$ en fonction de $Y$ ) ce qui permet d’écrire $X = A^{-1}\, Y.$

$\bullet$ M6. On peut aussi utiliser la méthode du pivot de Gauss (mais c’est souvent une méthode compliquée).

Dans une même matrice $B$ , on place la matrice $A$ à inverser suivie à droite de la matrice $\textrm {I}_n$ .

Par opérations élémentaires sur les lignes de la matrice $B$ , on doit arriver à transformer la matrice $B$ en une matrice contenant la matrice $\textrm {I}_n$ suivie d’une matrice $C$ . Cette matrice $C$ est la matrice inverse de $A$ .

La méthode comporte trois étapes:

$\ast$ Première étape : on obtient une matrice triangulaire sur les $n$ premières colonnes, de termes diagonaux non nuls (si l’un des ces termes est nul, $A$ n’est pas inversible et on arrête).

$\ast$ Deuxième étape : on obtient tous les termes de la diagonale égaux à 1.

$\ast$ Troisième étape : on obtient des zéros au dessus de la diagonale dans les $n$ premières colonnes.

Attention ! toutes les opérations doivent être effectuées sur les lignes de la matrice.

$\bullet$ M7. On peut trouver l’inverse d’une matrice d’ordre 2 par utilisation de déterminants.

$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ est inversible
$\Leftrightarrow$ $\det A = a d - b c \neq 0$
et dans ce cas,
$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}$ .

Certains cours, au vu de leur complexité méritent d’être revus à plusieurs reprises et de manière très sérieuse même après le cours en prépa. Les cours en ligne de Maths en MP, les cours en ligne de Maths en PC et les cours en ligne de Maths en PT, ainsi que les cours en ligne de Maths en PSI sont de très bons supports supplémentaires en plus d’un professeur particulier de maths qui vous permettent d’améliorer votre compréhension des cours de Maths en Maths Spé.

3. Noyau et Image de $u$ défini par sa matrice

$\bullet$ M1. Détermination simultanée de l’image et du noyau

Si $u \in \mathcal{L}(E , F)$ a pour matrice $A$ dans les bases $\mathcal{B} = (e_1 ,\, ... \, , \, e_p)$ et $\mathcal{C} = (f_1 ,\, ... \, , \, f_n)$ de $E$ et $F$ , on détermine le rang de la famille $\mathcal{S} = (u(e_1) ,\, ... \, , \, u(e_p))$ en l’échelonnant (on raisonne par opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice $A$ ) et en gardant soigneusement les opérations effectuées.

On suppose que l’on arrive à :

$\textrm{rg} (A) = \textrm{rg}(\mathcal{S})$

$\textrm{rg}(A) = \textrm{rg}(u(x_1) ,\, ... \, ,\, u(x_r) , \,$

$u(y_1) = 0 ,\, ...\, ,\, u(y_{p -r}) = 0)$

où la famille $(u(x_1) ,\, ...\, ,\, u(x_r))$ est libre.

Par cette méthode, on obtient:

$\ast$ la matrice $A$ est de rang $r$ .

$\ast$ les vecteurs $u(x_1) ,\, ... \, , \, u(x_r)$ forment une base de $\textrm {Im } u.$

$\ast$ les vecteurs $y_1 ,\, ... \, ,\, y_{p - r}$ sont des vecteurs de $\textrm {Ker } u$ . Après avoir vérifié qu’ils forment une famille libre, on peut affirmer qu’ils forment une base de $\textrm {Ker } u$ (c’est sous-espace vectoriel de $E$ de dimension égale à $\dim E - \dim \textrm {Im } u$ soit à $p- r$ ).

$\bullet$ M2. Détermination du noyau (et seulement du noyau)

Soit $u \in \mathcal{L}(E , F)$ , dont la matrice dans les bases $\mathcal{B} = (e_1 ,\, ... \, ,\, e_p)$ de $E$ et $\mathcal{C} = (f_1 ,\, ...\, ,\, f_n)$ de $F$ est notée $A.$

La méthode la plus simple est d’écrire que $x \in \textrm {Ker} u \Leftrightarrow u(x) = 0 \Leftrightarrow A X = 0,$

c’est-à-dire d’introduire la matrice $X$ des coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal{B}$ et de résoudre le système de $n$ équations à $p$ inconnues $x_1 , x_2 , ... , x_p$ obtenu en écrivant $A X = 0$ .

Penser à cette méthode, quand il s’agit de déterminer, pour $u \in \mathcal{L}(E)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ , $\textrm{Ker}(u -\lambda \textrm {Id}_E),$ donc de trouver les $x$ tels que $u(x) = \lambda x$ , ce qui s’écrit matriciellement sous la forme $A X = \lambda X.$

$\bullet$ M3. Détermination de l’image (et seulement de l’image)

On cherche une matrice $A'$ équivalente à la matrice $A$ en échelonnant les colonnes de $A$ par la méthode du pivot de Gauss. Les matrices $A$ et $A'$ ont même image.

Une base de Im $A'$ est formée par les colonnes échelonnées à pivot non nul de la matrice $A'.$

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4. Utilisation de la base canonique

Rappel : La base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est formée par les matrices

$(E_{p , q})_{1\leqslant p , \,q \leqslant n}$ où $E_{p,\,q} = (\delta_{i , \,p} \delta_{j , \,q})_{ 1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}$

(soit $E_{p ,\, q}$ est la matrice carrée d’ordre $n$ dont tous les éléments sont nuls sauf celui à l’intersection de la ligne $p$ et de la colonne

$q$ qui est égal à 1).

$E_{p , \,q} \times E_{r , \,s} = \delta_{q , \,r}\, E_{p ,\, s}$

Si $A = (a_{i \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\,$ ,

$\ast$ $\displaystyle A =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i ,\, j} \,E_{i ,\, j}$ ,

$\ast$ $\displaystyle A\, E_{p,\, q} =\sum_{i=1}^{n}a_{i ,\, p}\, E_{i ,\, q}$

$\ast$ et $\displaystyle E_{p ,\,q} \,A = \sum_{j=1}^{n}a_{q, \,j}\, E_{p,\, j}\,$ .

On peut utiliser la base canonique pour déterminer l’ensemble des matrices $A$ telles que pour tout $X$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),$ le couple $(A ,\, X)$ vérifie une propriété donnée.

Commencer par trouver les conditions nécessaires vérifiées par $A$ en appliquant l’hypothèse avec $X = E_{p,\,q}\,$ .

5. Comment démontrer qu’une famille est génératrice de $E$ ?

Pour démontrer que $(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)$ est une famille génératrice de $E$ ,

$\bullet$ M1. Montrer que

$\quad \quad \quad E =$ Vect $(a_1,\, ... \, ,\, a_n).$

$\bullet$ M2. Montrer que pour tout $x$ de $E$ , on peut trouver des scalaires $(a_1 , a_2 ... , a_n)\in \mathbb{K}^n$ tels que

$x =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_i \, a_i \, .$

$\bullet$ M3. Si l’on connaît une base $(e_1,\, ... \, ,\, e_p)$ de $E$ , montrer que, pour tout $j\in[\![1 , p ]\!]$ , on peut trouver $(\alpha_1 ,\, ... \, ,\, \alpha_n)$ de $\mathbb{K}^n$ tel que $e_j =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\, a_i.$ La famille $(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)$ engendre la base $(e_1 ,\, ... \, ,\, e_p)$ , c’est donc une famille génératrice de $E.$

$\bullet$ M4. Pour démontrer que la famille infinie $(a_i)_{ i \in I}$ est génératrice de $E$ , pour tout $x$ de $E$ , on démontre qu’il existe une famille presque nulle de scalaires $(\alpha_i)_{i \in I}$ telle que $\displaystyle x =\sum_{i\in I}\alpha_i \,a_i$

Beaucoup d’étudiants en prépa font le choix de prendre des cours particuliers ou de suivre des stages intensifs en maths spé de révisons, ce qui est très efficace pour améliorer ou garder un bon niveau. Mais entre 2 stages ou 2 cours particuliers les étudiants doivent continuer à s’entraîner, par exemple, sur les chapitres de maths suivants :

Si vous souhaitez accéder à l’ensemble des méthodes et aux corrigés des exemples, n’hésitez pas à télécharger l’application PrepApp

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